6 fluidi, Appunti di Fisica Medica

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Lezione VI

Il concetto di Pressione

Si consideri un fluido ed una superficie di esso

D

S

. Si applichi

in direzione normale all’elemento di superficie una forza

F.

Si

definisce pressione esercitata da

F

su

D

S

Pa

m

N

p

S

F

p

perp

2

]

[

In generale la pressione può variare da punto a punto nelfluido.

La pressione è uno scalare!

Questi

esempi

rappresentano

quanto

descritto

dal

Principio di Pascal, la cui definizione recita così: La pressione, esercitata in una regione qualsiasi di unfluido, si trasmette in tutte le direzioni con la stessaintensità

Elevatore idraulico

: secondo il principio di Pascal la pressione si

trasmette invariata in tutte le direzioni su superfici di area ugualeall'interno di un fluido. In un sistema di recipienti comunicanti traloro come quello in figura è possibile sfruttare il principio perottenere

forze

di

intensità

diversa

per

superfici

diverse

del

liquido. Applicando una forza di intensità

F

1

sulla

superficie

S

1

,

la

pressione

risultante avrà intensità

p

1

=F

1

/S

1

che, per

il principio di Pascal, si

trasmette dal basso verso l'alto sulpistone di destra di sezione

S

2

. Se

F

2

è

l'intensità

della

forza

trasmessa,

sarà

F

1

/S

1

= F

2

/S

2

, da cui

F

2

= F

1

(S

2

/S

1

)

2 2

1 1

F S

F S

=

La

pressione

esercitata

dall’atmosfera

al

livello

del

mare,

indicata con P

0

, espressa in

pascal

(Pa) è pari a

P

0

= 1 Atm = 1.013·

5

Pa = 1.013·

5

N/m

2

Per bilanciare la pressioneatmosferica P

0

occorre una

colonna di 760 mm

Hg

torr

P

0

δ

Hg

g

h

mm

m

g

P

h

Hg

760

81

.

9

10

6

.

13

10

013

.

1

3

5

0

≈

⋅

⋅

⋅

=

=

∆

δ

δ

Hg

=13.6 g/cm

3

da cui:

8

Qual è la pressione esercitata su un sub che scenda alla profonditàdi 10 m dal livello del mare?

h

g

P

p

O

H

∆

=

2

0

δ

P

0

=1 Atm = 1.013·

5

Pa = 1.013·

5

N/m

2

δ

H2O

3

Kg/m

3

g = 9.81 m/s

2

h = 10 m

p = (1.013·

5

3

· 9.81 · 10) N/m

2

5

N/m

10 m di acqua incrementano la pressione di circa 1 Atm.

10

Si consideri un corpo di densità

δ

c

immerso in un fluido di densità

δ

f.

La parte di volume immersa sia

V”

e sia il corpo all’equilibrio.

In questo caso la risultante della forza peso

P

e della spinta di

Archimede

A

è nulla.

(

)

"

"

'

V

g

A

V V g g V P

f

c

c

δ

δ

δ

=

• − = − = 1 "

"

≤

=

=

f

c

f

c

V

V

V

g

V

g

δ

δ

δ

δ

Un

corpo

per

galleggiare

deve avere densità minoredi quella del fluido in cui èimmerso.

0

=

A

P

Consideriamo un fluido

incomprimibile

, cioè avente densità

indipendente

dalla

pressione

a

cui

è

sottoposto,

in

moto

stazionario

, cioè con velocità che, punto per punto, non variano

nel tempo.

La portata volumetrica e la legge di Leonardo

La quantità

Q = A

◊

v

si dice

portata volumetrica

: è il volume di fluido che

passa nell'unità di tempo attraverso una sezione di tubo.

[Q] = [A

v] = m

3

/s = l/s

il prodotto

A

v

è INVARIANTE

Nel

sistema

cardio-circolatorio,

l’area

della

sezione

trasversa

aumenta

dall’aorta

verso

i

capillari,

dove

raggiunge

il

massimo valore, e si riduce poidai capillari fino alle vene cave.Di conseguenza, la velocità delsangue prima diminuisce, ed èminima

a

livello

dei

capillari

(questo

favorisce

i

processi

di

scambio),

e

poi

aumenta

di

nuovo.

Es: Si consideri un condotto di raggio

R

che si dirama in

condotti

derivati di stesso raggio

R

. Se il liquido nel condotto primario ha

velocità

v

, quale sarà la velocità

v’

nei condotti derivati?

Dalla

legge di Leonardo

si ottiene

la portata volumetrica in ingresso: Q = (

p

R

2

) v

che deve essere uguale a quella inuscita: Q’ = 3 (

p

R

2

) v’

da cui

(

p

R

2

) v = 3 (

p

R

2

) v’

v’ = v/

16

Ma

L

E

dove

E

è

la

somma

dell'energia

cinetica

e

dell'energia

potenziale

gravitazionale

posseduta

dalla

massa

m

; perciò

L = E

2

- E

1

m v

2

2

m g z

2

m v

1

2

m g z

1

ed essendo

m

≈ δ

A

1

x

1

δ

sia la densità del fluido) si avrà:

L

[(1/

δ

v

2

2

δ

g z

2

δ

v

1

2

δ

g z

1

)] A

1

x

1

Il lavoro totale compiuto sul volume di fluido compreso tra

A

1

e

A

2

risulta essere

L = p

1

A

1

x

1

- p

2

A

2

x

2

(p

1

-p

2

) A

1

x

1

17

Uguagliando le due espressioni si ottiene (p

1

-p

2

) A

1

∆∆∆∆

x

1

= [(1/

δ

v

2

2

+

δ

g z

2

) - (1/

δ

v

1

2

+

δ

g z

1

)] A

1

∆∆∆∆

x

cioè 1/

δ

v

1

2

+

δ

g z

1

+ p

1

= 1/

δ

v

2

2

+

δ

g z

2

+ p

2

e dunque

1/

δ

v

2

+

δ

g z + p = costante

È questa l’espressione del

teorema di Bernoulli

.

Come

applicazione di questo teorema, si ha che, se il fluido si muovesolo su un piano orizzontale, il termine

δ

g z

(energia

potenziale) rimane costante per cui

1/

δ

v

2

+ p =

costante

ossia

v

2

e

p

risultano

tali

che

se

aumenta

un

termine,

diminuisce l'altro.

Se una molecola che si trova nello strato limite viene sollevata, ilegami tra essa e le molecole adiacenti vengono tesi, generandouna forza che tende a richiamare la molecola verso la superficie.Allo

stesso

modo,

appoggiando

un

corpo

minuscolo

sulla

superficie di un liquido, le molecole superficiali di quest' ultimovengono spinte verso il basso generando una forza di richiamodiretta verso l'alto.La

superficie

di

un

liquido

si

comporta

quindi

come

una

membrana tesa. La

tensione superficiale

di un liquido è il lavoro

che

deve

essere

fatto

per

portare

un

numero

sufficiente

di

molecole dall'interno del liquido alla superficie per poter formareuna nuova area unitaria di detta superficie. Si vede che questolavoro

coincide

numericamente

con

la

forza

di

contrazione

esercitata su una linea ipotetica (linea di contatto) posata sullasuperficie.

Si definisce

coefficiente di tensione superficiale

( misurato in N/m oppure in

J/m

2

):

Il fatto che la forza sia proporzionale al doppio della lunghezza del filo sispiega pensando che vi è superficie di liquido da entrambi i lati di questo.

La

tensione

superficiale

viene

misurata

direttamente misurando la forza necessaria arompere la superficie del liquido sollevandoun filo sottile dalla superficie stessa.La forza necessaria ad estrarre un filo dimassa

m

e lunghezza

L

è:

g

m

L

F

=

τ 2 L F 2 = τ