Alberi Binari Ricerca, Appunti di Algoritmi E Strutture Di Dati

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Alberi Binari di Ricerca

Determinazione della chiave massima e minima

La chiave massima in un albero binario dovrà trovarsi

nel sottoalbero destro della radice

e nel sottoalbero destro del figlio destro della radice

e così via

Analogamente per la chiave minima che dovrà

essere nel sottoalbero sinistro

Pertanto per determinare l’elemento massimo è

sufficiente discendere tutti i nodi da figlio destro in

figlio destro fino ad arrivare alla foglia (e

analogamente con i figli sinistri per il minimo)

Minimo

Minimo=

Minimo e massimo

Tree Minimum(x)

1 while left[x]NIL

2 do xleft[x]

3 return x

Tree Maximum(x)

1 while right[x]NIL

2 do xright[x]

3 return x

Successore: idea intuitiva

Si considerano due casi:

il nodo x ha un figlio destro

il nodo x non ha un figlio destro

Nel primo caso:

si considera il sottoalbero destro che contiene sicuramente

nodi con chiavi maggiori della chiave di x

in questo sottoalbero il nodo con la chiave più piccola è la

foglia alla estrema sinistra, cioè il nodo restituito dalla

procedura Tree-Minimum

Successore di nodo con figlio dx

Successore di 15

minimo

sottoalbero

destro

Successore di nodo senza figlio dx

perché la chiave di p sia la più piccola possibile allora

p deve essere l’antenato più prossimo

altrimenti se consideriamo un antenato lontano è

vero che ha chiave maggiore, ma..

esisterà un antenato meno lontano e più piccolo!

Successore di x = 4

Antenati che hanno

x in sottoalbero sx

Idea intuitiva

Per determinare questo nodo antenato è sufficiente

risalire gli antenati di x fino a quando non si trova un

nodo antenato che è un figlio sinistro di un nodo y.

Il nodo y è il nodo cercato, il successore

Si mantengono pertanto i puntatori a due generici

antenati x e y e si risale fino a quando x=left[y]

PseudoCodice Successore

Tree Successore(x)

1 if right[x]NIL

2 thenreturn Tree Minimum(right[x])

3 yp[x]

4 while yNIL e x = right[y]

5 do xy

6 yp[x]

7 return y

Predecessore

La procedura per la determinazione del predecessore

è simmetrica a quella vista per il successore

il predecessore si troverà nel sottoalbero sinistro (se

questo esiste), e sarà l’elemento massimo di questo

sottoalbero

se non esiste sottoalbero sinistro il predecessore

sarà l’antenato più prossimo che ha un figlio destro

che è antenato del nodo in questione

Inserzione

Per inserire un nuovo valore k in un albero binario di

ricerca, si prepara un nodo z tale che:

possieda come chiave key[z]=k

e non abbia collegamenti left[z]=right[z]=p[k]=NIL

si cerca la posizione in cui inserirlo

si modificano i campi di z per allacciarlo all’albero

binario di ricerca

Inserzione

Per trovare la posizione giusta ci si muove a partire

dalla radice spostandosi sul sottoalbero destro o

sinistro come in una ricerca

si prosegue però fino ad arrivare ad un punto in cui

fallirebbe la ricerca

a questo punto si inserisce il nuovo nodo

Pseudocodice Inserzione

Tree-Insert(T,z)

1 y ← NIL

2 x ← root[T]

3 while x ≠ NIL

4 do y ← x

5 if key[z]<key[x]

6 then x ← left[x]

7 else x ← right[x]

8 p[z] ← y

9 if y=NIL

10 then root[T] ← z

11 else if key[z] < key[y]

12 then left[y] ← z

13 else right[y] ← z

ricerca della posizione

Pseudocodice Inserzione

Tree-Insert(T,z)

1 y ← NIL

2 x ← root[T]

3 while x ≠ NIL

4 do y ← x

5 if key[z]<key[x]

6 then x ← left[x]

7 else x ← right[x]

8 p[z] ← y

9 if y=NIL

10 then root[T] ← z

11 else if key[z] < key[y]

12 then left[y] ← z

13 else right[y] ← z

Inserzione del nodo z

caso: inserzione radice

caso: inserzione elemento generico

a dx o sx del nodo trovato