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Sommario
- Equazione parametrica di 2° grado..............................................................................................................
- Equazioni-sistema...........................................................................................................................................
- Disequazioni
- Valore assoluto (Moduli)
- Equazioni e disequazioni irrazionali
- Esponenziali e logaritmi
- Equazioni e disequazioni esponenziali
- Equazioni e disequazioni logaritmiche
- Curve logaritmiche
Equazione parametrica di 2° grado
Equazione parametrica di 2° grado
⡰
⡩
⡰
❸
❹
ↄ
⡩
⡰
⡩
⡰
⡰
❹
⡩
⡰
⡩
⡰
❹
⡩
⡰
⡩
⡰
Equazione parametrica normalizzata :
❸
❹
❹
➀
⡩
⡰
❹
❸
⡩
⡰
➀
❸
Enunciato Condizione algebrica Soluzione
Una soluzione nulla ᡶ
⡩
Una soluzione uguale a n ᡶ
⡩
La somma delle soluzioni
è uguale a n
⡩
⡰
❹
❸
Il prodotto delle
soluzioni è uguale a n
⡩
⡰
➀
❸
Le soluzioni sono
opposte
⡩
⡰
❹
❸
Le soluzioni sono
reciproche
⡩
⡰
➀
❸
Le soluzioni sono
antireciproche
⡩
⡰
➀
❸
Le soluzioni sono
concordi
⡩
⡰
➀
❸
Le soluzioni sono
concordi
⡩
⡰
➀
❸
Equazioni-sistema
EQUAZIONE SISTEMA
DETERMINATO
(una o più soluzioni)
oppure se ∆≠ 0
INDETERMINATO
(Infinite soluzioni)
oppure se
け
げ
IMPOSSIBILE
(nessuna soluzione)
oppure se
け
げ
Disequazioni
⡰
⡩
⡰
⡩
⡰
ᡓ > 0 ᡗ ∆> 0 ᡶ < ᡶ
⡩
ᡗ ᡶ > ᡶ
⡰
ᡡᡦᡲᡗᡰᡴᡓᡤᡤᡧ ᡗᡱᡲᡗᡰᡦᡧ
ᡓ > 0 ᡗ ∆= 0 ᡶ ≠ ᡶ
⡩
= ᡶ
⡰
ᡱᡗᡥᡨᡰᡗ ᡓ ᡥᡗᡦᡧ ᡖᡗᡤᡤᡓ ᡰᡓᡖᡡᡕᡗ
ᡓ > 0 ᡗ ∆< 0 ∀ ᡶ ᡱᡗᡥᡨᡰᡗ
Equivalente a Soluzione
- Si studia il segno di A(x)
- Si studia il segno di B(x)
- Si costruisce tabella
segni
soluzioni
- Si studia il segno di A(x)
- Si studia il segno di B(x)
- Si costruisce tabella
segni
soluzioni
eliminare il
denominatore)
- Si studia il segno di A(x)
- Si studia il segno di B(x)
- Si costruisce tabella
segni
soluzioni
Valore assoluto (Moduli)
|ᡓ| = a
se ᡓ ≥ 0 − ᡓ ᡱᡗ ᡓ < 0 (il valore assoluto di un numero è sempre positivo)
Proprietà :
⡩
〩
⡩
|〩|
〨
〩
|〨|
|〩|
⡰
|a| = |b|
⇔ a = b o a = −b ;
|a| ≤ b
⇔ −b ≤ a ≤ b con b > 0
a
≥ b ⇔ a ≤ −b o a ≥ b con b > 0
|a| ≤ |b|
⡰
⡰
MODULI
Risolvere i due sistemi
Se ᡔ > 0
se b > 0
Le soluzioni dei sistemi sono quelle
comuni a entrambe le
disequazioni.
( intersezione insieme )
㒓
ᡘ䙦ᡶ䙧
㊉
≤ 㒓
ᡙ䙦ᡶ䙧
㊉
㐵 㒓ᡘ䙦ᡶ䙧
㊉
㐹
ぁ
≤ 㐵 㒓ᡙ䙦ᡶ
㊉
㐹
ぁ
㊉
ぁ
㊉
ぁ
Disequazione /Sistema Procedura
ᝉ
ᝐ
ᝈ
ᝐ
ᝇ
ᡀ
⡩
䙦 ᡶ
䙧
ᠰ
⡩
䙦ᡶ䙧
0
ᡀ
⡰
䙦ᡶ䙧
ᠰ ⡰
䙦ᡶ䙧
0
9
Si cercano le soluzioni comuni (intersezione – AND) ad
entrambi i rapporti. Intervalli condivisi
ᡀ䙦ᡶ䙧
ᠰ䙦ᡶ䙧
0
Si cercano gli intervalli in cui il rapporto è positivo
esaminando i segni del numeratore e del denominatore ed
escludendo lo zero del denominatore.
N(x) > 0 Si cerca l’intervallo in cui la funzione è positiva
Casi possibili
N(x)
sia
ᡘ䙦ᡶ䙧 ∗ ᡙ䙦ᡶ䙧 > 0 Si cercano i segni in cui è positivo il prodotto
|ᡘ䙦ᡶ䙧| > 0
Si cercano gli intervalli i cui è positiva:
1° grado : quando non è nulla
2° grado : intervallo esterno,interno, sempre o mai secondo il
∆
3° grado : si cercano i fattori riducendo i gradi
| ᡘ䙦ᡶ䙧 ∗ ᡙ䙦ᡶ䙧| > 0
E’ equivalente a
| ᡘ
䙦 ᡶ
䙧| ∗
| ᡙ䙦ᡶ䙧
|
0
Si cercano gli intervalli in cui il prodotto è positivo
esaminando i segni delle due funzioni
| ᡘ䙦ᡶ䙧 | + | ᡙ䙦ᡶ䙧 | > 0
| ᡘ䙦ᡶ䙧 | + | ᡙ䙦ᡶ䙧| + | ℎ䙦ᡶ䙧 | > 0
Si cercano :
-tutti gli intervalli nei quali una delle funzioni cambia segno.
-si scrivono tanti sistemi composti da
- l’intervallo individuato
- le funzioni senza il valore assoluto e col loro segno
( es. f(x) se f(x) > 0 o –f(x) se f(x) <0 nell’intervallo).
㒓ᡘ䙦ᡶ䙧
㊉
Si cercano :
- gli intervalli nei quali la g(x) cambia segno.
- si scrivono tante disequazioni con la g(x) senza il valore
assoluto e col suo segno ( es. f(x) se f(x) > 0 o –f(x)
se f(x) <0 nell’intervallo).
-Si risolvono le disequazioni e si sintetizzano le soluzioni
㒓ᡘ䙦ᡶ䙧
| ᡙ䙦ᡶ䙧 |
0
Si cercano :
- gli intervalli nei quali la g(x) cambia segno.
- si scrivono tanti rapporti con la g(x) senza il valore
assoluto e col suo segno ( es. f(x) se f(x) > 0 o –f(x)
se f(x) <0 nell’intervallo).
-Si risolvono i rapporti individuati e si sintetizzano le
soluzioni
Esponenziali e logaritmi
け
a>
け
e = numero di Nepero
Equazioni e disequazioni esponenziali
ᠱᡩᡳᡓᡸᡡᡧᡦᡗ Soluzione
∆
㐄 ↄ
Condizioni di esistenza e
di unicità )
x 㐄
∆
b<
∆
b<
Esponenziali e logaritmi
け
- Sempre positiva
- DecrescenteDecrescente DecrescenteDecrescente
- Sempre positiva
- CrescenteCrescente CrescenteCrescente
Equazioni e disequazioni esponenziali
Soluzione Note
㐄 log
〨
⤢⤥⤗ ㉶
〩
b<0 b>
0 < a < 1
け
⤢⤥⤗
㉶
〩
Ↄ
ↄ
b<0 b>
0 < a < 1
け
⤢⤥⤗
㉶
〩
x 㐈 log
〨
Sempre positiva
DecrescenteDecrescente DecrescenteDecrescente
⡩
⡰
け
Sempre positiva
CrescenteCrescente CrescenteCrescente
け
〩
a > 1
け
⤢⤥⤗
㉶
〩
Ↄ
ↄ
a > 1
け
⤢⤥⤗
㉶
〩
x 㐇 log
〨
ᡷ 㐄 log ⡩
⡰
a>
ᡷ 㐄 log ᡶ
ᠲᡳᡦᡸᡡᡧᡦᡗ ᡤᡧᡙᡓᡰᡡᡲᡥᡡᡕᡓ ᡷ 㐄 log
〨
- DecrescenteDecrescente DecrescenteDecrescente
- Positiva per x < 1
- Negativa per x 㐈
ⅵↇ
CrescenteCrescente
Crescente
- Positiva per x㐈
- Negativa per x<
ⅵↇ
DecrescenteDecrescente DecrescenteDecrescente
Positiva per x < 1
Negativa per x 㐈
⡩
⡰
ⅵↇ ∆
❸
❹
❸
❹
❸
❸
❹
❹
Crescente
CrescenteCrescente
Crescente
Positiva per x㐈
Negativa per x<
ⅵↇ ∆
❸
❹
ↇ
❸
ↇ
❹
Equazioni e disequazioni logaritmiche
ᠱᡩᡳᡓᡸᡡᡧᡦᡗ Soluzione Note
Ↄ
f(x) > 0 (esistenza)
〩
Es. log
⡱
⡰
ᠱᡱ. log
⡰
+log
⡰
= 3 si ha:
⡱
a>0 0 < a < 1 a > 1
Ↄ
ↄ
ↄ
Ↄ
ↄ
ↄ
Ↄ
Ↄ
Ↄ
Ↄ
