Algebra e geometria lineare, Appunti di Algebra Lineare e Geometria Analitica

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Assioma o postulato = & UA! ALLecsmorione Accettato. come vera.) mon dirmsnuiniie. Degniztioni ed enuncori SN NAAIATULANO Muri OpgertI A condita guasreid. Ia gi Gditrostiuoto. da oggeti e qroscietà. pia coti Tesi TEs\ Es: Sogeerrto deficito a go) da. vogionometo cun. e xeue l'llemento E Caportiena) all'insieme L'insieme (3 Coonena) Veiermnesto. = «ue voor di oppotti E (con oggoxtiena ). Bue insiemi Soro Uguali Ge e slo Se acotengono gli stessi elementi a=s dio CxeA 0 x6B) (CVsenixegle(VxeB, em) d& (xeno ue) e (eee) ass UP induto, Certe nuto | sRaontiena anse dî ver xe X ASB., mo AT —osi dice inciuso strettamente o prucpciamente ec INSIEHE DELLE PARTI A insieme PA) {x:x ca} es: a= fx} POfa19j Ya genecate PCA) (xe ANBIV (re ANC) ED (xe ANBU CxE ANC) Disnatiriamo il vicaverto (il e e solo sè) PRONOTTO CARTZIANO Dati 2insiemi Ae Bisichiama COPPIA DEDLNATA CAL) 4 simbolo ini GEA e be8. (au b) 4 (by a) Ab > emoate della. cocgia. o cogtàinote. L Peodotto cartesiano Ax 3 è l'inziema ditnite lE anggie Calinate con piro. entro. in A e Seoondo. in 8. AxS= {(ub: ae e 068) Se AxB= BXA = A=8 = Souuiamo alloto A° Dati NE No insiemi Ai, Az. An È aniama. neFial enmugio) , Ca 1az:---10n) N 6 A Ni=zd:...1n -P Aix Aex An SEI (as an-ran) :Gi6ÀA Wi= 42-10] Se Ax= A_N bd Ax... xA_: A nate RELAZIONE “ra A e 8 dun Sotroingicme di AXB sono asma ope ). R weloaione “na Aes db RE Axe R wetorione “role È R- Ax R relazione. Nuoto db R=© o tnse ose gtngrietà. studieremo cortiuioni KHADaiooi LI APPLCARONI O FONUONI 2) RELPRIONI DI GGIAVALENRA È) RELAZIONI D'IOROINE INVEMVA SORETIVA NO INVETTIVA NO SORAERIVA SuINIETA SI MEMVA SD SVETIVA VONTRO MKRAGINE ai SCeB g;A>S L= {xeA [806 S3 È rirgieme deg Cartutii gli) elementi di Ai ne aiciono immagine in s. Possiamo allota SR: .)o Enntietrività come Nye B ix A: xe Q'({33)=/ (3 ne di Dunque peastenini Bi 833) #2 Fiale segreto È $.6 iniettiva asp vgeB_ g' ({aj) 2 PI CE (La) BIETIVA © BIUNIVOca $%:A_> B E bietliva a=D E sia iniettiva che sudettiva vxcA 3' 468: 4=8g(d una YygeB Alxea : 93809); ° hiativa GORE linverso mi ponete di costrIizIXa Un'oppliunai one g': goes OXER : ge g60 R'igeB o g'(wea Lo ossia uno funtione invetsa. “ do go fue A _D —— > A APPLICAZIONE COHPOSTA Aitese due agealicozioni “oli c@2 “Il dominio di una cino. con l'irsiane di comu dell'attivo 4S->T ae:T_—-Z xe S > 44) T Fession caliolorta LD funzione Langosto. gl g)) Si Giona dunque funzione COmMpesta 3°2) l'applicazione qui: xe SP g(e6))cZ Se S7E non esiste Log Se S=Z dunque Y:S—>T ,g:T_»S auoto suT— S Igeg:S-> S Fe 260 gg) Te ST IgoguiT=T Y-ge—g(g04)) 4ineW ne Z gi xeZ—0 x°eN o. IN IN PLM" gli): gin) «Em ntem 3 =" a— aî 20 gGA = L(9GOÌ Le) - eZ 40g=Zz-2 xd x® APPLICA ZIONE IDENTITÀ Doso un insieme S = idis:rxeSoxesS dx La funzione ids ) prende un xeS e assolo UN x stesso Può accadere , @ Lorende Lo uiecstA di due Lunzioni , mi venga. l'identità 8: neZr® n:3eZ gineZ_> n-3ez GL = g(K(NY) » g(n+3) = n+3-3=n =D 908 «ida DEF: Dato £: S-> Tsi dice cha g:T-0 S & IINVERSA di £ d& gofrids € gegridr TUMavia ) per quena l'identità, £ deve esser BeAiva, ; dunque Sia initttiva $&o Sumiettivo.. 4:95 T dll VueTIlxe S: $=£G) Dunque CREZIONI DEF: Y: ST è inverneire dif Jo:T-®S | giveto di £ e dunque good PROPOSI ZIONE L è irmectibile d=0 £ è ieQiuo.. DIKOSTRAZIONE Yp: Linvectibile TA: £é bietiva Supponiarto Che Qi): Le T Per ipotesi £ è icvedtiile, dunoue Ig: qog=ids e gegsidt Essendo g un'applicazione, PoSSIOND applivoxrto. A f(x): #6) = CLN) g(l(2)) (S' iu) simmettiaronione ai (Sia) SÉ Fis. Slinietivo (esiste un applicazione di Sin S' iniettivo) Nr'es' 3 imme vi x* X agi&e auto stesso modo in Sed S' Un insieme con almeno un agesszione intero. si Macro, STRUTURA ALGEBRICA CS Y-d Siimututo. aigelotico, Una stiuttuto. in cui l'opetazione CW) E solo OsSRTIORivo si dniarmo, SEr GRUARO Se x ossociativo ed esiste l'elemento arubuo (Ie neu) ia siattuto Si Aniama. HONOIDE 6 Es: CIN) +) insieme mumeTi AOTUTA LI con Lo Somma, È un Honoide (iN) e) ® moncidi Un insiema Gion un operazione yi Ghiamo GRUPPO | se associativa (È) giuaeco #5) 21 e denso muto 3) WxeG Ire: ira x'ixze COSis siomenekntiuo) . ES: CIN)X) opp (Me) 2 ro prUpRO —? PETANI MON Manno immette (2,5) è grupeo (Nxez 1-xeZ: xuldìs-xaxe 0) notte. ss l'osetarIonI ® cinta Lorrmutogiva =D GRUFFO ABELIBNO A) (GX) guero (GIA ) Yuoeo abeliano 2) * Lommutoziva ES: (7,49 grugpo (G,x grumo (72, von giuppo Fx: 2x=1? NO (@,-) non È gipo Fx: 0-x= 4? NO (@-{0},-) grueco NOTAZIONE ADDITIVA HOLT PU CGTIVA * £ . e Oteo 4 unta x'{simmerico) —x Copper) x Cineto) ANELLO (A)+:") un insieme con 2opevosicni si aniasna anglo din * AC+) giuugpo oceano * + pruodotto È AssOdiativo [enya a l0+0) = albtac ps A ano Ia: a £34 0:09, * dale Ga Frage disnucutiva Ynolbra : A si dice ANELLO UNITARIO A aneuo A si dice ANELLO contturamvo Ed | ab=ba Varo Ci pratotio è LOmmatAziIVO) Se Aa un ansuo cmmUtORiVO ) unitoodo Cod es: Z) ) sì cmiama DOHnIO Ca'integutet ) dî abb=0 = a=0 cp bso AE onello unitario Varo ia'iad:d'a:-4 KC+) grutoco albetione K-{03() guro abetiano Proprieta distibutiva A sì ioma CORSO 5 { KE an cano d& Gorapi noti : GR Abbiamo dunupe cloto le NOtAZIONI di ‘insiemi GOn opeuorioni tutte interna Tirttonia esisiono ondine Operazioni esterna OPERAZIONI ESTERNE associo amxeS Congidetiomo due insierni A,S e un sgetatione dna ad uno coppia (ax) € A XS Mi Ca 7 AxS — axes # POLNOR SONO OReTARIONI esterne costitziono i Folinoni. = Poxtiamo do un oncuo unitosuio (Ayt,:) Prendiamo un Stinicalo » e lo definiamo indeterminato Gramiarmno HONO:LO di giuro NElNil simbolo > 0 x°= 4 = VO polinomio di guado n a coeffiest in a) è una Sorna Lotnoale Ao TO e... + anx® (£otmale indica. dns il Segno + non È UN opeazione ) Oppure ; in Lomo. GOMpamta. ) © Qi L'insicane dei fpdinomi a uoeggicienti in A ) si indio: ACn aio es: A=Z e= -3x%+5x-4 Cla ZQutanx p+q = 2x4 xa UA Fan __ a23° @3>30 biso O +9 = (aos) «(Sat DIA ida + (a3+b3)x3+ (a+ bu) xl CAI], +)é un gruppo alberi Auovio ep la proRuietà camma utativa Vesi : pras +9 " . e= a x qs pa bi x o inò ox Cam) piaga li Catia 10 è usa. tofnma in Ayane È un ansuo = È vanUtozivo Carsidetiamo uno prioguerci die dipende do numui retunali @ sat: {nen: Pon) è ve. } Dira na DE TI ud dia cha PE vedior per n=0 Dire na f se NETIOMITA NTZET "vuol dite ca se Puadie per n atomo © Uale pat +. Dire ha T=IN jvud dive cn PE vero, WVn en ASSIOHA DI INDUZIONE = PRINCIPIO DI INDUZIONE ALKegato Gna Low lo ossUIIONO cha IN esisto, e dimostiiamo è es selivite IN principio. Deginiamo IN Se SE un insiecne di Peoro | cniamiarno (IN=S Td O ite il'eiemento a - 4=> 005) 2= 0-04) sed sucessivo di NOTA se lo indi Mamo "+4" Ogni opta Zone e Kelorione in IN si definisce Tramite i 3 assioni Deginiarno la Sorta GEL induzione T={xesla po] da definice Dedidiamo una ahi Vx = Tosi Fissiono € S \uoglioro deRinine Fry vVyes Poniomo apo Gio se corcscine Cari fa definiamo Supponiamo di concsceTta, cmiamiomo Trsfuesiaragl. M nosiito susco È picvosa cha TEEIN, peroni Lost Vyell 3744 Rx Lor veser? dh TizzIN uso l'induzione , Quindi basta climost: cine OETE)e se ye TE Quo oo ETR. Oetr a i z+0 9 ve pcouni Mo definito 7+0=% Close) sa getTz 1908 IKTY jausto o delinito Z+ 99) +u) ) quindi AK +0%), Goè Mme Tr % pet induttone Tz=iN\co8 VyelNn 3ZR4Y Abbiamo definito xro* x) Ga uvussonde a MEDE. come si La pal come n+4= n+4 000) * ©CA+0) = OCA) Somma n+2= n+ 0970) = n +MN= SCO Lon ii metodo di induzione si dimostitano bugie le progu eri Si dewnisce nem ded Fden:ntd=m eco S<#? cerchi 1° 5+2 SI dedinisce differerao. rta med n, NSMI7i numero doge mensa. 8-6? = 2-62 percihi &= 642 DEF PRODOTTO « induriona nd'io Se WNOSLTA.MO N-mi definiamo n.8 N) n. SCA = mr D = n-Mtn Vediamo Ga n' 250 N-d4e n: OC) = 00% N° 04h =nN RELAZIONI BINARIE Ricrteliiamo Lo del. di rorioni = RE Axe Si deginistono BINARIE ina s8e A=8B Se Lo. coppia (a be Ri) diciamo dna a din relazione don b e soiviamo O.Rb odiviae . ES: IN nRm a=d min a=dig: asma (n è multi di m) 2R5-9? No 2R4-0?-0 NO (Gacndivide 2) = 4R2-?-0S; PROPRIETA * RIFLESSIVA Mae AraRa ES:IN nRm a=pmin è riflessiva 7- si > Vaen naRn=>q0lin MRM 0 nem è riflessiva ? > NO 25 nn (n non pus essa minore di nRm a D a sm € riflessiva ?-> sì -D nen s su5e0) * SIMMETRICA QARb dep bRA ES: IN NRm d=> min non È simmettico. ) pardhà 06 esempio UR2 mo 2RG ARM 0 num non è simmetrico. | pen se n2° to. USV. Tesi. U chiuso +; PP Per definizione di Sottosporio; vale (a “tesi Sggio dia uno delle 3 puopuitts mi dio le alba, e 2=>3 lo. UVEU Vuveb e quel Waek, Vuel PRI. du+ BYE UL WuBek e Yuivel pier ueDr sat 0 Talas vel Ber) ve =. Aveu Jet & Garuso certa SOmma, Tp. «Aiuto cer combinazioni lineasu 3=5 1° Tesi. chiuso per +4 8 assiomi U+V= d'a+ d-vVeLv Sotto. in questo modo alstciarmo una anmbinatione lineoxs on d=g= £ oh a (+0) du + 0 E U 9 È una. Lombinazione lineoxa con B=0 Dimosthuamo oo gli 8 assiomi Aut) + ew) 2) d'usu ,Dusvaveu UG) alurv)=zauran 5)(ag)ve «Cev) 6) (+ BUS XU + BU usono le opevazioni dii Vidungue VALgono O ud - u=sCAUEU -® pewdint È Shiuso VOe10? 01£2 = gue) = UE = ULLus2 EU peroni È ciiue Appare = O UEU 2 QLL - niuso se get lo. Sommo. es: Ww° {a1a+2 laciri dun sonoro ? Q2= Ca at2) vue dine cine fa=0 gore = LE YI so Wro satoep. a+2=0% 2rono è impossioile ES: Va —9 vettori liberi neo Spario we {vee porcate cu un piono] [27 nr giacciono DEW? SI GY LOmplancit =b U+v LomeElERONE = BUN agtospatio FER au compionarei ad u