Algoritmi: Esercizi di Programmazione Strutturata, Appunti di Elementi di Informatica

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Algoritmi

Introduzione

La nozione di algoritmo riguarda qualsiasi campo in cui si possano de- scrivere sequenze di operazioni finalizzate allo svolgimento di un com- pito. In tal senso una ricetta di cucina e un algoritmo eseguibile da un cuoco, uno spartito musicalee un algoritmo eseguibile da un musicista.

Esempio: algoritmo di Euclide per il massimo comun divisore

• Consideriamo il problema del calcolo del massimo comun divisore di due numeri: 1. Siano x e y due numeri. 2. Calcola il resto della divisione di x e y. 3. Se il resto e diverso da zero, ricomincia dal passo 2 utilizzando come x il valore attuale di y e come y il valore del resto, altrimenti prosegui al passo successivo. 4. Il massimo comun divisoree uguale al valore attuale di y.

Osservazioni (1)

• Chiunque sappia comprendere ed eseguire le operazioni pu`o cucinare la pasta con le sarde o calcolare il massimo comun divisore.
• L’esecutore pu`o non conoscere quello che l’algoritmo calcola.
• Un algoritmo `e un insieme ordinato di passi, istruzioni, eseguibili e non ambigui, che definiscono la soluzione di un problema.
• Talune istruzioni manipolano le variabili che rappresentano delle quantita che nell’esecuzione dell’algoritmo possono cambiare valore. L’algoritmo precedente manipola 3 quantita contenute nelle variabili x, y, resto.
• I passi che costituiscono un algoritmo devono essere eseguibili: l’algoritmo deve essere un metodo effettivo. 1. Crea un elenco di tutti i numeri primi. 2. Ordina l’elenco in modo decrescente. 3. Preleva il secondo elemento dall’elenco risultante.

Osservazioni (3)

• E opportuno sottolineare la differenza tra problema, algoritmo che´ lo risolve ed esecuzione dell’algoritmo.
• Un problema non specifica la soluzione.
• Lo stesso problema puo essere risolto da piu algoritmi. Ad esempio, il problema del massimo comun divisore tra due numeri e risolto anche dal seguente algoritmo: 1. Siano x e y due numeri. 2. Calcola il minimo tra x e y e sia z tale valore. 3. Se z divide x e y vai al passo 5. 4. Decrementa z di uno e ricomincia dal passo 3. 5. Il massimo comun divisoree uguale al valore attuale di z.

Problemi, Algoritmi ed Esecuzione dell’Algoritmo (1)

Problema: stabilire se un dato anno `e o meno bisestile

1. Sia A l’anno di cui si vuole stabilire la bisestilit`a.
2. Se A diviso 400 d`a resto zero vai al passo 6.
3. Se A diviso 100 d`a resto zero vai al passo 5.
4. Se A diviso 4 d`a resto zero vai al passo 6.
5. A non `e bisestile, vai al passo 7.
6. A `e bisestile.
7. Fine.

Eseguiamo l’algoritmo per stabilire la bisestilit`a dell’anno 2001: A resto 1 2001 - 2 2001 1 3 2001 1 4 2001 1 5 2001 1 7 2001 1

Problemi, Algoritmi ed Esecuzione dell’Algoritmo (3)

Consideriamo l’algoritmo a pagina 8

• Le istruzioni nelle righe tra 3 e 5 non sono eseguite se si verifica la condizione specificata in riga 2;
• analogamente le istruzioni nelle righe 4 e 5 non sono eseguite se eseguendo l’istruzione in riga 3 la condizione specificata risulta vera;
• questo significa che il costrutto linguistico SE usato nell’algo- ritmo consente di selezionare le istuzioni da eseguire e la selezione avviene in base al verificarsi di una condizione;
• si osservi che abbiamo l’assunzione implicita che le istruzioni si deb- bano eseguire una dopo l’altra a meno che un costrutto linguistico non alteri tale flusso di esecuzione.

Problemi, Algoritmi ed Esecuzione dell’Algoritmo (4)

Problema: dato un numero N, intero e maggiore di uno, calcolare la somma di tutti i suoi divisori.

1. Sia N il numero di cui si vogliono calcolare i divisori;
2. Poni I uguale a 1 e T=0;
3. Se N diviso I d`a resto zero, allora incrementa T del valore presente in I;
4. Incrementa I di uno.
5. Se I*2 minore o uguale a N allora vai al passo 3.
6. Incrementa T del valore presente in N;
7. Fine.

Eseguiamo l’algoritmo per calcolare i divisori di 6 N I T 1 6 - - 2 6 1 0 3 6 1 1 (il resto di N/I e zero) 4 6 2 1 5 6 2 (I*2 ≤ N) 3 6 2 3 (il resto di N/Ie zero) 4 6 3 3

N I T 5 6 3 3 (I2≤ N) 3 6 3 6 (il resto di N/I `e zero) 4 6 4 6 5 6 4 6 (I2 > N) 6 6 4 12 7 6 4 12

Esercizio: Scambio del valore di 2 variabili

Scrivere un algoritmo per scambiare i valori presenti in due variabili A e B.

Esercizio: Il Problema del Vinaio

Un produttore di vino applica le seguenti tariffe:

• acquisti fino a 10 bottiglie: 5 euro l’una;
• acquisti fino a 100 bottiglie: alle prime 10 si applica la tariffa del punto precedente, le restanti vengono vendute a 3 euro l’una;
• acquisti fino a 200 bottiglie: alle prime 100 si applica la tariffa del punto precedente, le restanti vengono vendute a 2 euro l’una;
• acquisti oltre le 200 bottiglie: alle prime 200 si applica la tariffa del punto precedente, le restanti vengono vendute a 1 euro l’una.

Descrivere un algoritmo che dato il numero di bottiglie ne calcoli il costo.

Calcolo degli Interessi

Per un buono postale di V euro viene dato un interesse annuo del 3%. Calcolare il valore del buono dopo 5 anni.

1. Sia V il valore del buono;
2. Poni in B il valore dell’espressione aritmetica V+V0,03; (poni B=V+V0,03)
3. poni C=B+B*0,03;
4. poni D=C+C*0,03;
5. poni E=D+D*0,03;
6. poni F=E+E*0,03;
7. il valore del buono dopo 5 anni `e F.

Questa soluzione e corretta. Si osservi pero che lo stesso schema di ope- razione e ripetuta 5 volte. Se il problema avesse chiesto di calcolare il valore del buono dopo 50 anni seguendo questo schema avremmo scrit- to un algoritmo lunghissimo. Inoltre, prendiamo il seguente problema piu generale:

Calcolo degli Interessi

Dato il valore V di un buono postale e l’interesse annuo I, calcolare il valore del buono dopo X anni.

1. Siano V il valore del buono, I l’interesse e X il numero di anni;
2. poni K=V;
3. poni K=K+K*I;
4. decrementa X di 1; nota: equivale a scrivere X=X-1;
5. se X>0 vai al passo 3;
6. K contiene il valore del buono

o equivalentemente

1. Siano V il valore del buono, I l’interesse e X il numero di anni;
2. poni K=V;
3. per X volte ripeti quanto segue: 3.1. poni K=K+K*I;
4. K contiene il valore del buono

Alcuni Commenti (2)

• Un algoritmo `e caratterizzato da un insieme di istruzioni che permettono di risolvere un problema;
• ha dei dati in ingresso;
• produce risultati in uscita;
• le istruzioni vengono eseguite una dietro l’altra a partire dalla prima;
• talvolta questa sequenza puo essere alterata da due costrutti linguistici: - Selezione, che vincola l’esecuzione di un gruppo di istruzioni alla verita di una condizione - Iterazione, che mentre una condizione `e vera ripete l’esecuzione di un gruppo di istruzioni.

Alcuni Commenti (3)

• Si osservi che nella pratica comune noi eseguiamo le operazioni una dopo l’altra. Talvolta una o piu azioni devono essere eseguite solo in determinate circostanze (selezione) oppure una o piu azioni devono essere eseguite un certo numero di volte (iterazione). Ad esempio:
• durante una telefonata ad un numero verde potremo sentire: “...se volete prenotare un posto per un volo nazionale premete il tasto 1 ed attendete che l’operatore vi risponda, se volete sapere il vostro punteggio 1000 miglia premete 2, attendete il beep poi inserite il vostro pin,...”;
• una prescrizione medica potrebbe riportare “...fino a quando perma- ne lo stato influenzale assumere 1 pastiglia, 1 cucchiaio di sciroppo e bere un bicchiere di acqua e zucchero ogni 8 ore...”.