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DEFINIZIONE DEL CAMPO DI Sia l'insieme delle coppie ordinate dei numeri reali Definiamo su in modo naturale l'operazione di SOMMA E quella di PRODOTTO Si verificano facilmente che la somma e il prodotto verificano le proprietà COMMUTATIVA, ASSOCIATIVA E DISTRIBUTIVA Elemento neutro della somma (0,0) Elemento neutro del prodotto Osserviamo che per ogni (a,b) è possibile definire l'elemento opposto rispetto alla somma (-a , -b) (a,b) + (-a,-b) = (0,0)
mi
pi
a b cd lato^ bad
la b^ c^ d^ lac^ bd^ ad^ ba
flash a b o.o^ a^ b^ 0,0 a^ b
Fab a^ b^ 11,0^ ai^ b
o a o b 1 s a b
Analogamente possiamo introdurre il reciproco di (a,b) che indicheremo con Si verifica che dotato delle operazioni di somma e prodotto cosi definite è un CAMPO che chiameremo CAMPO DEI NUMERI COMPLESSI OSSERVAZIONE A questo punto andiamo a semplificare le notazioni A questo punto quindi analogo ovviamente per il prodotto
Hail 10,
lab^ a^ b labile ahi^ a ahi^ L it h
IB
a d^ bio la b^ o lao (^) bio ab^ o^0 0 ah^0
a c a 0
0,1 10.1 1 0 (^0 1) si UNITÀ^ IMMAGINARIA
è 1
a (^) b I (^) la o i (^) b (^0) a o 0,1 (^) bio a 0 oh i0.0.0 1 b a a o b (^) abok
a b e^ s a ib
a ib le id a te^ e^ i bd
lab^ cd^ fare b^ d
FORMA ALGEBRICA DEI NUMERI COMPLESSI
Esempio: calcolare (scrivere in forma algebrica) Osserviamo che In generale scriviamo: DEFINIZIONE Il COMPLESSO CONIUGATO di un numero complesso z = a + ib è il numero complesso Esempio: calcolare:
(^2 ) di 213 2 si 4
si
2 3 13
2 Ii ahi 4 A A^ Si^4 9
a b^ atbsa b^ as
4 bi b si
b gi ha B
axiblla.it aah^ ER
iii i^ e Zsa il Lyft
lei sei^
si s t si it^ È (^) In
Quest'ultima proprietà ci dice che il prodotto di un numero complesso per il suo coniugato ci da un numero reale, la cui radice quadrata prende il nome di modulo di z. DEFINIZIONE Chiamiamo MODULO DI z il numero Questo perchè Allora il suo modulo coincide col suo valore assoluto RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA SUL PIANO DI GAUSS Il numero complesso z = a + ib può essere rappresentato con il punto di coordinate (a,b) e la rappresentazione avviene nel cosiddetto PIANO DI GAUSS L'asse x è identificato con l'asse reale, l'asse y con l'asse immaginario Ricorda che z-z 0 rappresenta la distanza di z da z 0 i z (^2) ti Za G Z^ E ii (^2 2) E I f iii (^) z z at ib
iv È Z
r (^) zz a (^) b so
121 sai 12 Z z
Se ZEN
con dato. Esso rappresenta nel piano di Gauss la circonferenza di centro z 0 e raggio r. Quindi: rappresenta il cerchio di centro z 0 e raggio r esclusa la circonferenza (bordo) (con ≤ rappresenta tutto il cerchio compreso circonferenza) rappresenta il luogo dei punti di che sono equidistanti da z e z ASSE DEL SEGMENTO che congiunge z e z Esempio : Descrivere e rappresentare nel piano di Gauss l'insieme dei punti z che soddisfano entrambe le disuguaglianze Partiamo da per poi vedere dopo cosa vuol dire col >. Innanzitutto ci riconduciamo alla forma Poi per trovare z 1 : quindi abbiamo raccolto il - 12 2 sn^2066 12 21cm
z zo z z A
o i
2 E^
o i z (^) EC
EC
z 1 7 z ai e la_mi 1 Intersezione
z 1 z vi
2 70 Z^ z Zo (^1) Z 2h (^) Z (^12) it
Zi L
i1z 1ti (^1) I
12 Z^ r
(^12 1) il 1 Z^1 i Cioè con questa uguaglianza ci stiamo chiedendo quali sono i punti nel piano di Gauss che è equidistante da z0 e z Nel caso non avessi capito: per trovare il punto z1 ricordiamo che z=a+ib. Quindi sull'asse cartesiano i numeri reali si trovano sull'asse delle x e i numeri immaginari hanno il coefficente reale che rappresenteremo sull'asse delle y. Quindi per esempio z1 = 2-i a = 2 e b=- La prima disuguaglianza ci sta chiedendo di trovare i punti z che distino da z1 meno che da z0, quindi i punti z che siano più vicini a z1 che a z0. Per quanto riguarda la seconda disuguaglianza
. Rappresenta l'interno di una circonferenza, bordo escluso. Ci riconduciamo a La seconda disuguaglianza invece ci sta chiedendo di trovare i punti z che distino da z 2 meno di 1, ovvero una circonferenza di raggio 1 con la circonferenza esclusa
EQUAZIONI IN CAMPO COMPLESSO Introduzione: Osserviamo il numero complesso 0 ha parte reale e immaginaria uguale a 0 quindi se due numeri complessi sono uguali la loro differenza ha parte reale e immaginaria zero. Nella differenza la parte reale è la differenza delle parti reali e lo stesso le parti immaginarie. Quindi un equazione complessa da origine a due equazioni reali, una prendendo la parte reale e una immaginaria Esempio: risolvere in Forma trigonometrica dei numeri complessi Zoey (^2) IIII.IEI N a B^
22 È bi ma i 6 Pong reali
zaibb.im
Quindi Za rib^ a ib si b ta bi
bel by
Sib (^) resi
gbtbibi.si
abit shish c^ barbe^
1 a't
b'ab (^2 0) b 2
ben
Quindi (^) le soluzioni^ dell'equazionesono
z tti Z^ t ri
b (^) ma satib
i
i (^) i (^10) II a Rea L'asse del segmento è per definizione la retta perpendicolare al segmento z 0 z 1 che passa per il suo punto medio. E ogni punto appartenente all'asse del segmento ha la stessa distanza da z 0 e z1. L'asse del segmento è tratteggiata di nero nel disegno. Quindi se avessi voluto rappresentare |z-1| = |z-2+i| l'asse del segmento era la rappresentazione La prima disuguaglianza |z-1| > |z-2+i| rappresenta la parte di semipiano divisa dall'asse del segmento dove i punti siano più vicini a z1. Ovviamente essendoci > e non ≥ l'asse del segmento non viene preso. Il semipiano preso è colorato di verde La seconda disuaguaglianza rappresenta l'insieme dei punti z che distano da z 2 meno di 1, ovvero una circonferenza di raggio 1. La circonferenza è tratteggiata di blu L'esercizio però mi chiedeva l'intersezione tra le due disuguaglianze, quindi la parte di circonferenza che si trova dal lato del semipiano evidenziato di verde. L'intersezione è arancione Quindi da qui divido l'equazione complessa in due equazioni reali dividendo i termini reali da quelli immaginari Ricorda: |z| è la distanza tra l'origine e il punto z
Esercizio dall'eserciziaro 6.7.2: Scrivere in forma trigonometrica
Z Bi 1
Làa^60
Di a^ E
a ri
(^60) I z (^) UCOII i
sing
lel (^) Fel 2
E 1 ti
Goo^ i Mi e (^0 2700 300 )
Potenze di numeri complessi PROPOSIZIONE Siano due numeri complessi scritti in forma trigonometrica. Allora COROLLARIO (Formula di De Moivre) Se
z t i
positivo 2100 i
_i
Esempio calcolare^ ri
Z
p
caso (^) igino wer coro (^) ising
zu s^ pa costato^ isinlo.iq
E f^ coelo (^) d isin (^) a
w O
Esploso igino^
allora e (^) p casino^ isinino Tornando a sti Scriviamo z p^ i^ in^ forma^ trigonometrica
Z E cos'E^ isinf 2 E^ co^ ftp.isinlf.tt 256
Esempio: Calcolare le radici cubiche di w = i - Scriviamo in forma trigonometrica b
calma cosa
siamo (^) sind μ
MOK 0 211
o
on I^ In^1
Koma Zo E taliche^2 si^1 su z m^3 k^ O
In E
g
n di^1350 Et w.Elc.sk lxieinl i P a
mi
a (^) In K^ 0,
OSSERVAZIONE: Supponiamo di dover risolvere in
zo E^ costi^ isin^ E
E cosette^ isinlf.tt E^ cos^ è t^ isin^ fi z E^ a (^) Esfolianti E cos^ a isin^
In
E g io i miti
i
I
f 2 2 O
A 48 4 O^ Non^ ci^ sono^ soluzioniReali
Adesso risolviamo^ la stessa (^) equazione in
È 22 2 0
A b
2 È
iii
Fu 4 4 costrisina
q
q
Troviamo i punti z0, z1 e z2 innanzitutto sapendo il raggio che è poi vedendo l'angolo dove per esempio z ha angolo π\4 quindi lo troviamo a 45°
