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Panoramica completa sulle funzioni continue: definizione, regole di calcolo, teorema di Bolzano e dei valori intermedi. Presenta esempi pratici, dimostrazioni e esercizi risolti per la comprensione e l'applicazione dei concetti. Include osservazioni sul teorema di Weierstrass, offrendo una guida dettagliata per lo studio delle funzioni continue e delle loro proprietà. Un valido supporto per studenti universitari e appassionati di matematica che desiderano approfondire questo argomento fondamentale dell'analisi matematica. Gli appunti sono strutturati in modo chiaro e conciso, facilitando l'apprendimento.
Tipologia: Appunti
1 / 16
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se
Ix
x
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NOTAZIONE
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Regole
di Calcolo
ROPOSIZIONE
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sottraendo moltiplicando o
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LORENA
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3 possibilità
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Flo
al
ALb
lb
b
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__
fla
f
F
be
restringo
ba
Se abbiamo una funzione continua
f(x) su un intervallo [a,b] e assume dei
valori opposti agli estremi di
quest’ultimo ( f(a) f(b) <0 ) allora la
funzione f(x) ammette uno zero
all’interno dell’intervallo [a,b] ossia
esiste un punto c tale che f(c)=0.
Dato che il valore della
funzione in [(a+b)/2] è
positivo e in a è negativo,
allora restringiamo il
nostro campo di ricerca e
prendiamo in questo
nuovo intervallo.
bi
a
bio
F
AL
b
be b
an
be
cercola
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bi an b
29
amiamo
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b
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Fn
bn Un
bn an
big
un
22
ho
d
a s
b
b b
Si costruiscono così degli
intervalli in scatolati in cui
quello “nuovo” è
contenuto in quello
precedente
Notiamo che ogni volta che
faccio questo passaggio,
cambiando gli estremi
dell’intervallo, il nuovo
intervallo sarà la metà del
primo. Questi intervalli (per
n grande) diventano sempre
più piccoli, la distanza tra gli
estremi si restringe (*).
0in
b
Ian
c
big
se devo
determinare e a meno di un errore E prefissato basta
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numero di iterazioni nn
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E
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3
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x
8
la
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en
o
O
ci
fa
r
b
I
Se una funzione continua
in un intervallo a,b
assume 2 valori distinti
nell’intervallo, allora
assumerà tutti i valori tra
essi compresi.
l 10 11 Fel 10
13
E l IR
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g
l
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g
1
g
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CALCOLO
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μ
checorrispondono
a
un valore
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“La funzione normalmente dovrebbe avere
il punto di max solo che non è preso da
nessuna x nell’intervallo”
“Il punto di minimo verrebbe assunto qua
nell’estremo a, solo che non c’è. Se
esistesse, farebbe parte dell’insieme, ma
in questo caso non fa parte di
quest’ultimo.”
Metodo di calcolo di estrema importanza.
Parte da un problema i natura geometrica. I matematici si posero il
problema di trovare in un punto di una curva, la retta tangente (retta
“aderente” alla curva”, quindi che taglia la curva in un punto solo.
Le curve che prenderemo in considerazione sono
curve di grafici di funzione ossia curve in cui a ogni
valore dell’ascissa corrisponde UN SOLO valore
dell’ordinata
