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1
QUANTIFICATORI
OSSERVAZIONE. Dato un predicato P(x) con x appartenente ad
un certo insieme X , puo interessare sapere se P(x)e vera per tutti
gli elementi x di quell’insieme, oppure se esiste almeno un
elemento x di X per cui P(x) `e vera.
Si introducono i quantificatori.
quantificatore universale:
8 x, P(x) si legge per ogni x vale P(x)
quantificatore esistenziale:
9 x, P(x) si legge
esiste almeno un x per cui vale P(x)
9! x, P(x) si legge
esiste un unico x per cui vale P(x)
Nozioni di base elementi-di-base.pdf 14
8 x, P(x)
9 x, P(x)
9! x, P(x)
sono proposizioni logiche e
possono assumere valore vero o falso.
Es. Sia x 2 N, definisco P(x)=’x `e un numero primo’.
8 x, P(x)=’ogni numero naturale e primo’e FALSA
9 x, P(x)=’esiste almeno un numero naturale primo’ `e VERA
9! x, P(x)=’esiste un unico numero naturale primo’ `e FALSA
Nozioni di base elementi-di-base.pdf 15
INTRODUZIONE
ANALISI MATEMATICA
3
UN ALTRO CONNETTIVO LOGICO
L’implicazione: P ) Q (si legge P implica Q).
(P implica Q) e una proposizione Falsa solo se Pe Vera e Q `e
Falsa, Vera in tutti gli altri casi (si esclude che da una premessa
Vera si possa ottenere una conclusione Falsa).
Es.
Sono iscritto all’universita, allora ho superato l’esame di maturita
P ) Q
Nozioni di base elementi-di-base.pdf 18
Condizione necessaria, condizione su ciente
Nella scrittura P implica Q, si dice che P `e condizione
su ciente per Q e Q `e condizione necessaria per P.
Es. Sono iscritto all’universit`a, allora ho superato l’esame di
maturit`a.
Il fatto che io sia iscritto all’universitae condizione su ciente a
garantire che io abbia superato l’esame di maturit`a.
Il fatto che io abbia superato l’esame di maturitae condizione
necessaria (cioee una conseguenza) al fatto che io sia iscritto
all’universit`a.
Attenzione che se `e vero che P ) Q, NON
` E DETTO che sia
automaticamente vero che Q ) P.
Riprendiamo l’esempio di prima:
il fatto che io abbia superato l’esame di maturit`a non implica che
io sia iscritto all’universit`a.
Nozioni di base elementi-di-base.pdf 19
4 GLI INSIEMI NUMERICI
Numeri naturali: N = { 0 , 1 , 2 , 3 , .....}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
operazioni interne (il risultato sta in N): somma e prodotto
propriet`a: commutativa n 1
= n 2
e n 1
· n 2
= n 2
· n 1
associativa (n 1
) + n 3
= n 1
) e
(n 1
· n 2
) · n 3
= n 1
· (n 2
· n 3
)
distributiva n 1
· (n 2
) = n 1
· n 2
· n 3
N
= N \ { 0 } = {n 2 N : n > 0 }
Numeri interi: Z = { 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , .....}
operazioni interne: somma, prodotto e sottrazione
Z
= {z 2 Z : z > 0 }
− 4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 4 5
Insiemi numerici elementi-di-base.pdf 22
Numeri razionali: Q = {r = p/q, p 2 Z, q 2 N
}
operazioni interne: somma, prodotto, sottrazione e divisione per un
numero non nullo.
−3/4 P=5/
Un numero razionale ha una rappresentazione decimale limitata, le
cifre dopo la virgola sono nulle da un certo punto in poi oppure, da
un certo punto in poi, si ripetono periodicamente infinite volte.
Es. r = 351 .4500 = 351 .45, s = 12.234343434 = 12. 2 34.
In Q tutte le operazioni artimetiche elementari sono interne, ma
esistono dei numeri che non sono razionali, es.
p
2, ⇡, .....
Insiemi numerici elementi-di-base.pdf 23
6
I numeri reali
Numeri reali: R = { tutti i numeri decimali razionali e irrazionali
(ovvero con infinite cifre dopo la virgola non periodici)}
Esempi di numeri irrazionali:
⇡ = 3. 1415 ...., e = 2. 71828 ....,
p
2 = 1. 4142 ....
operazioni interne: somma, prodotto, sottrazione e divisione per un
numero non nullo.
Oss. L’insieme dei numeri reali `e identificato con una retta: ogni
punto della retta `e associato ad uno ed un solo numero reale.
0 R
Si hanno le inclusioni:
N ⇢ Z ⇢ Q ⇢ R.
La necessita di utilizzare numeri irrazionali risale all’antichit^ I numeri reali^ elementi-di-base.pdfa:^24
5
N ⇢ Z ⇢ Q ⇢ R.
La necessita di utilizzare numeri irrazionali risale all’antichit^ I numeri reali^ elementi-di-base.pdfa:^24
- per esprimere la lunghezza d della diagonale di un quadrato in
funzione della lunghezza ` del lato del quadrato:
Teorema di Pitagora:
d
2
= `
2
2
= 2`
2
d
`
`
Questo significa che 9 p| p
2
= 2.
Ovvero: d
2
= 2`
2
= p
2
`
2
, e quindi d
2
= (p`)
2
, cio`e
d = p` e p =
p
- per esprimere la lunghezza c della circonferenza in funzione della
lunghezza r del raggio: c = 2⇡r.
PROBLEMA: Come faccio ad a↵ermare che p =
p
2 62 Q?
I numeri reali elementi-di-base.pdf 25
7
Teorema. Se il numero positivo p soddisfa p
2
= 2, allora p =
p
2
non `e razionale.
Dimostrazione
L’ipotesi `e P=’il numero positivo p soddisfa p
2 = 2’,
la tesi `e Q=’p =
p
2 non `e razionale’.
Usiamo la dimostrazione per assurdo P ^ ¬Q ) R ^ ¬R.
All’ipotesi P aggiungiamo l’ipotesi ¬Q=’p `e razionale’.
Per dimostrare il teorema devo dimostrare che esiste una
proposizione R che `e contemporaneamente VERA e FALSA.
Per definizione dei numeri razionali posso scrivere p = m/n dove
m, n 2 N
con m e n primi fra loro.
R=’m e n sono primi fra loro’.
Devo dimostrare che vale ¬R=’m e n NON sono primi fra loro’.
I numeri reali elementi-di-base.pdf 26
Elevando al quadrato p = m/n si ha 2 = p
2
= m
2
/n
2
, ovvero
m
2 = 2 n
2 .
Qualunque sia n, m
2
e pari, quindi anche me pari,
ovvero posso scrivere m = 2k, con k 2 N.
Di conseguenza l’uguaglianza m
2
= 2 n
2
diventa (2k)
2
= 2n
2
,
ovvero 4k
2 = 2n
2 , ovvero 2k
2 = n
2 .
Per lo stesso ragionamento, confrontando k e n nell’uguaglianza
2 k
2
= n
2
, si ha che anche n `e pari.
Ho dimostrato che m e n NON sono primi tra loro, ovvero vale
¬R, e questo equivale ad aver dimostrato che P ) Q.
⇤
7
La relazione d’ordine
0
0
interagisce con le operazioni algebriche di
somma e prodotto:
se x y e 8 z 2 R, allora x + z y + z
noto come Primo principio di equivalenza delle disequazioni
e
se x y e se
⇢
z 0 allora x · z y · z
z < 0 allora x · z y · z
noto come Secondo principio di equivalenza delle disequazioni
I numeri reali elementi-di-base.pdf 30
- Q `e denso in R
ovvero: Tra due numeri reali qualsiasi esistono infiniti numeri
razionali
Es. Consideriamo i numeri reali
⇡ = 3. 1415926535897932384626433832785 ....
x = 3. 1415926535897932384726433832785 ....
I numeri
141592653589793238463
141592653589793238464
. .
.
- 141592653589793238471
sono tutti razionali (hanno rappresentazione decimale finita), ma
anche
1415926535897932384631 , 3. 1415926535897932384632 , ...
1415926535897932384639 , ..., 3. 1415926535897932384709
sono tutti razionali, ecc.
I numeri reali elementi-di-base.pdf 31
10
- La completezza di R
Definizione. Due sottoinsiemi C 1
, C 2
⇢ R disgiunti
(C 1
\ C 2
= ;), tali che C 1
[ C 2
= R e tali che ogni elemento di C 1
sia minore di ogni elemento di C 2
sono detti/dette classi contigue.
C 1
C 2
R
(Geometricamente, due classi contigue in R sono due semirette
con la stessa origine)
8
con la stessa origine)
I numeri reali elementi-di-base.pdf 32
- La completezza di R
L’insieme dei numeri reali R `e completo ovvero verifica la seguente
propriet`a detta Assioma di completezza o Assioma di Dedekind.
Assioma di Dedekind. Siano C 1
, C 2
⇢ R due classi contigue,
allora 9 !s 2 R :
x 1
s x 2
8 x 1
2 C 1
, 8 x 2
2 C 2
.
C 1
C 2
R
s
Def. s viene detto elemento separatore delle classi.
I numeri reali elementi-di-base.pdf 33
11
C 1
C 2
R
s
Geometricamente, la completezza significa che ovunque io tagli in
due la retta reale R, il punto di confine s tra le due semirette
rappresenta un (!) numero reale. La retta R `e un continuo di
punti. Al contrario Q non e rappresentabile con una retta, perch´ee
un sottoinsieme infinito, ma con lacune.
R = Q [ (R \ Q)
reali = razionali [ irrazionali
Sia Q che (R \ Q) sono densi in R.
I numeri reali elementi-di-base.pdf 34
Modulo o ”valore assoluto”
Dato x 2 R definiamo modulo o valore assoluto di x il numero
reale positivo
|x| =
⇢
x se x 0
x se x < 0
Es. | 5 | e 5. | 2. 34 |e 2. 34
Dal punto di vista geometrico |x| rappresenta la distanza di x da 0.
-r 0
r
| r | |r |
Analogamente, 8 x, y 2 R, vale |x y | = |y x| e |x y |
rappresenta la distanza tra x e y.
N.B. Una distanza `e sempre un numero reale positivo.
I numeri reali elementi-di-base.pdf 35
10
Maggioranti di un insieme
Def. Sia A ⇢ R. Diciamo che un numero b 2 R `e un maggiorante
di A se e maggiore o uguale di ogni elemento di A, cioe:
b x, 8 x 2 A.
A b R
Es. A = {x 2 R| 1 x < 1 }. b = 1, b = 5, b = 1000 sono
maggioranti di A. Qualunque b 1 `e maggiorante di A.
-1 A 1 5 R
Es. A = [ 1 , 1) [ { 2 }. Tutti i b 2 sono maggioranti di A,
b = 1.6 non `e maggiorante di A.
-1 A 1 2 5 R
I numeri reali elementi-di-base.pdf 40
Insiemi superiormente limitati
I numeri reali elementi-di-base.pdf 41
Def. Sia A ⇥ R. Diciamo che A ` e superiormente limitato se
ammette dei ma gg
ioranti.
Es. A = {
x (^) ⇤ R |
x < 1 }
` e su p
eriormente limitato.
A = [
1 , 1 )
⇧ {
2 }
` e su p
eriormente limitato.
A = {
x (^) ⇤ R |
x > 1 }
NON ` e su p
eriormente limitato, non ammette
gg
ma ioranti.
Minoranti di un insieme
Def. Sia A ⇢ R. Diciamo che un numero a 2 R `e un minorante
di A se e minore o uguale di ogni elemento di A, cioe:
a x, 8 x 2 A.
R
a A 1
Es. A = {x 2 R| 1 x < 1 }. a = 1, a = 3 , 5, a = 100
sono minoranti di A. Qualunque a 1 `e minorante di A.
-3 -
R
A 1
Es. A = [ 1 , 1) [ { 2 }. Qualunque a 1 `e minorante di A.
I numeri reali elementi-di-base.pdf 42
Insiemi inferiormente limitati
Def. Sia A ⇢ R. Diciamo che A `e inferiormente limitato se
ammette minoranti.
Es. A = [ 1 , 1) [ { 2 }. A `e inferiormente limitato.
Es. A = ( 1, 1). A `e superiormente limitato, ma non
inferiormente limitato: tutti i numeri reali x 1 sono maggioranti
di A, mentre non esistono minoranti di A.
Es. N ⇢ R `e inferiormente limitato, ma non superiormente.
Qualunque a 0 `e un minorante di N, ma:
non esiste b 2 R maggiorante di N. Propriet`a di Archimede
(Si enuncia anche cos`ı: 8 x, y 2 R
9 n 2 N : ny > x)
I numeri reali elementi-di-base.pdf 43
13
Estremo inferiore di un insieme
Sia A ⇢ R inferiormente limitato. Chiamiamo estremo inferiore
di A il pi`u grande dei minoranti di A e lo denotiamo con inf A.
Proprieta. Se 9 min A allora 9 inf A e inf A = min A. Tuttavia puo
esistere inf A senza che esista min A.
Es. A = (
p
p
2], inf A =
p
2, ma 69 min A.
Se un insieme non `e inferiormente limitato, diciamo che
inf A =
I numeri reali elementi-di-base.pdf 48
x
sup(A)
A
r
I numeri reali elementi-di-base.pdf 49
16
r
Caratterizzazione
matematica del sup
Caratteriazzazione matematica
dell’inf.
inf(A)
x
L’inf A è caratterizzato
dalle seguenti condizioni:
1 ) ∀x ∈ A, x ≥ inf A
2 ) ∀r ∈ ℝ, r > inf A, ∃x ∈A| x < r
Ovvero inf A è il più grande
dei minoranti di A, perchè un
qualsiasi altro numero reale r
maggiore di inf A non è più
minorante di A
Il sup A è caratterizzato
dalle seguenti condizioni:
1 ) ∀r ∈ A, x ≤sup A
2 ) ∀r ∈ ℝ, r< sup A, ∃x ∈A| x>r
ovvero sup A è il più piccolo
dei maggioranti di A, perchè
un qualsiasi altro numero
reale r minore di sup A non è
più maggiorante di A.
Estremo inferiore di un insieme
Sia A ⇢ R inferiormente limitato. Chiamiamo estremo inferiore
di A il pi`u grande dei minoranti di A e lo denotiamo con inf A.
Proprieta. Se 9 min A allora 9 inf A e inf A = min A. Tuttavia puo
esistere inf A senza che esista min A.
Es. A = (
p
p
2], inf A =
p
2, ma 69 min A.
Se un insieme non `e inferiormente limitato, diciamo che
inf A =
I numeri reali elementi-di-base.pdf 48
x
sup(A)
A r
I numeri reali elementi-di-base.pdf 49
| (^) |
r
Caratterizzazione
matematica del sup
Caratteriazzazione matematica
dell’inf.
inf(A)
x
L’inf A è caratterizzato
dalle seguenti condizioni:
1 ) ∀x ∈ A, x ≥ inf A
2 ) ∀r ∈ ℝ, r > inf A, ∃x ∈A| x < r
Ovvero inf A è il più grande
dei minoranti di A, perchè un
qualsiasi altro numero reale r
maggiore di inf A non è più
minorante di A
Il sup A è caratterizzato
dalle seguenti condizioni:
1 ) ∀r ∈ A, x ≤sup A
2 ) ∀r ∈ ℝ, r< sup A, ∃x ∈A| x>r
ovvero sup A è il più piccolo
dei maggioranti di A, perchè
un qualsiasi altro numero
reale r minore di sup A non è
più maggiorante di A.
FUNZIONI FUNZIONI
Siano X e Y due insiemi.
X
x
Y
y = f (x)
Es. Siano X = R, Y = R e f : x 7! y =
x
(ad un numero reale
associo il suo inverso).
x 4
p
2 2 / 3 ... e ... 0
y = 1/x 1 / 4 1 /
p
2 3 / 2 ... 1 /e ...?
Funzioni funzioni.pdf 1
DEF. Una funzione f definita in X a valori in Y ` e una
corris p
ondenza (
una le gg
e )
che associa ad o g
ni elemento x (^) X al
p
i` u un elemento y in Y.
DEF. L’insieme Y ` e detto codominio di f
f : dom(f ) ✓ X! Y.
dom(f )
X
y = f (x)
Y
x
N.B. dom(f ) `e l’insieme degli x 2 X per i quali la corrispondente y
sta in Y.
Es. f (x) = 1/x con X = Y = R. Se x 6 = 0 ) y = 1/x 2 R
MA
2 R, QUINDI dom(f ) = R \ { 0 } = ( 1, 0) [ (0, + 1 ).
Oss. 8 x 2 dom(f ), f associa ad x uno e un solo elemento y 2 Y.
Funzioni funzioni.pdf 2
Def. L’insieme de g
li x (^) ⇥ X a cui f associa uno e un solo elemento
y (^) ⇥ Y ` e detto dominio di f e si indica con dom (
f )
. Si ha
dom (
f )
X e si scrive:
18
16
Def. L’insieme
G (f ) = {(x, y )| x 2 dom(f ), e y = f (x) 2 im(f )} ⇢ X ⇥ Y
`e detto grafico di f.
Es. f (x) = 1/x con X = Y = R.
X ⇥ Y = R ⇥ R = R
2
= piano cartesiano.
G (f ) = {(x, y ) 2 R
2
: y = 1/x}
− 6 − 4 − 2 0 2 4 6
− 6
− 4
− 2
2
4
6
x
y
Funzioni funzioni.pdf 5
Def. Una funzione si dice reale se Y = R.
Def. Una funzione si dice a variabile reale se X = R.
Il grafico di una funzione reale a variabile reale `e l’insieme dei punti
(x, y ) del piano cartesiano tali che y = f (x).
Es. f : R! R: f (x) = x
2
y
Funzioni funzioni.pdf 6
y =x
2
0 1 2 x
22
Esempi di grafici
A sinistra `e rappresentato il grafico di una funzione y = f (x):
ad una x corrisponde un solo punto del grafico e quindi una ed una
sola y = f (x)
y = f (x)
x
x x x
y y
Il grafico a destra non pu`o rappresentare una funzione y = f (x),
in quanto esistono delle x a cui corrispondono 2 o 3 punti del
grafico e quindi 2 o 3 y di↵erenti, e ci`o contraddice la definizione
di funzione f : x 7! y = f (x)
Funzioni funzioni.pdf 7
17
grafico e quindi 2 o 3 y di↵erenti, e ci`o contraddice la definizione
di funzione f : x 7! y = f (x)
Funzioni funzioni.pdf 7
Controimmagine
Def. Sia y 2 Y , la controimmagine di y attraverso f `e l’insieme
f
1
(y ) = {x 2 dom(f ) : f (x) = y } ✓ dom(f ).
Es. Considerando la funzione di prima f (x) =
x
, la
controimmagine del valore y = 3 `e
f
1
(3) = {x 2 R \ { 0 } : 1 /x = 3} = { 1 / 3 }
La controimmagine di y = 0 `e
f
1
(0) = {x 2 R \ { 0 } : 1 /x = 0} = ;
Non c’`e alcun valore reale x tale che 1/x = 0.
Funzioni funzioni.pdf 8
23
Es. f : R! R, f (x) = x
2
,
dom(f ) = R, im(f ) = {x 2 R : x 0 } = [0, + 1 ).
? f
1
(4)
y
1
y = f (x)
x x
2
x
1
y
f
1
(4) = {x 2 R : x
2
= 4} = { 2 , 2 }
Funzioni funzioni.pdf 9
f suriettiva
Def. Una funzione si dice suriettiva se im(f ) = Y , ovvero se ogni
elemento di Y ha per controimmagine un insieme non vuoto,
ovvero ogni elemento di Y `e l’immagine di almeno un elemento di
dom(f ).
Esempi
y = f (x)
x
1
x
2
x
3
y
y
1
x
SURIETTIVA:
im(f ) = Y = R
y y = f (x)
y
1
x
NON SURIETTIVA:
im(f ) = R
[ { 0 }, Y = R
Funzioni funzioni.pdf 10
19
Funzione inversa
Sia D = dom(f ) ✓ R. Considero una funzione f : D! im(f )
(quindi suriettiva).
Def. Se una funzione f `e iniettiva sul suo dominio, possiamo
costruire una funzione che ad ogni elemento y 2 im(f ) associa
l’unico elemento x dell’insieme controimmagine.
x
f
1
y = f (x)
f
y = f (x)
y
y 2
y 1 = f (x 1 )
x 1
x 2
= f
1 (y 2
)
x
Tale funzione `e detta funzione inversa di f , viene indicata con f
1
Funzioni funzioni.pdf 13
Funzione inversa
dom(f
1
) = im(f ), im(f
1
) = dom(f )
Grafico della funzione inversa
y = x
y
x
im(f )=dom(f
1
)
y = f
1
(x)
y = x
y = f (x)
im(f )
y
x dom(f )
dom(f )=im(f
1
)
Funzioni funzioni.pdf 14
Funzioni funzioni.pdf 17
Funzioni matematiche elementari
Funzioni polinomiali e razionali
retta: y = f (x) = mx + q, con m, q 2 R assegnati.
parabola: y = f (x) = ax
2
- bx + c, con a, b, c 2 R assegnati.
cubica: y = f (x) = ax
3
2
- cx + d, con a, b, c, d 2 R
assegnati.
razionale: y = f (x) = 1/x, y = f (x) =
3 x+
x
2 4
Funzioni trigonometriche
seno: y = sin(x) coseno: y = cos(x)
tangente: y = tg (x) cotangente: y = cotg (x),...
Funzioni trascendenti
esponenzionale: y = a
x
, con a 2 R
logaritmo: y = log a
(x), con a 2 R
\ { 1 }
caso particolare: a = e = 2. 718281828459 ... (Numero di Nepero)
Funzioni irrazionali
radice: y =
p
(x), y =
3
p
(x)...
Funzioni funzioni.pdf 22
28
Funzioni polinomiali
Una funzione si dice polinomiale se `e del tipo
f (x) = a n
x
n
x
n 1
+... + a 2
x
2
x + a 0
ovvero `e un polinomio nella variabile x. I coe cienti a i
, con
i = 0,... , n sono reali. n `e detto grado del polinomio.
Dominio: 8 x 2 R, e a i
2 R, l’espressione
a n
x
n
x
n 1
+... + a 2
x
2
x + a 0
`e ancora un numero
reale. Quindi dom(f ) = R.
Si definiscono radici o zeri di un
polinomio i valori di x 2 R tali
per cui f (x) = 0, ovvero sono
le intersezioni tra il grafico di
f (x) e l’asse delle ascisse:
y
x
y = f (x)
Classificazione funzioni funzioni.pdf 23 Funzioni razionali
Una funzione si dice razionale (o fratta) se `e il rapporto di due
polinomi:
f (x) =
a n
x
n
x
n 1 +... + a 2
x
2
x + a 0
b m
x
m
x
m 1 +... + b 2
x
2
x + b 0
