Applicazioni
lineari,
autovalori e
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Applicazioni lineari, Sintesi del corso di Geometria
Applicazioni lineari: definizione, nucleo e immagine, teorema del rango, matrice associata ad un'applicazione lineare. Enunciato Rouchè-Capelli. Autovalori ed Autovettori: proprietà generali , polinomio caratteristico, diagonalizzazione.
Tipologia: Sintesi del corso
2021/2022
1 / 12
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Applicazioni
lineari,
autovalori e
autovettori
Funzioni tra spazi vettoriali
maggio
2023
Considerazioni
generali
Una
funzione
f:
U-w éuna legge
che associa ad
ogni
elemento
èdi
un sottoinsieme
e di
V,
detto dominio
dif
ed indicato con
x =
domf
un elemento f(x)
e W.
La totalità
degli
element: f(x)-w,
se variare
di in
domf,
si
dice
l'immagine
difesi
indica con imo.
Se Bé
um sottoinsieme
di
W,
con f"(B)
si indica la totalità
degli
elementi xe
dome
tali che
f(x)eB;f-(B)
si dice la
contro immagine
di
B in
L.
In
particolare,
se y-Ws:haf"(y)
=
{x-domf,
f(x)
=
y3.
La
funzione
f:
V-W si dice:
iniettiva se x +x
f(x)
f(x));
suriettiva se
imf
=
w;
bijettiva
se éiniettiva e surriettiva.
Se
o
è
iniettive,
la
funzione
che ad ogni
yeimfcw
associa
l'unic
elemento
xedomy
t.c. y
=
f(x)
si
dice la
funzione
inversa
dif
e si
indica conf. w
-v;
ovviamente
domlf-l=imf.
Sedomf
=
V,
o
si dice un
applicazione
di U in w.
maggio
2023
Nucleo
e
immagine
di un applicazione
lineare
sia
o
un'applicazione
lineate diVin w.
Def:
Ye
nucleo
dif,
kerf,
é il sottoinsieme deivettori Xer t.c.
f(x)
=
0w,
ossia
Kerf=
f"Cow
Teorema:Le
nucleo di
f
èun
sottospazio
di V.
contiene almeno in vetture or
Bisognaquindi
dimostrare che
1) Se
x,xEkerd,
anche x
xeker
Sex e
kerf,
anche
Axekerf,
fel
Difatti
sex, x'Ekerf significa
che
f(x)
= 0w, f(x)
=
0m
e
quindi
f(x
x)
=
f(x)
f(x)
= 0
che
prove
era).
Analogamente,
setekerf,
poiché
si haf(xx)
=
xf(x)
=
x0w
= ow
segue
la
Def:
Se it
nucleo
dell'applicazione
lineare
o
ha dimensione
finita,
tale
dimensione si dice lanullità
di
f.
Teorema:due vettor: ,
xEl hanno
la stessa
immagine
in un'applica
zione lineare
f:
V ->w se e
solo sex-xeterf.
Pertanto
o
e
invettive se e solo se kerf:{0r.
f(x)
=
f(x)
f(x)
f(x)
=
f(x
x)
0w e
quindi
x
xEkerf.
Viceversa se x-x-
Kerf
->
f(x-x)
= 0w
f(x
x)
=
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
=
0
f(x))
=
f(x)
Teorema:
l'immagine
di
un'applicazione
lineare
f.
xweam
sottospazio
diw.
ymf
=
(zew15x
-conf(x)
=
z
codominio
y
=
f(x)
y
=
f(x)
con x,
xcV
y
y
=
f(x)
f(x)
=
f(x
x)cymf
dy
=
xf(x)
= f(,x)
maggio
2023
Def: Un'applicazione
lineare
of:
V->w
bijettiva,
cioét.c.
Kerf:on, imf=
w
si dice
isomorfismo
diUsu W.
Due
sottospazi
vettorialisono
isomorfi
se esiste
un iso
morfismo
tra essi.
Teorema del
range
Se
U hadimensione
finita
ned
f
é
un'applicazione
lineare di in
W, kerf
ed
imf
some
sottospazi rispettivamente
di
Vew
di
dimensione finita
e risulta
dim
(erf)+dim
(imf)
= dim
Dim:data
la base B9e., en, ...,
en
diV,
um vettore qualsiasi
xEU s
puo
scrivere come x
= x, e, +xzezt
...
Xu en e
quindi
si ha
f(x)
= f(x,e,
xe
...
x2n)
=
x,f(e,)
xf(e)
...
xnf(en)
Si
distinguono
3 casi:
~Kerf:
9003->: vettori
f
(e.),..., fcea)
sono linearmente
indipendenti,
dunque
l'immagine
ha
dimensione coincidente con
quella
dello
spazio
V
dim(imf)
= dim V
2
Kerf
=
V
-> in
questo
caso f
è l'applicazione nulla e
Ymf
=
{0w3,
dunque
dim(Kerf)=
dim V
3
Caso
generale
Sia
Su.....,
a
una base di
Kerf
e sia [V,, ..., Up una base di
Ymf
dove ocqan.
Si deve dimostrare che
p+p=n.
Poiché
V.,
..., Up
elmo,
esistono p
vettori
w.,..., WptU
t.c.
f(w,)
=
r.,...,f(wp)
=
vp.
Dobbiamo
quindi
dimostrare che
i
vettori Sa ,...., mq,w,....,
was
costituisco
no una base di
V.
maggio
2023
Matrice associatoad un
applicazione
lineare
tra
spazi
di
dimensione
finita
Siamo
V,
due
spazi
vettoriali alk di dimensione n,
m e sia
o
un'applicazione
lineare di Vin
Wf:U-w.
Fassate
le basi B
=
den,
en,
...
e
dive Bi=
dei, e, ...
e
si
part
associare ad
of
una matrice A = M(f)E1km." che
rappresenta
o
rispetto
alle due basi.
Sia
x = x,2, +xilz+ ...+ Xen un elemento
qualsiasi
diV, per
la linearità di
I
risulta:
f(x)
=
x,f(e,)
x
zf(e))
...
xnf(en)
Posto
f(e,)
=
ae,
az, ect...
am,
e'n ossia
in
generale:
S
flei)
=
dize, azzect...
Omn e'm
f(ei)
=
a,je!
= 1,2,...,n)
! "
f(en)
=
aine!,
azne'
+...
amn e'n ove:numeri
dij
e K.
Si
dice matrice associata ad
f, rispette
alle
basi B,
B
la matrice
A
=
M(y)
=
a a re
in cui
gli
elementi della j-esima
I
I
colonna
(j
=
... ,n) sono
le
componenti
di f(ei) rispetto
alle bese
B'di
W.
Sia
y
=
f(x)
it rettore di
immagine
del vettore
I di di
componenti
In,
Xa,
...,
Xa)
rispetto
a B;
dette
(y,
yz,
...,
qul
te
componenti diy
=
f(x)
rispetto
a
B',
sostituendo nel sistema otteniamo:
Y,
= ax,
dizxz +...
din Xn
S
e
di,
dankat...
azuXn
cioè le
componenti
del vettore
f(x)
rispetto
alla base B' sono
polinomi
diso
ym
=
amix,
am2 xct ...
ammu grado
nelle
variabili,
X, ...,
ub,
che
sono
le
componenti
di
rispetto
a
B;
i
coefficienti
ditale
polinomi
sono ordinatamente
i numeri che
figurano
nelle
righe
della matrice.
-(i)
(
Termini
matricialiy
=
AK
maggio
2023
Enunciato Rouché
Capelli
Dato
un sistema lineare di m
equazioni
in n
incognite
arx,
t
azzt
...
a.
Xn
=
b,
X, +0zz X2+...
dnXn
=
bz
S
matrice dei
amix,
amzXz...
AmnXn
=
bm
coefficienti
matrice
a
I completa
La
matrice associata al sistema sará:
&i, ↑
02,
A
I :
I
(A(b) b
=
I
:
Omi
Siano I
il
rango
di A e s'il
rango
diAlbenie numero
di
incognite,
allora:
Se
I' it sistema
non
ha
soluzioni
incompatibile;
Se I
= 0
=
n alloraho
piP
soluzioni,
ovvero
quindi
no una
soluzione;
Se n I
=
l'altora 20ch-p
soluzioni,
con ep
parametri
liberi.
5
maggio
L'equazione
caratteristica
Sia
o
un
endomorfismo
su uno
spazio
V didimensione
finita
su Ik.
Sie A:
(ais)-21K" la
matrice che
rappresentao rispetto
ad una base
B = 5e,en,....en diV.
Un
vettore E = x, e,
Xzezt...
Anen é un autovettore di
o
relativo all'
autolavore I Elk
se le sue
componenti,
non tutte
nulle,
soddisfano
al
sistema lineare &x,
a,zxz
...
anxn
=
dX,
&, x,
azz X
...
b2nxn
=
xyz
componenti
di
f(x)
S
............
componenti
di XX
①n. X, +anzz...
dunk
=
1Xn
Questo sistema si
può
anche scrivere come
(a,
x)x,
0,2 x)
...
0,nxn
= 0
S
ax,
an
d)x+...
danx
= 0
-> scritto in
forma
compatta
... ... ...
(A
xI)
x = 0
an,
X,
anzz
... + (ann
x) Xn
= 0
Perchéil sistema lineare
omogeneo
din
equazioni
nelle n
incognite
X,
...,
Xal abbia
soluzioninon
mille,
deve essere
a
xa..... an
det(A
xI)
=
azi 0kzz-1...
den
= 0
... ... ... ...
Oln,
One
...
Oun-d
gli
autovalori
di
o
sono le
soluzioni,
appartenenti
al
campo
It au
cui é
definito
V,
dell'equazione
di
grado
in 1 ottenuta
svilup-
pando
il
determinante;
tale
equazione
si dice l'equazione
caratteristica
P(x)
b
- , -
...
(
i)bd
b
= 0
ove in particolare
P(d)
=
b.
= det A
bu -
i
=
a
d
...
ann
= trA
= 0 è
autovalore
di
o
solo se det A
= 0
dimkerf.
maggio
2023
Se si opera
un cambiamento di
base,
la matrice di
nella
nuova base é la
matrice
A
= P-AP simile and A e risulta
per
il
teorema di
Binet
&let (P- 'AP-xI)
= det {P "(A-xI)P
= det (P..) det (A-xI) det(P) = det (A-1Il
Teorema 3
Il
polinomio
caratteristico,
e
quindigli
autovalori di un
endomorfismof,
sono
invarianti
rispetto
a cambiamenti di base dello spazio
vettoriate.
Matrici
simili hanno lo stesso determinante e lastessatraccia.
Si possono
introdurre
i concetti di determinante e traccia diun
endomorfismo
o
di Un
indipendentemente
dalla scelte diuna base diUn.
Diagonalizzazione
Se
esiste una
base
du, M, , ...,
un di
V
costituita da autovettori
dell'endomorfismof
meativi agli
autoratori
"spet,
a tale base
o
si
rappresente
con lamatite
diagonale
I
f(un)
=
xn un.
in
quanto
f(x)
=
del,
f(x)
= x Ma.....
Def:
la matrice
Aelk""
si dice
diagonalizzabile
se,
considerato
l'endomorfismo o
di
V associato ad
A,
esiste una
base
di V
costituita da autovettori dell'endo
morfismof;
in tal caso
o
si dice
semplice.
Una
matrice é
diagonalizzabile
se èsimile
ad
una matrice
diagonale
D,
cioe
se esiste una matrice invertibile
Pt.c. D
=
P-'AP.
Se A é
diagonalizzabile
la matrice
per
cui si
realizza
D=
PAP
é
la
matrice
avente
per
colonne le
componenti
di
autovettori
indipendenti
di
o
relative
alla base rispetto
a cui
f
é