Esercizi di calcolo statistico, Appunti di Analisi Matematica II

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A.A. 2023-2024 STATISTICA

FOGLIO N. 9 : STIMA PUNTUALE

ESERCIZIO 1

Determinare la dimensione di un campione normale, anch´e la media campionaria di↵erisca dalla media

della popolazione per meno del 5% della deviazione standard della popolazione, con una probabilit`a

superiore o uguale al 95%.

Rispondere allo stesso quesito nel caso in cui non si conosca la distribuzione del campione. Risposta: n 1537 ; n 8000

ESERCIZIO 2

Stimare con il metodo dei momenti il parametro ✓ di una distribuzione uniforme U (✓, ✓) attraverso il

campione {X 1 , X 2 ,... , Xn} da essa estratto.

Risposta: ⇥M M^ (X 1 ,... , Xn) =

p 3

q 1 n

Pn i=1 X

2 i

ESERCIZIO 3

Dato il campione {X 1 , X 2 ,... , Xn}, estratto da una popolazione con funzione di densit`a

f (x; ✓) =

3 2 + 4✓

x 4 ✓+ (^12) se 0 < x < 1

0 altrove

determinare lo stimatore di massima verosimiglianza per il parametro ✓ (✓ > 3 8 ).

Determinare inoltre lo stimatore con il metodo dei momenti. Risposta: ⇥ M V (X 1 ,... , Xn) = 1 4

3 2 +^

P n n i=1 log^ Xi

M M (X 1 ,... , Xn) =

5 X¯n 3 8(1 X¯n)

ESERCIZIO 4

Dato il campione {X 1 , X 2 ,... , Xn}, estratto da una popolazione con funzione di densit`a

f (x; ✓) =

1 2 ✓^3 x^2 e✓x^ se x > 0

0 altrove

determinare lo stimatore di massima verosimiglianza per il parametro ✓ (✓ > 0).

Risposta: ⇥ M V (X 1 ,... , Xn) = 3/ X¯n

ESERCIZIO 5

Dato il campione {X 1 , X 2 ,... , Xn}, estratto da una popolazione con funzione di densit`a

f (x; ✓) =

p^1 ✓

e

px✓ se x > 0

0 altrove

determinare lo stimatore di massima verosimiglianza per il parametro ✓ (✓ > 0).

Determinare inoltre lo stimatore con il metodo dei momenti. Gli stimatori ottenuti sono corretti? Risposta: ⇥M V^ (X 1 ,... , Xn) =

X¯

n

= ⇥M M^ (X 1 ,... , Xn); NO, non sono corretti, lo `e n n+

X¯

n