Appunti di Algebra e Logica, Slide di Logica Matematica

Scarica Appunti di Algebra e Logica e più Slide in PDF di Logica Matematica solo su Docsity!

SCHEMI DI

ALGEBRA E

LOGICA

G I U S E P P E D A I D O N E

1. SCHEMI DI

ALGEBRA E

LOGICA

R E L A Z I O N I , P R O P R I E T À , C L A S S I D I E Q U I V A L E N Z A ,

I N S I E M E Q U O Z I E N T E , E S T R E M A N T I , R E T I C O L I

PROPRIETÀ DELLE RELAZIONI

• Siano un insieme 𝐴 e una relazione 𝜌 su 𝐴.
• Riflessività : si dice che 𝜌 è riflessiva sse ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎𝜌𝑎.
• Simmetria : si dice che 𝜌 è simmetrica sse ∀ 𝑎; 𝑏 ∈ 𝐴

2

• Transitività : si dice che 𝜌 è transitiva sse ∀ 𝑎; 𝑏; 𝑐 ∈ 𝐴

3

, 𝑎𝜌𝑏 e 𝑏𝜌𝑐 ⟹ 𝑎𝜌𝑐.

• Antisimmetria : si dice che 𝜌 è antisimmetrica sse ∀ 𝑎; 𝑏 ∈ 𝐴

2

𝑎𝜌𝑏 e 𝑏𝜌𝑎 ⟹ 𝑎 = 𝑏.

PROPRIETÀ COMPOSTE

• Equivalenza : si dice che 𝜌 è una relazione di equivalenza sse è riflessiva,

simmetrica e transitiva.

• Ordine : si dice che 𝜌 è una relazione di ordine sse è riflessiva, antisimmetrica

e transitiva.

CLASSI DI EQUIVALENZA(1)

• Siano un insieme 𝐴, una relazione di equivalenza ~ su 𝐴 e 𝑎 ∈ 𝐴.
• La classe di equivalenza di 𝑎 per la relazione ~ su 𝐴 è l’insieme dei 𝑏 ∈ 𝐴

t.c. 𝑎~𝑏 e si denota 𝑎

~

~

• La relazione ~ è riflessiva quindi ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎~𝑎 e quindi 𝑎 ∈ 𝑎

~

• La relazione ~ è simmetrica quindi se 𝑏 ∈ 𝑎

~

si ha 𝑎~𝑏, quindi per simmetria

𝑏~𝑎 ovvero 𝑎 ∈ 𝑏

~

CLASSI DI EQUIVALENZA(2)

• Siano un insieme 𝐴, una relazione di equivalenza ~ su 𝐴 e 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴.

~

~

~

~

~

~

• La classe di equivalenza è la classe di ciascuno dei suoi elementi.

∎

∎

PARTIZIONE

• Sia 𝐴 un insieme e 𝐹 un insieme di sottoinsiemi di 𝐴.
• Si dice che 𝐹 è una partizione di 𝐴 sse:

a) ∅ ∉ 𝐹 (cioè ogni elemento di 𝐹 contiene almeno un elemento)

b) ∪ 𝑋 = 𝐴 (cioè ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∃𝑋 ∈ 𝐹 t.c. 𝑎 ∈ 𝑋)

c) ∀𝑋, 𝑌 ∈ 𝐹, 𝑋 ∩ 𝑌 ≠ ∅ ⇒ 𝑋 = 𝑌 (due elementi distinti di 𝐹 non hanno

nessun elemento in comune)

• Se ~ è una relazione di equivalenza su 𝐴, allora

𝐴 ~ è una partizione di 𝐴.

RELAZIONI DI ORDINE TOTALE O

PARZIALE

• Siano un insieme 𝐴 e una relazione di ordine 𝜌 su 𝐴.
• Due elementi 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 si dicono paragonabili o c onfrontabili se 𝑎𝜌𝑏 o 𝑏𝜌𝑎.

In caso contrario si dicono non paragonabili o non confrontabili.

• Una relazione di ordine 𝜌 è detta totale sse scelti due elementi dell’insieme

𝐴 essi sono sempre confrontabili. Se così non è allora la relazione di ordine 𝜌 è

detta parziale.

ESTREMANTI(2)

• Un elemento 𝑚 ∈ 𝐴 è detto elemento minimale per 𝜌 sse:
  • ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎𝜌𝑚 ⟹ 𝑎 = 𝑚
  • Il minimo se esiste è l’unico elemento minimale
  • Può esistere un unico elemento minimale senza che sia il minimo
• Un elemento 𝑀 ∈ 𝐴 è detto elemento massimale per 𝜌 sse:
  • ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑀𝜌𝑎 ⟹ 𝑎 = 𝑀
  • Il massimo se esiste è l’unico elemento massimale
  • Può esistere un unico elemento massimale senza che sia il massimo

ESTREMANTI(3)

• Sia 𝐵 ⊆ 𝐴.
• Un elemento 𝑚 ∈ 𝐴 è detto minorante di 𝐵 per 𝜌 sse:
  • ∀𝑏 ∈ 𝐵, 𝑚𝜌𝑏
  • Si denota Minor𝐵
  • Se un minorante di 𝐵 appartiene a 𝐵 allora è il min 𝐵
• Un elemento 𝑀 ∈ 𝐴 è detto maggiorante di 𝐵 per 𝜌 sse:
  • ∀𝑏 ∈ 𝐵, 𝑏𝜌𝑀
  • Si denota Maggior𝐵
  • Se un maggiorante di 𝐵 appartiene a 𝐵 allora è il max 𝐵

RETICOLI

• Un reticolo è una coppia 𝐴, 𝜌 in cui 𝐴 è un insieme, 𝜌 una relazione di ordine su 𝐴

e ∀ 𝑎; 𝑏 ∈ 𝐴

2

, inf 𝑎, 𝑏 e sup 𝑎, 𝑏 esistono.

• Il reticolo 𝐴, 𝜌 si dice limitato sse esistono:
  • 0 = 𝑂 = min 𝐴
  • 1 = 𝐼 = max 𝐴
• Dato un reticolo limitato 𝐴, 𝜌 e 𝑎 ∈ 𝐴. Un elemento 𝑏 ∈ 𝐴 si dice complemento

di 𝑎 sse:

• inf 𝑎, 𝑏 = min 𝐴 → Minor 𝑎; 𝑏 = min 𝐴
• sup 𝑎, 𝑏 = max 𝐴 → Maggior 𝑎; 𝑏 = max 𝐴
• Il complemento non è per forza unico e se ogni elemento ha almeno un complemento,

allora il reticolo 𝐴, 𝜌 si dice complementato o con complemento

2. SCHEMI DI

ALGEBRA E

LOGICA

C O N G R U E N Z A M O D U L O N , C L A S S I D I R E S T O ,

R A P P R E S E N T A N T I , I D E A L I , M C D E M C M , D I V I S I O N E

E U C L I D E A , T E O R E M A D I B É Z O U T , E Q U A Z I O N I D I O F A N T E E ,

T E O R E M A D E L R E S T O , A R I T M E T I C A M O D U L A R E

CONGRUENZA MODULO N(2)

• Se 𝑎 ≡ 𝑏 mod 𝑛 allora anche 𝑎 ≡ 𝑏 mod −𝑛 poiché sono la stessa

relazione , infatti ∃𝑘 ∈ ℤ t.c. 𝑏 = 𝑎 + 𝑘𝑛 = 𝑎 + −𝑘 −𝑛.

• 𝑎 ≡ 𝑏 mod 0 è detta relazione di uguaglianza.
• 𝑎 ≡ 𝑏 mod 1 è detta relazione universale.
• Se 𝑛 ≥ 1 , allora 𝑎

𝑛

≡

𝑛

= … , 𝑎 − 2𝑛, 𝑎 − 𝑛, 𝑎, 𝑎 + 𝑛, 𝑎 + 2𝑛, …. Ci

sono 𝑛 classi di equivalenza per la relazione ≡

𝑛

e sono 0

𝑛

𝑛

𝑛

CLASSI DI RESTO

• Una classe di resto 𝒓 modulo 𝒏 è un insieme di numeri appartenenti a ℤ

tale che divisi per 𝑛 danno lo stesso resto 𝑟 e si denota 𝑟

𝑛

. La divisione di un

numero intero relativo per 𝑛 può dare 𝑛 resti diversi, di conseguenza per ogni

𝑛 esistono esattamente 𝑛 classi di resto.

• Siano 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑛 ∈ ℤ:
  • 𝑎

𝑛

= 𝑐

𝑛

e 𝑏

𝑛

= 𝑑

𝑛

allora 𝑎 + 𝑏

𝑛

= 𝑐 + 𝑑

𝑛

e 𝑎𝑏

𝑛

= 𝑐𝑑

𝑛

• 𝑎

𝑛

• 𝑏

𝑛

= 𝑎 + 𝑏

𝑛

• 𝑎

𝑛

∙ 𝑏

𝑛

= 𝑎 ∙ 𝑏

𝑛

∎

∎