Appunti di Dispositivi elettronici, Appunti di Dispositivi elettronici

Scarica Appunti di Dispositivi elettronici e più Appunti in PDF di Dispositivi elettronici solo su Docsity! Appunti di “Dispositivi elettronici” CARATTERISTICHE DEI SOLIDI ............................................................................................................................ 2 Struttura regolare in 2D ................................................................................................................................. 3 Assi cristallografici ......................................................................................................................................... 4 I CONDUTTORI ................................................................................................................................................... 5 Legame metallico ........................................................................................................................................... 5 Legge di Ohm ................................................................................................................................................. 5 Implicazioni della legge di Ohm ................................................................................................................. 8 Moto browniano e moto di deriva ................................................................................................................ 8 Tempo medi di rilassamento ......................................................................................................................... 9 I SEMICONDUTTORI ......................................................................................................................................... 11 Conducibilità ................................................................................................................................................ 12 Corrente bipolare ........................................................................................................................................ 14 Velocità di deriva e mobilità ........................................................................................................................ 15 Tempo medio d’urto .................................................................................................................................... 17 Saturazione della velocità ............................................................................................................................ 18 DROGAGGIO .................................................................................................................................................... 19 Stima dell’energia e modello idrogenoide .................................................................................................. 19 Concentrazione in funzione della temperatura........................................................................................... 22 Legge di azione di massa ............................................................................................................................. 23 Neutralità di carica ...................................................................................................................................... 25 Compensazione di drogante ........................................................................................................................ 26 Effetto dei droganti sulla mobilità ............................................................................................................... 26 Drogaggio e resistività ................................................................................................................................. 27 Corrente di diffusione e legge di Fick .......................................................................................................... 28 Relazione di Einstein .................................................................................................................................... 30 Corrente totale ............................................................................................................................................ 32 EQUAZIONE DI CONTINUITA’ ........................................................................................................................... 32 Meccanismi di ricombinazione .................................................................................................................... 34 Stima raggio di interazione .......................................................................................................................... 38 Stima tempo medio ..................................................................................................................................... 38 GIUNZIONE P-N ................................................................................................................................................ 39 Calcolo del potenziale di contatto ............................................................................................................... 41 Concentrazione di particelle in funzione dell’altezza .................................................................................. 42 Caratteristiche raddrizzanti (SE ALTERIAMO L’EQUILIBRIO) ......................................................... 44 Zona di breakdown ...................................................................................................................................... 46 Breakdown a valanga .................................................................................................................................. 46 Breakdown Zener ........................................................................................................................................ 47 Polarizzazione inversa ................................................................................................................................. 48 Polarizzazione diretta .................................................................................................................................. 49 Quantificare i coefficienti di proporzionalità .............................................................................................. 50 Profilo dei minoritari ................................................................................................................................... 51 Stima della lunghezza di diffusione ............................................................................................................. 54 Corrente di diffusione .................................................................................................................................. 55 Caratteristica del diodo reale ...................................................................................................................... 57 Controllo di carica ........................................................................................................................................ 58 Tempi di transito ......................................................................................................................................... 62 Polarizzazione inversa (profilo dei minoritari) ............................................................................................ 63 Corrente dei maggioritari in zona neutra .................................................................................................... 66 Profilo di campo elettrico ............................................................................................................................ 68 Profilo di potenziale ..................................................................................................................................... 70 MOS ................................................................................................................................................................. 79 Concentrazione dei minoritari ..................................................................................................................... 81 Carica minoritaria di interfaccia .................................................................................................................. 83 Tensione di soglia ........................................................................................................................................ 84 Campi elettrici sopra soglia ......................................................................................................................... 89 Stima della carica superficiale ..................................................................................................................... 91 Andamento al pinch-off ............................................................................................................................... 93 Oltre il pinch-off .......................................................................................................................................... 95 Saturazione della corrente .......................................................................................................................... 96 Saturazione precoce .................................................................................................................................. 100 Capacità di corrente .................................................................................................................................. 101 CARATTERISTICHE DEI SOLIDI In natura i corpi allo stato solido si possono presentare in due fasi principali: 1) FASE AMORFA (COME I VETRI) Dove la distribuzione degli atomi è disordinata e non è presente alcuna distribuzione geometrica regolare nello spazio. I solidi amorfi sono stati non stabili che evolvono lentamente verso lo stato cristallino stabile 2) FASE CRISTALLINA (COME DIAMANTI) Densità atomica di un solido Conoscendo la densità di un materiale 𝜌 ( 𝑘𝑔 𝑚3) e peso atomico 𝑀𝐴 (𝑘𝑔/𝑚𝑜𝑙𝑒). Da ciò possiamo calcolare la densità atomica. 𝜌 𝑀𝐴 𝑚𝑜𝑙𝑒/𝑚3 𝑛 = 𝑚𝑜𝑙𝑖 𝑚3 ∗ (𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖 𝐴𝑣𝑜𝑔𝑎𝑑𝑟𝑜) [ 𝑎𝑡 𝑚3 ] La densità degli elettroni condivisi sarà dell’ordine della densità degli atomi. I CONDUTTORI Legame metallico In un metallo, gli atomi condividono gli elettroni di valenza. La densità di elettroni di conduzione è dell’ordine di 1023 𝑐𝑚−3. Legge di Ohm A seguito della presenza di elettroni liberi (dell’ordine di 1023), l’applicazione di una forza elettrica ai morsetti di un conduttore metallico induce un moto ordinato di cariche cioè una corrente elettrica. La corrente elettrica viene definita come la quantità di carica media che attraversa una sezione del conduttore nell’unità di tempo. Dalla legge di Ohm, otteniamo la relazione macroscopica che lega la differenza di potenziale applicata ai capi di un conduttore metallica e la corrente in esso indotta. 𝑉 = 𝑅𝐼 Il legame è di proporzionalità diretta, dove la costante di proporzionalità è detta resistenza elettrica. Dal principio della dinamica, sappiamo che 𝐹 = 𝑚𝑎. La legge di Ohm sembra apparentemente in contraddizione con questo principio. Infatti, poiché il potenziale è proporzionale alla forza, mentre la corrente elettrica è proporzionale alla velocità media che le cariche assumono sotto l’azione del campo. Quindi la legge di Ohm esprime una proporzionalità diretta tra forza e velocità. Il modello microscopico che spiega questa differenza significativa tra le leggi macroscopiche fu realizzato da Drude nel 1900. Modello semplificato di drude All’interno del conduttore gli elettroni non si muovono liberamente. Se un elettrone viene accelerato da una forza costante (poiché il campo medio applicato è costante), allora il moto sarà uniformemente accelerato, e la relazione tra velocità e tempo è di tipo lineare. Siccome però gli elettroni si muovono all’interno di un reticolo, esso urta con uno ione del reticolo e perde la sua quantità di moto. L’andamento dell’elettrone è del tipo: In modo semplificato possiamo dire che per ogni istante 𝜏0 gli elettroni urtano con gli ioni del reticolo. Calcolano il valore di 𝑣𝑑(𝑡) = 𝑎𝑡 Dove 𝑎 = 𝑞𝐹 𝑚 Quindi 𝑣𝑑(𝑡) = 𝑞𝐹 𝑚 𝜏0 → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡à 𝑑𝑖 𝑝𝑖𝑐𝑐𝑜 Calcolando la velocità media sarà 𝑣𝑑𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝑞𝐹 2𝑚 𝜏0 Si ottiene quindi che la velocità media è proporzionale alla forza applicata. 𝑣𝑑𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝜇𝐹 Dove 𝜇 = 𝑞𝜏0 2𝑚 è detta mobilità La mobilità da un’indicazione di quanto è frequente l’urto. Se il tempo medio d’urto non cambia al variare del campo elettrico, le cariche hanno una velocità media di deriva proporzionale al campo accelerante. Supponiamo che, sotto l’azione del campo, le cariche assumono una velocità di deriva media nella direzione del campo. Calcoliamo la quantità di carica che attraversa una sezione di riferimento del conduttore nell’unità di tempo (cioè calcolo della corrente). Esse sono tutte le cariche che si trovano all’interno del conduttore, in un parallelepipedo di lunghezza 𝑣𝑑 (𝑝𝑜𝑖𝑐ℎè 𝑡 = 1 𝑠) e base A. Quindi in 1 𝑠, la corrente elettrica sarà pari a: 𝐼 = 𝑞𝑛(𝑣𝑑𝐴) Dove n è la densità di cariche di conduzione=densità di cariche degli atomi. 𝐼 = 𝑞𝑛𝜇𝐹𝐴 = (𝑞𝑛𝜇 𝐴 𝐿 ) 𝑉 Ottenendo la legge di Ohm Quindi 𝑅 = 𝑉 𝐼 = 1 𝑞𝑛𝜇 𝐿 𝐴 La resistenza dipende da parametri geometrici (sezione e lunghezza) e da parametri fisici (conducibilità/resistività) caratteristici del materiale 𝑅𝐸𝑆𝐼𝑆𝑇𝐼𝑉𝐼𝑇𝐴′ 𝜌 = 1 𝜎 = 1 𝑞𝑛𝜇 [Ω. 𝑐𝑚] La resistività (inverso della conducibilità) dipende dalla mobilità e dalla densità di cariche nel solido conduttore, grandezze caratteristiche del materiale. In questo caso 𝜏 è il tempo medio in cui la particella perde la quantità di moto acquisita. In genere ci vorranno più urti per perdere tutta la quantità di moto. Nel regime ohmico si assume che tempo medio 𝜏 sia costante, ovvero non dipendente dal campo elettrico. In condizioni stazionarie, se il campo agisce in tempo lunghi in modo che tutti i transitori si siano esauriti, le derivate sono nulle. Quindi 𝑑(𝑚𝑣𝑑) 𝑑𝑡 = 𝑞𝐹 − 𝑚𝑣𝑑 𝜏 = 0 𝑣𝑑(𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎) = 𝑞𝐹𝜏 𝑚 𝜇 = 𝑞𝜏 𝑚 Il tempo 𝜏 è il tempo di rilassamento, cioè il tempo medio necessario per perdere la quantità di moto acquistata. Scompare a sua volta il fattore 2. ORDINI DI GRANDEZZA METALLI 𝜏 = 10 𝑓𝑠 𝜇 = 17.6 𝑐𝑚2 𝑉𝑠 𝑛 = 1023𝑐𝑚−3 𝜎 = 2.8 × 105(Ω 𝑐𝑚)−1 𝜌 = 3.6 𝜇Ω𝑐𝑚 Si calcola che la velocità di deriva è dell’ordine di qu.1òalche decina di micron al secondo, più di otto ordini di grandezza inferiore alla velocità di agitazione termica. Nei conduttori il moto di deriva è del tutto trascurabile all’agitazione termica. Ciò non vale nei semiconduttori. I SEMICONDUTTORI I semiconduttori sono materiali cristallini appartenenti al 𝐼𝑉 gruppo della tavola periodica. Essi sono caratterizzata da una configurazione elettronica esterna da 4 elettroni. Notando lo stato cristallino, gli elementi riportano una struttura caratterizzata da un reticolo cubico a facce centrate. La struttura complessiva del cristallo si ottiene traslando secondo gli assi cristallografici (assi ortogonali) non un singolo atomo (come avviene nei casi più semplici) ma una coppia di atomi (coppia di atomi legati secondo la bisettrice dell’ottante). Questa struttura è dovuta al fatto che l’atomo di Silicio, Carbonio e Germanio sono tetravalenti. Essi, infatti, subiscono un’ibridazione (𝑠𝑝3). Infatti, è energeticamente conveniente spendere energia per promuovere un elettrone dall’orbitale s all’orbitale successivo, rendendo così disponibili 4 elettroni spaiati per la formazione dei legami. L’energia che si spende per promuovere l’elettrone viene compensato dalla formazione dei 4 legami. Gli orbitali sono una combinazione lineare degli orbitali sferici s e ortogonali p, formando una struttura tetraedrica. Da questa struttura ci si aspetta che il materiale è isolante, poiché gli elettroni sono stretti (a causa dei legami covalenti) tra due atomi vicini. Conducibilità Grafico di Arrhenius (sulle ascisse inverso della temperatura moltiplicato per mille, mentre sulle ordinate la concentrazione in scala logaritmica). Quindi se su questo grafico abbiamo una retta vuol dire che la relazione tra la concentrazione e la temperatura è una relazione esponenziale (𝑛 = 𝑒− 𝐴 𝑇) Aumentando la temperatura, la concentrazione di portatori aumenta di tipo esponenziale. Nei semiconduttori esiste una conducibilità residua e la temperatura favorisce la presenza di questi portatori residui. A temperatura ambiente i portatori del silicio sono (1,45 × 1010𝑐𝑚−3). La quantità degli elettroni disponibili per la conduzione sono pochi. Le funzioni considerate sono del tipo 𝑋 = 𝐴𝑒 −𝐸 𝑘𝑇 𝑙𝑜𝑔𝑋 = − 𝐸 𝑘𝑇 log(𝑒) + log(𝐴) → 𝑅𝐸𝑇𝑇𝐴 La retta considerata ha un coefficiente angolare è proporzionale ad E (energia di attivazione), ovvero la barriera di energia che deve essere superata per favorire il fenomeno. Generazione termica Qual è il processo affinché in un cristallo ci siano elettroni liberi che permettono di aumentare la conducibilità? 𝐼 = 𝑞 𝐴 𝐿 𝑉𝑛𝑖(𝜇𝑛 + 𝜇𝑝) Velocità di deriva e mobilità Il grafico rappresenta la velocità di deriva degli elettroni e lacune nei semiconduttori in funzione del campo elettrico Si nota che per campi inferiori a 1𝑘𝑉 𝑐𝑛 l’andamento è proporzionale al campo elettrico, cioè la mobilità 𝜇 è costante, come si attende nel regime ohmico. All’aumentare del campo elettrico la velocità di deriva si scosta dalla linearità. La curva si piega e la velocità tende a saturare attorno a valori dell’ordine di 107 𝑐𝑚/𝑠. La velocità non cresce indefinitamente, ma satura. Questo, quindi, crea un limite alla velocità dei dispositivi. IN UN REGIME OHMICO SI HA CHE 𝑚 𝑑𝑣𝑑 𝑑𝑡 = 𝑞𝐹 − 𝑚𝑣𝑑 𝜏 La variazione della quantità di moto media per unità di tempo nella direzione del campo è paria al contributo dovuto alla forza più la perdita media dovuta agli urti. (IL TEMPO DI RILASSAMENTO MEDIO È COSTANTE) In condizioni stazionarie abbiamo che 𝑣𝑑 = 𝑞𝐹𝜏 𝑚 CHE SUCCEDE ALL’ENERGIA? Scriviamo quest’altra relazione di bilancio 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝑞𝐹𝑣𝑑 − 𝐸 𝜏 La variazione di energia unitaria che un portatore subisce è pari al lavoro compiuto dalla forza agente nell’unita di tempo (Forza per spostamento quindi 𝑞𝐹𝑣𝑑Δ𝑡) più un trasferimento di energia dalla particella al reticolo dovuta agli urti. Nel regime ohmico si assume che nel tempo medio 𝜏 tutta l’energia acquisita sia trasferita al reticolo. (ipotesi quando urta il portatore perde tutta l’energia acquisita sotto l’azione del campo) IMPONENDO LE CONDIZIONI DI STAZIONARIETA’ 𝑞𝐹𝑣𝑑 = 𝐸 𝜏 → 𝐸 = 𝑞𝐹𝑣𝐷𝜏 𝑝𝑜𝑖𝑐ℎè 𝑣𝑑 = 𝑞𝐹𝜏 𝑚 𝐸 = (𝑞𝐹𝜏)2 𝑚 L’energia cinetica tende ad aumentare con il quadrato del campo elettrico All’aumentare del campo la velocità media delle particelle aumenta. A bassi campi elettrici, l’aumento dell’energia cinetica media delle cariche determinato dal campo è piccolo rispetto all’energia termica. Quindi il modulo della velocità non cambia significativamente. All’aumentare del campo elettrico, aumenta l’energia e la velocità media totale delle particelle aumenta. L’energia cinetica media totale supera 3 2 𝑘𝑇. Le cariche diventano <<calde>>, ovvero se si scrivesse la loro energia cinetica come 3 2 𝑘 𝑇∗, la temperatura 𝑇∗ è maggiore alla temperatura T del reticolo. Tempo medio d’urto Ciò che rimane abbastanza costante è il cammino libero medio, ovvero lo spazio percorso in media tra un urto e il suo successivo. Il tempo medio d’urto è definito come il rapporto tra il cammino libero è la velocità media delle cariche. È possibile definire due regimi: 1) 𝑣𝑑 ≪ 𝑣𝜃 L’energia cinetica media delle cariche è dell’ordine dell’agitazione termica 3 2 𝑘𝑇. In questo regime non ci aspetta che la frequenza degli urti e il tempo medio di rilassamento dipenda dal campo. Il regime di trasporto è ohmico. 𝜏 = 𝜆 𝑣𝜃 2) 𝑣𝑑~𝑣𝜃 le cariche diventano «calde», la loro velocità media totale è maggiore della velocità termica alla temperatura T del reticolo e Il tempo medio di rilassamento t tende a diminuire. La mobilità diminuisce e ci si scosta dal regime ohmico. Quantizzazione degli scambi di energia All’aumentare dell’energia cinetica delle particelle diventa non trascurabile un altro aspetto. Il trasferimento di energia tra particelle e reticolo, a seguito di urti, avviene per scambi di quanti, detti fononi. In tutti i reticoli cristallini esiste un limite superiore all’energia dei quanti fononici che è dell’ordine di 50-70 emV. Questo valore corrisponde al quanto di energia elastica associato alle onde elastiche positiva e ne schermeranno in parte il campo elettrico. Questo effetto è rappresentato dalla costante dielettrica che interviene nella espressione del campo elettrico Coulombiano generato dalla carica +q. Possiamo assumere un valore della costante dielettrica pari alla costante dielettrica del reticolo di silicio in cui lo ione è immerso. 𝐹 = 𝑞 (4𝜋𝜀)𝑟2 La forza elettrostatica agente sull’elettrone è pari alla forza attrattiva determinata dal nucleo carico +q. Inoltre, secondo l’ipotesi di Bohr, si assume che le orbite permesse sono tutte e sole quelle che soddisfano la condizione di quantizzazione del momento angolare. Otteniamo quindi il seguente sistema {𝐹 = 𝑞2 (4𝜋𝜀0)𝑟2 = 𝑚 𝑣2 𝑟 𝑚𝑣𝑟 = 𝑛ℏ Dalle due relazioni si ricava l’espressione dei raggi delle orbite permesse 𝑞2𝑟 (4𝜋𝜀0) = 𝑚𝑣2𝑟2 𝑚𝑜𝑙𝑡𝑖𝑙𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑟3 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑚𝑏𝑖 𝑖 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑖 𝑣𝑟 = 𝑛ℏ 𝑚 𝑞2𝑟 (4𝜋𝜀0)𝑚 = 𝑛2ℏ2 𝑚2 → 𝑟 = 𝑛2ℏ2(4𝜋𝜀0) 𝑚𝑞2 = 𝑛2𝑎0 Dove 𝑎0 è il raggio più interno ed è pari a 0,5 𝐴 (raggio di Bohr dell’atomo di idrogeno). L’energia totale che compete a ogni orbita permessa è la somma dell’energia cinetica e della corrispondente energia potenziale. 𝐸𝑛 = 1 2 𝑚𝑣2 − 𝑞2 (4𝜋𝜀0)𝑟𝑛 𝑃𝑜𝑖𝑐ℎè 𝐹 = 𝑞2 4𝜋𝜀0𝑟2 = 𝑚𝑣2 𝑟 𝐸𝑛 = 𝑞2 2(4𝜋𝜀0)𝑟𝑛 − 𝑞2 (4𝜋𝜀0)𝑟𝑛 𝐸𝑛 = − 𝑞2 2(4𝜋𝜀0)𝑟𝑛 = − 1 𝑛2 𝑞2 2(4𝜋𝜀0)𝑎0 La somma dei due termini è negativa e pari alla metà della energia potenziale. Nel modello idrogenoide, l’energia totale scala di un fattore con 1 𝑛2 . Per l’orbita più interna l’energia di legame è 𝑅𝑌 = 13,6 𝑒𝑉 energia di Rydberg. Ora applichiamo alle relazioni del modello idrogenoide le correzioni dovute alla ostante dielettrica relativa del reticolo di silicio, pari a 11.7 volte la costante dielettrica del vuoto. 𝑟1 = (4𝜋𝜀)ℏ2 𝑚𝑞2 → 𝜀𝑟𝑎0 𝐸1 = 𝑞2 (4𝜋𝜀)𝑟1 = 𝑅𝑦 𝜀𝑟 2 Quindi il raggio dell’orbita più bassa diventa dell’ordine di 5 ?̇?, mentre l’energia dell’ordine 100𝑚𝑒𝑉 Questa stima mette quindi in evidenza come l’ultimo elettrone dello ione drogante immerso nel reticolo di silicio ha un diametro dell’orbita dell’ordine di due celle reticolari (2x5A). Esso, quindi, abbraccia più di venti atomi di silicio. È quindi ragionevole pensare che la forza elettrostatica risenta della polarizzabilità delle nubi elettroniche, descritta dalla costante dielettrica relativa. Inoltre, l’energia di legame dell’ordine dell’energia di agitazione termica suggerisce che questo elettrone sia poco legato. Basta un trasferimento di energia dalle oscillazioni elastiche del reticolo a fornire alla carica l’energia sufficiente per slegarsi dallo ione. Analoga descrizione si ha per l’introduzione di atomi trivalenti. Un atomo B introdotto nel reticolo del silicio può formare 3 legami covalenti con altrettanti atomi Si. Resta quindi un legame vacante, ovvero una lacuna. Con minimo dispendio di energia, un elettrone di legame di un atomo di silicio contiguo può passare al posto della lacuna. In questo modo il sito trivalente resta carico (-1). La lacuna nei legami di silicio, invece, si comporta da carica libera positiva, contribuendo alla conducibilità del solido Concentrazione in funzione della temperatura Il processo di ionizzazione del drogante è permesso dalle vibrazioni reticolari che permettono di trasferire energia al drogante e liberare la carica (elettrone/lacuna). Se però la temperatura del reticolo è bassa, kT diventa molto minore dell’energia di legame, e il drogante non riesce a ionizzarsi. A bassa temperatura, quindi, i droganti non sono ionizzati. La figura riporta l’andamento della concentrazione di elettroni in uno strato di silicio drogato con 1016 atomi di fosforo per cm3 , al variare della temperatura. A temperatura ambiente e per un ampio intervallo di valori attorno a 300K la concentrazione degli elettroni liberi nel silicio è pari alla concentrazione di drogante. Si parla di semiconduttore estrinseco, poiché la concentrazione delle cariche libere e quindi la conducibilità del materiale è determinata da una specie differente (estrinseca) dagli atomi di silicio che costituiscono il reticolo. Tuttavia, quando la temperatura diminuisce, l’energia di agitazione termica diminuisce. Per temperature inferiori ai 100-150K l’energia trasmessa agli ioni droganti dalle vibrazioni reticolari non è più sufficiente a ionizzarli. Essi «sono congelati» nelle orbite attorno allo ione drogante (freeze-out) e la concentrazione di portatori liberi diminuisce progressivamente. A temperature alte invece l’agitazione termica è così intensa che la concentrazione di portatori libri è determinata dalla rottura spontanea dei legami covalenti fra atomi di Si. La concentrazione intrinseca (ni) di elettroni e lacune supera la invece detto minoritario. La legge consente di ricavare la concentrazione di elettroni e lacune in un semiconduttore estrinseco. Nel caso di drogaggio con atomi donori (drogaggio n), gli elettroni risultano i portatori maggioritari nel semiconduttore, poiché la loro concentrazione (pari alla concentrazione dei droganti) è molto superiore alla concentrazione delle lacune. Nel caso di drogaggio con atomi accettori (drogaggio p), sono le lacune ad essere i portatori maggioritari nel semiconduttore, poiché la loro concentrazione (pari alla concentrazione dei droganti) è molto superiore alla concentrazione degli elettroni. Neutralità di carica Consideriamo uno strato di silicio dragato con atomi donori (fosforo). A seguito della presenza di 4 atomi di fosforo, si hanno di conseguenza 4 elettroni liberi. Abbiamo delle lacune che sono paria a 𝑝 = 𝑛𝑖 2 𝑁𝐷 . Inoltre, ci saranno degli elettroni generati dalla rottura termica di legami di silicio. La carica di questi elettroni è bilanciata dalla carica positiva della corrispondente lacuna. Dalla neutralità della carica 𝑁𝐷 + + 𝑝 = 𝑛 Quindi più precisamente vale questa relazione 𝑛 = 𝑁𝐷 + 𝑛𝑖 2 𝑁𝐷 Compensazione di drogante Normalmente in uno strato di silicio troviamo sia dei donori (in maggioranza in questo caso) che accettori (in minoranza). Da cui si ha che 𝑁𝐷 + + 𝑝 = 𝑛 + 𝑁𝐴 − (𝑁𝐷 + − 𝑁𝐴 −) + 𝑝 = 𝑛 Dove 𝑁𝐷 + − 𝑁𝐴 − viene detto drogante netto. In questo caso gli elettroni liberi saranno dell’ordine del drogante netto. Mentre le lacune saranno 𝑝 = 𝑛𝑖 2 𝑁𝐷 − 𝑁𝐴 Più precisamente si ha che 𝑛 = (𝑁𝐷 − 𝑁𝐴) + 𝑛𝑖 2 𝑁𝐷 − 𝑁𝐴 Effetto dei droganti sulla mobilità La mobilità dipende dal tempo medio d’urto. Gli atomi droganti alterano la probabilità d’urto. Un atomo di silicio in un reticolo è un sito elettricamente neutro (dal punto di vista Coulombiano). L’atomo di fosforo, per esempio, avendo perso il suo elettrone, è un sito carico positivamente (sempre all’interno del reticolo). Questo vuol dire che l’elettrone che è lontano dall’atomo di fosforo, sente comunque l’interazione coulombiana dell’atomo di fosforo. L’esistenza del drogante determina la presenza di siti con carica netta non nulla, dove il portatore di carica può essere deflesso. Maggiore è il drogante e maggiore è il “disturbo” sui portatori. Qualitativamente aumentando la concentrazione di drogante, diminuisce la mobilità. Per bassi drogaggi la mobilità dei portatori di carica si mantiene costante al crescere della concentrazione dei droganti. Questo poiché la limitazione dominante alla mobilità dei portatori per bassi drogaggi viene dall’urto con atomi del reticolo in oscillazione termica attorno alle loro posizioni di equilibrio. e non dalle collisioni con le impurità presenti nel reticolo. A drogaggi dell’ordine di 1015 𝑐𝑚−3 nel silicio (300K) la mobilità inizia a calare con l’aumentare della concentrazione di drogante poiché l’effetto di interazioni con le impurità droganti ionizzate incomincia a diventare significativo Drogaggio e resistività Se la conducibilità è pari a 𝜎 = 𝑝𝑛𝜇 Aumentando il drogante, aumenta la concentrazione di elettroni ma diminuisce la mobilità. In realtà come si vede dal grafico precedente, cresce di ordini maggiori rispetto alla diminuzione della mobilità. Quindi la Trascuriamo i termini di ordine superiore poiché 𝜆 è un valore molto piccolo. Da cui otteniamo che 𝜙(0) = 𝜙+(0) − 𝜙−(0) = −𝑣𝑡ℎ𝜆 𝑑𝑛 𝑑𝑥 |0 Da questa espressione si può notare che in presenza di un gradiente di concentrazione, esiste un flusso in direzione opposta al gradiente e proporzionale ad esso attraverso una costante di proporzionalità 𝐷𝑛 = 𝑣𝑡ℎ𝜆, detta coefficiente di diffusione. Il coefficiente a moltiplicare è legato ai parametri microscopici del moto: velocità termica e cammino libero medio. Per una qualunque posizione x vale 𝜙(𝑥) = −𝐷𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑥 Relazione di Einstein Sia nel coefficiente di diffusione che nella mobilità compaiono gli stessi parametri microscopici. Ha quindi senso cercare il legame tra D e μ (𝑟𝑒𝑙𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝐸𝑖𝑛𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛). 𝐷𝑛 = 𝑣𝑡ℎ𝜆 Moltiplicando e dividendo per 𝜏 𝑣𝑡ℎ 𝜏 𝜆 𝜏 = 𝑣𝑡ℎ 2 𝜏 A questo scopo basta tener presente che 𝜆 = 𝑣𝑡ℎ𝜏 e che la velocità termica è legata alla temperatura assoluta. In questo passaggio si deve tener conto che il modello di moto diffusivo che abbiamo trattato nelle slide precedenti è unidimensionale. 1 2 𝑚𝑣𝑡ℎ 2 = 𝑘𝑇 2 Da cui 𝐷𝑛 = 𝑣𝑡ℎ 2 𝜏 = 𝑘𝑇 𝑚 𝜏 𝑝𝑜𝑖𝑐ℎè 𝜇 = 𝑞𝜏 𝑚 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 𝐷𝑛 = 𝑘𝑇 𝑞 𝜇𝑛 La proporzionalità tra mobilità e coefficiente di diffusione permette di leggere i due coefficienti sullo stesso grafico, a parte un fattore di scala. La figura riporta l’andamento della mobilità dei portatori in funzione del drogaggio. Sull’asse di destra è riportato il corrispondente coefficiente di diffusione. La corrente di deriva è dovuta alla presenza di un campo elettrico, che sposta i portatori di carica in direzione del campo elettrico. 𝐽𝑛 = 𝑞𝜇𝑛𝑛𝐹 Applicando una differenza di potenziale come in figura, si genera un campo elettrico (rivolto in direzione della freccia rossa). Gli elettroni, quindi, sono spinti da una forza elettrica in direzione della freccia azzurra, generando una corrente in direzione concorde a x. Ciò vale anche per le lacune (considerando i rispettivi segni e i versi). In ogni caso la corrente di deriva ha sempre verso concorde con il campo (qualunque sia la carica). Consideriamo ora la corrente di diffusione. A seguito di diffusione ci si attende che gli elettroni si spostino da sinistra a destra, nel tentativo di equalizzare la loro concentrazione. Questo moto di cariche genera quindi una corrente nel verso della freccia azzurra. Questa componente di corrente è diretta nel senso crescente della concentrazione di elettroni, ovvero nel senso del gradiente della loro concentrazione (per gli ELETTRONI) 𝐽𝑛 = 𝑞𝐷𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑥 Componente di diffusione concorde con il gradiente della concentrazione PER LE LACUNE 𝐽𝑝 = −𝑞𝐷𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑥 Componente di diffusione è opposta al gradiente di concentrazione Corrente totale La corrente nei semiconduttori può essere dovuta sia all’azione di un campo elettrico esterno sia alla presenza di un gradiente di concentrazione dei portatori di carica. Inoltre, i contributi di corrente non sono dovuti soltanto dagli elettroni (come avviene nei metalli), ma anche dalle lacune. 𝐽𝑛 = 𝑞𝜇𝑛𝑛𝐹 + 𝑞𝐷𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑥 𝐽𝑝 = 𝑞𝜇𝑝𝑝𝐹 − 𝑞𝐷𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑥 EQUAZIONE DI CONTINUITA’ SECONDO MECCANISMO Un altro meccanismo, illustrato nella figura, prevede che le cariche minoritarie (elettroni in figura) siano intrappolate attorno ad un difetto e restino in attesa che giunga un maggioritario per ricombinarsi. (Cattura del minoritario) L’ energia che si libera per ricombinazione è trasmessa al reticolo in forma vibrazionale. Lo ione attorno al legame che si ricompone «accusa il colpo» del rientro dell’elettrone nel legame e trasmette questa energia al reticolo cristallino. Questo processo non genera «luce», non è radioattivo, ma energia elastica, ovvero «calore» che si trasmette al reticolo. Per alcuni semiconduttori (come il silicio) il meccanismo prevalente è il secondo, mentre per altri (prevalentemente composti come l’arseniuro di gallio) il meccanismo prevalente è il primo. PER IL PRIMO MECCANISMO, ci si attende che il tasso di ricombinazione sia proporzionale al prodotto della densità di lacune ed elettroni. Se infatti manca uno dei due portatori, la ricombinazione non può avvenire. 𝑅𝑛 = 𝐵 ∙ 𝑛𝑝 𝐺𝑛 = 𝐵 ∙ 𝑛𝑖 2 Nella espressione B è un coefficiente opportuno, dipendente dalla temperatura. Una volta che si fissa la forma del tasso di ricombinazione, il corrispondente tasso di generazione si ottiene imponendo le condizioni di equilibrio termico. All’equilibrio termico il tasso di generazione deve eguagliare il tasso di ricombinazione. Peraltro, dalla legge di azione di massa 𝑛𝑝 = 𝑛𝑖 2 . Da queste considerazioni si ottiene l’espressione riportata in figura e la corrispondente forma dell’equazione di continuità per elettroni e lacune. Fuori equilibrio termico, si ha un aumento (o diminuzione) del tasso di ricombinazione, mentre il tasso di generazione spontanea rimane lo stesso. 𝜕𝑛 𝜕𝑡 = 1 𝑞 𝜕 𝜕𝑥 𝐽𝑛 − 𝐵(𝑛𝑝 − 𝑛𝑖 2) (𝑝𝑒𝑟 𝑒𝑙𝑒𝑡𝑡𝑟𝑜𝑛𝑖) 𝜕𝑝 𝜕𝑡 = 1 𝑞 𝜕 𝜕𝑥 𝐽𝑛 − 𝐵(𝑛𝑝 − 𝑛𝑖 2) (𝑝𝑒𝑟 𝑙𝑎𝑐𝑢𝑛𝑒) PER IL SECONDO MECCANISMO Si è visto che il processo, illustrato in figura, avviene in due passi: (a) la cattura del minoritario attorno ad un difetto e quindi la sua «localizzazione» e (b) l’arrivo del maggioritario che si ricombina. Per stimare il tempo medio di cattura del minoritario, consideriamo in un volume di semiconduttore degli stati che riescono a catturare i minoritari. Immaginiamo che se un elettrone passa attorno a un difetto a distanza minore di R esso viene catturata. Quindi una carica minoritaria viene “catturata” in base alla distanza a cui passa dal difetto. Indichiamo quindi con (𝜎) l’area del cerchio di raggio R. Questa sezione (𝜎) è detta sezione d’urto dell’elettrone. In sostanza è come se l’elettrone, nel suo moto nel reticolo, portasse attorno a sé un «bersaglio» di area (s). Se esso colpisce con questo bersaglio un «difetto» esso viene catturato. Nel suo moto l’elettrone spazza un volume. Nell’unità di tempo percorre uno spazio pari alla velocità termica. Quindi il volume descritto dal bersaglio nel suo moto nell’unità di tempo è 𝜎𝑣𝑡ℎ [ 𝑐𝑚3 𝑠 ] Indichiamo con 𝑁𝑇[𝑡𝑟𝑎𝑝𝑝𝑜𝑙𝑒/𝑐𝑚3] il numero di difetti per unità di volume (densità di stati intrappolanti) Quindi il numero di stati intrappolanti nell’unità di tempo sarà 𝜎𝑣𝑡ℎ𝑁𝑇 [ 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑝𝑜𝑙𝑒 𝑠 ] Tale prodotto si può notare che è pari al reciproco del tempo medio di cattura Di conseguenza 𝜏𝑛 = 1 𝜎𝑣𝑡ℎ𝑁𝑇 Ora, assumiamo che la densità di maggioritari sia tale che non appena la lacuna viene «bloccata» attorno ad un difetto passi un tempo trascurabile prima che essa si ricombini. (sotto questa ipotesi il tempo medio di ricombinazione è praticamente uguale al tempo medio di cattura). Quindi il tasso di ricombinazione è pari alla concentrazione di minoritari (in questo caso elettroni) fratto il tempo medio di cattura 𝑅𝑛 = 𝑅𝑝 = 𝑛 𝜏𝑛 (si assumono sempre i portatori minoritari) Attorno a un difetto si può avere il fenomeno di generazione. Il tasso di generazione deve eguagliare il tasso di ricombinazione all’equilibrio. La concentrazione dei minoritari all’equilibrio è data dalla legge di azione di massa. In questo caso 𝑛0 = 𝑛𝑖 2 𝑁𝐴 Quindi 𝐺𝑛 = 𝐺𝑝 = 𝑛0 𝜏𝑛 = 𝑛𝑖 2 𝑁𝐴𝜏𝑛 Quindi l’equazione di continuità diventa Nel caso di elettroni minoritario 𝜕𝑛 𝜕𝑡 = 1 𝑞 𝜕 𝜕𝑥 𝐽𝑛 − 𝑛 − 𝑛0 𝜏𝑛 𝜕𝑝 𝜕𝑡 = − 1 𝑞 𝜕 𝜕𝑥 𝐽𝑛 − 𝑛 − 𝑛0 𝜏𝑛 Il termine di generazione e ricombinazione è lo stesso poiché quando muore un minoritario muore un maggioritario (e se si genera un minoritario si genera un maggioritario). non è altro che il suo donore ionizzato). A sua volta l’elettrone viene a ricombinarsi con le lacune maggioritarie dell’altro “serbatoio”, venendo a creare una carica negativa (accettore ionizzato). Discorso duale per le lacune. Questo processo diffusivo, quindi, genera una differenza di potenziale ai capi della giunzione. Si generano cariche positive nella regione n e negative nella regione p. La differenza di potenziale ai capi della struttura genera un campo elettrico che si oppone all’ulteriore diffusione netta di carica da una zona all’altra. Quindi dopo la diffusione iniziale non si ha più spostamento di carica. All’equilibrio si ha la seguente situazione Si ha una zona piena di elettroni (zona n) una zona di lacune (zona p) e una zona, detta di carica spaziale, dove ci sono cariche fisse positive e negative tra i contatti dei due semiconduttori che generano un potenziale di contatto. All’equilibrio il sistema ha corrente nulla. Tuttavia, se è presente una differenza di potenziale è necessario che venga rispettata la legge di Kirchhoff delle tensioni. Oltre al contatto p-n del semiconduttore, esistono altri due contatti tra il semiconduttore n e il metallo e il semiconduttore p e il metallo. Quindi 𝜙𝑖 = 𝜙𝑝𝑚 + 𝜙𝑛𝑚 Per rispettare Kirchhoff bisogna quindi considerare le cadute di tensione tra metallo e semiconduttore Calcolo del potenziale di contatto Consideriamo un sistema all’equilibrio termico costituito da particelle di gas ideale all’interno di una colonna isoterma idealmente infinita. Come si distribuiscono le particelle? Sotto l’azione della gravità la concentrazione di particelle si concentrano prevalentemente sul fondo della colonna. Tuttavia, alla temperatura finita T, esse posseggono una energia cinetica non nulla. Ci si attende quindi che ci siano molecole in grado di raggiungere una quota z all’interno del serbatoio. Scriviamo l’equazione del gas ideale 𝑝𝑉 = ?̂?𝑅𝑇 ?̂? è numero di moli. Da cui 𝑝 = 𝑛 𝑉 ̂ 𝑅𝑇 Moltiplichiamo e dividiamo per il numero di Avogadro 𝑝 = 𝑁𝐴?̂? 𝑉 𝑅 𝑁𝐴 𝑇 𝑝 = 𝑛𝑘𝑇 Dove 𝑛 → 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡à 𝑑𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡à 𝑑𝑖 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑘 → 𝑅 𝑁𝐴 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖 𝐵𝑜𝑙𝑡𝑧𝑚𝑎𝑛𝑛 Concentrazione di particelle in funzione dell ’altezza Man mano che l’altezza aumenta, la concentrazione è minore. Di conseguenza la pressione diminuisce (poiché la pressione è la forza che agisce su un’unità di superficie). Quando si passa da un’altezza 𝑧 a 𝑧 + 𝑑𝑧 la forza prodotta dalle particelle, che si trovano al di sopra delle superfici che consideriamo, diminuisce. La variazione di forza è data quindi da 𝑑𝐹 = −𝑚𝑔𝑛𝐴𝑑𝑧 Quindi la differenza di pressione è 𝑑𝑝 = 𝑑𝐹 𝐴 = −𝑚𝑔𝑛𝑑𝑧 { 𝑝 = 𝑛𝑘𝑇 −𝑑𝑝 = 𝑚𝑔𝑛𝑑𝑧 −𝑘𝑇𝑑𝑛 = 𝑚𝑔𝑛𝑑𝑧 𝑑𝑛 𝑛 = − 𝑚𝑔 𝑘𝑇 𝑑𝑧 ∫ 𝑑𝑛 𝑛 = − 𝑚𝑔 𝑘𝑇 ∫ 𝑑𝑧 → ln 𝑛(ℎ) 𝑛(0) = − 𝑚𝑔ℎ 𝑘𝑇 ℎ 0 𝑛(ℎ) 𝑛(0) 𝑛(ℎ) = 𝑛(0)𝑒− 𝑚𝑔ℎ 𝑘𝑇 La concentrazione di equilibrio diminuisce esponenzialmente con l’energia potenziale del livello h. Dal risultato ottenuto dividendo due valori diversi di concentrazione 𝑛1 𝑒 𝑛2 otteniamo che 𝑛2 𝑛1 = 𝑒− 𝑚𝑔(ℎ2−ℎ1) 𝑘𝑇 Il rapporto tra le concentrazioni di equilibrio (a due livelli energetici diversi) dipende esponenzialmente dalla differenza di energia potenziale. Consideriamo la figura in alto (con il generatore collegato con quella polarità). Il generatore genera un flusso di lacune nella direzione della freccia rossa. Per tale motivo si ha un accumulo ancora maggiore di lacune nella zona p del semiconduttore. È ragionevole pensare che il “mare di lacune” avanzi verso il contatto e neutralizza parte di accettori ionizzati. Analoga cosa succede nella zona n (in modo duale). Tale polarizzazione viene detta diretta perché polarizziamo positivamente il lato p. In questo tipo di polarizzazione la carica fissa diminuisce (perché viene neutralizzata dall’avanzare degli elettroni e delle lacune). Quindi la differenza di potenziale diminuisce (𝜙𝑖 − 𝑉𝐷). Se la differenza di potenziale diminuisce allora si ha una ripresa della diffusione delle cariche maggioritarie. Il dispositivo, quindi, è attraversato da corrente. Se applichiamo un generatore nel senso inverso abbiamo che Il generatore “pompa” lacune sul lato di destra (lato n) dove le lacune sono minoritarie. Quindi esse vengono neutralizzate dagli elettroni maggioritari. Gli elettroni diminuiscono, allora si ha una maggiore concentrazione di atomi ionizzati. Analogo discorso per il lato p (in modo duale). Con questa polarità la carica fissa ai capi della giunzione, di conseguenza aumenta la differenza di potenziale di contatto (𝜙𝑖 + 𝑉𝐷) . Se la differenza di potenziale aumenta allora non permette a maggior ragione il flusso diffusivo di cariche. La corrente che fluisce attraverso il diodo è minima e si origina principalmente da fenomeni di generazione netta di coppie elettrone-lacuna. Zona di breakdown Se si continua ad aumentare la tensione inversa applicata (e quindi l’intensità del campo elettrico alla giunzione) si può giungere al breakdown. Il breakdown è fenomenologicamente legato ad un repentino aumento della corrente inversa. Se la giunzione è ben progettata e la temperatura raggiunta localmente resta contenuta, il fenomeno è reversibile e non porta alla rottura del componente. Riducendo la tensione inversa la corrente ritorna a valori minimi e la caratteristica I-V resta inalterata. I diodi Zener sono progettati per operare in condizioni di breakdown. Dal punto di vista circuitale essi sono dei buoni generatori di tensione. Il loro circuito equivalente è costituito da un generatore di tensione pari alla tensione di breakdown per cui sono stati dimensionati e una resistenza serie bassa. Breakdown a valanga La figura illustra il breakdown a valanga. In questo processo un elettrone in transito nella zona di carica spaziale della giunzione (p.es. generato termicamente) acquisisce energia sotto l’azione del campo elettrico. Questa energia è persa, al solito, per urti con atomi del reticolo. Se l’energia con cui l’elettrone giunge all’urto è alta (dell’ordine dell’eV) l’impatto può determinare la rottura di un legame e la generazione di una nuova coppia elettrone-lacuna. L’evento di impatto aumenta la concentrazione delle cariche mobili e quindi della corrente. Inoltre, anche la lacuna prodotta dell’impatto è accelerata. Essa riattraversa la giunzione e se il campo è abbastanza alto, anch’essa può ionizzare per impatto prima di uscire dalla zona svuotata. In questo modo si rigenera un elettrone che ricomincia il percorso. Si ha una vera e propria reazione a catena che porta progressivamente all’aumento esponenziale della corrente. Esiste un valore della polarizzazione e quindi del campo elettrico per cui il guadagno d’anello del processo reazionato supera 1. in corrispondenza di questa polarizzazione (tensione di breakdown) il fenomeno diventa divergente. In sostanza il dispositivo è in grado di portare qualunque corrente. Il valore reale della corrente è imposto dal circuito esterno che lo pilota (p.es. dalle resistenze poste in serie). Breakdown Zener Questo effetto è prevalente nei diodi in cui le zone p ed n sono molto drogate e la rottura avviene attorno a 5V. In questo caso è il campo elettrico intenso ad estrarre direttamente elettroni dai relativi legami determinando l’aumento della corrente. Gli elettroni spostandosi dalla zona n alla zona p devono superare una barriera di potenziale paria a 𝑞𝜙𝑖. Per poter superare la barriera di potenziale gli elettroni devono avere una sufficiente energia cinetica (paria a 𝑞𝜙𝑖), altrimenti vengono “respinti”. Man mano che si muovono da destra verso sinistra diminuisce la loro energia cinetica, ma aumenta la loro energia potenziale In base alle relazioni di Boltzmann si può dire che il numero di elettroni che hanno un’energia sufficiente a superare la barriera sarà: 𝑛(𝐸 > 𝐸𝐾) = 𝑁𝐷 𝑒− 𝑞𝜙𝑖 𝑘𝑇 Quindi continueranno ad esserci elettroni che diffondono e sono tutti quelli dati dalla seguente relazione. Esistono elettroni minoritari che eseguono il percorso inverso? 𝜓2→1~ 𝑛𝑖 2 𝑁𝐴 𝜓 = 𝜓1→2 − 𝜓2→1 Si noti come la relazione esponenziale della corrente ai capi del diodo è la manifestazione macroscopica della relazione termodinamica che esprime la frazione di particelle di un sistema classico in grado di superare una barriera di energia in presenza di agitazione termica. Quantificare i coefficienti di proporzionalità Per ottenere una quantificazione, guardiamo con attenzione a ciò che accade nella zona p. Gli elettroni in zona neutra-p (giunti dalla zona n), si ricombineranno con una lacuna. Considero un asse x, orientato nel senso raffigurato. Quanti sono gli elettroni che giungono nel punto di iniezione? Quanti sono distanti gli elettroni dalla zona di iniezione? Se gli elettroni sono abbastanza lontani dalla zona di iniezione (cioè vuol dire che non riescono a raggiungere la zona di iniezione, di conseguenza dovranno ricombinarsi) la concentrazione è quella di equilibrio: 𝑛𝐷 = 𝑛𝑖 2 𝑁𝐴 . Gli elettroni all’iniezione sono tutti gli elettroni che riescono a superare la barriera (in polarizzazione diretta) 𝑁𝐷𝑒−𝑞 (𝜙𝑖−𝑉𝐷) 𝑘𝑇 Da cui otteniamo Profilo dei minoritari Consideriamo l’equazione di continuità Generalmente 𝑞𝜇𝑛𝑛𝐹 è trascurabile, poiché il campo elettrico è piccolo a causa dell’effetto schermante dei maggioritari. Imponendo le condizioni al contorno 𝑛0 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Integriamo l’equazione differenziale Corrente di diffusione Anche la densità di corrente diminuisce esponenzialmente man mano che si allontana dalla giunzione. Analoga valutazione si può ottenere per le lacune minoritarie iniettate nella zona n. Anche in questo caso, a causa della ricombinazione con gli elettroni maggioritari, la densità di lacune iniettate diminuirà esponenzialmente all’aumentare della distanza dalla giunzione. Anche la corrente di diffusione seguirà lo stesso andamento. PER OTTENERE LA DENSITA’ DI CORRENTE TOTALE, È NECESSARIO CONOSCERE LA DENSITA’ DI CORRENTE DELLE LACUNE E DEGLI ELETTRONI ALMENO IN UN PUNTO. Supponiamo che ci sia un punto in cui conosco sia la densità di corrente delle lacune e degli elettroni in un punto. Se siamo in condizioni stazionari, il valore di quella corrente di quel punto, vale in tutto il sistema. Sotto l’ipotesi che nella carica spaziale non si abbia ricombinazione, la densità di corrente di lacuna e di elettroni rimane invariata. Ecco che abbiamo almeno un punto in cui conosciamo i valori di entrambi le densità. Sommando i contribuiti, otteniamo la densità totale, che vale ovunque (essendo in condizioni stazionarie). Fissata la corrente totale, è possibile ricavare il contributo di corrente dovuto ai maggioritari nelle varie sezioni come differenza tra la corrente di minoritari e la corrente totale. La figura riposta l’andamento. Facendo un confronto con l’espressione già trovata, troviamo i valori dei coefficienti Caratteristica del diodo reale La figura riporta la caratteristica di un diodo reale. Su scala semi-logaritmica la relazione esponenziale ottenuta teoricamente dovrebbe dar luogo ad una retta. In effetti la caratteristica segue l’andamento teorico in una regione intermedia, tra VBE=0.3V e VBE=0.7V. Per tensioni di polarizzazione minori o maggiori, la caratteristica si scosta dall’andamento atteso. Per tensioni maggiori di 0.7V, ad alte correnti, incomincia a non essere trascurabile la caduta di tensione sulle resistenze in serie alla giunzione, prima tra tutte le resistenze delle zone neutre e dei contatti. Quindi all’aumentare della tensione diretta applicata dal generatore esterno, solo una sua frazione porta alla ulteriore riduzione della barriera di potenziale alla giunzione. Il resto deve compensare Dalla concentrazione ci ricaviamo la densità di corrente 𝐽𝑛 = −𝑞𝐷𝑛 𝜕𝑛 𝜕𝑥 Poiché Wp<<Ln la densità di corrente che si ottiene a pari polarizzazione è maggiore di quanto si avrebbe in presenza di una zona neutra «lunga». Gli elettroni nella zona p sono minoritari. La densità ha un valore costante in tutta la zona p, perché non dipende da x. Supponiamo invece che la zona n sia lunga, in modo da permettere la ricombinazione dei minoritari, ottenendo il profilo già considerato (esponenziale). A partire dei valori che si trovano all’iniezione della zona p e zona, si estendono alla zona di carica spaziale (dove si ha l’ipotesi che i processi di generazione e ricombinazione sono trascurabili). In questo modo valutiamo la densità di corrente totale (somma di densità di corrente di lacuna ed elettroni). Se entrambe le regioni sono corte il profilo risulta il seguente. Se il dispositivo ha entrambe le regioni neutre «corte» rispetto alle relative lunghezze di diffusione è facile rendersi conto che i grafici delle densità di corrente sono costanti lungo tutta la struttura. Si ricava così la densità di corrente totale che differisce dalla relazione precedente solo per la presenza degli spessori delle zone neutre al posto delle lunghezze di diffusione. Tempi di transito Anche in questo caso è possibile calcolare il rapporto tra la carica minoritaria in eccesso, presente nella zona neutra, e la corrente iniettata in essa. Il rapporto ha le dimensioni di un tempo L’eccesso di carica è calcolabile come area di un triangolo 𝑁′ = 𝑛0𝑊𝑝 2 (𝑒 𝑞𝑉𝐷 𝑘𝑇 − 1) Poiché vale che 𝜙 = 𝑁′ 𝜏 𝜏𝑡𝑟 = 𝑁′ 𝜙𝑛 = 𝑄𝑛 ′ 𝐽𝑛 = 𝑊𝑝 2 2𝐷𝑛 In questo caso il tempo di sparizione non è uguale al tempo di vita media, perché le cariche non stanno sparendo perché muoiono per combinazione (le cariche non si ricombinano). La carica “sparisce” quando arriva al contatto. Quindi questo tempo è il tempo necessario per raggiungere il contatto. p ER Rò ndx2 Tn n' = Ae*/!n + Be*/In n'(0) = no(e 9VR/KT — 1) n'(+0) = 0 i) n' = no(eWR/KT — 1)e2X/lm ogriee sn (x) = no(eR/AT — 1)e ln + no 1 LogaD ana) _ = puno(e eva/tr — 1)e Xn n n dx In regione corta abbiamo  Corrente dei maggioritari in zona neutra Le zone neutre sono regioni con conducibilità fissata dalla concentrazione e dalla mobilità dei maggioritari. Esse sono zone resistive. Ci si attende quindi che, come in un resistore, le correnti di maggioritari e di minoritari siano correnti di deriva, generate da campi elettrici. Fino a questo momento abbiamo visto che le correnti dovute ai portatori minoritari sono correnti di diffusione. La corrente totale dei maggioritari è data da: La corrente di deriva dei minoritari (lacune) è trascurabile. Quindi, in termini di peso relativo, la componente di deriva dei maggioritari è il termine di gran lunga prevalente nel determinare la corrente totale che attraversa la zona neutra. i maggioritari si disporranno secondo un profilo di concentrazione che segue quello dei minoritari. Solo così la densità di carica netta in ogni intervallo elementare della zona neutra è nulla. La concentrazione maggioritaria di elettroni deve essere uguale alla concentrazione del drogante 𝑁𝐷. A questo si aggiunge anche la concentrazione 𝑝0 = 𝑛𝑖 2 𝑁𝐷 . Quindi all’equilibrio 𝑛 = 𝑁𝐷 + 𝑝0. Se ci fosse una carica netta, gli elettroni si sposterebbero immediatamente per compensare lo sbilanciamento. Ne consegue che sia maggioritari che minoritari avranno profili con lo stesso gradiente di concentrazione. Se i livelli di corrente non sono molto alti, la concentrazione dei minoritari all’iniezione resta di ordini di grandezza inferiore alla concentrazione dei maggioritari nella zona neutra. Si parla di regime di bassa iniezione. Di conseguenza si avrà anche una corrente di diffusione dei maggioritari. La densità di corrente degli elettroni è opposta (ma hanno un gradiente identico) a quello dei minoritari. Poiché i gradienti di concentrazione di maggioritari e minoritari sono identici, le componenti di diffusione tendono a sottrarsi. La cancellazione sarebbe perfetta se i coefficienti di diffusione fossero uguali. * Dal punto di vista fisica il campo elettrico è lineare. L’andamento è quello riportato In corrispondenza del contatto la funzione è continua (si ricava la condizione di neutralità). Il campo elettrico massimo è pari alla carica totale presente su di un lato (in figura la carica nella zona p) divisa per la costante dielettrica. Profilo di potenziale Per ricavare l’andamento del potenziale elettrostatico si deve integrare il noto legame differenziale tra campo e potenziale. Condizioni al contorno La figura riporta l’andamento della funzione. Il potenziale è caratterizzato da due tratti parabolici che si saldano con continuità in x=0. La curvatura del potenziale è negativa (parabola verso il basso) nella sona con carica spaziale positiva. Viceversa, nella zona con carica spaziale negativa. Voglio trovare 𝑊(𝜙𝑖) 𝐹𝑀𝐴𝑋(𝜙𝑖) Abbiamo visto che il campo massimo è pari a 𝐹𝑚𝑎𝑥𝑖 = 𝑞𝑁𝐴𝑥𝑝 𝜀 L’area della struttura del profilo di campo elettrico è la differenza di potenziale (dato dalla relazione tra campo e differenza di potenziale, essendo integrale). Ricaviamo quanto vale W. Esso è uguale a 𝑊 = 𝑥𝑝 + 𝑥𝑛. Dalla neutralità abbiamo inoltre che 𝑞𝑁𝐷𝑥𝑛 = 𝑞𝑁𝐴𝑥𝑝 𝑥𝑛 = 𝑥𝑝𝑁𝐴 𝑁𝐷 𝑊 = 𝑥𝑝 (1 + 𝑁𝐴 𝑁𝐷 ) Il campo elettrico massimo è proporzionale alla radice quadrata del drogaggio della parte meno drogata. Il grafico mette in evidenza che per drogaggi dell’ordine di 1017cm-3, già all’equilibrio, il campo massimo supera 100kV/cm GIUNZIONE POLARIZZATA INVERSAMENTE La figura riporta la struttura di un diodo planare realizzato diffondendo degli accettori in una regione circolare su un substrato di tipo n. Il dispositivo è polarizzato inversamente e ai capi del contatto la polarizzazione esterna VR si somma alla caduta di equilibrio. Le relazioni che abbiamo visto precedentemente valgono (l’unica differenza è che al a 𝜙𝑖 si somma 𝑉𝑅). Cosa succede in particolare se i campi elettrico massimo diventa troppo elevato? Si possono verificare fenomeni di breakdown. All’aumentare dell’intensità del campo, aumenta la probabilità che un portatore acquisisce energia sufficiente per ionizzare. Il portatore acquisisce una velocità molto elevata, per questo motivo anche la sua energia cinetica aumenta. Urtando con due atomi contigui rischia di rompere il loro legame. Esiste un campo limite 𝐹𝑀𝐴𝑋 < 𝐹𝐵𝑅𝐸𝐴𝐾, entro le quali questi fenomeni sono limitati o non considerevoli. Supponiamo di trovarci in una giunzione p-n dove 𝐹𝑀𝐴𝑋 = 𝐹𝐵𝑅𝐸𝐴𝐾 Dove Cerchiamo di legare sempre il campo elettrico alla tensione da applicare. Quindi stiamo cercando la tensione da applicare al diodo per mandarlo in breakdown. Consideriamo l’approssimazione di giunzione unilatera. La tensione 𝑉𝐵 + 𝜙𝑖 deve essere l’aria di quel triangolo. Possiamo trascurare inoltre 𝜙𝑖 Più droghiamo la giunzione, più la tensione di breakdown è bassa. Tuttavia, il campo elettrico di breakdown non resta costante al variare del drogaggio. La Figura riporta l’andamento del campo di breakdown di una giunzione unilatera in funzione del drogaggio della regione meno drogata. La zona avalanche indica le concentrazioni necessarie per un effetto a valanga. Mentre Zener indica la concentrazione necessaria a un effetto Zener. Questo andamento in crescita del campo al crescere del drogaggio è dovuto alla relazione: 𝑊 = √ 2𝜀(𝜙𝑖 + 𝑉𝐵) 𝑞𝑁𝐴 Dipende inversamente da √ 1 𝑁𝐴 (drogaggio parte meno drogata). Quindi più aumentiamo il drogaggio, più W diminuisce (a pari tensione). Se W diminuisce, lo spazio che i portatori per poter innescare una valanga utile diventa più stretto. Più diventa stretto W, più è probabile che un portatore esca dalla carica spaziale senza aver ionizzato. Man mano che aumentiamo il drogaggio, quindi è necessario che il campo elettrico aumenti (per raggiungere il break-down). Ecco perché, all’aumentare del drogaggio, aumenta il campo elettrico che deve essere raggiunto per avere breakdown. Applicando una tensione fra gate e substrato molto negativa, si porta carica negativa sull’elettrodo di gate. La carica positiva indotta nel substrato p è costituita da lacune che si accumulano all’interfaccia silicio-ossido. Si parla di regime di accumulo. Il sistema si comporta come un condensatore. L’elettrodo superiore viene caricato negativamente, di conseguenza l’elettrodo inferiore ha un accumulo di carica positiva (per induzione). La concentrazione di lacune è maggiore all’interfaccia, rispetto alle altre zone del substrato. Affinché questa condizione avvenga, è necessario che l’elettrodo superiore si polarizzi negativamente. È necessario cioè un generatore esterno che pompa carica negativa rispetto a una condizione di riferimento. 2) CONDIZIONE DI BANDA PIATTA La condizione di riferimento è la condizione di neutralità, cioè l’opportuno potenziale dell’elettrodo superiore che permette di avere una concentrazione di lacune nel substrato che uniforme pari all’accettore ionizzato presente. In queste condizioni non si ha nessun accumulo all’interfaccia. Se l’ossido è ideale e non ha cariche intrappolate al suo interno (isolante). Quindi la differenza di potenziali ai morsetti del condensatore (costituito dall’estremo metallico superiore e l’interfaccia ossido-semiconduttore) è zero. Tale condizione viene detta a banda piatta. Tra l’elettrodo metallico inferiore e il substrato p c’è invece una differenza di potenziale 𝜙𝑚𝑠. (ogni volta che c’è un contatto tra metallo e semiconduttore c’è una differenza di potenziale). Applicando la LKT alla maglia, otteniamo che 𝑉𝐺 = 𝜙𝑚𝑠 Si parla di banda piatta perché l’energia di un portatore nel substrato p è costante. Negli strati di ossido nella realtà rimangono delle cariche intrappolate (specialmente durante la fabbricazione). 3) CONDIZIONE DI SVUOTAMENTO Applicando una tensione fra gate e substrato superiore alla tensione di banda piatta, l’elettrodo superiore (gate) espone carica positiva. Dal lato opposto, le lacune nel substrato sono respinte dall’interfaccia e si genera una zona svuotata in cui è presente della carica fissa negativa dovuta ai droganti ionizzati lasciati scoperti. Questa condizione di funzionamento è detta di svuotamento. Concentrazione dei minoritari Nel substrato sono presenti elettroni minoritari. Tali elettroni se sono molto lontani dalla zona di interfaccia, avranno una concentrazione di equilibrio 𝑛0 = 𝑛𝑖 2 𝑁𝐴 . Questi portatori, se giungono nella zona svuotata, sono attirati all’interfaccia e contribuiscono alla carica negativa presente nella zona svuotata. Siccome esiste un gradiente di concentrazione, gli elettroni che vengono attratti all’interfaccia da un campo elettrico (flusso di deriva dovuto dal campo elettrico), all’equilibrio verrà compensato dalla diffusione di elettroni (si genera equilibrio deriva-diffusione). All’equilibrio presenta una concentrazione tuttavia massima all’interfaccia. La concentrazione dei portatori mobili all’interfaccia è legata alla differenza di potenziale che cade ai capi della zona svuotata. Più è alta e maggiore è la concentrazione all’interfaccia. (indichiamo con 𝑛𝑠 la concentrazione di minoritari all’interfaccia). Se 𝑛𝑠 < 𝑁𝐴 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑠𝑣𝑢𝑜𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑠𝑐𝑎𝑟𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡à) 𝑛𝑠 = 𝑁𝐴 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑠𝑜𝑔𝑙𝑖𝑎 La loro concentrazione parte dalla densità di minoritari nel substrato e giunge al massimo all’interfaccia. Se la loro concentrazione massima è significativamente inferiore alla concentrazione di carica fissa dovuta agli accettori ionizzati, il contributo di queste cariche mobili alla carica negativa totale può essere trascurato. Condizione superiore a quello di soglia (condizione di accumulo), si ha una forte inversione. Ha una polarità invertita rispetto al substrato (la conducibilità è dovuta ai portatori opposti): si ha un forte conducibilità. Sul lato del metallo abbiamo una carica positiva accumulata, sul lato del substrato abbiamo una zona svuotata dove ci sono gli accettori ionizzati (carica negativa) e degli elettroni che tende a giungere la concentrazione dei maggioritari. La dimensione della zona svuotata, W, può essere ottenuta trascurando il contributo della carica mobile all’interfaccia, in analogia con la relazione già ottenuta per la giunzione p-n. I valori dei campi elettrici all’interfaccia si attengono applicando il teorema di Gauss come rapporto tra la densità di carica per UNITA’ di superficie presente verso il lato di semiconduttore e la costante dielettrica. Il campo elettrico nell’ossido è costante (si considera però la costante dielettrica nell’ossido). Per questo motivo c’è una discontinuità del campo. A soglia la differenza di potenziale ai capi della zona di carica spaziale è fissata. L’area del triangolo (nel grafico del campo) è il modulo di 𝜓𝑠. 𝜓𝑠 = 𝐹𝑠𝑊 2 = 𝑞𝑁𝐴𝑊2 2𝜖 → 𝑊 = √ 2𝜖𝜓𝑠 𝑞 𝑁𝐴 Ordine decine di nanometri. Quindi abbiamo tutti i dati per calcolare la tensione di soglia. Poiché Δ𝑉𝑜𝑥 = 𝐹𝑜𝑥 𝑡𝑜𝑥 Dove 𝑡𝑜𝑥 è la dimensione dell’ossido Δ𝑉𝑜𝑥 = 𝑄𝑜𝑥 𝑡𝑜𝑥 𝜀𝑜𝑥 Dove 𝑡𝑜𝑥 𝜀𝑜𝑥 = 1 𝐶𝑜𝑥 (𝑝𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡à 𝑑𝑖 𝑎𝑟𝑒𝑎) Capacità specifica (per unità di area) Δ𝑉𝑜𝑥 = 𝑄𝑜𝑥 𝐶𝑜𝑥 𝑄𝑝 ′ è il contributo di cariche mobile che possiamo trascurare. Ci si potrebbe chiedere come dipende la tensione di banda piatta (e quindi la tensione di soglia) se per il gate e il contatto di substrato si usano materiali conduttivi diversi. La figura riporta le cadute di tensione ai contatti tra i vari materiali in condizioni di banda piatta. La caduta di tensione tra interfaccia e corpo del semiconduttore è nulla e (in assenza di cariche fisse) anche la caduta di tensione ai morsetti dell’ossido è nulla. Scrivendo il bilancio delle tensioni lungo la maglia è facile rendersi conto che la tensione di bada piatta dipende dalla differenza di potenziale tra il substrato e il conduttore di gate. Gli altri eventuali conduttori presenti lungo la maglia non danno alcun contributo ELETTROSTATICA SOPRA SOGLIA In questo caso non possiamo più trascurare la carica mobile all’interfaccia. Per tanto questo termine interviene nella scrittura dei tre termini in cui si ripartisce la caduta di tensione tra gate e substrato. In queste condizioni, per semplificare le valutazioni senza incorrere in errori significativi, è possibile introdurre un’altra approssimazione. L’aumento della tensione di gate genera una piccola variazione (trascurabile) della tensione ai capi della zona svuotata e, a seguito della relazione esponenziale, una variazione ben maggiore della carica mobile e quindi del suo contributo alla caduta di tensione ai capo dell’ossido. La concentrazione di portatori superficiali non può più essere trascurata. L’immagine è un esempio di transistore MOS. La zona verde rappresenta la zona conduttiva (il velo di elettroni). Il dispositivo è essenzialmente un resistore controllato. Applicando tra drain e source una tensione VDS si determina una corrente che dipende dalla resistenza del canale conduttivo. Cambiando la tensione di gate, andiamo a variare la conducibilità del “resistore”. Come realizziamo i contatti source e drain? Creando dei serbatoi di elettroni, regioni n fortemente drogate. Tale resistore non è lineare. La quantità di elettroni su lato di source rispetto a quello del lato di drain può essere diversa. Quando polarizziamo il resistore controllato, e aumentiamo il potenziale di un elettrodo cambiamo la quantità di elettroni in quel lato, e quindi il resistore non ha più una concentrazione lineare di elettroni (resistore non lineare). TROVIAMO LA RELAZIONE DI QUESTO RESISTORE. Applichiamo la legge di Ohm in intervalli regolari. Definiamo una distanza x dall’elettrodo di source e consideriamo un tratto di lunghezza dx. Scriviamo che 𝑑𝑉𝐶 = 𝐼𝐷𝑆𝑑𝑅 (𝑙𝑒𝑔𝑔𝑒 𝑑𝑖 𝑂ℎ𝑚 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒) Consideriamo uno spessore Δ e larghezza W Per la second legge di Ohm 𝑅 = 1 𝜎 𝐿 𝐴 Quindi 𝑑𝑅 = 𝑑𝑥 𝑞𝜇𝑛Δ𝑊 𝑑𝑉𝑐 = 𝐼𝐷𝑆 𝑑𝑥 𝑞𝜇𝑛Δ𝑊 Inoltre 𝑞𝑛Δ è la concentrazione di elettroni per lo spessore per la carica elementare. Dimensionalmente questo prodotto costituisce la carica per unità di area. 𝑄𝑛 ′ = 𝐶 𝑐𝑚2 𝑑𝑉𝑐 = 𝐼𝐷𝑆 𝑑𝑥 𝜇𝑄𝑛 ′ 𝑊 Stima della carica superficiale Consideriamo la sezione 0. Facendo un bilancio di tensione abbiamo che 𝑉𝐺 = 𝜙𝑚𝑠 + 𝜓𝑠 + 𝑄′𝑑 + 𝑄′𝑛 𝐶𝑜𝑥 = 𝑉𝑇 + 𝑄𝑛 ′ (0) 𝐶𝑜𝑥 ′ 𝑄𝑛 ′ = 𝐶𝑜𝑥 ′ (𝑉𝐺 − 𝑉𝑇) Consideriamo adesso una generica distanza x. La differenza ai capi della zona svuotata, l’unica osservazione da fare è che il fluire della corrente IDS lungo il canale induce una caduta 𝑉𝑐(𝑥) tra la sezione che si sta considerando e l’inizio del canale conduttivo posto a x=0, sul lato di source. A seguito 𝑑𝑖 𝑉𝑐(𝑥) la carica di tensione ai capi della zona svuotata aumenta, e così avviene anche alla carica dovuta agli accettori ionizzati, 𝑄’𝑑, che è maggiore di quella che si ha in x=0. Al procedere dal source al drain, la carica libera di canale diminuisce e la carica fissa dovuta agli accettori ionizzati nella zona svuotata aumenta. Nell’approssimazione a «strato di carica», il termine Δ𝑉𝑇 si trascura. Questa approssimazione consente di ottenere delle relazioni più facilmente integrabili ma. Essendo Δ𝑉𝑇 un termine positivo, sovrastima la carica di canale e quindi la corrente che attraversa il dispositivo. Il risultato ottenuto lo sostituiamo alla relazione di Ohm differenziale. 𝐿′ è 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑡𝑟𝑎 𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒 𝑒 𝑝𝑖𝑐ℎ − 𝑜𝑓𝑓 Essendo 𝐿′ <L allora la corrente sarà maggiore rispetto alla corrente prima del pinch-off. Eccedendo la tensione di overdrive tenderà ad aumentare. Sicuramente la corrente non scende oltre la corrente massima. Oltre il pinch-off Nella regione di pinch off 𝑛 < 𝑁𝐴. Dal punto in cui iniettiamo gli elettroni fino al punto di pinch off è possibile integrale la legge di Ohm. Si ottiene così la corrente che attraversa l’intero dispositivo perché, per continuità, la corrente che attraversa questa regione dovrà comunque giungere fino al terminale di drain. Tuttavia, le nostre difficoltà non sono risolte. La corrente che otteniamo è proporzionale al quadrato dell’overdrive ma dipende inversamente dalla lunghezza del tratto L’. Questa lunghezza è pari ad L quando ci si trova al pinch- off, ma per VDS>VGS-VT sappiamo che sarà minore di L ma non ne conosciamo la dipendenza da VDS. Siccome però L’ è minore di L allora oltre il punto di pinch off la corrente aumenta leggermente. Saturazione della corrente La corrente aumenta di poco perché In condizione stazionarie la corrente in ogni sezione e la stessa. Quindi la quantità di carica per unità di tempo che fluisce per ogni sezione deve essere lo stesso. La corrente dipende dalla concentrazione di carica e dalla velocità. Lungo il canale la concentrazione di elettroni diminuisce perché diminuisce la differenza di potenziale mentre la velocità aumenta. Quindi l’aumento della velocità deve compensare la riduzione di concentrazione di elettroni. La velocità di deriva dipende a sua volta dal campo elettrico. Quindi si può concludere che il campo elettrico che accelera le cariche dal source al drain non può essere costante lungo il canale. La sua intensità deve invece aumentare progressivamente muovendosi verso il drain. Peraltro, quando ci si spinge nella regione oltre L’, la densità di carica mobile n. Il campo elettrico da drain e pinch off è pari a 𝐹 = Δ𝑉 𝑑 (𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑑 è 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑟𝑎𝑖𝑛 𝑒 𝑝𝑖𝑛𝑐ℎ 𝑜𝑓𝑓) Δ𝑉 = 𝑉𝐷𝑆 − 𝑉𝐷𝑆 𝑠𝑎𝑡 La differenza di potenziale è tipicamente dell’ordine di mezzo Volt o un Volt. Di conseguenza per avere un campo elevato in questa (necessario per avere una velocità elevata) d deve essere piccola. Il tratto d è molto piccolo rispetto alla lunghezza del canale.