Distribuzione di Bernoulli
X variabile aleatoria discreta Rx = { 0 , 1 }
px(1) = p px(0) = 1 – p
# esperimento a due esiti → schema a successo – insuccesso
Proprietà:
1) La media coincide con la probabilità del successo
dimostrazione:
E[X] = Σxi xi * px(xi) = 0 * ( 1 – p ) + 1 * p = 0 + p = p
2) La varianza è il prodotto tra la probabilità di successo e di insuccesso
dimostrazione:
Var(X) = E[X2] – E[X]2
E[X2] = Σxi ( xi )2 * px(xi) = 02 * ( 1 – p ) + 12 * p = 0 + p = p
Var(X) = p – (p)2 = p – p2 = p * ( 1 – p ) dove ( 1 – p ) si trova come q
Distribuzione binomiale
X variabile aleatoria discreta ha distribuzione binomiale se
px(k) = ( ) pk * ( 1 – p )n-k con k= 0 , 1 , 2 , ... , n
X ~ B ( n , p ) ( ) = coefficiente binomiale = n! / [ k! ( n – k ) ! ]
Sviluppo potenza di un binomio
( a + b )n = Σnxi ( ) pk * ( 1 – p )n-k
proprietà del coefficiente binomiale
1) ( ) = ( ) = 1
dimostrazione:
( ) = n! / [ 0! ( n – 0 ) ! ] = n! / n! = 1 * 0! = 1 *
( ) = n! / [ n! ( n – n ) ! ] = n! / n! = 1
2) ( ) = ( ) = n
dimostrazione:
( ) = n! / [ 1! ( n – 1 ) ! ] = [ n * (n – 1)! ] / ( n – 1 )! = n
( ) = n! / [ ( n – 1 )! ( n – n – 1 ) ! ] = [ n * (n – 1)! ] / [( n – 1 )! * 1! ] = n
Distribuzione binomiale
X ~ B ( n , p )
px(x) ( ) pk * ( 1 – p )n-k con k= 0 , 1 , 2 , ... , n
0 altrove
px(x) è una funzione di probabilità
n
k
n
k
n
k
n
0
n
n
n
0
n
n
n
1
n
n- 1
n
1
n
n- 1
n
k
{
