Probabilità discreta e condizionata, catene di Markov, Dispense di Statistica

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Appunti di Calcolo Probabilit`a e Statistica

Lezioni di Marco Ghimenti

A cura di Alessandro Cheli

A.A 2019-

ii

iv INDICE

Capitolo 1

Probabilit`a Discreta e Condizionata

1.1 Probabilit`a Discreta e Formule Combinatorie

Definizione 1.1.1. Probabilita: Attendibilita confortata da motivi ragionevoli

La probabilita (discreta) di un evento si puo definire, in maniera intuitiva,

Definizione 1.1.2.

P (evento) =

casi favorevoli

casi possibili

Esempio 1.1.1. Prendiamo ad esempio il lancio di un dado, voglio ottenere un numero ≥ 5, la probabilita dell’eventoe

P = 2/6 = 1/ 3

Un altro esempio puo essere la probabilita, lanciando 2 dadi, che almeno uno dei due renda un numero ≥ 4.

P =

I casi favorevoli sono 27 perch´e lanciando se lanciando il primo dado ottenendo un numero ≤ 3 significa che ho 3 possibili casi per ognuno dei lanci del primo dado per ottenere un numero ≥ 4 dal lancio del secondo dado (3 · 3), a cui si aggiungono (3 · 6) casi se ottengo un numero ≥ 4 dal primo lancio (tutti i casi del secondo lancio sono validi.)

Esempio 1.1.2. Qual e la probabilita di ottenere almeno un asso pescando 2 carte da un mazzo di 54?

P =

Per i casi possibili, ho 54 casi per la prima pescata e 53 per la seconda, per i casi favorevoli ho { Se pesco un Asso alla prima e una carta q.siasi alla seconda =⇒ 4 · 53 Se non pesco un Asso alla prima e un Asso alla seconda =⇒ 50 · 4

Esercizio 1.1.3. Calcolare la probabilit`a di pescare esattamente 2 assi pescando 5 carte

Esercizio 1.1.4. Calcolare la probabilita di pescare esattamente 2 due donne pescando 5 carte sapendo che la prima carta uscitae una figura

Svolgere questi due esercizi contando i casi e molto macchinoso. Serve introdurre un po’ di calcolo combinatorio e, per il secondo esercizio, il concetto di probabilita condizionata.

1.2. PROBABILIT A CONDIZIONATA` 3

(infatti dobbiamo semplicemente scegliere quale elemento non prendere, e quindi abbiamo k scelte possibili)

Passo induttivo: consideriamo che Sn+1,k = Sn,k + Sn,k− 1 infatti posso scegliere i k elementi dai primi n, e scartare l’ultimo, oppure sceglierne k − 1 dai primi n e prendere l’ultimo. Questa formula spiega perch´e abbiamo bisogno di due passi iniziali.

Sn+1,k = Sn,k + Sn,k− 1 =

n k

n k − 1

n! k!(n − k)!

n! (k − 1)!(n − k + 1)!

=

n!((n − k + 1) + k) k!(n − k + 1)!

n!(n + 1) k!(n + 1 − k)!

(n + 1)! k!(n + 1 − k)!

=

n + 1 k

1.1.4 Disposizioni

Definizione 1.1.5. Una disposizione Dn,k significa il numero di modi per ”prendere” k oggetti ordinati da un insieme di n elementi.

Ovviamente avremo

Dn,k = Sn,k · Perm(k) =

n! (n − k)!k!

· k! =

n! (n − k)!

1.2 Probabilit`a Condizionata

Esempio 1.2.1. Lancio due dadi sommando il risultato, qual `e P (≥ 10) sapendo che il primo ha fatto almeno 3?

Sappiamo che P (Somma ≥ 10) = 6/36 = 1/ 6 Poniamo il vincolo che il lancio del primo dado risulti almeno ≥ 3. Allora se vediamo i possibili risultati vediamo che i casi favorevoli sono 6 e quelli possibili sono 24, quindi

P (Somma ≥ 10 |Primo dado ≥ 3) = 6/24 = 1/ 4

Definizione 1.2.1. Ponendo Ω = gli eventi possibili; La probabilit`a condizionata che succeda A sapendo B si indica con:

P (A|B) =

casi favorevoli casi possibili

|A ∩ B|

|B|

|A ∩ B|

|B|

P (A|B) =

P (A ∩ B)

P (B)

Esempio 1.2.2. Nel lancio di un dado, la probabilita di ottenere ≤ 4 sapendo chee uscito un numero pari `e

4 CAPITOLO 1. PROBABILIT A DISCRETA E CONDIZIONATA`

P (≤ 4 |pari) =

P (≤ 4 |pari) P (pari) P (pari) = 3/6 = 1/ 2 P (≤ 4 ∩ pari) = 2/ 6

=⇒ P (≤ 4 |pari) =

Definizione 1.2.2. Definiamo il complementare di un evento, ovvero AC^ = Ω\A. La probabi- lita di un complementaree P

AC^

= 1 − P (A) = P (Ω) − P (A)

In generale, dati due eventi A, B con A ∩ B 6 = 0 si ha che la probabilita dell’unionee P (A ∪ B) = P (A) + P (B).

Definizione 1.2.3. Due eventi A e B si dicono indipendenti se P (A|B) = P (A).

Dalla definizione di probabilit`a condizionata si ottiene che se A e B sono indipendenti vale P (A ∩ B) = P (A) · P (B)

1.3 Esercizi

Esercizio 1.3.1. Terno al lotto: Giocando 5 numeri al lotto (estrazione da 1 a 90) calcolare la probabilita di ottenere un terno esatto e piu di un terno. Se vogliamo ottenere un terno esatto i casi possibili sono

5

(I modi di estrarre 5 palline dall’urna). I casi favorevoli saranno S 5 , 3 · S 85 , 2 =

3

2

(ovvero i modi in cui si possono scegliere 3 numeri tra i 5 estratti e 2 numeri dagli altri). La probabilita di ottenere un terno esatto sara quindi

P (terno esatto) =

3

2

5

Per ottenere almeno un terno i casi favorevoli sono

• terno:

3

2

• quaterna:

4

1

• cinquina: 1

La probabilita di ottenere almeno un terno sara data dalla somma delle probabilit`a corrispon- denti a terno, quaterna e cinquina:

P (almeno un terno) =

2

3

5

1

4

5

Esercizio 1.3.2. Probabilit`a del gioco di Monty Hall Nel gioco televisivo di Monty Hall il partecipante deve scegliere una fra tre porte, una di esse contiene un premio mentre le altre due contengono rispettivamente due capre. Dopo la scelta del giocatore iniziale il presentatore apre una delle due porte contenenti una capra. Al giocatore conviene cambiare porta o mantenere quella scelta in origine?

Ipotesi Se scelgo una porta e la mantengo vinco solo se il premio era nella porta che ho scelto =⇒ P = 1/ 3

6 CAPITOLO 1. PROBABILIT A DISCRETA E CONDIZIONATA`

Capitolo 2

Spazio Probabilizzato

2.1 Lo Spazio Probabilizzato

Definizione 2.1.1. L’insieme delle parti di A, indicato con P (A), `e dato da tutti i sottoinsiemi che posso costruire a partire dagli elementi di A. Ad esempio:

A = { 0 , 1 } P (A) = {∅, { 0 , 1 }, { 0 }, { 1 }}

Definizione 2.1.2. Un inseme F ⊆ P (A) chiuso rispetto a intersezione, unione e complementare, ovvero

A, B ∈ F =⇒

A ∪ B

A ∩ B

AC^ , BC

∈ F

Si chiama algebra. Se `e chiuso rispetto all’unione numerabile di insiemi, ovvero se A 1 ,... , An ⊂ F allora

n∈N

An ∈

F , allora F si dice σ-Algebra (o trib`u).

Uno spazio probabilizzato e un ente matematico che serve per introdurre una definizione piu rigorosa e piu flessibile di probabilita rispetto a quella usata fino ad adesso.

Definizione 2.1.3. Uno spazio probabilizzato `e definito come una terna:

(Ω, F, P ) (2.1)

Dove Ω e l’insieme degli eventi elementari, ovvero tutti i risultati possibili, ad esempio in un lancio di un dado Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }, Fe una σ-algebra contenuta nelle parti di Ω e la probabilita Pe una funzione definita come

P : F → [0, 1]

P (Ω) = 1 (2.2)

∀i 6 = j.Ai ∩ Aj 6 = ∅ =⇒ P

n

An

n P^ (An)

Spesso, se Ω `e un insieme finito, allora si prende F = P (Ω) e

P (A ⊂ F ) =

#A

2.1. LO SPAZIO PROBABILIZZATO 9

Dimostrazione. Supponiamo che entrambi gli eventi non siano impossibili. Si ha

P (A | B) =

P (A ∩ B)

P (B)

P (B | A) =

P (B ∩ A)

P (A)

Allora

P (A) = P (A | B) =

P (A ∩ B)

P (B)

P (B ∩ A)

P (B)

da cui segue

P (B) =

P (B ∩ A)

P (A)

= P (B | A).

Si pu`o usare la definizione equivalente di eventi indipendenti

Definizione 2.1.6. A e B sono indipendenti se P (A ∩ B) = P (A) · P (B)

Quest’ultima definizione si generalizza bene al caso di molti eventi indipendenti.

Definizione 2.1.7. Gli eventi A 1 ,... , An si dicono indipendenti se per ogni scelta di indici i 1 ,... , ik vale

P (Ai 1 ∩ · · · ∩ Aik ) = P (Ai 1 ) · · · · · P (Aik )

Esempio 2.1.2. A, B indipendenti =⇒

(A, BC^ ), (AC^ , BC^ ), (AC^ , B)

indipendenti

Dimostrazione. Dimostriamo solo che A e BC^ sono indipendenti, le altre sono analoghe

A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ BC^ ) =⇒ P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ BC^ ) = P (A) · P (B) + P (A ∩ BC^ ) =⇒ P (A ∩ BC^ ) = P (A) − P (A) · P (B) = P (A) [1 − P (B)] = P (A) · P (BC^ )

Esercizio 2.1.3. Lancio due dadi, uno rosso ed uno nero. Definiamo lo spazio probabilizzato con Ω = {(r, n), dove r = 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6; n = 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }, F = P (Ω), e la probabilit`a intuitiva, es

P (n = 1) =

Calcoliamo la probabilit`a che il rosso sia 3 sapendo che rosso + nero fa 6

P (r = 3 | r + n = 6) =

P (r = 3 ∩ r + n = 6) P (r + n = 6)

Probabilit`a che il rosso sia pari sapendo che rosso + nero fa 6

P (r = pari | r + n = 6) =

P (r pari ∩ r + n = 6) P (r + n = 6)

10 CAPITOLO 2. SPAZIO PROBABILIZZATO

Esercizio 2.1.4. Gioco di Monty Hall: Riprendendo il gioco delle tre porte definiamo lo spazio probabilizzato: Formalizzo di aver scelto la porta 3. Ω = (x, y) dove x = 1, 2 , 3 e la porta vincente e y = 1, 2e la porta perdente che `e stata aperta dal presentatore. Gli eventi impossibili saranno P (1, 1) = 0, P (2, 2) = 0

P (x = 1) = P (x = 2) = P (x = 3) =

P (x = 1, y = 2) =

P (x = 2, y = 1) =

P (x = 3, y = 1) = P (x = 3, y = 2) =

Quindi P (y = 1) = P (y = 2) =

Se scelgo la porta 3, suppongo venga aperta la 2. Se non cambio e vinco (x = 3) allora

P (x = 3 | y = 2) =

P ((3, 2))

P (y = 2)

Se scelgo la porta 3, suppongo venga aperta la 1 e cambio allora:

P (x = 1 | y = 2) =

P ((1, 2))

P (y = 2)

2.2 Formula di fattorizzazione

Definizione 2.2.1. Dato uno spazio probabilizzabile (Ω, F ), una famiglia di insiemi B 1 ,... , Bn ∈ F⋃ , con n ∈ N `e detta una partizione finita di Ω se se ∀i, j con j 6 = i allora Bi ∩ Bj = ∅ e se n i=1 Bi^ = Ω.

Lemma 2.2.1. Sia {Bi}i=1,...,n partizione finita di Ω e sia P (Bi) > 0 ∀i. Allora si avr`a

P (A) =

∑^ n

i=

P (A | Bi) · P (Bi) (2.5)

Dimostrazione.

P (A) =

∑^ n

i=

P (A ∩ Bi) =

∑^ n

i=

P (A | Bi) · P (Bi)

Definizione 2.2.2. Condizionamento Ripetuto: Dati A 1 ,... , An eventi, allora

P (A 1 ∩ · · · ∩ An) = P (A 1 ) · P (A 2 | A 1 ) · P (A 3 | A 1 ∩ A 2 ) ·... · P (An | A 1 ∩ · · · ∩ An− 1 )

12 CAPITOLO 2. SPAZIO PROBABILIZZATO

Calcoliamo, come prima P (R) = 0. 005 ·

≈ 0 .25. Abbiamo quindi che

P (S | R) =

Esercizio 2.4.4. La probabilita di ammalarsi di un soggetto a rischio (R)e 0.2, mentre la pro- babilita di ammalarsi di un soggetto non a rischio (N )e 0.006. Il 15% della popolazione `e di soggetti a rischio. Un malato si denota con M mentre uno sano con S. Vogliamo sapere

1. P (Soggetto casuale sia malato) = P (M ) = P (M | R) · P (R) + P (R | N ) · P (N ) = 0. 35 P (M ) = 0. 2 · 0 .15 + 0. 006 · 0 .85 = 0. 35
2. P (Soggetto malato fosse a rischio) =

P (R | M ) =

P (M | R) · P (R)

P (M )

1. P (Soggetto soggetto sano sia a rischio) =

P (R | S) =

P (S | R) · P (R)

P (S)

Nota. La probabilita che l’evento Ac^ (A complementare) si verifichi sapendo Be P (Ac^ | B) = 1 − P (A | B) mentre la probabilita di A sapendo Bc^e P (A | Bc) 6 ≡ 1 − P (A | B).

Definizione 2.4.1. Prendendo S = soggetti sani, M = soggetti malati, T −^ = test negativo, T +^ = test positivo. La specificita di un teste P (T −^ | S). Una specificita alta implica pochi falsi positivi. La sensibilita e P (T +^ | M ). Una sensibilita alta implica pochi falsi negativi.

Capitolo 3

Variabili Aleatorie

Figura 3.1: Tipi di variabili casuali

3.1 Variabili Aleatorie Discrete

Una variabile aleatoria e una funzione che puo assumere diversi valori in dipendenza da qualche fenomeno casuale. Il risultato del lancio di un dado, o la vincita legata a tale risultato, ad esempio, sono variabili aleatorie.

Definizione 3.1.1. Prendiamo uno spazio probabilizzabile (Ω, F ). Una variabile aleatoria di- screta `e una funzione X : Ω → R, che assume valori in un sottoinsieme finito o numerabile {a 1 ,... , ak,... } ⊂ R e tale che ∀j la controimmagine di aj sia un elemento della σ-algebra, ovvero che X−^1 (aj ) = {ω ∈ Ω, X(ω) = aj } ∈ F.

Definizione 3.1.2. Data la probabilita di tutti gli eventi posso definire la densita di probabilita associata ad X: nello spazio probabilizzato (Ω, F, P ) la probabilita che la variabile aleatoria assuma il valore aj sara pj = P (X = aj ) = P (X−^1 (aj )). La successione {pj } viene detta densita di probabilit`a di X.

3.2. VARIABILI ALEATORIE NOTEVOLI 15

Siamo sicuri che pk sia una densit`a? Sappiamo che pk ≥ 0. Vediamo che 1 =

k pk, infatti, ricordando che (a + b)n^ =

∑n k=

(n k

akbn−k^ (binomio di Newton), abbiamo che

∑

k

pk =

∑^ n

k=

n k

pk(1 − p)n−k^ = (p + (1 − p))n^ = 1n^ = 1

Esempio 3.2.1. Somma di Variabili Aleatorie Lancio due dadi, uno rosso e uno nero, avremo quindi Ω = {(R, N ) : R, N = 1,... , 6 } = {(1,... , 6)}^2. Definisco due variabili aleatorie, X per il dado rosso dove X : (R, N ) → R e la variabile Y : (R, N ) → N. La densita per X sara pj = (^16) ∀j mentre la densita per Y sara qj = 16 ∀j Definiamo Z = X + Y conta la somma dei dadi. Calcolare la densita di Z In questo caso X, Y sono indipendenti, quindi avremo la densita di Z detta tn con n = 2,... , 12 data da

tn = P (Z = n) =

∑^ n−^1

i=

P (X = i) · P (Y = n − i)

X + Y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

pj + qj 1 / 36 2 / 36 3 / 36 4 / 36 5 / 36 6 / 36 5 / 36 4 / 36 3 / 36 2 / 36 1 / 36

Tabella 3.1: Distribuzione discreta della somma del lancio di due dadi.

Figura 3.2: Distribuzione della somma del lancio di due dadi

16 CAPITOLO 3. VARIABILI ALEATORIE

Esempio 3.2.2. Calcolare P (4 ≤ Z ≤ 6)

P (4 ≤ Z ≤ 6) = P (Z = 4) + P (Z = 5) + P (Z = 6) =

Definizione 3.2.3. Indipendenza di variabili aleatorie Due variabili aleatorie X 1 , X 2 sono indipendenti se ∀I 1 , I 2 , ⊆ R intervalli o semirette si ha che

(P (X 1 ∈ I 1 ) ∩ P (X 2 ∈ I 2 )) = P (X 1 ∈ I 1 ) · P (X 2 ∈ I 2 )

Nell’esempio di prima X, Z sono dipendenti perch´e, dati I 1 = [3, 4], I 2 = [1, 2], allora si ha

che P (X ∈ I 1 ) = P (X = 3, 4) =

e si ha anche P (Z ∈ I 2 ) = P (Z = 1, 2) = P (Z = 2) =

D’altra parte se ottengo 3 o 4 con il primo dado la somma sar`a sempre superiore a 5, quindi

P ((X ∈ I 1 ) ∩ (Z ∈ I 2 )) = 0 6 = P (X ∈ I 1 ) · P (Z ∈ I 2 )

Definizione 3.2.4. Variabili Aleatorie Congiunte Due variabili aleatorie X, Y : Ω → R discrete sono congiunte quando si puo calcolare P (X = m ∩ Y = n) = pn,m, ovvero una densita di probabilit`a {pn,m}n,m con (pn,m ≥ 0) ∧ (

n,m pn,m^ = 1). Sapendo pn,m ricavo tutti i P (X = m) = pXm e P (Y = n) = qYn nel modo seguenti

pXm = P (X = m) = P

X = m ∩

n

Y = n

n

P (X = m, Y = n) =

n

pn,m

qYn = P (Y = n) =

m

pn,m

In generale non si puo ricostruire dalle due densita di probabilita la densita della variabi- le aleatoria congiunta. Ad esempio, conoscendo pXn , qnY cerco pn, m = P (X = m ∩ Y = n) = P (X = m|Y = n) · P (Y = n), ma non conosco necessariamente P (X = m|Y = n) Se X, Y sono indipendenti allora P (X = m | Y = n) = P (X = m) e vale il prodotto pm,n = pXn · qYm. Si noti che in questo caso si verifica subito che pm,n e una densita di probabilit`a, infatti pm,n ≥ 0 perch´e sia pXn che qYm lo sono; inoltre

∑

m

n

pn,m =

m

n

pXn · qmY =

m

pXm

n

qYm

Definizione 3.2.5. Formula di Convoluzione Tornando alla somma di due variabili aleatorie discrete, dati X, Y indipendenti e Z = X + Y , con X, Y : Ω → N, se vogliamo calcolare P (Z = n) e la densita di probabilita discreta {Z = n} possiamo usare le seguenti formule (dette di convoluzione)

{Z = n} =

⋃^ n

i=

{X = i ∩ Y = n − i}

P (z = n) =

i

P (X = i ∩ Y = n − i) =

∑^ n

i=n

P (X = i) · P (Y = n − i)

Ho definito B(n, p) come i successi di n esperimenti che hanno successo con prob. p. In effetti vale la seguente formula