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1 Vettori aleatori continui
Si chiama vettore aleatorio assolutamente continuo una v.a. n-dimensionale X = (X 1 ; X 2 ; : : : ; Xn); le cui componenti Xi sono v.a. assolutamente continue, ognuna provvista di densita continua fi(t) 0 ; tale che (^) ∫
fi(t)dt = 1;
per cui risulta:
Fi(t) = P (Xi t) =
∫ (^) t
fi(u)du;
d dt
Fi(t) = fi(t):
(Fi(t) e la f.d.d. marginale della v.a. Xi; mentre fi(t) e la densita marginale di Xi):
La f.d.d. congiunta di X e
F (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn) = P fX 1 x 1 ; X 2 x 2 ; : : : ; Xn xng;
e si chiama densita congiunta di (X 1 ; X 2 ; : : : ; Xn) la funzione
f : Rn^ ! R+
de nita da
f (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn) =
@nF (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn) @x 1 @x 2 : : : @xn
Inoltre, se E Rn; si ha:
P [(X 1 ; X 2 ; : : : ; Xn) 2 E] =
E
f (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn)dx 1 dx 2 dxn;
dove l'integrale e multiplo.
Per semplicita, trattiamo inizialmente il caso di una v.a. bidimensionale (X; Y ) (ovvero n = 2 e X 1 = X; X 2 = Y ); con f.d.d. e densita congiunta:
F (x; y) = P (X x; Y y) e f (x; y) =
@^2 F (x; y) @x@y
Naturalmente, f (x; y) 0 ; e l'integrale doppio di f esteso a R^2 deve valere 1; cioe:
∫ (^) + 1
f (x; y)dxdy = 1;
inoltre, se E R^2 ; si ha:
P [(X; Y ) 2 E] =
E
f (x; y)dxdy;
anche questo e un integrale doppio. Si ha pure:
F (x; y) = P (X x; Y y) = P ((X; Y ) 2 Ax;y) =
Ax,y
f (u; v)dudv;
ove Ax;y = f(u; v) 2 R^2 : u x; v yg: Il signi cato della densita f (x; y) e il seguente:
f (x; y)dxdy = P [X 2 (x; x + dx); Y 2 (y; y + dy)]:
Anche per la v.a. bidimensionale (X; Y ) vale che
P [(X; Y ) 2 A] =
A
f (x; y)dxdy = 0; se mis(A) = 0;
dove mis(A) e la misura Euclidea dell'insieme A: In particolare, risulta P (X = x; Y = y) = 0; 8 x; y: Per quanto riguarda le distribuzioni marginali di X e Y; si ha:
FX (x) = P (X x) = P
y 2 R
fX x; Y yg
= lim y!+ 1 F (x; y) =
∫ (^) x
du
dvf (u; v):
e
FY (y) = P (Y y) = P
x 2 R
fX x; Y yg
= lim x!+ 1
F (x; y) =
∫ (^) y
dv
duf (u; v):
Dunque:
fX (x) =
dFX (x) dx
d dx
(∫ (^) x
du
dvf (u; v)
dv
d dx
∫ (^) x
duf (u; v) =
dvf (x; v) =
f (x; y)dy;
dove abbiamo usato il Teorema fondamentale del Calcolo (Teorema di Torricelli), per affer- mare che d dx
(∫ (^) x
f (u; v)du
= f (x; v);
analogamente, si trova:
fY (y) =
f (x; y)dx:
Si osservi l'analogia con le formule per le densita marginali delle componenti di una v.a. bidi- mensionale discreta (X; Y ); per cui, detta p(x; y) = P (X = x; Y = y) la densita congiunta, risulta: pX (x) = P (X = x) =
y
p(x; y) e pY (y) = P (Y = y) =
x
p(x; y):
Naturalmente, ora le serie sono state sostituite da integrali.
Osservazione Per a 2 > a 1 ; b 2 > b 1 ; sia
R = (a 1 ; a 2 ) (b 1 ; b 2 );
allora: P ((X; Y ) 2 R) = F (a 2 ; b 2 ) F (a 2 ; b 1 ) F (a 1 ; b 2 ) + F (a 1 ; b 1 ):
Analogamente:
fY (y) =
2
1 y^2 se jyj 1 0 altrimenti:
De nizione
Le v.a. continue X 1 ; X 2 ; : : : ; Xn si dicono stocasticamente indipendenti se 8 a 1 ; b 1 ; a 2 ; b 2 ; : : : an; bn con ai bi risulta:
P (X 1 2 [a 1 ; b 1 ]; X 2 2 [a 2 ; b 2 ]; : : : ; Xn 2 [an; bn] = P (X 1 2 [a 1 ; b 1 ])P (X 2 2 [a 2 ; b 2 ]) P (Xn 2 [an; bn]):
Se n = 2; X e Y sono indipendenti se, per a b e c d :
P (a X b; c Y d) = P (a X b)P (c Y d): (1.1)
Se X e Y hanno densita congiunta f (x; y); (1.1) diviene:
∫ (^) d
c
dy
∫ (^) b
a
f (x; y) dx =
(∫ (^) b
a
fX (x)dx
) (∫ (^) d
c
fY (y)dy
e cio vale se e solo se
f (x; y) = fX (x)fY (y) q:o: (quasi ovunque):
Osservazione Se f (x; y); fX (x) e fY (y) sono funzioni continue, per mostrare che X e Y sono dipendenti, basta che esista (x 0 ; y 0 ) 2 domf tale che f (x 0 ; y 0 ) ̸= fX (x 0 )fY (y 0 ); infatti, per il Teorema della permanenza del segno applicato alla funzione continua g(x; y) = f (x; y) fX (x)fY (y); esiste un cerchietto con centro (x 0 ; y 0 ) e raggio r opportunamente piccolo, per cui risulta g(x; y) ̸= 0; per (x; y) 2 Cr = f(x; y) 2 R^2 : (x x 0 )^2 +(y y 0 )^2 r^2 g; e questo vuol dire che X e Y sono dipendenti, poiche Cr ha misura strettamente positiva.
Le v.a. X e Y dell' Esempio 1 non sono indipendenti; infatti fX (x)fY (y) > 0 se (x; y) 2 Q = [ 1 ; 1]^2 ; e f (x; y) = 0 fuori del cerchio C = f(x; y) 2 R^2 : x^2 + y^2 1 g Q: Allora in Q C risulta f (x; y) ̸= fX (x)fY (y):
Proposition 1.1 Se X e Y sono v.a. assolutamente continue indipendenti, e ϕ; : R ! R; allora le v.a. ϕ(X) e (Y ) sono indipendenti.
Dim. Per a < b e c < d; si ha:
P (ϕ(X) 2 [a; b]; (Y ) 2 [c; d]) = P (X 2 ϕ ^1 ([a; b]); Y 2 ^1 ([c; d]));
dove ϕ ^1 ([a; b]) e la controimmagine di [a; b] tramite ϕ e ^1 ([c; d]) e la controimmagine di [c; d] tramite : Allora, siccome X e Y sono indipendenti:
P (ϕ(X) 2 [a; b]; (Y ) 2 [c; d]) =
ϕ−^1 ([a;b]) −^1 ([c;d])
f (x; y)dxdy
ϕ−^1 ([a;b]) −^1 ([c;d])
fX (x)fY (y)dxdy =
ϕ−^1 ([a;b])
fX (x)dx
− (^1) ([c;d])
fY (y)dy
= P (ϕ(X) 2 [a; b]) P ( (Y ) 2 [c; d]):
Figure 2:
Osservazione Se (X 1 ; X 2 ; : : : ; Xn) e un vettore aleatorio n dimensionale, la nozione di indipendenza di X 1 ; X 2 ; : : : ; Xn si formula in modo analogo. Estendendo la Proposizione 1, se (X 1 ; Y 1 ) e (X 2 ; Y 2 ) sono due vettori aleatori bidimensionali indipendenti, allora X 1 + Y 1 e una v.a. indipendente da X 2 + Y 2 : Basta prendere ϕ(x; y) = (x; y) = x + y; dove ora, naturalmente, ϕ; : R^2 ! R:
Esercizio Sia (X; Y ) un vettore aleatorio uniformemente distribuito sul cerchio unitario. Calcolare P (X + Y 1):
Soluzione. Siccome X^2 + Y 2 1 ; si ha:
P (X + Y 1) =
A
dxdy;
dove A = f(x; y) 2 R^2 : y 1 x; x^2 + y^2 1 g: Quindi:
P (X + Y 1) =
0
dx
∫ p 1 x 2
x+
dy
area(A) =
ovvero (^) ^1 (area di un quarto di cerchio di raggio 1 area del triangolo rettangolo isoscele di cateto uguale a 1); vedi gura 2.
Osservazione Supponiamo che X e Y abbiano densita congiunta della forma f (x; y) = u(x)v(y): allora X e Y sono indipendenti. Infatti, deve essere:
f (x; y)dxdy =
u(x)dx
v(y)dy ()
Le densita marginali di X e Y sono:
fX (x) =
f (x; y)dy = u(x)
v(y)dy;
fY (y) =
f (x; y)dx = v(y)
u(x)dx =
Esempio Il tempo di vita, Y; di un componente elettronico ha densita esponenziale di parametro > 0 ; dove e una v.a. uniformemente distribuita in (0; 1): Trovare la densita di Y:
Si ha:
fY jΛ(yj) =
e y; se y 0 0 altrimenti:
Siccome U ni(0; 1); la densita congiunta di e Y; ovvero f (; y) e:
f (; y) =
e y; se y 0 e 0 1 0 altrimenti:
Allora:
fY (y) =
0 f^ (; y)^ d^ =^
0 e
y (^) d = 1 y^2 (1^ ^ ye
y (^) e y); se y > 0
0 se y 0 :
Speranza condizionale Si chiama media condizionale di X; dato fY = yg la quantita
E[XjY = y] =
R
xfXjY (xjy) dx =
R
x
f (x; y) fY (y)
dx:
La media condizionale di X; dato fY = yg e in realta anch'essa una v.a., che assume valori my := E[XjY = y]; al variare di y nel range di Y: Risulta: E[E[XjY = y]] = E(X);
infatti,
E[E[XjY = y]] =
R
E[XjY = y]fY (y)dy =
R
R
x
f (x; y) fY (y)
dx
fY (y) dy
R
dx x
R
f (x; y)dy =
(essendo
R f^ (x; y)dy^ =^ fX^ (x))
R
dx xfX (x) = E(X):
Naturalmente, in maniera analoga si de nisce la media condizionale di Y; dato fX = xg; e risulta E[E[Y jX = x]] = E(Y ):
Esercizio Supponiamo che X Gamma( ; ) e sia Y un'altra v.a. con distribuzione esponenziale di parametro X (attenzione, X e positivo, ma e un numero aleatorio). (i) Qual e la legge di Y? (ii) Quanto vale la media di Y?
(iii) Qual e la densita condizionale di X; dato fY = yg? e quanto vale E[XjY = y]? Soluzione. (i) La densita condizionale di Y; dato fX = xg e:
fY jX (yjx) =
xe xy^ se y 0 0 se y < 0
La densita congiunta di (X; Y ) e:
f (x; y) = fX (x)fY jX (yjx) =
α Γ( ) x^
(^1) e x (^) xe xy (^) se x 0 ; y 0
0 altrimenti
α Γ( ) x^ e
(+y)x (^) se x 0 ; y 0
0 altrimenti
La densita di Y e la marginale:
fY (y) =
0
dx
x e (+y)x
( + y) +
0
dx
( + y) + ( + 1)
x(^ +1) ^1 e (+y)x^ =
(visto che l'integrale vale 1; poiche la funzione integranda e una densita Gamma( +1; +y))
( + y) +^
( + y) +^
; y 0 ;
mentre fY (y) = 0; se y < 0 : (ii) E(Y ) e nita se e solo se
∫ (^) + 1
0
y ( + y) +^
dy < + 1 ;
il che e vero se > 1 : Integrando per parti, si ottiene facilmente:
E(Y ) =
(iii) La densita condizionale di X dato Y = y e:
fXjY (xjy) =
f (x; y) fY (y)
( + y) + ( )
x e (+y)x; x 0
che e una densita Gamma( + 1; + y); percio la sua media, ovvero E[XjY = y]; vale (^) +1+y :
Trasformazioni di v.a. assolutamente continue Abbiamo gia visto che, se Y = ϕ(X) con ϕ diffeomor smo, e fX (x) e la densita di X; allora la densita di Y e: fY (y) = f (ϕ ^1 (y))j(ϕ ^1 )′(y)j:
derivando rispetto a z :
d dz
FZ (z) =
d dz
(P (Z z)) =
d dz
dx
∫ (^) z x
f (x; y)dy
dx
d dz
∫ (^) z x
f (x; y)dy =
dxf (x; z x);
ove abbiamo applicato il Teorema di Torricelli alla funzione y! f (x; y); con x ssata. Abbiamo quindi ottenuto:
fZ (z) =
R
f (x; z x)dx:
Se poi, X e Y sono indipendenti, allora la densita di Z = X + Y diviene:
fZ (z) =
R
fX (x)fY (z x)dx:
Ora dimostriamo la formula di convoluzione, utilizzando il cambio di variabili.
Consideriamo la traformazione (X; Y ) ! (X; Z); dove Z = X + Y; ovvero:
ϕ :
X = X
Z = X + Y
; e la sua inversa ϕ ^1 :
X = X
Y = Z X:
La matrice Jacobiana della trasformazione inversa, Jϕ−^1 (x; z) e :
Jϕ− 1 (x; z) =
(@x @x
@x @y @z @x
@y @z
e il valore assoluto del suo determinante vale 1: Allora, usando la formula per la densita della v.a. trasformata (X; Z); si ottiene:
f(X;Z)(x; z) = f(X;Y )(x(x; z); y(x; z))jdet(Jϕ− 1 (x; z))j = f(X;Y )(x; z x) 1 :
In ne, la densita di Z = X + Y e la seconda marginale di (X; Z); pertanto si ottiene integrando in x :
fZ (z) =
R
f(X;Z)(x; z)dx =
R
f(X;Y )(x; z x)dx;
che coincide con la formula gia trovata, col metodo della funzione di distribuzione. Osserviamo che particolare attenzione deve essere fatta relativamente al dominio di inte- grazione; infatti, nella formula c'e scritto R; ma spesso esso e solo un sottoinsieme di R; a causa della forma di f(X;Y )(x; y) che puo contenere nella sua de nizione una o due funzioni indicatrici.
Utilizziamo ora la formula di convoluzione per dimostrare il teorema di addizione di v.a. con densita Gamma, indipendenti.
Theorem 1.2 Siano X e Y indipendenti con X Gamma( ; ) e Y Gamma( ; ); ; ; > 0 : Allora Z = X + Y Gamma( + ; ):
Dim. Per la formula di convoluzione relativa a v.a. indipendenti, la densita di Z e data da:
fZ (z) =
fX (x)fY (z x)dx =
0
x ^1 e x^
(z x) ^1 e (z x) (^1) fz x 0 g(x)dx
e z
∫ (^) z
0
x ^1 (z x) ^1 dx;
(ricordiamo che (^1) E (u) e la funzione indicatrice sull' insieme E; che vale 1 se u 2 E; e zero altrimenti) con la sostituzione x = tz; si ottiene
e z
0
(tz) ^1 (z tz) ^1 zdt
= C z +^ ^1 e z^ ;
ove abbiamo posto
C =
0
t ^1 (1 t) ^1 dt;
Quindi, abbiamo ottenuto: fZ (z) = C z +^ ^1 e z^ :
Da quest'ultima uguaglianza segue che Z ha densita Gamma( + ; ); a patto che risulti C = α+β Γ( + ) ;^ ovvero^ ∫ 1
0
t ^1 (1 t) ^1 dt =
Da cio segue che ( + ) ( ) ( )
t ^1 (1 t) ^1
e una densita con supporto (0; 1); essa si chiama densita Beta( ; ):
Figure 3:
e, derivando rispetto a z :
fZ (z) =
d dz
FZ (z) =
dx
d dz
x z
f (x; y) dxdy
dx ( f (x; x z) ( 1) =
dx f (x; x z):
(come in precedenza, abbiamo utilizzato il Teorema di Toricelli). Allo stesso risultato si poteva pervenire utilizzando il cambio di variabili: (X; Y ) ! (X; Z); dove Z = X Y; ovvero:
ϕ :
X = X
Z = X Y
; e la sua inversa ϕ ^1 :
X = X
Y = X Z:
La matrice Jacobiana della trasformazione inversa, Jϕ− 1 (x; z) e :
Jϕ−^1 (x; z) =
(@x @x
@x @y @z @x
@y @z
e il valore assoluto del suo determinante vale 1: Allora, usando la formula per la densita della v.a. trasformata (X; Z); si ottiene:
f(X;Z)(x; z) = f(X;Y )(x(x; z); y(x; z))jdet(Jϕ− 1 (x; z))j = f(X;Y )(x; x z) 1 :
In ne, la densita di Z = X Y e la seconda marginale di (X; Z); pertanto si ottiene integrando in x :
fZ (z) =
R
f(X;Z)(x; z)dx =
R
f(X;Y )(x; x z)dx;
che coincide con la formula gia trovata, col metodo della funzione di distribuzione.
Calcoliamo ora la densita di Z = aX + bY + c:
- b > 0 si ha:
P (Z z) = P (aX + bY + c z) = P
Y
z c b
ax b
dx
∫ (^) (z c)=b ax=b
f (x; y)dy;
e, derivando rispetto a z :
fZ (z) =
d dz
P (Z z) =
d dz
dx
∫ (^) (z c)=b ax=b
f (x; y)dy
dx
d dz
∫ (^) (z c)=b ax=b
f (x; y)dy
dx f
x;
z c ax b
b
- b < 0 si ha:
P (Z z) = P (aX + bY + c z) = P
Y
z c b
ax b
dx
(z c)=b ax=b
f (x; y)dy;
e, derivando rispetto a z :
fZ (z) =
d dz
P (Z z) =
d dz
dx
(z c)=b ax=b
f (x; y)dy
dx
d dz
(z c)=b ax=b
f (x; y)dy
dx
[
f
x;
z c ax b
)]
b
In de nitiva, riunendo tutti e due i casi, otteniamo che la densita di Z e:
fZ (z) =
dx f
x;
z c ax b
jbj
Ovviamente, il caso b = 0 va considerato a parte, poiche in tal caso Z = aX + c e una trasformazione lineare della v.a. unidimensionale X; e la densita di Z; come sappiamo, e :
fX
z c a
jaj
ove fX (x) denota la densita di X:
