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Appunti di Statistica Psicometrica, Appunti di Statistica

Alma Mater Studiorum – Università di Bologna (UNIBO)Statistica
Prof. Mariagrazia Benassi

Il file contiene gli appunti presi a lezione (ed integrati con i manuali) di Statistica Psicometrica, del CdL in Sciente e Tecniche Psicologiche (sede di Cesena), tenuto dalla professoressa Mariagrazia Benassi. Cercare anche il file con le possibili domande d'esame dello stesso corso.

Tipologia: Appunti

2016/2017
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30 Punti
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Offerta a tempo limitato

Caricato il 28/12/2017

santo_barcellona
santo_barcellona 🇮🇹

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Statistica Psicometrica
Metodi di misura psicometrica:
- validazione di questionari e test psicologici
- percezione visiva
- movienti oculari
Metodi di analisi dei dati complessi:
- percezione visiva
- movimenti oculari
- PEV
Obiettivi del corso:
- conoscere le basi della statistica descrittiva e inferenziale
- conoscere le tecniche statistiche di base utilizzate nella ricerca psicologica
- sapere applicare i test statistici di base (conoscerne l’utilizzabilità e i limiti)
- sapere leggere i risultati di test statistici
Metodi:
- lezioni frontali
- seminari (3 e 4 aprile Agneta Herlitz; 2 maggio Tony Pansel; X marzo Roberto Bolzani)
Bibliografia:
- Howitt & Kramer, Statistica per Psicologia (2014), Ed Pearson
- Articoli forniti dal docente
Programma del corso:
logica del test statistico, probabilità e distribuzioni di probabilità parametri statistici di probabilità test
parametrici test non parametrici
Verifiche degli apprendimenti:
- esame scritto: 31 domande a risposta chiusa, 50 minuti (2 prove in itinere [semi-parziali], simulazione
d’esame facoltativa: 22marzo-10maggio)
- lavoro di gruppo (opzionale)
- orale (facoltativo)
Fondamenti della statistica psicometrica:
- descrizione (di fenomeni psicologici) e dimostrazione (di teorie scientifiche)
Metodo scientifico:
-occorre definire le caratteristiche del metodo scientifico per distinguere le teorie scientifiche dalle
teorie non scientifiche
- è il metodo che determina la differenza fra conoscenza scientifica e non accettabile come tale
- le caratteristiche del MS sono condivise dalla comunità scientifica
- sono sottoposte a continue revisioni, soggette a cambiamenti
importanza della logica ma anche:
esperienza; errore; logica descrittiva e dimostrativa che seguono regole precise che cercano di controllare
(misurare l’errore) attraverso la verifica empirica
- logica falsificazionista (carattere dimostrativo della scienza che è autocorregibile)
Razionalismo critico di Popper:
- criterio della demarcazione: è scientifica ogni affermazione che può essere confutabile, ovvero
quella che nella sua formulazione logica permette la possibilità di essere falsificata
- la ricerca scientifica non inizia dall’osservazione ma dai problemi che vengono risolti attraverso la
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Statistica Psicometrica

Metodi di misura psicometrica:

  • validazione di questionari e test psicologici
  • percezione visiva
  • movienti oculari Metodi di analisi dei dati complessi:
  • percezione visiva
  • movimenti oculari
  • PEV Obiettivi del corso:
  • conoscere le basi della statistica descrittiva e inferenziale
  • conoscere le tecniche statistiche di base utilizzate nella ricerca psicologica
  • sapere applicare i test statistici di base (conoscerne l’utilizzabilità e i limiti)
  • sapere leggere i risultati di test statistici Metodi:
  • lezioni frontali
  • seminari (3 e 4 aprile Agneta Herlitz; 2 maggio Tony Pansel; X marzo Roberto Bolzani) Bibliografia:
  • Howitt & Kramer, Statistica per Psicologia (2014), Ed Pearson
  • Articoli forniti dal docente Programma del corso: logica del test statistico, probabilità e distribuzioni di probabilità  parametri statistici di probabilità  test parametrici  test non parametrici Verifiche degli apprendimenti:
  • esame scritto: 31 domande a risposta chiusa, 50 minuti (2 prove in itinere [semi-parziali] , simulazione d’esame facoltativa: 22marzo-10maggio)
  • lavoro di gruppo (opzionale)
  • orale (facoltativo) Fondamenti della statistica psicometrica: - descrizione (di fenomeni psicologici) e dimostrazione (di teorie scientifiche)  Metodo scientifico:
    • occorre definire le caratteristiche del metodo scientifico per distinguere le teorie scientifiche dalle teorie non scientifiche
    • è il metodo che determina la differenza fra conoscenza scientifica e non accettabile come tale
    • le caratteristiche del MS sono condivise dalla comunità scientifica
    • sono sottoposte a continue revisioni, soggette a cambiamenti  importanza della logica ma anche: esperienza; errore; logica descrittiva e dimostrativa che seguono regole precise che cercano di controllare (misurare l’errore) attraverso la verifica empirica - logica falsificazionista (carattere dimostrativo della scienza che è autocorregibile)  Razionalismo critico di Popper:
    • criterio della demarcazione : è scientifica ogni affermazione che può essere confutabile, ovvero quella che nella sua formulazione logica permette la possibilità di essere falsificata
    • la ricerca scientifica non inizia dall’osservazione ma dai problemi che vengono risolti attraverso la

dimostrazione empirica

  • la scienza avanza per tentativi ed errori
  • l’osservazione serve per verificare le ipotesi  Cap. 1-2 in “La logica della scoperta scientifica di Karl Popper Teorie non scientifiche : quando una teoria non prevede l’errore ma si spaccia come verità assoluta, non può

essere confutabile ovvero falsificabile, accade quando  1) scarsa precisione; 2) inconsapevolezza; 3)

eccessiva complessità (es. teorie dogmatiche, religioni..)

Psicometria

  • Misurare: associare alcune caratteristiche del fenomeno in studio (sistema empirico) a una unità di misura (sistema numerico)  misurare significa mettere in relazione alcune proprietà degli eventi che osserviamo con le proprietà dei numeri [ isomorfismo : è un'applicazione biunivoca fra oggetti matematici tale che l'applicazione e la sua inversa siano omomorfismi.]
  • Errori (esistono sempre): errori controllabili ( conoscenza, esperienza); errori non eliminabili (comunque misurabili  cause irriconoscibili, casualità);  sono errori controllabili gli errori di misura, gli errori sistematici (direzionali, teorici, strumentali, personali)  sono errori non eliminabili gli errori asistematici (aleatori, casualità)
  • Controllo dell’errore – statistica:  metodi (condivisione dettagli, precisione e affidabilità degli strumenti)  stime dell’errore (valutazione dell’apporto della casualità attraverso calcoli probabilistici)
  • Statistica descrittiva per la descrizione: rappresentazione sintetica dei diversi valori relativi ai soggetti di un determinato gruppo (media, frequenza, percentuale..)  riguarda solo i soggetti esaminati In breve.. RACCOLTA DATI  DESCRIZIONE DATI  IDEA GENERALE ( importante : deve essere definita in modo aprioristico)
  • Statistica inferenziale per la dimostrazione: 1) saggia l’influenza di alcuni fattori sui parametri; 2) classifica i soggetti in vari gruppi; 3) prevede l’andamento di certi parametri  riguarda concetti generali e quindi tutti i possibili soggetti che rispondono a certe caratteristiche  LOGICA/METODO FALSIFICAZIONISTA: falsifico l'ipotesi nulla non falsifico l'ipotesi nulla Test Statistico (stima del parametro) Raccolta Dati e Descrizione Variabili Scelta Campione casuale e idoneo Formulazione Ho Idea Generale Ipotesi Sperimentale
  • minima differenza apprezzabile
  • numerosità del campione
  • varianza casuale

Probabilità: Se non si tiene conto del grado di fiducia degli eventi avversi, si rischia di perdere la coerenza del soggetto nel calcolo della soggettività. Ovviamente, più informazioni si hanno, più concreta e precisa sarà la definizione della probabilità.  due soggetti diversi, a pari livello di informazione, possono dare due misure di probabilità diverse proprio in forza della soggettività  la coerenza viene introdotta perché la soggettività in assoluto renderebbe indeterminata e non controllabile la misura della probabilità Il paradosso di Bertrand Problema : calcolare la probabilità di trovare una corda casuale di una circonferenza più lunga del lato del triangolo equilatero iscritto  1 a^ Soluzione: Ogni punto interno alla circonferenza individua il punto centrale di una corda p=1/2 a^ Soluzione: Scegliamo il punto d’origine della corda nell’apice del triangolo p=1/3 a^ Soluzione: Ogni corda può essere vista come segmento perpendicolare a un raggio della circonferenza p=1/

considerate influenti l’una sull’altra, sono definiti da una relazione mutua (correlazione)

  • quando invece non sono chiare le definizioni fra le variabili allora la relazione si definisce spuria (deve essere giustificato dallo sperimentatore la definizione che dà alle variabili) Classificazione in base alle caratteristiche:
  • variabili qualitative (definite anche “reali”)  possono essere definite da numeri che, però, hanno una funzione di etichetta
  • variabili quantitative  il numero che si attribuisce al soggetto può seguire, oltre alla cardinalità, anche un certo ordine di grandezza Classificazione in base alla distribuzione (della probabilità):
  • variabili gaussiane  seguono una distribuzione gaussiana che ha caratteristiche matematiche precise
  • variabili non gaussiane Scale di misura Classificazione Stevensiana:
  • sistema di riferimento  sistema di numeri reali R
  • va da una classe più semplice ad una classe più complessa  la classi sono:
    • scale nominali (qualitative)  la relazione fra gli eventi è la categorizzazione  le categorie sono distinte in base alla sola operazione di uguaglianza o differenza  la proprietà dei R corrispondente è la cardinalità  gli eventi sono raggruppabili in classi mutualmente esclusive  le operazioni statistiche possibili sono il calcolo delle frequenze, test non parametrici  le possiamo rappresentare tramite grafici, tabelle di frequenza, statistiche, SPSS
    • scale ordinali (quantitative)  gli elementi dell’insieme sono oltre che sottoposti a categorizzazione anche ordinati gerarchicamente seguendo una relazione di asimmetria  i numeri sono disposti in modo tale da riflettere l’ordine di graduatoria degli elementi  la proprietà dei R corrispondenti è l’ ordinalità  le operazioni statistiche possibili sono il calcolo delle frequenze, test non parametrici
    • scale intervalli (quantitative)  alle caratteristiche delle prime due scale si aggiunge anche la definizione della distanza fra ogni elemento dell’insieme (unità di misura)  costanza degli intervalli fra le diverse classi  non viene definito lo zero assoluto
  • con queste scale sono possibili solo le operazioni di somme e sottrazione  test statistici parametrici
    • scale rapporto (quantitative)  oltre ad esserci una costanza fra le classi è anche definito un valore di zero assoluto non arbitrario  applicabili le operazioni matematiche di moltiplicazione e divisione  test statistici parametrici

VEDI SLIDES DA 1 A 12 – SECONDA SETTIMANA

Scale nominali

  • la relazione fra gli eventi è la categorizzazione
  • le categorie sono distinte in base alla sola operazione di uguaglianza o differenza
  • la proprietà dei R corrispondente è la cardinalità
  • gli eventi sono raggruppabili in classi mutualmente esclusive
  • le operazioni statistiche possibili sono il calcolo delle frequenze, test non parametrici Scale ordinali
  • gli elementi dell’insieme sono oltre che sottoposti a categorizzazione anche ordinati gerarchicamente seguendo una relazione di asimmetria
  • i numeri sono disposti in modo tale da riflettere l’ordine di graduatoria degli elementi
  • la proprietà dei R corrispondenti è l’ ordinalità
  • le operazioni statistiche possibili sono il calcolo delle frequenze, test non parametrici Scale a intervalli
  • alle caratteristiche delle prime due scale si aggiunge anche la definizione della distanza fra ogni elemento dell’insieme (unità di misura)
  • costanza degli intervalli fra le diverse classi
  • non viene definito lo zero assoluto
  • con queste scale sono possibili solo le operazioni di somme e sottrazione
  • test statistici parametrici Scale rapporto
  • oltre ad esserci una costanza fra le classi è anche definito un valore di zero assoluto non arbitrario
  • applicabili le operazioni matematiche di moltiplicazione e divisione
  • test statistici parametrici Utilità di tabelle e grafici
  • sono statistiche descrittive
  • forniscono una sintesi delle informazioni
  • sono importanti per la comprensione preliminare dell’andamento dei dati Procedimento per la scelta del tipo di tabella o del grafico
  • scarti dalla media : differenze fra punteggio e media (o deviazione dalla media  data dalla somma degli scarti, senza segno, dalla media divisa per il numero degli scarti)

Come misurare la variabilità?

  • lunghezza del grafico
  • indici di dispersione  range : fornisce un’idea dell’ampiezza dell’intervallo di oscillazione dei dati (risente agli estremi)  range interquartile : considera solo il range attorno alla mediana (si divide il campione di punteggi in quarti e si considerano i due quarti centrali)  scarti della media : differenze fra punteggio e media (o deviazione dalla media che è data dalla somma degli scarti, senza segno, dalla media divisa per il numero degli scarti) Misure di dispersione
  • varianza : valore atteso degli scarti al quadrato dei punteggi dalla media  così definita/calcolata ci restituisce il valore teorico che, nel nostro caso, può essere inadatta  può essere stimata sul campione dividendo la somma dei quadrati degli scarti per n- 1 (o) sigma^2 = S^2 =

 Perché N-1 gradi di libertà?

 numero di valori che posso cambiare arbitrariamente  nel caso della varianza sono dati dal numero di casi - 1  dividere per i gradi di libertà (N-1) è più conveniente nei campioni piccoli rispetto al valore N (numero dei campioni)  maggiore dispersione genera maggiori scarti dalla media Deviazione standard:

  • radice quadrata della varianza
  • misura standard della variabilità, non è legata alla scala di misura
  • media di quanto i punteggi deviano dalla media Percentili come misura della variabilità nei dati a distribuzione non gaussiana:
  • rappresentano per ogni valore la percentuale di punteggi inferiori o uguali a quel valore
  • vengono calcolati utilizzando una tabella di frequenza cumulativa
  • possono essere utilizzati con tutti i dati quantitativi Rappresentazione grafica Il boxplot rappresenta il range interquartile (i.e. 25esimo – 75esimo percentile). La linea rappresenta la mediana; i baffi, (INNER FENCE) rappresentano il range dei valori che non comprendono gli outliers ; gli

Distribuzioni di probabilità Insieme di valori di probabilità che competono a ciascun valore della variabileFunzione di distribuzione : funzione che rappresenta per ogni x la probabilità di ottenere un valore minore o uguale a x  si trovano rappresentate spesso tramite istogrammi : rappresentazione grafica di una funzione nota solo per un certo numero di valori della variabile (risulta costituita da più rettangoli adiacenti, ognuno dei quali ha per base un certo intervallo della variabile e un'altezza tale che la sua area rappresenti, nella scala prefissata, il relativo valore globale della funzione)  le frequenze possono anche essere presentate in una distribuzione cumulativa (dove ogni barra rappresenta la frequenza del valore sull’asse orizzontale sommata, cumulata, alla frequenza di tutti i valori inferiori; l’andamento è necessariamente non decrescente)

  • se la variabile è discreta abbiamo una probabilità per ogni valore x discreto della variabile  la funzione di distribuzione si ottiene sommando le probabilità di tutti i casi aventi un valore inferiore ad X
  • se la variabile è continua la probabilità di un singolo valore della variabile è nulla essendo la probabilità di un valore su infiniti valori possibili  la funzione di distribuzione è la densità di probabilità e rappresenta la probabilità che il valore di x sia compresa in un intervallo infinitesimo, diviso per l’ampiezza dell’intervallo Tipi di distribuzione
  • uniforme : relativa ad una variabile discreta o continua avente uguale probabilità per ciascun valore (es. lancio del dado  ogni valore compreso fra 1 e 6 ha la stessa probabilità di verificarsi)  rappresenta spesso la distribuzione teorica
  • binomiale : se il risultato di una prova può essere di successo (S) o l’insuccesso (I) con uguale probabilità (p=q=1/2), i risultati possibili di due prove sono SS, SI, IS, II ciascuno con probabilità ¼  la distribuzione sarà simmetrica a meno che i valori non siano equiprobabili, caso nel quale la rappresentazione grafica sarà asimmetrica Curva normale (gaussiana) Rappresenta un modo particolare (gaussiana) di distribuzione di punteggi continui  ha forma simmetrica, a campana (nel picco si può trovare il valore più probabile, i diversi valori hanno andamento lineare/simmetrico)  media, moda e mediana coincidono con il picco centrale Distribuzione normale (gaussiana)
  • limite della distribuzione binomiale : al crescere di n la distribuzione binomiale tende ad una distribuzione normale con media np e varianza npq - curva degli errori  condizioni:
  1. Un errore è la somma di molte componenti di uguale ampiezza
  2. Le diverse componenti sono fra loro indipendenti
  3. Ciascuna componente è positiva o negativa con uguale probabilità, allora l’ampiezza dell’errore ha una distribuzione normale
  • distribuzione a massima entropia : la distribuzione normale è la distribuzione di probabilità con la massima entropia per una variabile compresa fra meno infinito e più infinito ed evento con data media e varianza (è quindi la distribuzione meno strutturata, la più casuale)

Distribuzioni cumulative

  • uniforme : tutte le variabili hanno la stessa probabilità
  • binomiale : se il risultato di una prova può essere di successo (S) o l’insuccesso (I) con uguale probabilità (p=q=1/2), i risultati possibili di due prove sono SS, SI, IS, II ciascuno con probabilità ¼  la distribuzione sarà simmetrica a meno che i valori non siano equiprobabili, caso nel quale la rappresentazione grafica sarà asimmetrica  se p=q la distribuzione sarà asimmetrica e la media cadrà su uno dei lati della curva Distribuzione normale (gaussiana)
  • limite della distribuzione binomiale : al crescere di n la distribuzione binomiale tende ad una distribuzione normale con media np e varianza npq - curva degli errori  condizioni:
  1. Un errore è la somma di molte componenti di uguale ampiezza
  2. Le diverse componenti sono fra loro indipendenti
  3. Ciascuna componente è positiva o negativa con uguale probabilità, allora l’ampiezza dell’errore ha una distribuzione normale
  • distribuzione a massima entropia : la distribuzione normale è la distribuzione di probabilità con la massima entropia per una variabile compresa fra meno infinito e più infinito ed evento con data media e varianza (è quindi la distribuzione meno strutturata, la più casuale)
  • parametri : fattori che determinano l’ampiezza e la forma  media e varianza  una generica variabile normale con media p e varianza σ^2 è indicata con N(p, σ^2 ) e la sua densità di probabilità è f(x) 1/√ 2 πσ^2  asse x = infiniti valori che la variabile può assumere; asse y = densità di probabilità  posizione massima = valore/i con più alta densità di probabilità  altezza del massimo = tanto più è grande la varianza tanto più allungata e schiacciata sarà la curva  utilità della variabile a distribuzione normale: una variabile a distribuzione normale consente di stimare in modo semplice e corretto media e varianza, oltre che prevedere con discreta affidabilità l’andamento dei risultati Curve distorte
  • Skewness (asimmetria): misura quanto la curva si discosta dall’andamento simmetrico  si può trovare la skew negativa (picco di frequenza spostato a destra) e la skew positiva (picco di frequenza spostato a sinistra); se pari a 0  massima simmetria - Curtosi : indica il grado di ripidità o piattezza di una curva di frequenza rispetto alla curva normale  può assumere forma di curva piatta (troppa variabilità attorno alla media) o di curva ripida (non sarebbe utile calcolare media e varianza in quanto non sarebbero rappresentative del campione); se pari a 0  massima simmetria Altri test per valutare la normalità della distribuzione
  • Test di Shapiro-Wilk
  • Test di Kolmogorow-Smirnov  valutano la dissimilarità o lontananza fra la distribuzione della variabile sperimentale rispetto alla distribuzione gaussiana (teorica) Distribuzione normale Z Una variabile normale a media zero e varianza unitaria è detta variabile z o standard , si indica con N(0,1)  ha alta prevedibilità

Qual è la differenza fra t e z?

  • di variabili z ce n’è una sola a media 0 e varianza 1 (si usa per il confronto dei dati standardizzati)
  • di distribuzioni t ce ne sono diverse e sono determinate dai gradi di libertà
  • nella formula della distribuzione t si divide per la radice quadrata della stima della varianza quindi alla fine la curva t è più lunga (ovvero ha un’ampiezza maggiore) di z perché esprime maggior variabilità Statistica inferenziale _1. Idea generale, ipotesi sperimentale
  1. Formulazione H
  2. Scelta campione casuale e idoneo
  3. Raccolta dati e descrizione variabili
  4. Test statistico (stima del parametro)
  5. Falsifico/non falsifico l’ipotesi nulla_ Falsificazione di H 0Potenza di un test : probabilità di respingere H0 quando H0 è falsa. E’ data da 1-β e dipende da: _ ↑limite di significatività _ ↑minima differenza apprezzabile (la più piccola differenza apprezzabile nel confronto fra A e B) _ ↑numerosità del campione _ ↓varianza casuale Non falsificazione di H0  possibili cause:
  • l’ipotesi nulla è vera
  • scarsa potenza del test
  • il campione non soddisfa le condizioni relative alla distribuzione
  • il campione non è rappresentativo dell’intera popolazione  intervallo di confidenza : rappresenta la zona attorno al parametro stimato entro cui ci aspettiamo, con una probabilità di 1-α, di trovare il parametro relativo a un nuovo campione. Ha la stessa estensione dell’intervallo attorno all’ipotesi nulla Se nell’intervallo di confidenza cade il valore di H0 non si può respingere l’ipotesi nulla.  intervallo di tolleranza : rappresenta la zona attorno al parametro stimato entro cui ci aspettiamo, con una probabilità di 1-α, che cada un nuovo caso Possibili domande primo parziale 22-03:
  • cos’è la media, come la definiamo e come si calcola, l’importanza del valore atteso
  • moda e mediana, definizioni e calcolo su una serie di numeri
  • che cos’è la varianza e come si calcola
  • deviazione standard (due definizioni)
  • significatività: definizione e importanza statistica/sperimentale
  • come si conclude la dimostrazione dell’ipotesi sperimentale
  • come si gestisce la non falsificazione dell’ipotesi nulla
  • errore alfa/beta
  • cos’è l’ipotesi nulla (uguaglianza o assenza di relazione)
  • categorizzazione di variabili
  • potenza del test
  • passaggi della dimostrazione sperimentale
  • le distribuzioni (N.B:  gaussiana ma anche z ed f)
  • cosa succede all’aumentare dei gradi di libertà nelle distribuzioni

Fasi del test sperimentale falsifico l'ipotesi nulla non falsifico l'ipotesi nulla Test Statistico (stima del parametro) Raccolta Dati e Descrizione Variabili Scelta Campione casuale e idoneo Formulazione Ho Idea Generale Ipotesi Sperimentale  l’idea sperimentale può riguardare una correlazione (positiva o negativa) ma anche una indipendenza fra variabili  la distribuzione dei dati e dell’ipotesi nulla deve essere calcolata prima del test dallo sperimentatore (che conosce il campione) e spesso si ipotizza una distribuzione normale se dopo la raccolta dati si riconosce che la distribuzione gaussiana non è la più adatta a rappresentare i dati, si riformula il test  la differenza fra test parametrici e test non parametrici si riferisce al fatto che solo i primi sono adatti alla distribuzione normale  intervallo di confidenza : è riferito ad un gruppo, si riferisce alle medie e/o alle relazioni fra un gruppo, individua una zona in cui lo sperimentatore si aspetta di trovare i valori di una larga parte di popolazione (solitamente con una probabilità del 95%) o il valore vero di essa si usa per il confronto dei risultati fra ricerche diverse  sempre riferito all’oscillazione casuale attorno alla media del campione  intervallo di tolleranza : una zona in cui lo sperimentatore si aspetta di trovare i valori di una larga parte di popolazione (solitamente con una probabilità del 95%) che però viene definito per classificare i soggetti (non i gruppi), stima la variabilità riferita gli individui  studio pilota : studio che ti consente di valutare e descrivere ciò che ci si aspetta di riscontrare nel test sperimentale (che si farà su un campione più grande); serve a valutare le statistiche descrittive (media, moda, mediana, varianza..)

Analisi della varianza : univariata (una sola variabile) e multivariata

  • Ipotesi sperimentale ( esempio ): confronto fra diverse diagnosi psichiatriche che giungono in SPDC rispetto alla capacità di giudizio verbale al test CGA e sofferenza psicologica misurata con BPRS  test dei giudizi verbali : misura le capacità verbali in relazione alle capacità di astrazione, oltre che alle competenze apprese  comprende 4 subtest (test dell’assurdità, dei proverbi, di classificazione, di linguaggio)
  • GCA : test ANOVA a una via per gruppi indipendenti