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Dispositivi Elettronici Alberto Tibaldi 25 febbraio 2008 Indice 1 Proprietà elettriche dei materiali 2 1.1 Metalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Calcolo di ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Caratterizzazione dei semiconduttori drogati . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Calcolo di n e p in un semiconduttore drogato . . . . . 12 1.3.2 Equazioni di Shockley . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Modello matematico delle correnti nei semiconduttori 20 2.1 Correnti di diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Relazioni di Einstein ed Equazioni del Trasporto . . . . . . . . 26 2.3 Equazione di continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Equazione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.1 Legame Carica - Campo Elettrico . . . . . . . . . . . . 30 2.4.2 Dimostrazione qualitativa dell’Equazione di Poisson . . 31 2.5 Considerazioni su semiconduttori fuori equilibrio . . . . . . . . 32 2.6 Modello del Tasso di Ricombinazione Netto . . . . . . . . . . . 33 2.7 Esercizio Pratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.7.1 Risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.7.2 Ipotesi di lato corto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3 Giunzione p-n 44 3.1 Studio qualitativo del diagramma a bande della giunzione p-n 47 3.2 Studio elettrostatico della giunzione p-n . . . . . . . . . . . . 51 3.2.1 Equazione di neutralità globale . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.2 Analisi della barriera di potenziale . . . . . . . . . . . 52 3.2.3 Analisi formale dell’andamento di campo e potenziale . 53 3.2.4 Risoluzione del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 Applicazione di una tensione esterna alla giunzione . . . . . . 57 3.3.1 Capacità di svuotamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Esercizio pratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1 Capitolo 1 Proprietà elettriche dei materiali Dalla fisica dello stato solido sappiamo che un solido è rappresentabile me- diante un diagramma a bande; il diagramma a bande è un grafico in cui si riportano sulle ascisse una posizione (ossia una coordinata spaziale, nel reticolo diretto, o un vettore d’onda, nel reticolo reciproco), sulle ordinate un’energia E; si noti che per buona parte della trattazione tuttavia si consi- dereranno materiali isotropi, quindi non si considereranno in un primo tempo variazioni delle condizioni del solido nello spazio. I due tipi di solidi che siamo interessati a studiare in dispositivistica sono i metalli ed i semiconduttori; diamo alcuni cenni sul loro comportamento, a partire dallo studio del diagramma a bande. 1.1 Metalli 4 Indichiamo ora il significato dei diversi livelli energetici: • EC : Livello energetico in cui inizia la banda di conduzione; • EF : Livello di Fermi • EB: Livello del vuoto, ossia livello energetico da superare per estrarre il metallo • qΦM : Lavoro di estrazione del metallo; • γn: Parametro della funzione di densità degli stati energetici. Facciamo alcune osservazioni: l’inizio della banda di conduzione dei me- talli, EC , si può considerare al livello energetico E = 0, poichè l’energia dell’elettrone in un metallo è esclusivamente cinetica; il livello di Fermi si troverà dunque all’interno della banda di conduzione, all’incirca a 4, 5 eV. Allo zero assoluto, tutti gli elettroni saranno al di sotto del livello di Fermi (come si può osservare mediante lo studio della distribuzione di Fermi-Dirac); si definisce dunque una funzione esprimente il lavoro di estrazione, qΦM , co- me la minima energia in grado di estrarre, ad una temperatura pari a 0 K, un elettrone da un metallo. Gli elettroni più facili da estrarre, ad una temperatura di 0 K, saranno quelli in prossimità del livello di Fermi EF . I due ingredienti per poter esprimere l’occupazione di uno stato in un metallo saranno dunque la funzione di densità degli stati energetici N(E), e la funzione di occupazione f(E;T ): poichè trattiamo lo studio sull’occupazione di stati da parte di elettroni, ossia fermioni, la funzione di occupazione in questione sarà la già citata distribuzione di Fermi-Dirac. N(E) = γnE 1 2 f(E;T ) = 1 1 + e E−EF kT La funzione di densità degli stati effettivamente occupati, ρn, sarà data dal prodotto dei nostri due ingredienti: funzione di densità degli stati e funzione di occupazione degli stati. Ciò è meglio motivabile con un esempio classico: dato un numero di sedie vuote disponibili in un cinema, ed il numero di spettatori, il prodotto delle due fornirà il numero di sedie effettivamente occupate dai potenziali spettatori. Esprimiamo questa nostra intuizione, formulando la funzione ρn: ρn(E) = N(E)f(E;T ) 5 In un metallo, accadrà graficamente qualcosa di simile: Questo grafico raffigura una situazione che non considera effetti termici, ossia in cui la temperatura è pari a 0 K, e quindi la funzione di Fermi-Dirac è di fatto un impulso rettangolare; in una condizione di notevole influenza ter- mica, con una temperatura sui 3000 K, la funzione di Fermi-Dirac cambierà sensibilmente, e di conseguenza la densità degli stati occupati. Noi consideriamo però di trovarci ad una temperatura T ' 300 K, ossia una temperatura ragionevolmente confrontabile alla temperatura ambiente; a meno che non si parli di studi specifici riguardanti effetti termici partico- larmente influenti, una temperatura come 300 K ci permetterà una buona approssimazione rispetto alla realtà. Per sapere esattamente quanti elettroni vi saranno nel metallo in ban- da di conduzione, ad una certa temperatura, sarà sufficiente integrare la funzione di densità di popolazione da 0 (livello di inizio della banda di con- duzione EC) a +∞ (in prima approssimazione, infatti, il modello di Bethe- Sommerfeld prevede una modellizzazione di un metallo come una buca di potenziale infinita). n = ∫ +∞ 0 ρn(E)dE = ∫ +∞ 0 N(E)f(E;T )dE ∼ 1022e−/cm3 In un metallo, abbiamo quindi a disposizione circa 1022 elettroni per cm3. Abbiamo già nominato il lavoro di estrazione, e la sua unità di misura, l’elettronvolt (eV): 1 eV è l’energia che un elettrone ha se sottoposto ad una differenza di potenziale pari ad 1 V; questa unità di misura è molto compatibile con i problemi che si trattano in dispositivistica, e quindi molto comoda. Alcuni lavori di estrazione noti sono quello dell’alluminio Al, di 4,1 eV, o quello dell’oro Au, di 5 eV; cosa si intende però per lavoro di estrazione, precisamente? Abbiamo già dato una prima definizione; ora che 6 Continuiamo la nostra analisi fisica del comportamento elettrico dei se- miconduttori, proponendo due equazioni fondamentali, che saranno spesso usate nella trattazione: n = ni = ∫ +∞ EC NBC(E)f(E)dE = NC,EFF e −EC−EF kT p = pi = ∫ EV −∞ NBV (E)f(E)dE = NV,EFF e EV −EF kT I due termini NEFF sarebbero termini efficaci, che si riferiscono alla definizione Nef = (2m∗πkT ) 3 2 h Dove m∗ è la massa efficace; sostituendo la massa efficace di elettroni o lacune, si trovano rispettivamente la prima e la seconda equazione. Queste due equazioni, si ottengono mediante un’approssimazione della distribuzione di Fermi-Dirac alla distribuzione di Boltzmann, integrandola. Ci imponiamo ora di calcolare la posizione energetica del livello di Fermi, EFi : considerando NC ed NV valori efficaci, possiamo dire che ni = pi = NCe − EC−EFi kT = NV e − EFi −EV kT Sfruttiamo ora le condizioni di neutralità del semiconduttore intrinseco, e cerchiamo di risolvere tale equazione rispetto al parametro EFi : e− EC−EFi kT · e EFi −EV kT = NV NC e− 2EFi kT · e− EV +EC kT = NV NC =⇒ EFi = EC + EV 2 + kT 2 ln NV NC Si noti tuttavia che le due concentrazioni NV ed NC differiscono esclusiva- mente per la massa efficace di rispettivamente lacune ed elettroni; possiamo dunque dire che, in caso di semiconduttori intrinseci quali quelli che stiamo attualmente trattando, il termine logaritmico corregga solo di pochi meV (al più una decina) il livello di Fermi: kT 2 ln NV NC ' 0 =⇒ EFi ' EC + EV 2 9 Ci è ora possibile quotare il livello di Fermi intrinseco, potendo dire con un’ottima approssimazione che esso si trova a metà del gap tra banda di valenza e banda di conduzione. Di fatto, il livello di Fermi intrinseco perde molto significato fisico, dal momento che raramente capita di aver a che fare con semiconduttori intrinseci; sarà però spesso usato come punto di riferimen- to per i nostri calcoli e le nostre congetture. Ora è veramente possibile quindi disegnare il diagramma a bande dettagliato e quotato di un semiconduttore, e nella fatispecie del silicio: Valori fondamentali da ricordare, nel silicio, sono: • Eg: Energy Gap (1,12 eV nel Silicio); • qχ: Affinità Elettronica (4,05 eV nel Silicio); • qΦS: Lavoro di estrazione. Abbiamo definito anche nel semiconduttore il lavoro di estrazione, qΦS; si noti che questo perde il significato fisico fortissimo che aveva nel metallo, in quanto al livello di Fermi intrinseco, EFi , non abbiamo elettroni, e dunque il lavoro necessario per estrarre elettroni sarà ben maggiore di quello che dovremmo compiere in un metallo. Affinità elettronica ed energy gap sono utili in quanto restano costanti, indipendentemente dai processi tecnologici che vengono attuati sul substrato semiconduttivo, quindi utili riferimenti per i calcoli che sarà necessario attuare. 10 1.2.1 Calcolo di ni Abbiamo parlato del numero di elettroni in banda di conduzione, lo abbiamo eguagliato al numero di lacune in banda di valenza per quanto riguarda semi- conduttori intrinseci, e abbiamo accennato al fatto che il moto dei portatori di carica, ossia la corrente elettrica, sarà data sia dagli elettroni in banda di conduzione, che dalle lacune in banda di valenza. Studiando un semicondut- tore intrinseco, i fenomeni che stabiliscono la conduzione sono principalmente due, uno in contrapposizione con l’altro: • Generazione Termica (Gth): una temperatura non nulla muove un certo numero di elettroni dalla banda di valenza alla banda di conduzione, generando per l’appunto termicamente coppie elettrone-lacuna; • Ricombinazione (R): gli elettroni, una volta separatisi dalle lacune, possono ritornare nella banda di valenza, in seguito ad un certo transi- torio di tempo trascorso in banda di conduzione, per ricombinarsi con le lacune, facendo sparire una coppia elettrone-lacuna; si usa dire per questo che sia il fenomeno antagonista della generazione termica. Possiamo qualitativamente dire che i termini ni e pi rappresentino il punto di equilibrio tra la ricombinazione termica e la ricombinazione, siano cioè il numero di coppie elettrone-lacuna presenti ad una certa temperatura. Voglia- mo però studiare espressioni che ci permettano di calcolare ni, ed in seguito più generalmente n. I nostri punti di partenza, come abbiamo già detto in precedenza, sono: ni = NCe − EC−EFi kT pi = NV e − EFi −EV kT Siamo stati soliti finora usare come condizione al contorno del nostro pro- blema la neutralità; ci capiterà spesso però di studiare condizioni molto meno favorevoli, in cui la neutralità non sarà presente nel sistema; moltiplichiamo dunque ni e pi, tra loro, e vediamo che: ni · pi = n2i = NCNV e− EC−EFi kT · e− EFi −EV kT = NCNV e EV −EC kT Quindi: n2i = NCNV e −Eg kT 11 ottimo drogante tipo p per il silicio è il boro B. Anche nel drogaggio tipo p avverrà un fenomeno di ionizzazione, che però agirà in senso diverso, fi- sicamente: gli atomi idonei per il drogaggio tipo p, sono in grado, a spesa di un minimo effetto termico, di aprirsi ed accettare elettroni dalla banda di valenza, come dei gusci che si aprono, e catturano elettroni, anzichè liberarli (a differenza di prima). Man mano che la temperatura aumenta, sempre più gusci si apriranno e cattureranno elettroni. Anche qua il gap da saltare per gli elettroni sarà infinitesimo, poichè il buon drogante posizionerà i propri livelli accettori in prossimità del livello EV , e quindi daran vita a fenomeni di trasporto in banda di valenza, senza avere fenomeni duali in contrapposi- zione. Aldilà di queste osservazioni fisiche qualitative, le fenomenologie sono del tutto analoghe a quelle descritte nel semiconduttore tipo n. A partire da ciò che abbiamo finora descritto, facciamo alcune puntualiz- zazioni onde evitare confusione: • Non tutti gli atomi sono in grado di drogare un substrato semicon- duttivo, ma solo certi, in base ad alcune caratteristiche che devono possedere. Nel caso del silicio, per drogare tipo n devono essere pen- tavalenti, e posizionare i propri livelli donatori in prossimità di EC , per drogare tipo p devono essere trivalenti e posizionare i propri livelli accettori in prossimità di EV ; • L’effetto del drogaggio provoca una notevole alterazione della popola- zione delle bande energetiche, e dunque del diagramma a bande; • L’effetto del drogaggio non è puramente additivo: non siamo sicuri che, aggiungendo ad esempio 1010 atomi di arsenico, gli elettroni raddop- pieranno (dalla loro condizione iniziale a 300 K di 1, 45 · 1010, intrinse- ci); siamo sicuri di un miglioramento nella conducibilità, per ora non quantificabile, a causa di fenomeni intrinseci di ricombinazione. 1.3.1 Calcolo di n e p in un semiconduttore drogato Per poter determinare parametri come le concentrazioni dei portatori attivi, n e p, in un semiconduttore drogato (e quindi non più intrinseco), dobbia- mo innanzitutto cercare una condizione al contorno idonea per potervi poi applicare le giuste equazioni. Supponiamo per ora di drogare tipo n, con concentrazione di drogante ND. Il meccanismo di ionizzazione ha una for- te dipendenza dalla temperatura, quindi di fatto degli ND droganti ne sarà attiva, ionizzata solo una parte, che chiameremo N+D . Per ognuno di que- sti droganti ionizzati, vi sarà un elettrone libero, in banda di conduzione. Dover studiare una dipendenza della ionizzazione alla temperatura è molto 14 pesante per i conti che ne deriverebbero, ma si può applicare una condizione interessantissima che ci accompagnerà spesso nella trattazione: l’ipotesi di completa ionizzazione. Studiando l’andamento della ionizzazione al variare della temperatura, si nota che per una temperatura intorno ai 100 K, tutte le impurità droganti saranno ionizzate, e dunque attive, dopodichè aumen- tando la temperatura si instaurerà un regime di saturazione, poichè non vi sono ulteriori impurità da ionizzare. Poichè noi dunque studiamo sistemi ad una temperatura T ∼ 300 K, potremo sempre considerare valida l’ipotesi di completa ionizzazione, e quindi N+D = ND Il livello di Fermi EF , nel drogaggio tipo n, si innalzerà rispetto alla posizione di partenza, nel semiconduttore intrinseco, EFi . Si può dire che infatti il livello di Fermi sia una sorta di baricentro dei livelli energetici, come vedremo tra breve; non allontaniamoci per ora dal problema di base, ossia il calcolo delle concentrazioni n e p. Supponiamo di conoscere EF , ossia il livello di Fermi alterato dal drogaggio. Consideriamo nn il numero di elettroni in banda di conduzione in seguito al drogaggio tipo n (come suggerisce il pedice), e pn il numero di lacune in banda di valenza sempre in questo stato: nn = NCe −EC−EF kT pn = NV e −EF−EV kT Consideriamo nuovamente, come prima, il prodotto delle due equazioni membro a membro: nnpn = NCNV e −EC−EF kT · e− EF−EV kT = NCNV e −Eg kT = n2i Abbiamo appena fatto, in seguito a questo semplice conto, una scoper- ta interessantissima: qualsiasi siano le concentrazioni di portatori di carica nelle bande, il loro prodotto è una costante, e questa costante è il quadrato degli elettroni in banda di conduzione nel semiconduttore in stato intrinseco. Questo fenomeno è detto legge dell’azione di massa: nn · pn = n2i Ciò ci fa rendere conto però anche di un problema gravissimo: tecnologi- camente non è possibile crescere una delle due concentrazioni senza andare a scapito dell’altra: le due concentrazioni non possono crescere di pari passo, poichè il loro prodotto sarà sempre e comunque costante. 15 Consideriamo anche un altro fatto: la carica totale del semiconduttore è nulla: ogni lacuna in banda di valenza ha un elettrone in banda di condu- zione corrispondente, ed ogni elettrone derivante dal drogaggio ha un livello (accettore in drogaggio tipo p, donatore nel drogaggio tipo n) ionizzato corri- spondente. Esisterà dunque una condizione di neutralità del semiconduttore, ma globale: la somma di tutte le cariche del semiconduttore sarà nulla. Appilichiamo dunque la condizione di neutralità globale del semicondut- tore: q(pn +N + D − nn) = 0 =⇒ pn +N + D − nn = 0 Dalla legge dell’azione di massa, sappiamo che pn = n2i nn =⇒ n 2 i nn +N+D − n 2 n = 0 Dunque, abbiamo un’equazione di secondo grado con variabile indipen- dente nn; risolvendola, e considerando solo la radice positiva, si ottiene: nn = N+D 2 + √( ND 2 )2 + ni Consideriamo il fatto che le grandezze sono funzione della temperatura T: nn(T ) = N+D (T ) 2 [√ 1 + ( 2ni(T )2 N+D (T ) ) + 1 ] Però ni(T ) è nota, e di N + D (T ) conosciamo l’andamento. Possiamo pen- sare in modo molto qualitativo che l’andamento dei portatori maggioritari, ossia degli elettroni in banda di conduzione nel semiconduttore drogato tipo n, al variare della temperatura, sia il seguente: Si possono distinguere tre regioni, associate a tre regimi particolari: 1. Regime di congelamento: per temperature inferiori ai 100 K, l’atti- vazione dei droganti non è ancora completa, la generazione termica è molto bassa a causa della scarsa temperatura e dunque scarsa energia termica del sistema, e quindi vi sarà una bassa conducibilità; 2. Regime estrinseco: per temperature superiori a 100 K, si può consi- derare l’ipotesi di completa ionizzazione, e quindi si ha un regime di saturazione: N+D = ND, e nn ' ND. Il fatto che si siano attivati completamente i droganti, ma comunque vi siano scarsi effetti termi- ci, fa prevalere la interazioni di tipo elettrostatico su tutte le altre, 16 • ND < NA: situazione duale a prima, dove gli accettori prevalgono sui donatori, e quindi N− ′ A sarà: N− ′ A = N − A −N + D Un esempio pratico di semiconduttore drogato sia n che p è il transistore bipolare (anche se sarà necessario introdurre molte altre nozioni prima di arrivare a trattarlo); aprendo finestre tipo p in un semiconduttore drogato tipo n, si può ottenere un prototipo di transistore bipolare. 1.3.2 Equazioni di Shockley Partendo dalle nostre conoscenze, siamo ora in grado di disegnare e quotare il diagramma a bande dettagliato di un semiconduttore drogato tipo n: I simboli usati sono sempre i soliti; si può considerare valida l’ipote- si di completa ionizzazione, e a partire da questa effettuare i nostri studi; sappiamo che: nn ∼ ND = NCe− EC−EF kT =⇒ EC − EF = kT ln NC ND Possiamo dunque calcolare EC − EF , e da qui quotare il lavoro di estra- zione: qΦSn = EC − EF + qχ = qχ+ kT ln NC ND A seconda del drogaggio, il lavoro di estrazione varrà dai 4,61 al 4,05 eV. Il calcolo che però noi abbiamo effettuato di EF non è ottimale: se do- vessimo studiare il livello di Fermi in un semiconduttore drogato tipo p, dovremmo ridisegnare da zero il diagramma a bande, rifare da capo le no- stre congetture, e considerare la presenza di dati che comunemente non si considerano, quali EC o EV . Utilizzando le relazioni appena studiate, in un semiconduttore drogato tipo p il lavoro di estrazione sarebbe: qΦSp = qχ+ Eg − kT ln NV NA 19 Proponiamo ora qualcosa di diverso, ossia un metodo più globale, più sem- plice, più generale per il calcolo del livello di Fermi EF , sia in semiconduttori tipo n che in semiconduttori tipo p. Partiamo dalle solite: n = NCe −EC−EF kT p = NV e −EF−EV kT Considerate in un semiconduttore intrinseco, esse saranno: ni = NCe − EC−EFi kT pi = NV e − EFi −EV kT Ricaviamo ora da queste ultime due, NC ed NV , tenendo conto che in un semiconduttore intrinseco, ni = pi: NC = nie EC−EFi kT NV = nie EFi −EV kT Sostituendo le espressioni appena trovate a partire dalle equazioni in- trinseche, NC ed NV , nelle equazioni del semiconduttore non intrinseco, troviamo: n = nie EC−EFi kT · e− EC−EF kT p = nie EC−EFi kT · e− EF−EV kT Ordinando e semplificando alcuni termini, si ricavano le cosiddette Equa- zioni di Shockley, in onore del fisico statunitense che le ha formulate per la prima volta: n = nie EF−EFi kT p = nie EFi −EF kT Queste equazioni sono particolarmente interessanti in quanto in esse spari- scono i parametri estremamente scomodi che nelle relazioni precedentemente utilizzate erano da considerare come noti; gli unici parametri richiesti sono 20 ni, che ci è noto, e il livello di Fermi intrinseco, che si troverà esattamente a metà dell’energy gap: quando si parlava di utilizzo del livello di Fermi intrin- seco come punto di riferimento, si voleva proprio arrivare a questo risultato: un’equazione in grado di fornire informazioni enormi a partire da dati mini- mi. A partire da queste, invertendole, sarà semplicissimo calcolare il livello di Fermi: EF − EFi = kT ln ND ni EFi − EF = kT ln NA ni Dopo la formulazione delle Equazioni di Shockley, possiamo ritenere con- clusa questa prima trattazione del comportamento fisico di un semicondut- tore, e utilizzare i mezzi appresi per studiare una prima modellazione di un semiconduttore. 21 Esiste dunque un forte legame tra tensione ed energia potenziale di un elettrone: poichè abbiamo trovato un’espressione dell’energia potenziale co- me retta a pendenza negativa che da 0 raggiunge un livello −qVa, e poichè il diagramma a bande altri non è che il grafico dell’energia di un elettrone, una tensione esterna Va applicata ad un diagramma a banda, tende a ruotare tutte le grandezze presenti all’interno del diagramma, di un certo angolo. Ef- fettivamente sembra piuttosto stravagante come idea, ma del tutto sensata: poichè l’energia potenziale di un elettrone di fatto, in seguito all’applicazio- ne di una tensione esterna, è una retta a pendenza negativa, allora anche il diagramma a bande dovrà subire una sorta di pendenza negativa, per poter tener conto degli effetti della tensione sull’energia dell’elettrone. Fingendo che ora al posto di un condensatore vi sia il nostro substrato semiconduttivo, il discorso appena fatto è perfettamente valido. Questo diagramma inclinato rappresenta dunque il punto di vista degli elettroni: il campo elettrico provocato dalla tensione Va farà spostare verso il basso (ossia in senso ad esso opposto) gli elettroni, e verso l’alto (ossia in verso ad esso concorde) le lacune. Possiamo quasi immaginare, per fare un confronto azzardato ma efficace, che l’applicazione di una polarizzazione Va, inclinando il diagramma a bande, faccia risalire le lacune, come se fossero bollicine d’aria, e faccia scendere gli elettroni, come se fossero palline di ferro. In seguito a questa premessa, che ci permette di capire in modo del tut- to qualitativo il comportamento di un semiconduttore e la variazione del suo diagramma a bande in seguito all’applicazione di una tensione esterna, introduciamo alcuni nuovi concetti; si consideri sempre il fatto che il semi- conduttore è drogato in modo del tutto uniforme, e che dunque vi è una condizione di neutralità sicuramente globale, ma anche locale: se infatti se- zionassimo il semiconduttore, vedremmo che ogni singola fetta è localmente neutra, ossia che la somma di tutti gli eccessi di cariche in essa presenti è nulla. Questo perchè l’applicazione di un campo elettrico esterno non cam- bia in alcun modo la concentrazione degli elettroni in banda di conduzione. Possiamo immaginare che la differenza di potenziale Va esterna sposti gli 24 elettroni verso destra, dove vi è il contatto metallico nel quale gli elettroni possono entrare liberamente; nel lato sinistro, capiterà qualcosa di duale: il semiconduttore a causa della tensione e del campo da essa derivante preleva dal contatto ohmico sinistro elettroni. Un elettrone, assorbito dalla lamina destra, lascia un buco, una lacuna, che sarà poi in seguito ricombinata dalla lamina sinistra, che fornisce elettroni al semiconduttore. Questo modello può intuitivamente spiegare cos̀ı il trasporto di cariche. Cerchiamo di formalizzare ora tutti questi concetti, partendo da una definizione: vogliamo cercare di capire esattamente che cosa sia una corrente. Una densità di corrente J è un flusso di cariche, ossia di elettroni; per flusso possiamo intendere semplicemente il prodotto di una velocità per una densità. Date le ipotesi precedentemente illustrate, l’unica corrente che avre- mo a disposizione sarà quella di drift; la densità di corrente dovuta agli elettroni in banda di conduzione sarà data da: J− = Φx,e−(−q) Il contributo delle correnti nel semiconduttore però sarà dato anche da una densità di corrente di lacune, formalizzata come: J+ = Φx,e+(+q) In totale, possiamo dire che la totale densità di corrente sarà data da: J = Φx,e−(−q) + Φx,e+(+q) Abbiamo però detto qualche parola riguardo questo flusso, Φ, senza ap- profondire molto, dicendo che è una densità di elementi moltiplicato per una velocità di moto. Le ipotesi di neutralità ci spingono a considerare velocità vd, ossia di drift. Partendo da ciò, potremo dire che, date le nostre ipotesi, le espressioni dei due flussi saranno: Φx,e− = nvd,e− Φx,e+ = nvd,e+ Sostituendo nell’espressione della densità totale di corrente J, J = −qnvd,e− + qnvd,e+ Stiamo ora continuando a parlare della velocità di drift, senza però aver- ne fornito alcuna informazione: essa è una velocità non istantanea, ma me- dia, dell’intera popolazione: essa è un parametro fittizio che descrive, ba- 25 sandosi sullo studio statistico di tutta la popolazione, la velocità media di trascinamento di un singolo elettrone, tra un urto ed un altro con il reticolo. Definiamo alcune nuove relazioni: vd,e− = −µnε vd,e+ = µnε Dove µ rappresenta la mobilità dei portatori di carica, e ε è il soli- to campo elettrico derivante dalla polarizzazione esterna. Mediante alcune osservazioni, si può dire che: µn = −qτ m∗n µp = qτ m∗p τ ∝ λ Nth Il parametro λ ha una forte dipendenza dalla regolarità del reticolo cri- stallino, che noi consideriamo perfetto per ipotesi. Riassumendo ciò che abbiamo appena detto, la mobilità degli elettroni è maggiore di quella delle lacune, poichè l’unico parametro variabile è la massa efficace m∗, notoriamente superiore nelle lacune che negli elettroni. La mobilità dei portatori risente di alcune caratteristiche: • Maggiore sarà la temperatura, maggiore sarà l’interazione fononica coi nuclei, e dunque minore la mobilità dei portatori; • Maggiore sarà il numero di imperfezioni del reticolo, minore sarà la mobilità dei portatori; • Maggiore sarà il drogaggio, e dunque la somma delle concentrazioni (NA +ND), e minore sarà la mobilità dei portatori di carica, poichè vi sarà una popolazione maggiore. E’ possibile spesso trovare dei grafici dei degradamenti di µn e µp: Ora che abbiamo introdotto anche la mobilità elettronica, e una sua stima grafica, possiamo completare la definizione della densità di carica, ed arrivare ad una prima definizione di conducibilità elettrica in un semiconduttore: Jn,drift = (−q)n(−µn)ε 26 Jn,diff = qDn ∂n ∂x Jp,diff = −qDp ∂p ∂x Si possono ricavare i due coefficienti Dn e Dp, mediante le Relazioni di Einstein, e scoprire che: Dn = kT q µn Dp = kT q µp Per semplicità, si definisce il termine kT q come equivalente in tensione della temperatura: esso infatti dimensionalmente è una tensione, chiamata convenzionalmente VT : VT = kT q Il valore di VT ad una temperatura di 300 K, è circa di 26 mV. Mediante queste prime relazioni, abbiamo trovato i primi tasselli del puzz- le rappresentante il modello matematico delle correnti in un semiconduttore: le Relazioni di Einstein, e le equazioni del trasporto che ora esporremo in forma ordinata: Jn = qnµnε+ qDn ∂n ∂x Jp = qpµpε− qDp ∂p ∂x 2.3 Equazione di continuità Supponiamo di avere un cubo di lato infinitesimo dx, e sezione A; vogliamo quantificare la carica in esso contenuta. Supponiamo che il cubo si trovi, sul nostro sistema di posizione cartesiano, nel punto x, e termini quindi nel punto x+ dx. Nel punto x entrerà una certa corrente, e quindi un certo flusso di cariche, mentre nel punto x+ dx ve ne sarà presumibilmente un’altra, non sappiamo se uguale o meno. Formalizzando, possiamo dire che: 29 ∂n ∂t Adx = Jn(x)A −q Cosa abbiamo detto qui: la variazione del numero di elettroni nel tempo, all’interno del volume del cubo, è uguale alla densità di carica diviso la carica fondamentale, e quindi è uguale al flusso di cariche che circolano nel cubo. In realtà, sarebbe necessario considerare, nella transizione all’interno del cubo, altri tipi di fenomenologie, quali la generazione termica e la ricombinazione. Formalizzando ulteriormente, possiamo aggiungere che: ∂n ∂t Adx = Jn(x)A −q − Jn(x+ dx)A −q + (Gth−R)Adx Sviluppiamo ora in serie di Taylor troncando al primo ordine il termine Jn(x+ dx): Jn(x+ dx) ' Jn(x) + ∂Jn(x) ∂x dx Sostituendo nell’espressione appena trovata, si trova che: ∂n ∂t Adx = Jn(x)A −q − ( Jn(x)A −q + 1 −q ∂Jn(x) ∂x Adx ) + (Gth−R)Adx =⇒ ∂n ∂t = ∂Jn ∂x 1 q − Un Dove si definisce Un come il tasso medio di ricombinazione: Un = R−Gth 30 In modo del tutto analogo si può ricavare l’equazione di continuità delle lacune, partendo dalle stesse equazioni precedentemente usate, e sfruttando tecniche analitiche ed algebriche del tutto uguali, si ottiene: ∂p ∂t = −1 q ∂Jp ∂x − Up 2.4 Equazione di Poisson Il nostro modello matematico delle correnti nel semiconduttore è ancora molto carente: l’equazione di continuità è molto potente, tuttavia non sia- mo in grado di riferirci con precisione ai termini della suddetta, in quanto conosciamo molto poco riguardo ad essi. Possiamo però sfruttare un’idea geniale: sostituire le due equazioni di continuità, all’interno delle equazioni di trasporto precedentemente ricavate: le soluzioni di questo sistema di equazioni sarà un’espressione analitica delle densità di portatori, in funzione di tempo e posizione, n(x; t) e p(x; t). Que- ste non sono però le uniche incognite del problema: leggendo le equazioni precedentemente introdotte, troviamo anche il campo elettrico ε, e il termine di ricombinazione Un o Up a seconda se si studiano rispettivamente elettroni o lacune. Supponiamo dunque di avere, rispetto alla condizione di equilibrio, uno spostamento di cariche, un accumulo locale di cariche, in grado di instaurare gradienti di concentrazione e dunque un processo di diffusione mediante il ge- nerarsi di flussi di portatori. Formalizziamo, nel nostro modelo matematico, questo moto di cariche. Supponiamo di avere eccessi locali di cariche, uno negativo ed uno positi- vo: globalmente, il sistema sarà neutro. Gli eccessi di cariche daranno vita a campi elettrici nella zona compresa tra i due eccessi, non trascurabili. Inco- minciamo dunque a studiare la densità di distribuzione delle cariche, in tutti 31 campo, fino ad annullarlo in x4. Andando da sinistra a destra, e considerando prima una densità positiva (per x < 0), poi una positiva (in x > 0). Integrando poi ε(x), si vedrà che: Φ(x) = − ∫ ε(x)dx Considerando come massa Φ(x1) = 0. Vediamo dal precedente studio, sul campo, che esso è maggiore di 0 per qualsiasi posizione x si scelga nello spazio. L’integrale di tale funzione cambiata di segno sarà dunque negativo, ed avrà un andamento di questo tipo: per x < x1, il potenziale sarà sempre 0, come fissato anche dalla massa. Poichè nella regione delle cariche, da x1 a x2, abbiamo un campo ad andamento lineare, integrandolo ulteriormente esso diverrà quadratico, e quindi parabolico. Poichè, ribaltando l’andamento del campo, la retta avrà pendenza negativa, allora la concavità del tratto di parabola sarà rivolta verso il basso. A questo punto, da x2 a x3, si trova un regime di campo costante, in cui il campo è positivo, ma quindi ribaltato negativo, e ciò darà vita ad un tratto di retta a pendenza negativa, dal punto x2 al punto x3. Da x3 a x4 si ripeterà il ragionamento precedente, ma questa volta la distribuzione ribaltata del campo avrà pendenza positiva, poichè dovrà crescere fino a 0, quindi il tratto di parabola avrà concavità rivolta verso l’alto. L’equazione di Poisson avrà un ruolo fondamentale nel modello matema- tico delle correnti in un semiconduttore, poichè sarà essa a fornirci le infor- mazioni sul campo e sul potenziale, a partire dalla distribuzione di cariche fornita o studiata nel problema. 2.5 Considerazioni su semiconduttori fuori equi- librio Prima di iniziare le nostre considerazioni sui semiconduttori fuori equlibrio, aggiorniamo la simbologia che utilizzeremo d’ora in poi: quando trattere- mo quantità all’equilibrio, termodinamico, ottico o di qualunque altro tipo, 34 useremo il pedice aggiuntivo 0: esempi saranno np0, nn0, ni0, pn0, pp0, pi0. Senza il pedice 0, i simboli finora utilizzati indicheranno una condizione di non equilibrio nel semiconduttore causata da un qualche fenomeno. Ci chiediamo però: come possiamo creare, in un semiconduttore, una situazione di non-equilibrio? Prendiamo un semiconduttore drogato tipo n, con un drogaggio ND, ed esponiamolo ad un fascio di fotoni dotati di energia ~ω > Eg, ossia dotati di un’energia superiore al gap di energia tra banda di valenza e banda di conduzione, in modo da facilitare le transizioni di elettroni. Irradiamo una sola faccia del nostro semiconduttore con i fotoni ~ω, in un punto che consideriamo come origine del sistema cartesiano; il fatto che la loro energia sia sufficiente a provocare molte transizioni di elettroni dalla banda di valenza a quella di conduzione, permette la generazione di diverse coppie elettrone-lacuna: esse sbilanceranno le distribuzioni dei portatori in prossimità del punto 0, nn(0)epn(0) le quali varieranno rispetto ai valori di equilibrio. Questo tipo di processo si può chiamare generazione termica (Gott), e lo consideriamo come un fenomeno puramente additivo: l’unico fenomeno ad essa contrapposto è la ricombinazione. Di fatto la generazione ottica inietta coppie elettrone-lacuna in un semiconduttore, ma esistono due sostanziali livelli di iniezione: • Basso livello di iniezione: l’iniezione di coppie elettrone-lacuna altera i portatori minoritari, ma non è abbastanza elevata da poter variare sensibilmente i portatori maggioritari. Ad esempio, se ND = 10 16, nn0 = ND, pn0 = 10 4, i fotoni ~ω generano 1013 coppie elettrone- lacuna, nn ' nn0, poichè 1016 + 1013 ' 1016, ma pn ' G(~ω): infatti, 104 + 1013 ' 1013. • Alto livello di iniezione: l’iniezione di coppie elettrone-lacuna è tal- mente elevata da riuscire ad alterare sensibilmente sia i minoritari che i maggioritari: supponiamo di avere una situazione come prima, ossia ND = 10 16, nn0 = ND, pn0 = 10 4, i fotoni ~ω generano però 1019 coppie elettrone-lacuna. A queste condizioni, nn ' pn ' G(~ω): la generazio- ne termica è cos̀ı potente da compensare interamente il drogaggio ND, e cos̀ı annullarlo. 2.6 Modello del Tasso di Ricombinazione Net- to Cerchiamo ora di completare il nostro modello matematico delle correnti in un semiconduttore, introducendo un modello del tasso netto di ricombina- 35 zione: supponiamo, prima di iniziare con il formalismo, di avere un semicon- duttore all’equilibrio, e dunque nn = nn0, e pn = pn0. In questa situazione, la generazione termica eguaglia la ricombinazione: per ogni generazione ter- mica vi è la ricombinazione antagonista, che non permette il perdurare di un’eventuale variazione della situazione. Possiamo immaginare che questo sia un caso limite del nostro modello: vi dovrebbe essere un coefficiente di proporzionalità α che permetta di regolare la ricombinazione, in questo modo: R = αnn0pn0 In altre parole, aumentare uno dei due portatori, implicherebbe aumen- tare anche il fenomeno di ricombinazione nel nostro semiconduttore. Con- sideriamo questa proporzionalità come un assioma, e sviluppiamo il no- stro modello; avevamo detto che, all’equilibrio termodinamico, R = Gth, e dunque: R = αnn0pn0 = Gth Ad un basso livello di iniezione, vi sarà una variazione dei minoritari, in questo ambito di pn, ma non dei maggioritari: in altre parole, nn = nn0. Il livello di ricombinazione, da quello precedente, diventerà: R = αnnpn Definendo Un il tasso medio di ricombinazione degli elettroni, ma soprat- tutto Up il tasso medio di ricombinazione delle lacune, minoritarie in questo ambito, vediamo che: Up = R−Gth = αnnpn − αnn0pn0 = αnn0(pn − pn0) Ma poichè consideriamo sempre valida l’ipotesi di completa ionizzazione, possiamo tranquillamente dire che: Up = αND(pn − pn0) Introduciamo dunque un’ulteriore definizione: il tempo di vita medio delle lacune, τp τp , 1 αND τp è un tempo medio di vita delle lacune in una condizione a loro sfa- vorevole, detto in modo molto approssimativo: poichè ci troviamo in un semiconduttore drogato tipo n, il tempo di vita degli elettroni in quanto maggioritari sarà molto superiore a quello delle lacune, dunque di fatto la 36 qΦSp = qχ+ Eg 2 + EFi − EF = 4, 05 + 0, 56 + 0, 349 = 4, 959 eV Calcolare la resistenza sapendo che l=1mm; A = 1 mm2 Abbiamo quotato tutto ciò che siamo in grado di fare, per questo possiamo passare al calcolo della resistenza del semiconduttore. Partendo dalla legge di Ohm, possiamo dire che: R = ρ l A Disponiamo partendo dai dati del problema di l ed A, ma non abbiamo alcuna informazione riguardante ρ. L’unica cosa che sappiamo, è che: ρ = 1 σ Abbiamo ampiamente studiato σ in precedenza, e siamo arrivati a dire che: σ = q(µnn+ µpp) Noi disponiamo di p, ma ci mancano sia i minoritari n, che le mobilità relative ad n e p. Per queste ultime, è necessario consultare un grafico, contenente la degenerazione delle mobilità al variare della temperatura e della concentrazione di portatori NA +ND, e quindi possiamo dire che: µn = 1050; µp = 350 Per quanto riguarda invece i minoritari, è sufficiente applicare la legge dell’azione di massa: np · pp = n2i =⇒ np = n2i pp = 2, 1 · 104 Il fatto che il numero di minoritari sia inferiore a quello di maggiori- tari di molti ordini di grandezza, ci permette di trascurarli, calcolando la conducibilità elettrica. Possiamo dunque dire che: σ ' qµppp = 0, 746 Invertendo ora σ, troviamo ρ, e possiamo quindi calcolare R: R = 1 σ l A 39 Abbiamo cos̀ı risolto facilmente i primi due punti del problema; risolvere i secondi è del tutto inutile, in quanto il processo è del tutto analogo, tenendo semplicemente conto del fatto che vi è una compensazione del drogante tipo p, NA, in seguito all’introduzione di ND. Ricalcolando la nuova concentrazione di minoritari mediante la legge dell’azione di massa, e le nuove mobilità dei portatori, si può facilmente raggiungere lo stesso risultato appena trovato (chiaramente le cifre saranno diverse). Calcolo lacune in eccesso Trattiamo il terzo punto del problema, che sarà molto più interessante dei primi due. Talvolta, converrà fare divagazioni, che torneranno molto utili nello studio di dispositivi in un momento più avanzato della trattazione. Supponiamo dunque di avere 1013 coppie elettrone-lacuna, e dunque di avere un basso livello di iniezione. Ciò che capiterà, è che:{ pn0  1013 nn0  1013 Applichiamo per la prima volta il modello matematico, partendo dall’e- quazione di continuità: ∂pn ∂t = −1 q ∂Jp ∂x − Up Consideriamo il fatto che la generazione ottica non subisce variazioni nel tempo, e che dunque, al variare del tempo t, il numero di coppie sarà sempre lo stesso, e quindi la derivata nel tempo sarà nulla. =⇒ −1 q ∂Jp ∂x − Up = 0 Introducendo il nostro modello di ricombinazione diretta, −1 q ∂Jp ∂x − pn − pn0 τp = 0 Consideriamo l’equazione di trasporto della corrente, rappresentante la densità di corrente Jp, e quindi Jp = qµppnε− qDp ∂pn ∂x Consideriamo però che il nostro semiconduttore è isolato rispetto all’e- sterno, e dunque non vi sono fenomeni di polarizzazione, e il campo elettrico dall’esterno risulterà essere nullo, poichè non abbiamo polarizzazioni esterne. 40 Potremmo pensare però ad eccessi di carica interni generati dall’iniezione ot- tica: sarebbe un pensiero fuorviante, poichè la generazione ottica provoca la nascita di coppie elettrone-lacuna, e quindi non viene perturbato l’equilibrio in questo senso, dunque possiamo considerare ρ = 0, ed ε = εext + εint = 0. Il vero problema che potrebbe nascere è il seguente: la diffusione di elettroni e lacune avviene con una velocità differente, poichè la differenza delle masse efficaci di elettroni e lacune fa s̀ı che queste seconde abbiano una mobilità inferiore, ergo potrebbero generarsi campi elettrici momentanei, in seguito a gradienti di diffusione temporanei. Al fine di prevenire questa possibilità, consideriamo un’ipotesi aggiuntiva: la quasi neutralità del semicondutto- re: ε ' 0: infatti il campo elettrico effettivamente potrebbe agire, ma solo sulla corrente dei minoritari, che quindi non ci riguarda, in quanto del tut- to trascurabile. Accettando tale ipotesi, l’equazione di trasporto si ridurrà semplicemente a: Jp ' −qDp ∂pn ∂x Sostituendo l’equazione di trasporto in quella di continuità, e consideran- do solo gli eccessi di cariche dovuti alla ricombinazione, si otterrà: 0 = −1 q Dp ∂2p′n ∂x2 − p ′ n τp Questa di fatto rappresenta un’equazione omogenea di secondo ordine a coefficienti costanti: ∂2p′n ∂x2 = 1 Dpτp p′n Considerando il polinomio caratteristico di quest’equazione, e riducendola ad un’equazione di secondo grado, si ottiene che gli autovalori del polinomio caratteristico avranno forma: λ2 = 1 Dpτp =⇒ λ1,2 = ± 1√ Dpτp Potremmo ora fare quest’osservazione: il termine Dpτp è una lunghez- za quadratica, dimensionalmente parlando. Si definisce il parametro detto lunghezza di diffusione, relativo alle lacune, come: Lp = √ Dpτp Di fatto la lunghezza di diffusione è un parametro che ci permette di capire quanto velocemente i minoritari iniettati si disperdono, man mano 41 non è possibile assimilare la lunghezza del lato a∞. Chiaramente, i passaggi iniziali saranno del tutto analoghi, e la soluzione dell’equazione differenziale cui arriveremo sarà sempre della forma: p′n(x) = Ae x Lp +Be − x Lp Al fine di poter ricavare nuove condizioni al contorno, sarà necessario proporre nuove ipotesi assuntive: il semiconduttore, per quanto corto, dovrà essere per esempio essere chiuso su di un metallo, mediante due placchette, al fine di poter ottenere un contatto ohmico. Costruendo tecnologicamente un dispositivo di questo tipo, la condizione al contorno che potremo appli- care, sarà la totale ricombinazione nel punto estremo del semiconduttore, d: infatti, il contatto ohmico permette una totale ricombinazione con i minori- tari non ancora ricombinati, all’interno del semiconduttore. Potremo dunque considerare, come condizioni al contorno, p′n(d) = 0 p′n(0) = A+B Partendo da ciò, troviamo che: B = p′n(0)− A 0 = Ae d Lp + (p′n(0)− A)e − d Lp Svolgiamo ora alcuni passaggi algebrici, al fine di esplicitare in questo ambito le costanti di normalizzazione A e B: 0 = A(e d Lp − e− d Lp ) + p′n(0)e − d Lp Ma notiamo che e d Lp − e− d Lp = 2 sinh( d Lp ); quindi: A = −p′n(0)e − d Lp 2 sinh( d Lp ) Sostituiamo ora in B: B = p′n(0) + p′n(0)e − d Lp 2 sinh( d Lp ) = 2 sinh( d Lp )p′n(0) + p ′ n(0)e − d Lp = 44 = p′n(0)e d Lp − p′n(0)e − d Lp + p′n(0)e − d Lp 2 sinh( d Lp ) Quindi, B = p′n(0)e d Lp 2 sinh( d Lp ) Sostituendo A e B nell’equazione di partenza, si ottiene che: p′n(x) = −p′n(0)e − d Lp e x Lp + p′n(0)e d Lp e − x Lp 2 sinh( d Lp ) = p′n(0) ( e d−x Lp − e− d−x Lp ) 2 sinh( d Lp ) = sinh(d−x Lp ) sinh( d Lp ) Siamo dunque arrivati a dire che, dato un semiconduttore il cui lato è confrontabile con la lunghezza di diffusione, ossia d ∼ Lp, la distribuzione dell’eccesso di minoritari (nel nostro caso, con un semiconduttore drogato tipo n, p′n(x), p′n(x) = sinh(d−x Lp ) sinh( d Lp ) Esiste un caso ancora più estremo: se il lato del semiconduttore è inferiore alla lunghezza di diffusione, e quindi d  Lp, possiamo dire che d  x, e quindi possiamo riutilizzare la precedente espressione, considerandola per un x tendente a 0. Ciò però significa che siamo in grado di semplificare notevolmente la nostra espressione, sviluppandola in polinomio di Taylor: p′n(x) ∼ p′n(0) · d−xLp d Lp = p′n(0) ( 1− x d ) Utilizzando gli andamenti degli eccessi di minoritari ora ricavati, sarà possibile calcolare le correnti facilmente, anche con ipotesi diverse da quella di lato lungo, sfruttando sempre le stesse conoscenze utilizzate precedente- mente. 45 Capitolo 3 Giunzione p-n Siamo riusciti a fornire un modello soddisfacente dell’andamento delle corren- ti in un semiconduttore drogato, e abbiamo fatto un esempio applicativo di come calcolarle. Ora vogliamo sfruttare queste conoscenze, in un dispositivo usato molto comunemente, e alla base dell’elettronica: la giunzione p-n. Dati due semiconduttori (comunemente noi useremo il silicio), drogati uno tipo n, ed uno tipo p, essi avranno un diagramma a bande abbastanza diverso sotto alcuni punti di vista, anche se con le conoscenze finora apprese siamo in grado di motivarlo senza problemi. Immaginiamo didatticamente di unire i due semiconduttori; i potenziali dei due, in principio separati, una volta uniti, avranno lo stesso sistema di riferimento. Consideriamo come origine dei tempi l’istante in cui si uniscono i due semiconduttori; in un tempo 0+, le due barriere di potenziale del vuoto, le EB, saranno coincidenti. Anche gli altri livelli, quali EC , EV , EFi , saranno tutti coincidenti, tranne il livello di Fermi reale dei semiconduttori, EF , che presenterà una discontinuità in prossimità del punto di giunzione. Volessimo dunque tracciare un diagramma a bande del semiconduttore in un istante 0+, esso avrebbe l’andamento appena descritto. Consideriamo, in questo sistema, come origine degli assi, il punto di giun- zione dei due semiconduttori. Convenzionalmente, si considera a sinistra il lato p, a destra il lato n. Possiamo dunque dire che, a destra della giunzione, avremo molti elettroni in banda di conduzione (maggioritari) e poche lacune in banda di valenza (minoritari), e viceversa a sinistra i portatori maggiorita- ri saranno le lacune in banda di valenza, ed i minoritari gli elettroni in banda di conduzione. Di fatto, vi saranno accumuli di carica, che provocheranno flussi di portatori: dal lato p al lato n di lacune, dal lato n al lato p, di elettroni (sempre parlando di un istante t = 0+. Questi flussi di cariche sus- sisteranno, fino a quando sussisteranno le discontinuità nei livelli energetici, e nella fatispecie la discontinuità del livello di Fermi. Per un certo transitorio 46 Potremmo ora chiederci alcune domande: ma qual è la posizione del salto? Coincide veramente con l’origine degli assi, è cioè in prossimità della giunzione? Dove le distribuzioni di cariche iniziano ad annullarsi? La risposta è la seguente: dove il livello di Fermi cessa di essere discontinuo. Vogliamo capire e quantificare l’estensione delle regioni di carica, studiar- ne la geometria, quantificare i punti −xp ed xn, e soprattutto i loro valori una volta raggiunto l’equilibrio, −xp0 ed xn0. Questi valori saranno ottenuti in seguito ad una crescita temporale dei valori fuori equilibrio −xp ed xn, rispetto al loro stato iniziale. Nel punto di equilibrio, i flussi determinati dai gradienti di concentrazione di carica saranno eguagliati dalla ricombinazione e da flussi opposti, e quindi saranno nulli. 3.1 Studio qualitativo del diagramma a ban- de della giunzione p-n Facendo una prima analisi qualitativa del campo (senza considerare calcoli analitici di alcun tipo, che verranno ripresi in seguito), possiamo vedere che poichè a sinistra la carica è negativa, si avrà, integrando, una retta decre- scente da −xp fino a 0, e crescente da 0 fino a xn. Il campo sarà dunque un triangolo, interamente negativo, con il vertice posto in 0. Integrando ulteriormente, si ottiene un insieme di due contributi parabolici, il primo con concavità verso l’alto, il secondo con concavità verso il basso (poichè si inverte il segno del campo per l’equazione di Poisson). Ribaltando il grafico del potenziale rispetto all’asse x, si troverà una fun- zione monotona decrescente, trattabile come due parabole, la prima fino a 0 con concavità verso il basso, la seconda fino a xn con concavità verso l’al- to. Questo sarà il grafico dell’energia potenziale valutata in eV, ma sarà soprattutto utile se pensata come parte di un diagramma a bande: il grafico dell’energia potenziale, come già accennato, è il diario di bordo dell’elettrone, ossia è il suo diagramma a bande. Ciò che si trova con questa sorta di dop- pio andamento parabolico, è semplicemente il raccordo tra i livelli energetici dei due lati, una volta raggiunto l’equilibrio: infatti all’equilibrio il livello di Fermi reale del sistema diventa continuo, confrontabile con una retta, men- tre i vari EB, EC , EV , EFi , raggiungono livelli energetici diversi, ma non 49 presentano discontinuità, bens̀ı un raccordo come quello appena descritto qualitativamente (e che in seguito verrà calcolato analiticamente). Possiamo dire che il lato n tenderà a scendere rispetto al lato p, che salirà relativamente ad n. Lo spostamento di carica, determinante l’equilibrio, ha determinato il curvarsi dei livelli energetici, nell’intorno della zona della giunzione. Il livello di Fermi si sarà riallineato, e tutti gli altri curvati con un andamento come quello appena descritto. Notiamo che si viene a formare una barriera di potenziale, man mano che si instaura l’equilibrio: più passa il tempo, più portatori tenderanno a transire la barriera, e più diventerà difficile raggiungere l’altro lato, poichè il campo continuerà ad aumentare. Al livello di equilibrio, i flussi sono del tutto bilanciati: il flusso di elettroni in banda di conduzione dal lato n a quello p equivale e bilancia quello di elettroni in banda di conduzione dal lato p al lato n. Stesso discorso per le lacune. Possiamo esprimere con un formalismo migliore, il fatto che si hanno in totale quattro flussi: 1. Φx,e−BC n −→ p 2. Φx,e−BC p −→ n 3. Φx,e+BV p −→ n 4. Φx,e+BV n −→ p Φx,e−BC n −→ p = Φx,e−BC p −→ n Φx,e+BV p −→ n = Φx,e+BV n −→ p Quindi, si può dire che: { 1 = 2 3 = 4 Le barriere di potenziale causate dalla transizione di elettroni, e quindi dalla non-neutralizzazione degli atomi droganti ionizzati, si modulano fino a bilanciare questi flussi. Ciò coincide esattamente con il bilanciare il livello di Fermi. Questo fatto finora espresso facilmente però non è banale, e vediamo come sia realmente possibile, mediante una semplice dimostrazione: Dati due materiali, 1 e 2, essi saranno caratterizzati da una propria distri- buzione degli stati energetici, e da una funzione di occupazione degli stati (in questo caso poichè si parla sempre di elettroni/lacune e quindi di fermioni, 50 la Fermi-Dirac), caratterizzata proprio dal livello di Fermi del materiale. I due materiali saran dunque cos̀ı caratterizzati:{ g1(E) f1(E;T )⇔ EF1{ g2(E) f2(E;T )⇔ EF2 Supponiamo ora che sia già stato raggiunto l’equilibrio termodinamico, in seguito al contatto. Ciò significa che per ogni generico livello energetico E, bisogna garantire un egual flusso di portatori, e cioè i flussi di lacune e di elettroni da un lato ad un altro devono essere tra loro bilanciati. Consideria- mo anche soltanto gli elettroni: è sufficiente come condizione per la nostra dimostrazione: la nostra ipotesi dunque sarà: Φx,e−1 −→ 2 = Φx,e−2 −→ 1 Quindi, esplicitando le funzioni caratterizzanti i flussi di portatori: Φx,e−1 −→ 2 = [g1(E · f1(E;T )] · [g2(E) · (1− f2(E;T ))] Φx,e−2 −→ 1 = [g2(E · f2(E;T )] · [g1(E) · (1− f1(E;T ))] Ossia, perchè i flussi di carica siano efficaci, deve essere presente un elet- trone dal lato 1 in grado di effettuare la transizione, e vi deve essere uno spazio libero (regolato dal complementare della funzione di occupazione) nel lato 2; viceversa per il flusso da 2 a 1. Svolgendo i conti, si ottiene che: g1f1g2 − g1f1f2g2 = g2f2g1 − g1f1f2g2 =⇒ f1 = f2 Poichè supponiamo di trovarci ad una temperatura di 300 K come nostro solito, e consideriamo un qualunque livello energetico E, l’unica variabile in gioco fissate queste rimane il livello di Fermi: infatti, dire che le due funzioni di occupazione sono uguali, implica dire che: 1 1 + e E−EF1 kT = 1 1 + e E−EF2 kT =⇒ EF1 = EF2 Questo, fissata una E qualsiasi. Tentiamo ora di meglio definire ciò che capita, stabilendo alcune osserva- zioni in grado di guidarci nel rappresentare un diagramma a bande (per ora qualitativo) di una giunzione p-n. In seguito effettueremo calcoli rigorosi per 51 3.2.2 Analisi della barriera di potenziale Data la barriera di potenziale Φi, possiamo pensarla, come già anticipato, come differenza dei lavori di estrazione del lato p, e del lato n: Φi = qΦSp − qΦSn Questa differenza si può pensare in termini della semplice differenza dei soli livelli di Fermi intrinseci, in punti distanti dalla giunzione: Φi = EFi(−∞)− EFi(+∞) Algebricamente, possiamo aggiungere e togliere lo stesso numero ad un’e- quazione ed essa rimarrà comunque invariata. Possiamo dunque aggiungere e sottrarre la quantità EF : Φi = EFi(−∞)− EF + EF − EFi(+∞) Ma ora è possibile ricondurre alle equazioni di Shockley queste espressioni: (EFi(−∞)− EF ) + (EF − EFi(+∞)) = kT ln NA ni + kT ln ND ni = = kT ln NAND n2i = qΦi La barriera è l’energia positiva cos̀ı definita: qΦi. Si noti che la conven- zione è particolare: parlando quantitativamente di potenziale, avevamo preso come riferimento, ossia come massa, il punto −xp0; ora, parlando di energia, consideriamo come punto di riferimento (ossia come una sorta di massa, par- lando però di energia sarebbe più corretto parlare di una sorta di energia iniziale) il punto xn0: per questo, i segni risultano comunque essere positi- vi, anche se in effetti il potenziale espresso in V è semplicemente l’opposto dell’energia potenziale espressa in eV. Riassumendo dunque la convenzione: • qΦi = U(−∞)− U(+∞) • Φi = Φ(+∞)− Φ(−∞) Ora, per terminare la formalizzazione, potremmo considerare la defini- zione corretta di potenziale di contatto della giunzione p-n, non utilizzando più la convenzione a ±∞, ma utilizzando al posto di −∞ il valore −xp0, e al posto di +∞ il valore xn0: 54 Φi = Φ(xn0)− Φ(−xp0) Abbiamo cos̀ı trattato anche la seconda condizione del nostro sistema. Ci manca ancora una condizione, ossia l’applicazione dell’equazione di Poisson. 3.2.3 Analisi formale dell’andamento di campo e po- tenziale Partiamo dall’equazione di Poisson, e consideriamo quindi le due equazioni: ε(x) = ∫ ρ(x) S dx Φ(x) = − ∫ ε(x)dx Partendo dalla densità di carica ρ(x) studiamo l’andamento del campo elettrico. Dobbiamo però definire innanzitutto la funzione di densità di carica ρ(x) come una funzione a tratti: ρ(x) =  0 −∞ < x < −xp0 −qNA −xp0 < x < 0 +qND 0 < x < xn0 0 xn0 < x < +∞ Considerando che abbiamo a che fare con una funzione definita a tratti, possiamo calcolare il campo elettrico integrando ogni singolo intervallo: ba- sterà sfruttare l’equazione di Poisson ed il teorema fondamentale del calcolo integrale, nel seguente modo: considerando l’integrazione in un intervallo [a;x], ε(x) = ε(a) + ∫ x a ρ(x) S Si consideri inoltre che il campo deve ovviamente essere continuo, e che le espressioni trovate devono essere tutte riferite alla stessa massa. Per questo, sarà necessario calcolare il valore finale del campo in un intervallo, e porlo uguale al valore iniziale nell’intervallo successivo. Tenendo conto di queste cose, studiamo ora ciascuna delle quattro zone: • Per −∞ < x < −xp0, ρ(x) = 0, quindi il campo sarà nullo nella regione; si noti che il valore finale di quest’espressione sarà 0, poichè la funzione integranda sarà sempre 0, quindi possiamo tranquillamente dire anche senza calcoli che ε(−xp0) = 0. 55 • Per −xp0 < x < 0, abbiamo che ρ(x) = +qND; applicando l’espressione prima proposta, ε(x) = ε(−xp0) + ∫ x xp0 −qNA S dx = −qNA S (x+ xp0) Questo poichè il valore iniziale ε(−xp0) = 0. Calcoliamo il valore finale di quest’espressione, ossia nel punto x = 0, che diventerà il valore iniziale della prossima zona: ε(0) = −qNA S xp0 • Per −xp0 < x < 0, ρ = +qND, quindi calcoliamo che: ε(x) = ε(0) + ∫ x 0 qND S dx = −qNA S xp0 + qND S x Il valore finale di questo intervallo varrà: ε(xn0) = − qNA S xp0 + qND S xn0 • Per xn0 < x < +∞, potremmo riapplicare tutti i ragionamenti ed i risultati analitici finora ricavati, per poter ricavare il valore del campo elettrico ε(x) nella regione. In realtà, possiamo ragionare in un modo molto più qualitativo ma altrettanto efficace: applicando la neutralità, se il campo elettrico è nullo a sinistra della regione di carica negativa, se non fosse nullo a destra della regione di carica positiva, l’ipotesi di neutralità sarebbe impossibile da applicare nella giunzione p-n. Appli- cando in modo molto leggero l’ipotesi di neutralità, possiamo dunque dire che ε(x) = 0 Riassumendo, il valore del campo elettrico ε(x) sarà: ε(x) =  0 −∞ < x < −xp0 − qNA S (x+ xp0) −xp0 < x < 0 − qNA S xp0 + qND S x 0 < x < xn0 0 xn0 < x < +∞ 56 xn0 = √ 2S qND Φi NA NA +ND Possiamo ora dire di aver trovato ogni dato necessario per quotare il diagramma a bande della giunzione p-n: ci imponiamo solo di mettere un poco ordine nelle espressioni, esprimendo l’ultimo risultato trovato in modo più saggio: anzichè considerare una singola ampiezza, consideriamo la totale ampiezza (come somma delle due ampiezze) delle regioni di svuotamento, xd0: xd0 = xn0 + xp0 Partendo da qua, scriviamo un’espressione di xd0: xd0 = xn0+ ND NA xn0 = xn0 ( NA +ND NA ) = √( NA +ND NA )2 NA ND +NA 2S qND Φi; xd0 = √( NA +ND NA ) 2S qND Φi Esprimendo ora la funzione con il concetto di drogaggio equivalente Neq, definito come somma armonica dei due drogaggi: Neq = 1 1 NA + 1 ND = NAND NA +ND Si ottiene che: xd0 = √ 2S qNeq Φi 3.3 Applicazione di una tensione esterna alla giunzione Abbiamo finora studiato la giunzione p-n in un caso di equilibrio. Potremmo ora pensare a casi in cui non vi è equilibrio, poichè esso viene perturba- to dall’esterno, mediante l’applicazione di una batteria di tensione Va alla giunzione. Consideriamo la seguente convenzione: il + della batteria va collegato al lato p, il - della batteria al lato n. I contatti di accesso alla giunzione 59 saranno metallici (supponiamo ad esempio di oro Au): un accesso ad un semiconduttore (e quindi ad una giunzione) deve essere mediato da un con- tatto ohmico, al fine di poter eliminare resistenze parassite. Avremo a che fare quindi sostanzialmente con tre interfacce, e tre potenziali di contatto. Potremmo dunque ridisegnare il diagramma a bande del nostro sistema Au- Si-Au: supponendo di trovarci in uno stato di equilibrio, il livello di Fermi sarà ovunque costante. Il metallo non potrà, a causa della natura fluida del suo mare di elettroni, presentare concavità in prossimità dei contatti, e quindi solo il diagramma a bande dei semiconduttori potrà subire curvature. Lontano dalle interfacce, i materiali si comporteranno come isolati. Cosa possiamo osservare: il metallo Au ha un livello di estrazione supe- riore a quello del silicio; come già detto, il raccordo sarà solo da parte dei semiconduttori poichè la natura fluida del mare di elettroni non permette modifiche al materiale. Oltre alla barriera Φi, avremo altre due barriere di potenziale, causate dalla differenza tra i lavori di estrazione. Ogni tensione di contatto si può circuitalmente rappresentare mediante una batteria: il con- tatto Au-Sip sarà una tensione positiva rispetto a p su n, poichè è dall’alto verso il basso. Il contatto Sin-Au sarà una tensione dal basso verso l’alto ri- spetto a p, e quindi sarà negativa. Circuitalmente, si può pensare al sistema come una maglia di batterie. L’equazione di questa maglia sarà la seguente: ΦAu,p − Φi + Φn,Au = 0 Da ciò è facilmente ricavabile la tensione Φi: Φi = Φn,Au − ΦAu,p 60 Supponiamo di poter avere un voltmetro ideale: esso non potrebe misu- rare niente, poichè i potenziali di contatto bilanciano la tensione interna, che quindi sarà nulla. Collegando finalmente la tensione esterna Va, supponendo che i contatti metallici siano dei buoni contatti, ossia a bassissima resistenza, e che quindi provocano una bassa caduta di tensione per le correnti che vi entrano, pos- siamo pensare che le due resistenze serie dei contatti ohmici siano nulle, e che quindi la tensione alla giunzione subirà una variazione, raggiungendo un valore Vj, a noi incognito. La maglia di batterie sarà modificata, ed avrà un’equazione associata di questo tipo: −Va − ΦAu,p − Vj + Φn,Au = 0 Vj = Φn,Au − ΦAu,p − Va Ma noi abbiamo prima detto che Φi = Φn,Au − ΦAu,p; dunque: Vj = Φi − Va Quando applico una tensione positiva sul lato p, si abbassa la tensio- ne sulla giunzione. A questo punto, in seguito a questa notevole scoperta, introduciamo due definizioni: • Una giunzione polarizzata con una tensione esterna Va > 0 è detta polarizzata direttamente; • Una giunzione polarizzata con una tensione esterna Va < 0 è detta polarizzata inversamente. La tensione provoca alcune interessanti conseguenze: disegnamo, in un grafico, la distribuzione della tensione all’equilibrio, con una polarizzazione diretta, e con una polarizzazione inversa: la concavità della funzione rimarrà 61 Abbiamo scoperto una cosa molto interessante: un semiconduttore si può comportare come un condensatore a facce piane parallele, di costante dielettrica S, e distanza xd tra le armature. Un semiconduttore svuotato dunque è equivalente ad un materiale dielettrico. 3.4 Esercizio pratico Data una giunzione p-n in silicio con i seguenti drogaggi: NA = 10 16; ND = 5 · 1016: 1. Disegnare il diagramma a bande dettagliato all’equilibrio. 2. Calcolare il campo elettrico massimo all’equilibrio. 3. Calcolare il valore della tensione esterna Va tale per cui il campo mas- simo raddopi. 4. Calcolare il valore di capacità allo stato della giunzione nel punto precedente. 5. Si metta a punto un metodo di misura sperimentale che tramite misura di capacità permetta una valutazione del potenziale di contatto Φi 3.4.1 Risoluzione Disegnare il diagramma a bande dettagliato all’equilibrio Il primo punto è già stato risolto una volta, tuttavia lo discutiamo brevemen- te: ricordando le proprietà dei semiconduttori e dei metalli, e il fatto che il livello di Fermi deve essere sempre costante nel semiconduttore, una raffigu- razione qualitativa è immediata. Per però poter quotare ogni singolo punto, mancano alcuni dati: le posizioni delle regioni di svuotamento, l’ampiezza della barriera, e i contributi di ogni lato alla barriera. Si ricava immediatamente che: Φi = kT q ln NAND n2i L’ampiezza della banda di svuotamento sarà: xd0 = xn0 + xp0 = √ 2S Neq Φi Sappiamo che S = 0rS = 11, 7 · 8, 854 · 10−14. Neq = 8, 33 · 1015. 64 Svolgendo i conti, xd0 = 3, 4 · 10−7 Potremmo ora ragionare in due modi diversi: uno è quello di considerare le espressioni operative per il calcolo delle singole ampiezze xp0 e xn0. Un altro modo, più intelligente, è quello di considerare il fatto che le distribuzioni di carica sono rettangolari, e quindi che: NA ND = xn0 xp0 Si può ricavare dunque che: xn0 = 58nm; xp0 = 292nm Dunque, i valori dei contributi della barriera saranno: Φn = qND 2S x2n0 = 0, 12V Φp = qNA 2S x2p0 = 0, 65V Abbiamo quotato tutte le grandezze utili al diagramma a bande. Calcolare il campo elettrico massimo all’equilibrio Passiamo al punto successivo: il calcolo del campo elettrico massimo nella giunzione. Anche qua ci vengono aperte notevoli strade, ma la teoria ci insegna che il massimo del campo è in prossimità dell’origine degli assi, ergo del punto di giunzione, e che equivale all’area del triangolo. Possiamo dunque calcolarlo cos̀ı: ε(0) = −qNA S xp0 = −qND S = 44kV/cm Calcolare il valore della tensione esterna Va tale per cui il campo massimo raddopi Risolto il punto 2, tentiamo di risolvere in modo altrettanto rapido il punto 3: anche qua la teoria potrebbe spingerci a conti molto elaborati, ma in realtà si tratta esclusivamente di risolvere un problema in cui abbiamo un triangolo la cui area raddoppia, al raddoppiare della base. Quindi: 65 (Φi − Va) = 2xdε(0) · 2 2 =⇒ Va = 2, 2eV Calcolare il valore di capacità allo stato della giunzione nel punto precedente Il quarto punto potrebbe nuovamente trarci in inganno, ma anch’esso è de- cisamente semplice: esiste un sistema banalissimo di calcolare la capacità di svuotamento del semiconduttore, considerandolo (come la teoria ci può suggerire) come un condensatore a facce piane parallele. Quindi: CDEP = S xd = 15nF/cm2 Si metta a punto un metodo di misura sperimentale che trami- te misura di capacità permetta una valutazione del potenziale di contatto Phii Il quinto punto è molto più interessante di quelli passati finora. Si noti come, sfruttando le relazioni giuste e con qualche osservazione intelligente, i proble- mi diventino molto più semplici. Questo punto però effettivamente richiede osservazioni più importanti: vogliamo trovare un metodo per misurare, in buona approssimazione, la tensione di contatto Φi. Dalla teoria, sappiamo che è impossibile realizzare un voltmetro capace di ciò, quindi dovremmo affi- darci a misure di tipo indiretto. La traccia dell’esercizio suggeriva di sfruttare effetti capacitivi al fine di realizzare questo metodo. Dalla teoria sappiamo che: CDEP = √ qSNeq 2(Φi − Va) Vorremmo ora una funzione facile da studiare, a partire da questa, e che non presenti il seguente problema: un’idea è prendere l’espressione di CDEP , e considerare C−2DEP : 1 C2DEP = 2(Φ− Va) qSNeq Quest’espressione è molto interessante da studiare in quanto di fatto non è altri che una retta: la proprietà interessante è che l’intersezione con l’asse delle ascisse di questa retta non è altri che Φi, e quindi questo metodo di misura ci fornisce implicitamente due misure: Φi, ma anche Neq, poichè la pendenza della retta f(Va), e quindi è possibile calcolare con un’ottima 66 livello di Fermi intrinseco, EFi), possiamo calcolare sia nn che pn, median- te una banale applicazione delle equazioni di Shockley. Facendo le stesse osservazioni per un semiconduttore drogato p con drogaggio NA, possiamo dunque introdurre le equazioni di Shockley: ND0 : { nn0 = nie EF−EFi kT pn0 = nie − EF−EFi kT NA0 : { pp0 = nie EFi −EF kT np0 = nie − EFi −EF kT In questi casi in equilibrio, la legge dell’azione di massa vale:{ ND0 = nn0pn0 = n 2 i NA0 = np0pp0 = n 2 i Nei casi fuori equilibrio, le equazioni di Shockley saranno: ND : { nn = nie EFn −EFi kT pn = nie − EFp −EFi kT NA : { pp = nie EFi −EFp kT np = nie − EFi −EFn kT 69 In questi casi fuori equilibrio, vediamo che le leggi dell’azione di massa subiranno una correzione (esponenziale) rispetto a quelle classiche in casi di equilibrio: { ND : nnpn = n 2 i e EFn −EFp kT NA : nppp = n 2 i e EFn −EFp kT Mediante questi strumenti teorici, ossia i quasi-livelli di Fermi, è possibile studiare un semiconduttore con le equazioni di Shockley anche in condizioni fuori equilibrio. 3.6 Leggi della Giunzione Tornando allo studio della giunzione, cerchiamo di applicare quanto appena introdotto, e di utilizzare dunque sulle regioni di svuotamento le equazioni di Shockley. Ipotizziamo che lo svuotamento di queste induca un basso livello di iniezione, e quindi che il vecchio livello di Fermi descriva senza problemi la concentrazione dei maggioritari. Usando le equazioni di Shockley si vede che la distanza EFn −EFi al variare di x, nel lato n, è costante fino a x = xn: a partire dal punto xn, ossia a partire da quando si entra nella zona di svuotamento, la differenza dei due livelli energetici crolla bruscamente, al variare di x, man mano che ci si avvicina alla giunzione, per essere precisi con un andamento esponenziale (come suggeriscono le equazioni di Shockley): nn(x) = nie EF−EFi (x) kT Quando x = xn, nn(x) = nn0; per x < xn, vi è una diminuzione espo- nenziale degli elettroni: questo perchè prima della zona di svuotamento la neutralità è garantita dagli elettroni derivanti dagli ioni positivi (iniettati come droganti). Per x > xn infatti, pn ' 0, e quindi N+D − nn ' 0 (grazie all’ipotesi di completa ionizzazione che si può applicare sempre). Via via che ci si inoltra nella zona di svuotamento, nn(x) diminuisce velocemente, poichè abbiamo la dipendenza dall’esponenziale della differenza EF −EFi(x), quindi, dalla condizione di neutralità in cui nn0 ' ND, e ρ = 0, si arriva a: nn  nn0; nn  ND; ρ ' ND Questa è una verifica a posteriori della validità dell’ipotesi di completo svuotamento. Si noti che nella regione di svuotamento esistono moltissimi portatori, ma che sono in numero estremamente trascurabile rispetto a ND. 70 Stesso ragionamento, duale, per il lato p. Dire che non vi sono minoritari è un errore gravissimo: dire che però l’ipotesi di completo svuotamento è attuabile, può nascondere il fatto che i minoritari esistano, ma con una concentrazione inferiore di diversi ordini di grandezza rispetto a quella dei maggioritari. La transizione delle concentrazioni avverrà con una certa gradualità; par- tendo dall’ipotesi di basso livello di iniezione, e dal fatto che i maggioritari nel lato n sono descritti da EFn = EF , mentre nel lato p da EFp = EF , possiamo architettare le nostre congetture: 1. In equilibrio: np0(−xp) = nie− EFi (−xp)−EF kT 2. Fuori equilibrio: np(−xp) = nie− EFi (−xp)−EFn kT Ma, nel lato p all’equilibrio, EF = EFp , poichè trattiamo i maggioritari e il basso livello di iniezione. Ricaviamo dunque dalla prima espressione ni, tenendo conto di quest’osservazione: np0 = nie − EFi (−xp)−EF kT =⇒ ni = np0e EFi (−xp)−EF kT Sostituendo nella seconda espressione, si ottiene che: np(−xp) = np0e− EFi (−xp)−EFn kT e EFi (−xp)−EF kT = np0e − EFp −EFn kT Dualmente, nel lato n, considerando il punto di inizio della regione di svuotamento x = xn, mediante gli stessi passaggi, si ricava che: pn(xn) = pn0e EFn −EFp kT Ma possiamo osservare che EFn − EFp kT = Va VT Abbiamo cos̀ı dimostrato in modo formale, a partire dai quasi-livelli di Fermi, due equazioni fondamentali per lo studio della giunzione p-n: np(−xp) = np0e Va VT = n2i NA e Va VT 71 Il semiconduttore si può considerare nell’ipotesi di lato lungo: la lunghez- za del lato n rispetto alla lunghezza di diffusione Lp è molto elevata. Possia- mo dunque confondere la lunghezza del lato Wn con +∞, e poter studiare le solite condizioni al contorno: p′n(Wn) = 0 =⇒ A = 0 p′n(xn) = Be − xn Lp =⇒ B = p′n(xn)e xn Lp Sostituendo nell’equazione i coefficienti A e B, si ottiene: p′n(x) = p ′ n(xn)e xn Lp e − x Lp = p′n(xn)e −x−xn Lp Quindi p′n(x) dipende esclusivamente da un fenomeno di diffusione, su- bisce un fenomeno di ricombinazione, e dopo poche lunghezze di diffusione si potrà considerare nulla. Ciò avvalora a posteriori le nostre congetture sul quasi-livello di Fermi: esso ci ha permesso di calcolare la concentrazione delle lacune sul lato n; poichè l’esponenziale ha l’esponente normalizzato di Lp, dopo che l’esponente sarà multiplo di Lp, il decadimento esponenziale di portatori minoritari al variare della posizione dovuto alla ricombinazione an- nullerà o quasi la presenza dei suddetti minoritari. Per questo il quasi-livello di Fermi coinciderà con il livello di Fermi, poichè le lacune saranno tutte ricombinate, come ci suggerisce l’espressione appena trovata. Considerando il fatto che, come prima abbiam visto, abbiamo un’espressione dei minoritari nel punto xn: p′n(xn) = pn0 ( e Va VT − 1 ) Sostituendo nella nostra espressione ottenuta dal modello matematico avremo che: p′n(x) = pn0 ( e Va VT − 1 ) e −x−xn Lp Sul lato p, si può dimostrare con gli stessi passaggi che capita qualcosa di completamente duale: 0 = 1 q ∂Jn ∂x − n′p τn Jn = Jdiff = qDn ∂np ∂x =⇒ 1 q ∂2n′p ∂x2 − n′p τn 74 Data Ln = √ Dnτn: n′p(x) = Ae x Ln +Be− x Ln Questa volta ci interesserà confondere con −∞ la lunghezza del lato −Wp: ad annullarsi sarà questa volta però il termine B, nella prima condizione al contorno, poichè sostituendo nell’esponenziale x → −∞, il termine di A tenderà a 0 da solo, mentre quello di B no. n′p(Wp) = 0 =⇒ B = 0 n′p(−xp) = Ae − xp Ln =⇒ A = n′p(−xp)e xp Ln Sostituiamo nella soluzione il coefficiente A e ricaviamo, dualmente a prima: n′p(x) = np0 ( e Va VT − 1 ) e x+xp Ln Avendo svolto i passaggi più rapidamente poichè esattamente duali a prima. Riassumiamo ora ciò che abbiamo ricavato da questo studio dell’andamen- to dei portatori mediante il fenomeno di diffusione in seguito all’iniezione: • Lato p: i portatori saranno gli elettroni iniettati dal lato n, e dunque i relativi valori deriveranno solo dalla diffusione di questi: n′p(x) = n ′ p(−xp)e x+xp Ln n′p(−xp) = np0 ( e Va VT − 1 ) Jn = Jn,diff (x) = −qDn ∂n′p ∂x = qDn Ln n′p(−xp)e x+xp Ln • Lato n: i portatori saranno le lacune iniettate dal lato p, e dunque i relativi valori deriveranno solo dalla diffusione di queste: p′n(x) = p ′ n(xn)e −x−xn Lp p′n(xn) = pn0 ( e Va VT − 1 ) 75 Jp = Jp,diff (x) = qDp ∂p′n ∂x = qDp Lp p′n(xn)e −x−xn Lp Le correnti avranno un andamento come quello appena descritto. 3.8 Studio delle correnti nella giunzione p-n Riformuliamo ora meglio l’andamento delle correnti; possiamo infatti scri- verle, nel seguente modo: Jp,diff (x) = qDppn0 Lp ( e Va VT − 1 ) e −x−xn Lp Jn,diff (x) = qDnnp0 Ln ( e Va VT − 1 ) e x+xp Ln Abbiamo informazioni su di un intorno della giunzione; non sappiamo però niente sulle correnti lontane da essa. Il fatto che vi sia una variazione di corrente in prossimità della giunzione, garantisce il fatto che la corrente deve essere globale, in tutto il semiconduttore, poichè altrimenti vi dovrebbero essere infiniti accumuli di carica che permettono il mantenersi della corrente solo localmente, e ciò va contro le leggi di conservazione della carica. 3.8.1 Polarizzazione diretta Tentiamo di capire cosa capita nel nostro modello, quando alla giunzione è collegata una batteria che le fornisce una polarizzazione diretta. Abbiamo da sinistra una corrente di lacune che va verso destra, passa per la giunzio- ne (dove consideriamo che non avvengono fenomeni di alcun tipo, in prima approssimazione), e quindi viene ricombinata nel lato in cui diventa minori- taria; dualmente da sinistra a destra vi è una corrente di elettroni che passa per la giunzione, e viene ricombinata. Ci chiediamo però da dove nascano queste due correnti: poichè abbiamo escluso per conservazione della carica che vi sia corrente solo nella giunzio- ne o nelle sue prossimità, nella fatispecie che le cariche che permettono la conducibilità siano tutte nella zona di svuotamento [−xp;xn], ci chiediamo cosa generi queste correnti. Analizzando la situazione, vediamo che dal lato p giungono lacune, che vanno in n mediante un meccanismo diffusivo, prima descritto quantitativamente. Ma cosa trasporta fino alla giunzione le cariche che poi verranno inviate dall’altro lato della giunzione, mediante diffusione? In altre parole, cosa permette la corrente? 76 considerati per ora nel nostro modello, anche se dispositivi quali fotodiodi o celle fotovoltaiche si basano proprio su di essi. Abbiamo detto che i minoritari sono in grado di transire la barriera, divenendo maggioritari nel lato in cui arrivano; applicando la legge della giunzione, sappiamo che: n′p(−xp) = np0 ( e Va VT − 1 ) p′n(xn) = pn0 ( e Va VT − 1 ) Gli eccessi di minoritari, man mano che ci si allontana dalla giunzione, tendono ad azzerarsi. Le correnti saranno tutte negative, in quanto conside- riamo correnti di minoritari. Potremo dire che avremo, derivando i portatori rispetto alla variabile spaziale x (applicando nuovamente dunque un modello diffusivo), delle correnti, ma di segno opposto alle precedenti. Potremmo raffigurare di nuovo un diagramma delle correnti diffusive, al fine di studiare la corrente inversa di saturazione I0: Il campo di polarizzazione non è in grado di agire sui minoritari: se fosse possibile, allora la corrente sarebbe opposta rispetto al verso che effettiva- mente risulta avere. Giunti dall’altro lato, i minoritari diverranno maggio- ritari. La situazione è del tutto duale alla precedente, ossia alla polarizza- zione diretta: prima i maggioritari divenivano minoritari, ora i minoritari divengono maggioritari. Prima il fenomeno che permetteva la corrente era la ricombinazione delle correnti arrivate per diffusione unite ad un effetto del campo; ora l’effetto del campo sarà sempre presente (anche se in modo diverso), ma il fenomeno chiave del meccanismo sarà la generazione termica: mediante generazione termica verranno a crearsi coppie elettrone-lacuna che vengono immediatamente separate: i maggioritari rimarranno per qualche tempo nel lato p, mentre i minoritari saranno iniettati nell’altro lato. Ad evitare accumuli di carica, di maggioritari, che andrebbero cointro le leggi di conservazione, è il campo elettrico: poichè il semiconduttore è polarizza- to inversamente, la tensione tenderà ad allontanare il flusso di maggioritari dalla barriera. Poichè questo eccesso di carica è esiguo, dal momento che la 79 sola sorgente di cariche lontano dalla giunzione è la generazione termica, in questo ambito, I0 sarà esigua, a meno che non ci si trovi in alte temperatu- re o regimi di generazione ottica. La tensione di polarizzazione inoltre non è in grado di favorire il processo, poichè non varia la produzione di coppie elettrone-lacuna con il variare della tensione. Al contrario iniettando dunque termicamente od otticamente coppie elettrone-lacuna, le correnti di genera- zione aumenteranno, e quindi anche la I0, come proposto precedentemente in un breve cenno. 3.9 Esercizio Pratico Data una giunzione p-n simmetrica brusca, drogata p NA = 10 16, n ND = 5 · 1016, sapendo che i tempi di vita dei portatori sono τn nel lato p, τp nel lato n, τn(ND) = 0, 5µs, τp(NA) = 0, 3µs: 1. Si valuti la corrente inversa di saturazione I0, e si disegni, quotan- dole, le distribuzioni delle correnti, all’applicazione di una tensione di polarizzazione Va = 0, 5 V, con area della giunzione Aj = 1mm 2, Wn = Wp = 1mm. 2. Si valutino i valori delle resistenze serie nel lato p e nel lato n e si discuta il loro effetto sulla caratteristica statica del diodo, I(Va) Una breve divagazione, prima di risolvere l’esercizio: cosa si intende pre- cisamente per caratteristica statica? La risposta è semplice: la caratteristica statica è una funzione della tensione Va che non considera fenomeni di tran- sitorio: si considera, a tal fine, che la tensione Va vari molto lentamente, in modo di poter vedere nel grafico della caratteristica statica esclusivamente i valori di regime della corrente, e non eventuali picchi di corrente transitori. Una giunzione simmetrica è una giunzione in cui i livelli di drogaggio dei due lati sono confrontabili: per confrontabili, si intende una differen- za di qualche ordine di grandezza. Se vi fosse un drogaggio tipico da una parte (circa 1016 per esempio), e nell’altro lato un drogaggio dell’ordine di 1019, la giunzione avrebbe una forte asimmetria, con effetti che più avanti analizzeremo. Si arriva a parlare, in casi come quello appena accennato, di semiconduttore degenere, poichè con un drogaggio elevato come 1019 il livello di Fermi del semiconduttore arriva a coincidere con il livello EC della banda di conduzione. Una giunzione si definisce brusca quando il drogaggio cambia rapidamen- te, ossia presenta un salto, come in tutte le giunzioni finora studiate; i tecno- logi sono soliti definire una funzione del drogaggio al variare della posizione x, N(x): 80 N(x) = ND(x)−NA(x) Se N(x) presenta una discontinuità (che sarà ovviamente di tipo salto) la giunzione è detta brusca; se al contrario N(x) è una funzione continua, si parla di giunzione graduale. Lo studio del grafico di N(x) ci può ricordare molto l’andamento delle densità di carica: mediante N(x) sarà infatti facile dunque studiare le grandezze ρ, ε, Φ. 3.9.1 Risoluzione Si valuti la corrente inversa di saturazione I0 Il calcolo della corrente I0 si può considerare fattibile come somma di due contributi: il contributo del lato n, ed il contributo del lato p: I0 = I0n + I0p Possiamo dunque semplicemente calcolare in questo modo la corrente inversa di saturazione: I0n = qn 2 iAj Dn LnNA I0p = qn 2 iAj Dp Lp ND Calcoliamo dunque i coefficienti di diffusione, mediante le relazioni di Einstein: Dn = kT q µn(NA);µn(NA) ∼ 1250 =⇒ Dn = 32, 5cm2/s Dp = kT q µp(ND);µp(ND) ∼ 300 =⇒ Dp = 7, 8cm2/s Ln = √ Dnτn = 40µm Lp = √ Dpτp = 15µm I0n = 2, 73 · 10−13A I0p = 0, 35 · 10−13A 81 ad esempio la scala del mA. Volendo ora disegnare un grafico della carat- teristica statica, vedremmo che essa vale 0 fino ad un certo valore che noi chiameremo Vγ, ossia la tensione di accensione del diodo, leggermente positi- va. Questa è la tensione in cui l’esponenziale inizia ad attivarsi, e a curvare la caratteristica statica, prima di stabilizzarsi ad una retta. Un veteroelet- tronico, ossia un elettronico esperto, dotato di manualità, affermerebbe di getto che se Va < Vγ, il diodo sarebbe spento, e modellabile con un circuito aperto; se Va > Vγ, il diodo si modellerebbe con un generatore di tensione Vγ; questo valore, Vγ, sarà in seguito argomento di discussione, in quanto ora bisogna accennare a qualcosa di molto più interessante. Se consideriamo una tensione di polarizzazione inversa Va  0, molto in- feriore a 0, al di sotto di un certo valore, che noi chiameremo VZ , o detta anche tensione Zener (nel disegno seguente indicata con VBD), si avrà un’ingente corrente negativa: il diagramma corretto della caratteristica I(Va) avrebbe in realtà una forma del tipo: Potremmo chiederci da dove provengono i valori Vγ e VZ ; per rispondere a ciò, si è introdotto il modello di ampio segnale, che racchiude in sè tutte queste fenomenologie fisiche per noi ancora inspiegabili. Alla base del mo- dello di ampio segnale, vi è un concetto già precedentemente introdotto, di elettrostatica: la capacità di svuotamento del semiconduttore CDEP . In pa- rallelo col diodo, potremo infatti immaginare un condensatore comandato in tensione, a capacità variabile. A ciò, si dovrà associare però un’ulteriore ca- pacità variabile, sempre in parallelo al diodo: la capacità di diffusione CDEP . Possiamo anticipare che essa è una capacità legata a fenomeni di diffusione di minoritari, in uno stato di polarizzazione inversa del diodo. Il modello circuitale del modello di ampio segnale sarà il seguente: Come già detto, il diodo a giunzione è in parallelo alle capacità (coman- 84 date in tensione) di svuotamento CDEP e di diffusione CDEP , il tutto in serie con le resistenze serie di accesso del semiconduttore. Questo modello ci presenterà molti problemi, in quanto esso è un circuito fortemente non lineare, e dunque impossibile da studiare se non mediante simulatori numerici, che effettivamente fino a vent’anni fa non esistevano. Esistevano tecniche ingegneristiche in grado di eliminare o quantomeno ac- cantonare la non linearità del circuito, al fine di poterlo ugualmente studiare; ora vedremo qualche cenno su questo. 3.10.2 Modello di piccolo segnale La forte non linearità del circuito rende impossibile l’applicazione dell’elet- trotecnica, e delle sue tecniche di analisi circuitale. La strategia vincente sarà quella di considerare un preciso punto di funzionamento del circuito, e di linearizzarlo in un intorno di questo valore, mediante una sorta di sviluppo in serie troncato. Piccolo segnale deriva proprio dal fatto che questo metodo funziona però solo localmente, a seconda del punto di lavoro che si utilizza. Ricominciamo ora a trattare argomenti più dettagliati, e di risolvere alcuni dubbi introdotti in questi cenni. 3.11 Valutazione di Vγ Come già detto, Vγ è la tensione di accensione del diodo; il diodo sarà in stato di polarizzazione diretta, e con una tensione sufficientemente elevata da far attivare l’esponenziale che controlla la crescita della caratteristica del diodo. Supponiamo di stabilire a 0, 1 mA la minima corrente sensibile da uno strumento di misura: Vγ sarà la tensione tale per cui avremo garanzia di poter osservare questa minima corrente (scelta in realtà arbitrariamente), I0min. La tensione minima in questione sarà data da: Vγ = VT ln I0,min I0 ∼ 0, 6V 85 La scelta di I0min che noi abbiamo ipotizzato di 0, 1 mA per fare un esempio in realtà è poco influente, poichè il logaritmo attenua molto questo fattore. Si tratta solo di una scelta di corrente minima osservabile con un valore sensato. Si noti che il valore che abbiamo osservato di Vγ è circa a metà del valore dell’energy gap (1,12 eV). Questa è una regola empirica, ma sensata, in quanto gli ingegneri di vent’anni fa potevano solo sfruttare tali regole empiriche per semplificare i propri modelli. L’importanza storica di Vγ è la sua caratteristica di rappresentare un limite, al di sotto del quale non vi è crescita di corrente, al variare di Va, ma dopo il quale la crescita è esponenziale, ossia quasi verticale potremmo dire. Poi, però, si stabilizza, e per questo motivo un diodo è modellabile con una batteria: al di sopra di un certo valore, la tensione resta sempre circa costante, poichè le resistenze serie di accesso al diodo rendono circa costante la tensione. Passiamo ora all’analisi più dettagliata del diodo a giunzione in stato di polarizzazione inversa, analizzando i fenomeni di rottura della giunzione. 3.12 Meccanismi di rottura della giunzione Se consideriamo una polarizzazione inversa con tensione Va  0, e quindi una tensione molto negativa, ci aspettiamo, dal modello statico, una corrente inversa di saturazione, e quindi costante. In realtà, al di sotto della tensione Zener VZ , il diodo va in rottura (breakdown): vi è una rottura elettrostatica del diodo a giunzione. Si noti che questo fenomeno è reversibile: la rottura è un fenomeno pura- mente elettrostatico, a meno che con una corrente troppo alta, si manifesti un effetto Joule non indifferente che produca un forte innalzamento termico del dispositivo provocando danni fisici, che però non dipendono dalle ca- ratteristiche elettriche dispositivo, quanto dalla sua resistenza al calore che verrebbe dissipato dalle resistenze. Esistono due fondamentali meccanismi di breakdown della giunzione, che analizzeremo in modo però puramente qualitativo: • Effetto Valanga • Effetto Tunnel 3.12.1 Effetto valanga Data una giunzione polarizzata inversamente, il lato p risulta essere molto rialzato rispetto al lato n: il campo elettrico, a causa della forte tensione, sarà molto elevato, come già detto. Nella zona di svuotamento, ci saranno, 86 Q′p = qn2iLp ND ( e Va VT − 1 ) Si può facilmente notare una similitudine con la corrente di diffusione nel punto xn, di lacune: Jp(xn) = qDpn 2 i NDLp ( e Va VT − 1 ) Moltiplicando e dividendo il termine Lp all’espressione di Q ′ p, si ottiene: Q′p · Lp Lp = qn2iL 2 p NDLp ( e Va VT − 1 ) = qn2iDpτp NDLp Dunque, si può vedere facilmente che: Jp,diff (xn) = Q′p τp In modo del tutto duale, si può verificare facilmente che: Jn,diff (−xp) = Q′n τn Poichè la corrente totale nel diodo è la somma dei due contributi di carica, possiamo dire che: Jtot = Jp,diff + Jn,diff = Q′p τp + Q′n τn Questa è la corrente totale nella giunzione in condizioni stazionarie. Ciò ci può far intuire che la corrente nel diodo è controllata sostanzialmente da una ricombinazione: questa è la base del modello del diodo a controllo di carica. Manca però un fattore fondamentale: la dipendenza dal tempo. Dobbiamo dunque meglio definire il nostro modello a controllo di carica, introducendo una variazione della corrente nel tempo. 3.14 Modello a controllo di carica Abbiamo finora considerato nel nostro diodo condizioni stazionarie; per poter studiare il modello a controllo di carica, dovremo risolvere l’equazione di continuità, in condizioni non stazionarie, e dunque con derivata temporale della densità di carica non nulla. Considerando ad esempio la corrente dovuta dalle sole lacune, nel lato n, vediamo che: 89 ∂p′n ∂t = −1 q ∂ ∂x Jp(x)− p′n(x) τp Risulta essere sempre e comunque valida l’ipotesi di quasi neutralità, per quanto riguarda i portatori minoritari, e dunque possiamo dire che la corrente nel diodo in un intorno della giunzione è puramente diffusiva: Jp = −qDp ∂p′n ∂x =⇒ Dp ∂2p′n ∂x2 = ∂ ∂t p′n(x) + p′n(x) τp Integriamo dunque quest’espressione sull’asse delle ascisse spaziali x, en- trambi i membri, a partire dal punto xn in cui inizia la ricombinazione, fino ad una generica posizione spaziale x > xn: Dp [ ∂p′n ∂x ∣∣∣∣ x − ∂p ′ n ∂x ∣∣∣∣ xn ] = ∂ ∂t ∫ x xn p′n(x)dx+ 1 τp ∫ x xn p′n(x)dx Moltiplicando ambo i membri per la carica fondamentale q, si ottiene che il termine con derivata temporale diventa: ∂ ∂t ∫ x xn qp′n(x)dx+ 1 τp ∫ x xn qp′n(x)dx = ∂ ∂t Q′p(x) + 1 τp Q′p(x) Al primo membro, invece, per x → +∞, il primo termine si annulla, poichè la ricombinazione avrà annullato tutta la corrente di minoritari, e quindi, considerando l’ipoteso di diodo lungo, potremo annullare il primo termine, mentre il secondo sarà: −qDp ∂p′n ∂x ∣∣∣∣ xn = Jp,diff (xn) Dualmente, effettuando lo stesso processo con la corrente di elettroni derivanti dal lato n verso il lato p, si ottiene: Jn,diff (−xp) = ∂ ∂t Q′n + 1 τn Q′n Poichè la corrente totale nel diodo Jtot sarà data dalla somma dei due contributi di corrente, il modello a controllo di carica sarà determinato dal- l’equazione: Jtot = ∂ ∂t Q′p + ∂ ∂t Q′n + Q′p τp + Q′n τn Terminiamo ora la trattazione di questo modello, cambiando argomento, e parlando di un altro modello del diodo a giunzione. 90 3.15 Modello di piccolo segnale Il modello a controllo di carica è un sottocaso del modello ad ampio segnale, che non considera effetti elettrostatici (quali le capacità prima discusse); il modello ad ampio segnale è il modello che più interamente caratterizza un dispositivo, nella fatispecie il diodo a giunzione nel nostro caso, però come già accennato è molto difficile da utilizzare, a causa della sua forte non linearità. L’idea del modello di piccolo segnale è quella di studiare solo un preciso punto di lavoro del dispositivo, linearizzandolo in un intorno di quel punto, mediante una sorta di sviluppo in serie di Taylor troncata. Dovremo studiare una funzione I(Va) per una certa Va = Vop+vSS: Vop (op sta per Operating Point) è la tensione del punto di lavoro a cui ci portiamo, al fine di sviluppare l’espressione della I; vSS è la rappresentazione dell’intorno, del piccolo segnale (SS sta per Small Signal), ed è la cosiddetta tensione di piccolo segnale. Partiamo dalla corrente del diodo, dicendo che: I = I0 ( e Va VT − 1 ) Poichè consideriamo Va = Vop + vSS, possiamo sviluppare fino al primo ordine, e quindi linearmente in un intorno del punto di lavoro la funzione della caratteristica come: I(Vop + vSS) = I0 ( e Vop VT − 1 ) + ∂ ∂Va [ I0e Va VT − 1 ] Di fatto la tensione Vop è una componente costante, mentre vSS il suo intorno in cui possiamo considerare valida la linearizzazione effettuata. La derivatà della corrente I0 nel punto di lavoro Vop sarà: ∂ ∂Va [ I0e Va VT − 1 ]∣∣∣ Vop = I0e Vop VT VT = gd Il termine gd è anche detto conduttanza differenziale; ad essa associata è la resistenza differenziale, come il suo reciproco: rd = 1 gd Spesso gli elettronici scambiano tra loro il termine I0e Vop VT con Iop. Con- siderando questa definizione della corrente Iop come corrente del punto di lavoro Vop, sarà: 91 Confondiamo dunque senza problemi il lavoro di estrazione con l’affinità elettronica del silicio n+ (che è un parametro costante, e noto). Possiamo dunque calcolare la barriera nel lato p, confrontando il livel- lo di Fermi intrinseco in zona di neutralità, con il quasi-livello di Fermi, aggiungendo al conto metà dell’energy gap: qΦi = Eg 2 + EFi(+∞)− EFp = Eg 2 + kT ln NA Ni Si può dunque trascurare il termine al lato n, e ripetere il ragionamento geometrico fatto sul diagramma a bande della giunzione già esposto nella teoria. Disegnare e quotare il diagramma delle correnti Passiamo al punto successivo: il calcolo delle correnti nella giunzione. Ab- biamo una situazione molto particolare, poichè abbiamo a che fare con un diodo metà lungo, e metà corto; calcoliamo dunque, in entrambi i lati, la distribuzione dei minoritari, al fine di calcolare le correnti di diffusione come derivata della distribuzione. La distribuzione di lacune iniettate nel lato n (ricordando che la nostra convenzione abituale è invertita) sarà: p′n(x) = p ′ n(−xn)e x+xn Lp Per l’altro lato le cose si fanno più difficili, in quanto le condizioni al con- torno abituali per la risoluzione dell’equazione di continuità non valgono. Da un altro esercizio teorico abbiamo però già ricavato il risultato fondamentale considerante le condizioni al contorno al fine di studiare il semiconduttore corto, e quindi possiamo dire che: n′p(x) = n ′ p(xp) sinh L−x Ln sinh L Ln Poichè nel nostro caso consideriamo il fatto che la lunghezza effettiva del lato parta aldilà della regione di svuotamento, e quindi L = Wp − xp, possiamo dire che, poichè x xp generalmente, n′p(x) = n ′ p(xp) sinh Wp−x Ln sinh Wp−xp Ln Partendo dalle due espressioni delle correnti ora ricavate possiamo, me- diante la loro derivazione, ricavare le espressioni operative delle correnti: 94 Jp,diff (x) = −qDp ∂p′n(x) ∂x = −qDpn2i NDLp ( e Va VT − 1 ) e x+xn Lp Jn,diff (x) = −qDn ∂n′p(x) ∂x = −qDnn2i NALn ( e Va VT − 1 ) − cosh Wp−x Ln sinh Wp−xp Ln Ciò che si potrebbe notare facendo il grafico delle due correnti, è che Jp,diff è una corrente del tutto trascurabile; inoltre, la decrescita che si potrebbe analizzare osservando l’andamento di Jn,diff è altrettanto trascurabile, quindi di fatto la corrente totale nel diodo è regolata dalla sola Jn,diff , che è una corrente praticamente costante. Possiamo a questo punto chiederci quale sia l’andamento della caratteristica statica del diodo; dal momento che abbiamo usato per esperienza (e tornerà utile in seguito) questa convenzione opposta della giunzione, invertiamo il senso di percorrenza degli assi, per comodità, considerando −Itot, ed i segni − nelle espressioni potranno essere annullati: −Itot = Aj(Jp,diff (−xn) + Jn,diff (xp)) I = Aj ( −qDpn2i NDLp + qDnn 2 i NALn cosh Wp−xp Ln sinh Wp−xp Ln Wp − xp Ln )( e Va VT − 1 ) In realtà, però, il lato è corto, quindi possiamo sviluppare seno e coseno iperbolico, come rispettivamente argomento del seno e 1: n′p(x) ' n′p(xp) Wp − xp Ln In un dispositivo di questo tipo, si annulla l’usuale andamento della ricom- binazione: l’andamento è approssimabile a lineare, ed anzi costante, poichè il lato corto annulla gli effetti ricombinativi. Nel lato n invece l’unica particola- rità introdotta nell’esercizio è un forte drogaggio, che di fatto non modifica il fenomeno di ricombinazione (se non rendendolo più rapido). Nel transistore bipolare, l’uso del lato corto sarà proprio ciò che servirà per gestire le correnti nel modo più corretto, in modo da aumentare l’effetto transistor. Calcolare il modello di ampio segnale del diodo a giunzione Terminiamo l’esercizio calcolando i modelli di ampio e piccolo segnale: sap- piamo che le nostre ipotesi di lato corto ci permettono di dire che: CDEP = S xd Aj ' S xp(Va) Aj 95 La capacità di diffusione si potrà calcolare mediante il modello a controllo di carica, calcolando la derivata parziale rispetto alla variazione di tensione di polarizzazione esterna Va; in questo caso l’ipotesi semplificatrice sarà quella di grosso drogaggio: poichè il drogaggio è molto più elevato al lato n che al lato p, possiamo dire che il contributo della carica Q′p sarà trascurabile. CDIF ' Aj ∣∣∣∣∂Q′n∂Va ∣∣∣∣ Possiamo inoltre, come già detto, approssimare la distribuzione degli elet- troni ad una retta, a causa dello sviluppo in polinomio di Taylor del seno iperbolico; possiamo dunque ulteriormente semplificare il modello a control- lo di carica, calcolando l’area del triangolo il cui lato è il lato del diodo, e l’altezza la carica in questione è la distribuzione di carica; quindi: Q′n = −qn2i (Wp − xp) 2NA ( e Va VT − 1 ) Considerando il modulo della derivata parziale di quest’espressione ri- spetto alla tensione Va, si otterrà:∣∣∣∣∂Q′n∂Va ∣∣∣∣ = qn2i (Wp − xp)2NAVT e VaVT Il modello di piccolo segnale sarà una semplice linearizzazione di questo, considerando il punto di lavoro scelto (ossia la Va). 96