Studia grazie alle numerose risorse presenti su Docsity
Guadagna punti aiutando altri studenti oppure acquistali con un piano Premium
Prepara i tuoi esami
Studia grazie alle numerose risorse presenti su Docsity
Prepara i tuoi esami con i documenti condivisi da studenti come te su Docsity
Trova i documenti specifici per gli esami della tua università
Preparati con lezioni e prove svolte basate sui programmi universitari!
Rispondi a reali domande d’esame e scopri la tua preparazione
Riassumi i tuoi documenti, fagli domande, convertili in quiz e mappe concettuali
Studia con prove svolte, tesine e consigli utili
Togliti ogni dubbio leggendo le risposte alle domande fatte da altri studenti come te
Esplora i documenti più scaricati per gli argomenti di studio più popolari
Ottieni i punti per scaricare
Guadagna punti aiutando altri studenti oppure acquistali con un piano Premium
Slide propedeutiche al corso di metodi matematici e probabilistici
Tipologia: Appunti
1 / 172
Questa pagina non è visibile nell’anteprima
Non perderti parti importanti!
In offerta
Universit`a degli Studi di Firenze
Dipartimento di Matematica “Ulisse Dini”
Disponibile on-line all’indirizzo: www.math.unifi.it/~barletti/
Tutti i diritti riservati. Sono vietate la riproduzione e la diffusione, anche parziali, senza l’esplicita autorizzazione da parte dell’autore.
ii
iv
esce 1, esce 2,... esce 6
e gli eventi “composti”, come
esce un numero pari, esce un numero maggiore di 4,....
esce un num. pari (^1 )
3 4
(^5 )
1
5
2 3 4
6
esce un num. maggiore di 4
esce 6
(^1 )
3 4
(^5 )
Figura 1.1: Alcuni eventi nel lancio del dado, visti come sottoinsiemi dell’insieme degli eventi elementari.
Senza bisogno di ripetere le considerazioni dell’esempio precedente, pare giusto scegliere le seguenti probabilit`a per gli eventi elementari:
P (esce 1 ) = 1/ 6 , P (esce 2 ) = 1/ 6 ,... P (esce 6 ) = 1/ 6.
A questo punto le probabilit`a degli eventi composti sono obbligate; ad esempio,
“esce un numero maggiore di 4” = “esce 5 oppure esce 6”
e dunque
P (esce un numero maggiore di 4) = 1/6 + 1/6 = 1/ 3.
Infatti, se crediamo che il 5 e il 6 escano “mediamente” una volta ogni sei, dobbiamo anche ammettere che, sempre mediamente, due volte su sei esca un numero maggiore di 4. Notiamo che gli eventi composti, e anche gli eventi elementari stessi, sono sottoinsiemi dell’insieme degli eventi elementari (Fig. 1.1).
Esempio 1.3.: Lancio di due dadi Supponiamo di lanciare due dadi, uno rosso e uno blu: quali sono gli eventi elementari? Chiaramente, sono le trentasei coppie (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
a b
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
Figura 1.2: Due eventi nel lancio di due dadi, visti come sottoinsiemi dell’insieme degli eventi elementari. a) sul dado rosso esce 5 e sul blu un numero pari (la proba- bilita di questo eventoe 1/12); b) T 7 , ovvero il punteggio totale dei due dadi e 7 (la probabilita di questo evento `e 1/6).
dove la prima cifra indica il numero uscito sul dado rosso e la seconda il numero uscito sul dado blu. Se abbiamo fiducia nel fatto che ogni faccia del primo dado abbia probabilita 1/6 e ogni faccia del secondo dado abbia probabilita 1/6, pare giusto attribuire probabilita 1/36 a ciascuno degli eventi elementari sopraelencati. La scelta dei possibili eventi su cui scommetteree in questo caso molto pi`u ricca che nei due esempi precedenti. Ad esempio, possiamo considerare l’evento
sul dado rosso esce 5 e sul blu un numero pari
(vedi figura 1.2a) oppure gli eventi
Tn = il punteggio totale dei due dadi `e n,
dove n `e un numero che va da 2 a 12 (vedi figura 1.2b).
Esercizio 1.4. Con riferimento all’esempio precedente, calcolare P (Tn ) per ogni n compreso tra 2 e 12.
In questi primi, semplicissimi esempi abbiamo gia fatto la conoscenza con tutti i concetti fondamentali del calcolo delle probabilita:
ae un numero, compreso tra 0 e 1, con il quale esprimiamo il nostro “grado di fiducia” nel verificarsi di un evento;a” non serve a sce- gliere la probabilita ma piuttosto a dedurre ulteriori probabilit`a a partire da altre assegnate, mediante deduzioni logico-matematiche basate su alcuni assiomi (paragrafo 1.2).Tuttavia non possiamo davvero credere che tutti gli eventi elementari siano equiprobabili! Sappiamo ad esempio che i 2 sono ben piu rari degli 1 e delle X, sappiamo che ci sono squadre piu forti e altre piu deboli, sappiamo che il rendimento delle squadre puo dipendere dalla posizione in classifica e cosı via. Anche la regola “frequentista” ha poco senso, poich´e ogni giornata di campiona- to fa storia a s´e,e unica e irripetibile. Percio, a meno di giocare completamente a caso, quando compiliamo la schedina abbiamo in mente risultati piu o meno probabili, secondo il nostro giudizio soggettivo.
Terminiamo questa breve carrellata con un esempio, tratto sempre dal mondo dello sport, in cui si ha a che fare con eventi “continui”.
Esempio 1.6.: Una gara fra due centometristi Due atleti, A e B, corrono una gara di 100 metri piani della quale vogliamo indagare probabilisticamente l’esito. Come nell’esempio precedente, la scelta degli eventi elementari dipende da csa ci interessa prevedere. Facciamo due casi:
Se ci interessa solo chi arriva primo, i possibili eventi elementari sono solo due:
Ω 1 =
“vince A”, “vince B”
Nel caso in cui ci interessano anche i tempi dei due atleti, ogni evento elementare `e una coppia di numeri reali (tA, tB ), dove
tA = tempo dell’atleta A, tB = tempo dell’atleta B.
Dunque avremo il seguente insieme di eventi elementari:
Ω 2 =
(tA, tB )
∣ (^0) ≤ tA, tB , ≤ T }^ = [0, T ] × [0, T ],
dove T e un tempo massimo oltre i quali siamo sicuri che gli atleti non van- no (p. es. T = 20 sec). Notiamo che stavolta abbiamo a che fare con eventi elementari “continui” (i possibili tempi possono variare con continuita sull’in- tervallo [0, T ], mentre finora avevamo visto solo eventi “discreti” (testa o croce, facce del dado, colonne di una schedina, ecc.) L’insieme Ω 2 `e rappresentato da un quadrato di lato T nel piano Cartesiano R^2 ogni punto del quale, di coor- dinate (tA, tB ), rappresenta una possible coppia di tempi ottenuti dagli atleti nella gara. Questa descrizione “contiene la precedente”, nel senso che gli eventi elementari di Ω 1 sono eventi composti di Ω 2 e precisamente:
“vince A” =
(tA, tB ) ∈ Ω 2
∣ (^) tA < tB^ }
“vince B” =
(tA, tB ) ∈ Ω 2
∣ (^) tA > tB^ }
(vedi figura 1.3).
Figura 1.3: Gara fra due centometristi: l’insieme Ω 2 e gli eventi “vince A” e “vince B”.
1.2 Assiomi del calcolo delle probabilit`a e prime
conseguenze
Come gia sottolineato nel paragrafo precedente, il moderno calcolo delle pro- babilita e una teoria assiomatico-deduttiva, che parte da definizioni e proprieta “primitive” e indimostrate, e da queste deduce conseguenze logicamente rigo- rose, n´e piu n´e meno di quanto accade per la Geometria Euclidea. L’assio- matizzazione del calcolo delle probabilita e dovuta soprattutto al matematico russo Andrei Kolmogorov (1903-1987) che individuo la struttura matematica fondamentale comune a ogni sistema probabilistico, come ad esempio quelli che abbiamo visto nel paragrafo precedente. In questo paragrafo cercheremo ora di presentare e di capire tale struttura.
Ogni analisi probabilistica si basa innanzitutto sull’individuazione di un insieme Ω, i cui elementi sono interpretati come eventi elementari. I sottoinsiemi di Ω saranno detti eventi. L’insieme di tutti i sottoinsiemi di Ω, cioe di tutti gli eventi, si indica con S(Ω). Notiamo che ogni elemento di Ω puo essere visto come un sottoinsieme (dunque gli eventi elementari sono eventi) e lo stesso Ω puo essere visto come un sottoinsieme, (dunque anche Ωe un evento). Se A 1 e A 2 sono due sottoinsiemi di Ω, cioe due eventi, l’evento A 1 ∪ A 2 ∈ S(Ω) sara interpretato come “si verifica A 1 oppure A 2 ”. In particolare, poich´e ogni sottoinsieme e un unione di elementi di Ω, ogni evento A si interpreta come “si verifica almeno uno degli eventi elementari contenuti in A”. Per lo stesso motivo, se Ae un evento, il suo complementare Ac^ si interpreta come l’evento “A non si verifica” e, se A 1 e A 2 sono due eventi, l’intersezione A 1 ∩ A 2 si interpreta come “si verifica sia A 1 che A 2. Riassumendo:
Ac^ “non A” A 1 ∪ A 2 corrispondono a: “A 1 o A 2 ” A 1 ∩ A 2 “A 1 e A 2 ”
Figura 1.4:
(5) Scriviamo A ∪ B come A ∪ B = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A) (figura 1.4), da cui, usando la (4),
P (A ∪ B ) = P (A \ B ) + P (A ∩ B ) + P (B \ A )
= P (A) − P (A ∩ B ) + P (A ∩ B ) + P (B ) − P (A ∩ B )
= P (A ) + P (B ) − P (A ∩ B ).
Abbiamo di fatto gia utilizzato le proprieta (i) e (ii), o le loro conseguenze (1)-(4), nel paragrafo precedente. Nell’esempio 1.1 si ha Ω = {T, C} e, fissata P (T ) = p, abbiamo concluso che P (C ) = 1 − p, coerentemente con la (2). Negli esempi 1.2 e 1.3 abbiamo calcolato le probabilita degli eventi composti come somma delle probabilita degli eventi elementari che li compongono (ovviamente tutti gli eventi elementari sono disgiunti fra loro), il che segue dalla (4).
Osservazione 1.9. In molte circostanze la richiesta di poter assegnare una probabilita a tutti i sottoinsiemi di Ωe troppo forte. Pensiamo a insiemi Ω “continui”, come Ω 2 dell’esempio 1.6: S(Ω) contiene anche un’infinita di sot- toinsiemi “singolari” (si pensi a insiemi ancora piu strani dei frattali) per i quali la definizione stessa di “misurabilita” puo essere problematica. E pi`` u prudente indebolire la richiesta che P sia definita su tutto S(Ω) e richiedere invece che la probabilita sia definita su una certa classe di sottoinsiemi. Percio, piu in generale di quanto richiesto dalla definizione 1.7, la misura di probabilita e una funzione P : σ(Ω) → [0, 1], dove σ(Ω) ⊂ S(Ω)e un insieme piu ristretto di sot- toinsiemi, che diremo misurabili. Solamente i sottoinsiemi misurabili saranno detti eventi. Naturalmente l’insieme degli eventi σ(Ω) deve avere certe proprieta minime. In particolare richiediamo che:
(a) Ω ∈ σ(Ω)
(b) A ∈ Ω ⇒ Ac^ ∈ σ(Ω)
(c) se A 1 , A 2 ,... sono un numero finito o un’infinita numerabile di elementi di σ(Ω) allora A 1 ∪ A 2 ∪ · · ·e un elemento di σ(Ω).
Un sottoinsieme σ(Ω) ⊂ S(Ω) con le proprieta (a), (b) e (c) viene detto σ- algebra. Notiamo che S(Ω) stessoe una σ-algebra. Nel caso di insiemi Ω con un numero finito di elementi, prenderemo sempre σ(Ω) = S(Ω).
Esercizio 1.10. Sia Ω un insieme qualsiasi e A ∈ S(Ω) un qualsiasi sottoinsie- me. Dimostrare che {∅, A, Ac, Ω} e una σ-algebra. Dimostrare anche che S(Ω) stessoe una σ-algebra.
Osservazione 1.11. Avendo a che fare con infinita di eventi, puo essere utile rafforzare l’assioma (ii) (e la sua conseguenza (4)) aggiungendo il seguente assioma:
(iii) se A 1 , A 2 ,... sono un’infinita numerabile di eventi incompatibili cioe tali che Ai ∩ Aj = ∅ per i 6 = j, allora
i=
Ai
i=
P (Ai )
Notiamo che non si richiede un’analoga proprieta per un’infinita non-numerabile (ad esempio un continuo) di eventi.
Concludiamo il paragrafo ricordando le seguenti propriet`a degli insiemi: siano A, B e C sottoinsiemi di un insieme Ω, allora
Esercizio 1.12. Dimostrare le precedenti identit`a 1-4 (utilizzare diagrammi del tipo di quello in figura 1.4).
1.3 Eventi elementari equiprobabili I
Casi particolarmente semplici di sistemi probabilistici sono quelli in cui gli eventi elementari sono in numero finito N ,
Ω = {ω 1 , ω 2 ,... ωN }
e inoltre gli eventi elementari sono equiprobabili, ovvero
P (ωi ) = p, per ogni i,
1.4 Elementi di calcolo combinatorio
Come abbiamo visto nel precedente paragrafo, calcolare la probabilit`a degli eventi, nel caso di eventi elementari equiprobabili, equivale a risolvere problemi di calcolo combinatorio. Qui di seguito enunceremo alcuni problemi tipici del calcolo combinatorio e dedurremo le formule che li risolvono.
Permutazioni di n oggetti distinti
Se ho un certo numero n di oggetti distinti, una loro permutazione `e un possibile modo di ordinarli. Ad esempio, le possibili permutazioni dei numeri 1, 2 e 3 sono (1, 2 , 3), (1, 3 , 2), (2, 1 , 3), (2, 3 , 1), (3, 1 , 2), (3, 2 , 1).
Il numero delle possibili permutazioni di n oggetti distinti si indica con π(n) ed `e dato da π(n) = n! (1.3)
dove ricordiamo che n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 1. Infatti possiamo contare le possibili permutazioni nel seguente modo. Immaginiamo di avere n oggetti e di doverli ordinare: abbiamo n possibili scelte dell’oggetto da mettere per primo; scelto il primo, restano n − 1 oggetti tra cui scegliere il secondo e cos`ı via, finch´e non rimane che un unico oggetto da mettere per ultimo. Dunque i pssibili modi per ordinare gli oggetti sono n(n − 1)(n − 2) · · · 1, ovvero n!.
Permutazioni di n oggetti con ripetizioni
Supponiamo adesso che nel gruppo di n oggetti non tutti gli oggetti siano distinti ma che invece ci possano essere pi`u copie indistinguibili dello stesso oggetto (figura 1.5). Supponiamo che il numero di oggetti distinti sia s e che l’ i-esimo
Figura 1.5: Gruppo di oggetti con ripetizioni.
oggetto sia ripetuto ni volte (dunque n 1 + n 2 + · · · + ns = n). Ad esempio, nella figura 1.5 ci sono n = 10 oggetti, gli oggetti distinti sono s = 4 e ci sono n 1 = 3 fiori, n 2 = 2 picche, n 3 = 1 quadri e n 4 = 4 cuori. Sia π∗(n 1 , n 2 ,... , ns) il numero di possibili ordinamenti degli n oggetti. Per calcolare questo numero supponiamo dapprima che gli n oggetti siano tutti distinti: allora le combinazioni sono n!, come visto nel caso precedente. Ma ora dobbiamo tener conto che ci sono degli oggetti indistinguibili, permutando i quali si ottiene sempre lo stesso ordinamento: ogni permutazione con ripetizioni ha n 1! repliche indistinguibili ottenute per permutazione degli oggetti 1, n 2! repliche indistinguibili ottenute per permutazione degli oggetti 2 e cos`ı via.
Pertanto, ogni permutazione ha n 1! n 2! · · · ns! copie indistinguibili. Si ottiene dunque
π∗(n 1 , n 2 ,... , ns) = n! n 1! n 2! · · · ns!
Disposizioni di n oggetti presi k alla volta
Una disposizione di n oggetti distinti presi k alla volta (con k ≤ n, ovviamente), `e un possibile modo di scegliere k degli n oggetti e di ordinarli. Ad esempio, tutte le disposizioni di 1, 2, 3 e 4 presi due alla volta sono:
(1, 2) (2, 1) (1, 3) (3, 1) (1, 4) (4, 1) (2, 3) (3, 2) (2, 4) (4, 2) (3, 4) (4, 3).
Se indichiamo con D(n, k) il numero delle possibili disposizioni di n oggetti presi k alla volta otteniamo
D(n, k) = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) =
n! (n − k)!
Infatti, analogamente a quanto fatto per le permutazioni, possiamo contare le disposizioni dicendo che ci sono n possibilita per scegliere il primo oggetto, n− 1 per scegliere il secondo e cosı via, solo che stavolta ci dobbiamo fermare alla k- esima posizione, per la quale rimangono n − k + 1 possibilita. Notiamo infine che D(n, n) = π(n) = n!, il chee consistente con la formula (1.5) se si pone, com’`e consuetudine, 0! = 1.
Disposizioni con ripetizioni di n oggetti presi k alla volta
Una disposizione con ripetizioni di n oggetti distinti presi k alla volta e un possibile modo di sceglere k oggetti eventualmente ripetuti dagli n e ordinarli. Stavolta k puo essere anche maggiore di n in quanto ogni oggetto lo posso ripetere quante volte voglio. Ad esempio, le disposizioni con ripetizioni degli oggetti 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 presi tre alla volta, sono tutti i numeri interi da 0 a 999:
000 , 001 , 002 , 003 , 004 ,...... 995 , 996 , 997 , 998 , 999.
Se D∗(n, k) `e il numero di tutte le disposizioni con ripetizioni di n oggetti presi k alla volta, si ottiene D∗(n, k) = nk. (1.6)
Infatti le posso conteggiare cosı: ho n possibili scelte per il primo oggetto ed ho ancora n possibili scelte per il secondo (perch´e stavolta posso ripetere lo stesso oggetto in seconda posizione) e cosı via fino alla k-esima posizione. Dunque ho nk^ possibilit`a in tutto.
Combinazioni di n oggetti presi k alla volta
Una combinazione di n oggetti distinti presi k alla volta (con k ≤ n) `e un possibile modo di sceglere k degli n oggetti (senza ordinarli). Dunque, a diffe- renza delle disposizioni, stavolta l’ordine in cui prendo gli oggetti non conta. Ad esempio, tutte le possibili combinazioni di 1, 2, 3 e 4 presi due alla volta sono:^1
{ 1 , 2 } { 1 , 3 } { 1 , 4 } { 2 , 3 } { 2 , 4 } { 3 , 4 } (^1) L’uso delle parentesi graffe al posto delle tonde serve a sottolineare il fatto che si tratta di insiemi e non di coppie ordinate: convenzionalmente, infatti, (1, 2) indica una coppia ordinata (per cui (1, 2) 6 = (2, 1)) mentre { 1 , 2 } indica un insieme (per cui { 1 , 2 } = { 2 , 1 }).