Probabilità e Statistica per Ingegneria Biomedica, Appunti di Probabilità e Statistica

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Probabilità e Statistica

Ingegneria Biomedica, A.A. 2023/

Alisia De Vincentiis

Elementi di probabilità

Esistono 3 tipi di fenomeni:

• Deterministici → se attraverso condizioni iniziali senza effettuare l’esperimento si

può prevedere il valore finale dell’esperimento;

• Aleatori → sono ben definiti, nonostante le condizioni iniziali non si può calcolare il

valore finale senza effettuare l’esperimento;

• Complessi → n particelle che interagiscono secondo una dinamica caotica:

divergenza esponenziale delle traiettorie. Essi rappresentano degli attrattori di caotici

frattali, ovvero con dimensione frazionaria dove lunghezza, area o volume sono nulli.

Sono detti anche sistemi imprevedibili, dove non si possono fare previsioni.

Quindi i fenomeni che riguardano la probabilità sono fenomeni aleatori.

Se si parla di probabilità si definisce:

• Spazio degli eventi elementari → Ωinsieme dei possibili esiti del fenomeno e si

indica con omega; Nel caso dei dadi: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

• Probabilità → grado di fiducia che si ha nel verificarsi di un evento;
• Eventi →affermazioni logiche senza equivoci, o sempre vere o sempre false, essi

sono sottoinsiemi di omega e si indicano con A: “preposizione”: 𝐴 ⊆ Ω

• Eventi complementar i→evento vero quando l'evento principale è falso. Si

indica con 𝐴

𝑐

• Somma logica di eventi → unione insiemistica di due eventi: 𝐴 ∪ 𝐵; Per

esempio nel lancio dei dadi:

• A: “esce pari”
• B: “esce dispari”

• Prodotto logico tra due eventi →insiemi di eventi che sono veri se entrambi

gli eventi sono veri; 𝐴 ∩ 𝐵. Esempio precedente 𝐴 ∩ 𝐵 =⊘

• Eventi incompatibili →eventi che hanno il prodotto logico uguale all’insieme

vuoto: 𝐴 ∩ 𝐵 =⊘. Un esempio di eventi incompatibili 𝐴 𝑒 𝐴, o anche

𝐶

l’esempio precedente.

• Partizione dell’evento certo → si hanno due eventi, se ne verifica 1 e uno

solo. Questo accade quando: 𝑃 = 𝐴 è una famiglia di eventi tale che: 𝑖

𝑛 { }

1. Essi siano a due a due incompatibili: 𝐴 ; Questo 𝑖

𝑗

vuol dire che se si verifica un evento non si verificano gli altri;

2. La somma logica deve essere uguale all’evento certo, ovvero gli

eventi della classe sono esaustivi: ;

𝑖=

𝑛

⋃ 𝐴 𝑖

Questo vuol dire che almeno un evento deve verificarsi

Definizione probabilità

La definizione “classica” di probabilità è in realtà un caso particolare, le condizioni per il

quale esso si verifica sono:

• numero finito di eventi;

• tutti gli eventi possibili sono equiprobabili.

In realtà la probabilità è una funzione :

• Dominio→ 𝐹è un algebra di eventi se:
  1. Se 𝐴 ∈ 𝐹 ⇒ 𝐴

𝐶 ∈ 𝐹;

3. Se 𝐴, 𝐵 ∈ 𝐹 ⇒ 𝐴 ∪ 𝐵 ∈ 𝐹.

• Immagine→ si sceglie un intervallo che escluda i numeri negativi per mantenere la

monotonia della probabilità, e comodo quindi: [0, 1]

Allora la probabilità è una funzione definita da un algebra di eventi ad un intervallo da 0 a 1:

𝑃: 𝐹 → [0, 1]

Assiomi che determinano le proprietà della probabilità:

• 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) quando essi sono incompatibili: 𝐴 ∩ 𝐵 =⊘questa è detta

Finita Additività

Le proprietà della probabilità sono:

1. Siano 𝐴 un evento e 𝐴 l’evento complementare allora , questo

𝐶 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴

𝐶 )

perché:

𝐶 = Ω

𝐶 ) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴

𝐶 )

Allora 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴 quindi

𝐶 ) = 1 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴

𝐶 )

2. Monotonia→ siano 𝐴, 𝐵 ⊆ Ω 𝑐𝑜𝑛 𝐴 ⊆ 𝐵 ⇒ 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵), questo perché:

• 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ (𝐵 − 𝐴)) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵 − 𝐴)[Questo è maggiore uguale a

0]

Allora 𝑃(𝐵) ≥ 𝑃(𝐴)

Ora estendiamo la Finita additività ad eventi con numero infinito→ Additività Numerabile:

Sia 𝑃: 𝐹 → [0, 1]

Allora 𝐹 è 𝑢𝑛𝑎 σ 𝐴𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 𝑠𝑒:

• Se 𝐴 ∈ 𝐹 ⇒ 𝐴 ;

𝐶 ∈ 𝐹

𝑖

{ } 𝑖=

∞ , 𝐴 𝑖

𝑖=

𝑛

𝑖

Allora se F è una sigma algebra:

𝑖=

𝑛

𝑖

𝑖=

𝑛

𝑖

𝑖

𝑗

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

2. Lancio di una moneta→ 𝑋(ω) = {1 𝑠𝑒 ω ∈ { }, 0 𝑠𝑒 ω ∈𝑇 { }𝐶}

1

2

1

2

Valore medio o valore atteso

Il valore medio è una variabile definita:

𝑖=

𝑛

𝑖

𝑖

● Il valore medio di un indicatore di un evento è l’evento stesso.

● Indica il centro di distribuzione, ovvero, il valore più probabile.

Proprietà

1. 𝐸[𝑋 + 𝑌] = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌)

2. Sia 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏, 𝐸[𝑌] = 𝐸[𝑎𝑋 + 𝑏] = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑏) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏.

Eventi probabilisticamente indipendenti

Siano 𝐴 𝑒 𝐵 ⊆ Ω, 𝐴 𝑒 𝐵 𝑠𝑜𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖 ⇔ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝐵)

Essa è detta legge di fattorizzazione.

Funzione di ripartizione di una variabile aleatoria

Sia 𝑋: Ω → 𝑅

ω → 𝑥 = 𝑋(ω)

Si dice funzione di ripartizione di una variabile aleatoria la funzione così definita:

𝑋

𝑋

(𝑥) = 𝑃(ω ∈ Ω|𝑋(ω) ≤ 𝑥)

Questa funzioni rispetta le seguenti proprietà:

𝑥 +∞

lim

→

𝑋

𝑥 −∞

lim

→

𝑋

𝑋

(𝑥) è 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

𝑋

(𝑥) è 𝑛𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Esempi

Esempio 1→ 𝑋 = 𝐼 𝐴

La funzione di ripartizione definita come 𝐹 𝑋

𝑋

𝐴

Essa in particolare:𝐹 𝑋

Il grafico di tale funzione:

Esempio 2→ lancio del dado Ω = ω dove in 1

,..., ω 6 { } 𝑋: "𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑢𝑙𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑎𝑑𝑜"

particolare 𝑋 = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

La funzione 𝐹 𝑋

𝑋

Associa, in particolare:

1

6

1

3

𝑋

1

2

2

3

Varianza di una variabile aleatoria

𝑣𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋)) → la varianza è il momento secondo della variabile centrata, ed

2 ]

indica la distanza dei valori dal valore medio.

Calcoli→ 𝑣𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))

2 ] = 𝐸[𝑋

2 − 2𝑋𝐸(𝑋) + 𝐸

2 (𝑋)] = 𝐸[𝑋

2 ] − 2𝐸

2 (𝑋) + 𝐸

2 (𝑋)

2 ) − 𝐸

2 (𝑋)

● 𝐴→ evento;

● 𝐵 ∈ β;

● 𝑃(𝐴|𝐵) = , indica la probabilità dell’evento A se accade B, ovvero il grado di

𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐵)

fiducia che si da all’evento A condizionato B:

Graficamente: Ω

Quindi interessano solo gli eventi elementari compatibili in B.

Proprietà.................................................................................................................

1. 𝑃(· |𝐵)deve essere una probabilità finitamente additiva:

a. 𝑃(𝐴|𝐵) ≥ 0;

b. 𝑃(Ω|𝐵) = 1

c. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐶|𝐵) = 𝑃(𝐴|𝐵) + 𝑃(𝐶|𝐵) 𝑠𝑒 𝐴 ∩ 𝐶 =⊘

2. 𝑃(𝐵|𝐵) = 1 è ancora oggetto di studio poiché non sempre vale nella probabilità

continua

Teorema di Bayes

Si suppone di avere una classe di eventi che fanno parte di una partizione, incompatibili ed

esaustivi che rappresentano le cause. E di avere un evento che rappresenta invece l’effetto:

1

𝑚

1. 𝐻 incompatibili; 𝑖

𝑗

2. esaustivi

𝑖=

𝑛

𝑖

● 𝐸→ evento

La probabilità che dato un evento E si verifichi una causa H è:

𝑃(𝐻 Questo si dimostra grazie alle proprietà della probabilità

𝑖

𝑃(𝐸|𝐻 𝑖

)·𝑃(𝐻 𝑖

)

𝑗=

𝑛

∑ 𝑃(𝐸|𝐻 𝑗

)·𝑃(𝐻 𝑗

)

condizionata e alla definizione di questa.

Per eventi probabilisticamente indipendenti, il conoscere B non modifica la probabilità

dell’evento A:

𝑃(𝐴)·𝑃(𝐵)

𝑃(𝐵)

Valore atteso condizionato

La probabilità condizionata esprime, appunto, la probabilità che si verifichi un evento dato un

altro evento.

Il valore atteso condizionato è un funzionale matematico, che esprime la previsione di una

variabile aleatoria data una certa informazione→ si estende, quindi, il concetto di probabilità

condizionata a tutte le variabili aleatorie.

Si ricorda come gli eventi possano essere rappresentati dalla funzione indicatrice degli

eventi : 𝑋 = 𝐼 che associa: 𝐴

(ω)

• 1 se ω ∈ 𝐴
• 0 se ω ∉ 𝐴

Questa funzione quindi rappresenta il legame tra eventi e valore atteso: infatti gli eventi

stessi sono casi particolare di variabile aleatoria riconducibili a tale funzione infatti

𝐴

Un altro richiamo necessario è la rappresentazione di un’informazione parziale su un

fenomeno aleatorio→ partizione dello spazio degli eventi Ω , la quale si indica con

β = 𝐵 : 1

2

{ }

• se ω ∈ Ω ⇒ ω ∈ 𝐵 ∀𝐵 ∈ β
• se ω ∈ 𝐵 2

⇒ ω ∉ 𝐵 1

Vi son due diverse rappresentazioni nel caso di:

1. Approccio assiomatico......................................................................................

2. Approccio soggettivo........................................................................................

Andremo quindi a spiegare le singole rappresentazioni, le differenze e i problemi aperti

collegate ad esse.

1. Approccio assiomatico

Premesse

Qui l’informazione parziale viene rappresentata da una sigma-algebra di eventi 𝐺contenuta

propriamente nella sigma algebra 𝐹dello spazio di partenza.

Data una partizione β, la sigma algebra generata da β [ 𝐺(β)]è formata dall’unione di alcuni

elementi della partizione β:

𝐺 ∈ Ꮹ , 𝐺 =∪ 𝐵 , quindi se : in questo caso 𝑖

𝑖

∈ β β = 𝐵 1

2

{ } 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 𝐺 =^ Ω, ⊘, 𝐵 1

2

{ }

gli eventi B1 e B2 sono l’uno il complementare dell’altro, questo vuol dire che la sigma

algebra è semplicemente un algebra. Quindi più è fitta la partizione, più elementi contiene la

sigma algebra generata.

∃𝑓, Ꮹ 𝑚𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒, 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 | ∫ 𝑋 𝑑𝑃 = con

𝐺

Questa funzione 𝑓si chiama derivata di Radon-Nicolin e il valore atteso condizionato

[ 𝐸(𝑋|Ꮹ)] è coincidente con 𝑓 con𝑃 − 𝑞𝑢𝑎𝑠𝑖 𝑜𝑣𝑢𝑛𝑞𝑢𝑒

[ 𝑃 − 𝑞𝑢𝑎𝑠𝑖 𝑜𝑣𝑢𝑛𝑞𝑢𝑒vuol dire che questa uguaglianza vale ovunque tranne che nell’insieme

di misura di probabilità 𝑃 = 0.]

Quindi si definisce il valore atteso condizionato come

variabile aleatoria Ꮹ − 𝑚𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒, integrabile, e tale che ∫ 𝑋 𝑑𝑃 = ∫ 𝐸[𝑋|Ꮹ] 𝑑𝑃

→ questa è detta proprietà di disintegrazione.

Tutto questo vale per 𝑋 ≥ 0,mentre per qualsiasi variabile aleatoria, essa può essere scritta

come: 𝑋 = 𝑋 dove:

• 𝑋

−

= 𝑚𝑎𝑥 0; 𝑥{ }

− = 𝑚𝑎𝑥 0; − 𝑥{ }

Queste sono sempre non negative, poiché se:

= 𝑥

− = 0

= 0

− =− 𝑥

Questo fà si che tutto ciò che è stato detto per le funzioni positive, si può estendere per le

funzioni qualsiasi.

Questo approccio però presenta un problema, questo deriva proprio dalla condizione

precedentemente esposta: 𝐸(𝑋|Ꮹ) èᏩ − 𝑚𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒

Questo vuol dire che la sua anti-immagine deve appartenere ai Boreliani, quindi alla sigma

algebra Ꮹ:

𝐸(𝑋|Ꮹ) èᏩ − 𝑚𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 ⇔ 𝑋

−

Nel momento in cui si fa una previsione ha senso, al livello di probabilità condizionata , che

la variabile X non abbia informazioni all’interno di Ꮹ,altrimenti sarebbe già definita.

Il problema sorge nel momento in cui 𝑋 = 𝐼 dove , poiché non è 𝐴

𝐴

per essere Ꮹ − 𝑚𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 la sua anti-immagine 𝐼 deve appartenere a :

𝐴

𝐴

−

Si definisce l'anti immagine: sia B un boreliano [elemento della sigma algebra generata da

intervalli aperti]

𝐶 𝑠𝑒 0 ∈ 𝐵 𝑒 1 ∉ 𝐵

𝐴

− (β) =

Ω

Quindi l’anti-immagine di un qualunque boreliano non appartiene a Ꮹ, è proprio questo il

problema.

Il valore condizionato dell’indicatore dell’evento 𝐼 dove A è un evento che non appartiene 𝐴

alla sigma algebra [cosa richiesta] non può essere uguale alla funzione dell’evento 𝐼 , 𝐴

poiché 𝐸[𝐼 deve essere , mentre non è se A

𝐴

|Ꮹ] Ꮹ − 𝑚𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 𝐼

𝐴

non appartiene a Ꮹ.

Quindi da questa proprietà, della Ꮹ − 𝑚𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡à , segue che 𝐸[𝐼. Nel

𝐴

|Ꮹ] ≠ 𝐼

𝐴

caso in cui Ꮹ contiene anche i singleton segue che 𝐼.

𝐴

(ω) = { 1 𝑠𝑒 ω ∈ 𝐴; 𝑂 𝑠𝑒 ω ≠ 𝐴}

L’evento condizionato dell’approccio assiomatico non soddisfa questa condizione “naturale”

della probabilità: se si conosce il risultato esatto del fenomeno parziale che si sta studiando,

si può dire se è vero o è falso qualsiasi altro evento.

In particolare, questa proprietà basica, non vale sempre: nel caso continuo [poiché Ꮹ

contiene i singleton].

2. Approccio soggettivo

Premesse

Qui l’informazione parziale, rispetto ad un fenomeno aleatorio, viene rappresentata con una

partizione [complicata→ a volte contiene infiniti insiemi]. In particolare: se la partizione

considerata è la classe di tutti i “singleton” β = {{ ω }: ω ∈ Ω}, allora si ottiene

un’informazione completa.

𝑃(𝐸|𝐵) =. Il problema è che se ci si trova in due dimensioni, la

𝑃(𝐸∩𝐵)

𝑃(𝐵)

dimensione di probabilità misura [misura di Hausdorff ℎ] le aree, in questo caso è un

𝑠 𝐵

segmento, di dimensione 1, la cui area è 0.

Quindi si considera:

• 𝑆 = 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒, detta dimensione di Hausdorff: particolare

dimensione frattale che in questo caso “semplice” coincide con la dimensione

geometrica.

• ℎ , esse permettono di trattare insiemi di misura nulla.

𝑆 = 𝑚𝑖𝑠𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝐻𝑎𝑢𝑠𝑑𝑜𝑟𝑓𝑓

Quindi:

ℎ

𝑆 (𝐸∩𝐵)

ℎ

𝑆 (𝐵)

𝑠

• 𝑚 𝐵

𝑠

Quindi si utilizza il teorema di Bayes considerando la dimensione e la misura di Hausdorff.

Quindi la misura S del condizionante stabilisce la complessità geometrica di quest’ultimo: se

si hanno tanti condizionanti di misure diverse: l’insieme ha un’altra dimensione.

Quindi se si deve definire la probabilità di E condizionato B1 dove B1 è un insieme di tre

punti, la cui dimensione è 0→ 𝑃(𝐸|𝐵

1

ℎ

0 (𝐸∩𝐵 1

)

ℎ

0 (𝐵 1

)

In conclusione si utilizzano diverse misure di probabilità a seconda di quanti condizionanti di

diversa dimensione si hanno.

Generalizzata

Le condizioni sono le stesse:

• S= dimensione condizionante
• ℎ= misure di Hausdorff.

𝑠

Quindi la probabilità è definita

𝐵

∫𝑋𝑑ℎ

𝑆

ℎ

𝑆 (𝐵)

𝑠

𝐵

𝐵

𝑆 (𝐵) = {0, + ∞ }

Dove 𝑚 è una misura finitamente additiva, a valori 0, 𝐵

Applicazioni

Grazie al fatto di considerare eventi di probabilità nulla, si sono riusciti a risolvere problemi

legati all’economia comportamentale: la probabilità condizionata definita in questo modo

permette di spiegare fenomeni legati al cervello umano, cosa che la probabilità classica non

permette di fare.

Differenze principali..............................................................................................

Le differenze tra i diversi approcci riguardano:

1. Rappresentazione dell’informazione parziale:

a. ASSIOMATICO→ sigma algebra di eventi;

b. SOGGETTIVO→ partizione;

2. Condizioni:

a. ASSIOMATICO→

i. P numerabilmente additiva

ii. sigma algebra strettamente contenuta nella famiglia delle parti

b. SOGGETTIVO→ P finitamente additiva;

3. Casi considerati:

a. ASSIOMATICO→ a meno di insiemi la cui misura di probabilità è nulla;

b. SOGGETTIVO→ si considerano insiemi di dimensione nulla.

Distribuzioni

Distribuzione Uniforme su un intervallo [a,b]

Sia X una variabile aleatoria con distribuzione uniforme→ 𝑋 ∼ 𝑈([𝑎, 𝑏]), se ammette densità

essa è→ 𝑓(𝑥) = -

1

𝑏−𝑎

𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

- 0 𝑥 ∉ [𝑎, 𝑏]

La densità si può sempre rappresentare graficamente[rossa]:

Mentre si può ricavare la funzione di ripartizione utilizzando la densità, in particolare:

In simboli →

𝑖

𝑃(𝑋 = 𝑘) = rappresenta la probabilità che la variabile

𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘!)

𝑘

𝑛−𝑘

aleatoria sia uguale a k.

Valore medio.........................................................................................................

Si ricorda che il valore medio 𝐸(𝑋) per una variabile a valori finiti è , ma qui non si

𝑖=

𝑛

𝑖

𝑖

ha un numero variabile bensì si definisce la variabile aleatoria X come somma di

bernoulliane. Si definisce la variabile 𝑋 bernoulliana, di parametro p, la variabile che 𝑖

assume il valore:

• 1 con probabilità p
• 0 con probabilità 1-p

𝑖

𝑖

Quindi il numero di successi di n prove indipendenti può essere calcolato come 𝑋 𝑖

𝑖=

𝑛

𝑖

dove:

Quindi il valor medio della variabile aleatoria con distribuzione binomiale è uguale al valor

medio della somma delle bernoulliane:

𝐸[𝑋] = 𝐸[

𝑖=

𝑛

𝑖

] = (𝑝𝑒𝑟 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑖𝑡à 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜) =

𝑖=

𝑛

∑ 𝐸[𝑋

𝑖

] =

𝑖=

𝑛

Questo perché il valor medio di ogni singola bernoulliana è uguale a

, questo moltiplicato per n.

𝑖=

𝑛

𝑖

𝑖

Allora 𝐸[𝑋] = 𝑛𝑝.

Varianza................................................................................................................

La varianza di una variabile con distribuzione binomiale si calcola considerando la variabile

stessa coma somma di Bernoulliane, in particolare:

𝑖=

𝑛

𝑖=

𝑛

𝑖

𝑖=

𝑛

Distribuzione Esponenziale

Sia X una variabile aleatoria che segue una distribuzione esponenziale→ 𝑋 ∼ ξ(λ) λ > 0

• λ𝑒

−λ𝑥 𝑥 ≥ 0

La sua densità 𝑓(𝑥) =

Graficamente:

La funzione di ripartizione di tale variabile:

𝑋

−∞

𝑥

−λ𝑥 𝑥 ≥ 0

Dimostrazione𝐹 𝑋

−∞

𝑥

−∞

0

0

𝑥

∫ λ𝑒

−λ𝑥 𝑑𝑥 = 0 + λ

0

𝑥

−λ𝑥 𝑑𝑥 = λ

−

λ

−λ𝑥 ⎡ ⎣

𝑥

0

−λ𝑥 − (− 1) = 1 − 𝑒

−λ𝑥

Graficamente

Valore medio.........................................................................................................

−∞

+∞

−∞

0

0

+∞

∫ 𝑥 · λ𝑒

−λ𝑥 𝑑𝑥 = 0 + λ

0

+∞

−λ𝑥 𝑑𝑥 =

[Questo integrale si risolve per parti→ ∫ 𝑓(𝑥) · 𝑔'(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − ∫ 𝑓'(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥]

= λ 𝑥 −

1

λ

−λ𝑥

( )

0

+∞ − ∫ 1 · −

1

λ

−λ𝑥

( )

= λ 0 +

1

λ

−λ𝑥 𝑑𝑥

= λ +

1

λ

1

λ

−λ𝑥 ⎡ ⎣

0

+∞ ⎡ ⎢ ⎣

= λ 0 − −

1 (( ( (^) λ))) = λ ·

1

λ

2 =^

1

λ