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CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
Il calcolo delle probabilità si può definire come la “logica del possibile o dell’incerto” poiché tratta di
proposizioni, o enunciati, alle quali non è possibile associare con certezza l’attributo “vero” o
l’attributo “falso” ma soltanto l’attributo “ possibile ”. Oggetto del calcolo delle probabilità sono quindi
fenomeni alla cui manifestazione è associato uno stato di incertezza poiché il risultato non è noto a
priori. Questi fenomeni prendono nome di esperimento casuale: si definisce esperimento casuale o
prova qualsiasi fenomeno del mondo reale per il quale vi è più di un risultato possibile e pertanto l’esito
è incerto.
Si indichino con ω 1 , ω 2 , …, ω n , i possibili risultati di un esperimento casuale:
L’insieme di tutti i possibili risultati è definito SPAZIO CAMPIONARIO o SPAZIO DEGLI
EVENTI, ed è indicato con S; S= {ω 1 , ω 2 , …, ω n
I sottoinsiemi di S, ciascuno costituito da uno qualunque dei possibili risultati dell’esperimento
casuale, si definiscono EVENTI ELEMENTARI.
ESEMPIO: lancio di un dado e osservazione del numero di puntini sulla faccia superiore
Eventi elementari = e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 S= {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6
Un evento potrebbe essere:
A = “sulla faccia superiore del dado ho un numero dispari” = {e 1 , e 3 , e 5
oppure
B = “sulla faccia superiore del dado ho un numero pari” = {e 2 , e 4 , e 6
Se si considera come sottoinsieme (improprio) di S lo stesso spazio degli eventi, esso rappresenta
l’evento che si verifica se si verifica uno qualsiasi dei possibili eventi elementari; poiché uno di tali
risultati deve necessariamente verificarsi, allora S prende il nome di EVENTO CERTO (evento certo
= S).
Si consideri invece il sottoinsieme di S che non contiene alcun elemento, cioè l’insieme vuoto; poiché
uno dei possibili risultati dell’esperimento necessariamente si verifica, l’insieme vuoto rappresenta un
evento che non può mai verificarsi. Pertanto esso prende il nome di EVENTO IMPOSSIBILE (S = Ø).
Ogni altro sottoinsieme di S rappresenta un evento possibile o semplicemente un evento.
NOTAZIONE INSIEMISTICA PER GLI EVENTI
Uno strumento molto utile per visualizzare gli eventi e il diagramma di Venn , nel quale il rettangolo
rappresenta lo spazio degli eventi mentre le figure all’interno del rettangolo, ossia i sottoinsiemi di S,
rappresentano gli eventi elementari.
S
A
Ci sono tre operazioni che si possono fare con gli eventi elementari: intersezione, unione e negazione.
INTERSEZIONE: dato un esperimento casuale che ammette un insieme S di possibili risultati e
considerati due eventi A e B, sottoinsiemi di S, l’intersezione A∩B è costituita dagli elementi di S
comuni sia ad A sia a B; pertanto l’intersezione è l’evento che si verifica se e solo se si verificano
contemporaneamente A e B.
S
B
A
UNIONE: dato un esperimento casuale che ammette un insieme S di possibili risultati e considerati
due eventi A e B, sottoinsiemi di S, l’unione A∪B è costituita dagli elementi di S che appartengono
soltanto ad A oppure soltanto a B oppure a entrambi; pertanto l’unione di A e B è l’evento che si
verifica se e solo se si verifica soltanto A oppure si verifica soltanto B oppure si verificano
contemporaneamente A e B.
S
B
A
NEGAZIONE: dato un evento A contenuto in S, si indica con 𝐴
l’insieme complementare di A
rispetto a S, costituito dagli elementi di S che non appartengono ad A; esso rappresenta quindi
l’evento che si verifica se e solo se non si verifica A, pertanto viene chiamato negazione di A oppure
A negato.
AA
ESEMPIO: lancio di un dado e osservazione del numero di puntini sulla faccia superiore
S= {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6
A = {e 1 , e 2 , e 3, e 4 } A∪B = {e 1 , e 2 , e 3, e 4 , e 6
} C∪B = S
B = {e 2 , e 4 , e 6 } A∩B = {e 2 , e 4
C = {e 1 , e 3, e 5
= {e 5 , e 6
A∩B
A∪B
Un insieme di n eventi necessari e incompatibili costituisce una partizione dello spazio degli eventi:
Gli eventi elementari sono chiaramente necessari, poiché uno di essi deve
necessariamente verificarsi, e al tempo stesso incompatibili, poiché due diversi
risultati dell’esperimento non possono verificarsi contemporaneamente.
Un evento A e la sua negazione e la sua negazione 𝐴
costituiscono il caso più
semplice di partizione di S.
RELAZIONE FONDAMENTALE
Considerata una partizione di S costituita dagli eventi B e B
e un generico evento A, quest’ultimo si
può esprimere come unione della sua intersezione con B e della sua intersezione con B
A = (A∩B) ∪ (A∩B
S A
B
Poiché B e B
sono incompatibili, lo sono anche A∩B e A∩B
; A è quindi espressa come unione di due
eventi incompatibili. Lo stesso si ha per B:
B = (B∩A) ∪ (B∩A
• (A∩B) ∩ (A∩B
) = Ø
A∩B
A∩B
LA PROBABILITÀ
Definire la probabilità è utile per misurare quanto è verosimile che un evento si verifichi.
La probabilità di un evento deve soddisfare un insieme di regole di natura logica definite assiomi della
probabilità. La probabilità è infatti definita mediante tali postulati, dai quali si ricavano poi tutte le sue
proprietà.
Sia S lo spazio dei possibili risultati di un esperimento casuale, si definisce probabilità una funzione
P(A) che associa ad ogni evento A di S un numero reale che soddisfa i seguenti postulati:
Postulato 1. Per qualunque evento ha la probabilità non è negativa.
P(A) ≥ 0
Postulato 2. La probabilità dell’evento certo è 1.
P(S) = 1
Postulato 3. Siano A e B due eventi incompatibili, la probabilità della loro unione è data dalla
somma delle probabilità.
A∩B = Ø P(A∪B) = P(A) + P(B)
Per induzione il terzo postulato può essere esteso all’unione di n eventi incompatibili. Se A 1
, A
2
A
n sono eventi incompatibili, cioè tali che A i
∩A
j = Ø, per qualunque i ≠ j, si ha:
P (A
1
, A
2
, …, A
n
) = P(A
1
) + P(A
2
) + …+ P(A
n
Inoltre, poiché sappiamo che l’evento A può essere rappresentato come unione di due eventi
incompatibili (la sua intersezione con B e la sua intersezione con B
), per il terzo postulato la probabilità
di A si può ottenere anche come:
P(A) = P(A∩B) + P(A∩B
Sulla base dei postulati è possibile dimostrare alcuni teoremi utili per il calcolo delle probabilità:
Teorema 1. Dato un evento A la probabilità della sua negazione è
P (A
) = 1 – P(A)
Per dimostrare questo risultato si procede osservando che A e A
sono necessari, ossia A∪A
= S, il
che implica che P (A∪A
) = P(S) = 1. Inoltre A e A
sono anche incompatibili, di conseguenza per
il terzo postulato P (A∪A
) = P(A) + P (A
) = 1, il che dimostra il teorema.
Teorema 2. La probabilità dell’evento impossibile è nulla
P(Ø) = 0
L’evento è impossibile è la negazione dell’evento certo e pertanto si ha P(Ø)= P (S
)= 1 – P(S) = 0.
Teorema 3. Per qualunque evento a si ha
P(A) ≤ 1
Poiché per il teorema 1 si ha P (A
) = 1 – P(A), e poiché per il primo postulato P (A
) non può essere
negativa, la probabilità di A non può essere maggiore di 1.
MISURA DELLA PROBAILTÀ
Quando gli eventi elementari sono equiprobabili , hanno cioè tutti la stessa probabilità di verificarsi, e
in numero finito, la probabilità di un evento A si ottiene come rapporto tra casi favorevoli , ossia il
numero di eventi elementari in A, e casi possibili , ossia il numero di eventi elementari in S.
Siano A 1
, A
2
, …, A
n gli n eventi elementari dello spazio campionario S generato da un esperimento, se
essi sono equiprobabili ossia P(A 1
) = P(A
2
) = …= P(A
n ), ciascuno ha probabilità 1/n, cioè:
P (A
i ) = 1/n, i = 1, 2, …, n.
In altri termini la probabilità di un evento non è altro che la somma delle probabilità degli eventi
elementari che lo compongono.
ESEMPIO: voto all’esonero di statistica
S = {0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
P( 0 ) = P( 1 ) = P( 2 ) = P( 3 ) = P( 4 ) = P( 5 ) = P(6) = P( 7 ) = P( 8 ) = P( 9 ) = P(10) = 1/
Se A = {7, 8, 9, 10}
P(A) = P( 7 ) + P( 8 ) + P( 9 ) + P(10) = 4/
PROBABILITÀ CONDIZIONATA
Ci sono circostanze nelle quali l’informazione sul verificarsi di un evento modifica la valutazione della
probabilità di un altro evento; si parla in questi casi di probabilità condizionata.
Siano A e B due eventi contenuti in S la probabilità condizionata di A dato, indicata con P(A|B), è la
probabilità che si verifichi A sapendo che si è verificato l’evento B:
P(A|B) = P(A∩B) / P(B) posto P(B) > 0
ESEMPIO: voto all’esonero di statistica
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
P( 0 ) = P( 1 ) = P( 2 ) = P( 3 ) = P( 4 ) = P( 5 ) = P(6) = P( 7 ) = P( 8 ) = P( 9 ) = P(10) = 1/
Si è ammessi al secondo esonero solo se si consegue un punteggio almeno pari a 5.
A = “si accede al secondo esonero” = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
Supponiamo che lo studente venga a conoscenza del fatto che ha risposto correttamente a due quesiti.
B = “lo studente risponde ad almeno a due quesiti correttamente” = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Verificatosi l’evento B dunque, i possibili punteggi conseguibili dallo studente diventano 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, e ognuno di essi ha probabilità pari a 1 / 9.
Di conseguenza la probabilità che si verifichi A sapendo che si è verificato B è uguale a:
P(A|B) = P(5|B) + P(6|B) + P(7|B) + P(8|B) + P(9|B) + P(10|B)
che non è altro che la probabilità dell’intersezione tra A e B (A∩B = {5, 6, 7, 8, 9, 10}), fratto la
probabilità di B.
Dalla probabilità condizionata si ottiene che
P(A∩B) = P(B) P(A|B)
o alternativamente, considerata la probabilità di B dato A
P(A∩B) = P(A) P(B|A)
Queste due quantità sono uguali, nel senso che
P(A) P(B|A) = P(A∩B) = P(B) P(A|B)
e rappresentano dunque due modi diversi di scrivere P(A∩B).
La probabilità condizionata può essere inoltre utilizzata per calcolare la probabilità di un evento A
qualora non siano note la probabilità di un altro evento B, P(B), e le probabilità condizionate P(A|B) e
P(A|B
); infatti P(A) è anche uguale, per il terzo postulato, a P(A) = P(A∩B) + P(A∩B
) ( questi due
eventi sono incompatibili poiché B e B
sono incompatibili) e applicando la formula precedente si
ottiene che:
P(A) = P(B) P(A|B) + P(B
) P(A|B
Inoltre, poiché P (B
) = 1 – P(B) - > P(A) = P(B) P(A|B) + (1 – P(B)) P(A|B
ESEMPIO
Uno studente può essere iscritto ad una laurea STEM con probabilità 0.4, mentre la probabilità che
uno studente iscritto ad una laurea STEM sappia programmare Python è pari a 0.7. Invece, la
probabilità che uno studente iscritto ad una laurea NON STEM conosca Python è 0.1.
Consideriamo gli eventi:
A = “lo studente conosce Python”
B = “studente iscritto ad una laurea STEM”
B
= “studente iscritto ad una laurea NON STEM”
P(B) = 0.
P(B
P(A|B) = 0.
P(A|B
P(A) =?
P(A) = P(B) P(A|B) + P(B
) P(A|B
P(A) = 0.40.7 + 0.60.1 = 0.
k
Allo stesso modo P* j
= P(B
j
) = - > P
i
* = ∑ P
ij
i=
chiaramente le probabilità marginali sono non negative e la loro somma è pari a 1.
Le probabilità marginali e le probabilità congiunte possono essere riportate nella stessa tabella; in
particolare le probabilità marginali del carattere A sono riportate nell’ultima colonna, le probabilità
marginali del carattere B sono riportate nell’ultima riga.
B
1
B
2
… B
h
A
1 p 11 p 12 … p 1h p 1*
A
2 p 21 p 22 … p 2h p 2*
A
k p k p k … p kh pk*
p 1 p 2 … p* h**
ESEMPIO
Azienda pubblicizza i propri prodotti su un sito web, e su tale pubblicità si può o meno cliccare.
A
1 = “clicco sulla pubblicità”
A
2 = “non clicco sulla pubblicità”
B
1 = “navigo da 0 a 15 minuti” 0 |- 15
B
2 = “navigo da 15 a 30 minuti” 15 |- 30
B
1 = “navigo più di 30 minuti” 30 |-
Supponiamo che le probabilità congiunte siano:
P(A
1
∩B
1
) = 0.07 P(A
2
∩B
1
P(A
1
∩B
2
) = 0.31 P(A
2
∩B
2
P(A
1
∩B
3
) = 0.17 P(A
2
∩B
3
Calcoliamo le probabilità marginali:
B
1
B
2
B
3
A
1
A
2
