Scarica Statistica: Unità, caratteri, distribuzione, media, linearità, mediana, variabilità, regre e più Appunti in PDF di Psicometria solo su Docsity!
Statistica: si occupa dei principi scientifici su cui si basa la raccolta (piano dell’esperienza), l’elaborazione (sintesi dei dati per la comprensione del fenomeno) e l’utilizzazione (uso dei risultati nella pratica) delle informazioni riguardanti fenomeni collettivi, raccolte con diversi criteri e sistemi
Statistica: demografica, economico-sociale, controllo statistico della qualità, psicometria
Statistica:
- descrittiva: descrizione del fenomeno osservato
- probabilità: valutazione dell’incertezza sul verificarsi di un evento
- inferenza statistica: astrarre ciò che vale per un limitato numero di osservazioni (campione) a tutte le possibili osservazioni (popolazione)
Definizioni:
- collettivo statistico o popolazione: insieme di casi individuali in cui si manifesta il fenomeno oggetto di studio
- unita statistica: caso individuale componente del collettivo statistico oggetto di studio; unita semplice, composte, multiple
- carattere o variabile: informazione rilevata per ogni unita statistica ◦ quantitativi: ▪ discreti: assumono quantità finita, numerabile di valori ▪ continui: assumono quantità non numerabili, ma continue di valori, possono assumere tutti i valori in un intervallo ◦ qualitativi: ▪ ordinati: assumono un’ordinazione, le unita statistiche possono essere graduate ▪ sconnessi: le modalità del carattere non possono essere ordinate
- modalità: modo in cui il carattere si manifesta nelle unita statistiche del collettivo
Consideriamo un collettivo di N unita statistiche, dove si sia osservato il carattere X. Si chiama distribuzione statistica semplice o unitaria, l’insieme delle osservazioni relative alle N unita del collettivo. In simboli, la distribuzione semplice e’ indicata come x 1 , x 2 , ... , xn , dove x 1 e’ l’osservazione del carattere x nell’unita identificata dal numero 1, x 2 e’ l’osservazione del carattere x nell’unita identificata dal numero 2, e cosi via.
Proprietà sommatorie:
1. somma di costanti: se x 1 = x 2 =...= k , allora ∑
i = 1
n xi = n ⋅ k
- cambio di scala: sia x 1 , x 2 , ... , xn la distribuzione unitaria di X. Sia C una costante, allora:
i = 1
n
cxi = c ∑
i = 1
n xi
Dimostra ∑
i = 1
n
( xi + yi )=∑
i = 1
n
xi +∑
i = 1
n
yi →∑
i = 1
n ( xi + yi ) :
i = 1
n
( xi + yi )=( x 1 + y 1 )+( x 2 + y 2 )+...+( xn + yn )=( x 1 + x 2 +...+ xn )+( y 1 + y 2 +...+ yn )=∑
i = 1
n
xi +∑
i = 1
n yi
Distribuzione di frequenza: dato un carattere X, con modalità x 1 , x 2 , ... , xn , si definisce frequenza assoluta della modalità (^) xi ( i =1,2 , ... , h ) il numero di unita statistiche che presentano il carattere x con modalità xi
Frequenze assolute:
• n 1 ≥ 0 • ∑
i = 1
h ni = n
Frequenze relative:
• fi ≥ 0 • ∑
i = 1
h f (^) i = 1 → 1
n ∑ i = 1
h ni = 1 n
⋅ n = 1
Grafici:
- caratteri qualitativi: diagramma a barre e diagramma a torta
- caratteri quantitativi discreti: diagramma ad aste
- caratteri quantitativi continui istogramma
Media aritmetica: dato un carattere x quantitativo e data la distribuzione unitaria x 1 , x 2 , ... , xn , si definisce
media aritmetica: μ= 1
n ∑ i = 1
n xi
Proprietà media aritmetica:
- internalità (condizione di Cauchy): la media aritmetica assume sempre un valore compreso tra il più piccolo carattere e quello più grande
2. somma degli scarti da μ= 0 : ∑
i = 1
n
( xi − μ )= 0 →∑
i = 1
n
( xi − μ )=∑
i = 1
n xi − n μ= n μ− n μ= 0
- somma degli scarti^2 : minimizza le distanze euclidee
∀ C ∈ℝ , ∑
i = 1
n ( xi − c )^2 = min ⇔ c = μ
d
dC ∑ i = 1
n ( xi − c )^2 = 0 → d
dC ∑ i = 1
n [( x 1 − c )^2 +( x 2 − c )^2 + ...+( xn − c )^2 ]
2 ( x 1 − c )^2 −^1 ⋅(− 1 )+...+ 2 ( xn − c )^2 −^1 ⋅(− 1 )= 0 − 2 ( x 1 + x 2 +...+ xn )− nc = 0
i = 1
n xi − nc = 0 ⇒ c =
i = 1
n xi
n
⇒ c = μ
- linearità: x 1 , x 2 , ... , xn , yi = a + bxi , con a , b ∈ℝ , allora: μ (^) y = a + b μ x
μ (^) y = 1
n ∑ i = 1
n yi = 1
n ∑ i = 1
n ( a + bxi )= 1 n
[ na + b ∑
i = 1
n xi ]=^1 n
na + 1 n
b ∑
i = 1
n xi = a + b ⋅^1
n ∑ i = 1
n xi = a + b μ
- proprietà associativa: se ho un collettivo statistico diviso in k gruppi disgiunti e indico con n 1 , n 2 , ... , nk la rispettiva numerosità, allora la media totale e’ pari a :
μ=
n 1 μ 1 + n 2 μ 2 +...+ nk μ k n
n
( x 1 +...+ xn 1 + y 1 +...+ yn 2 + z 1 + ...+ zn 3 )= 1
n ∑ i = 1
n xi + 1
n ∑ i = 1
n yi + 1
n ∑ i = 1
n zi =
n 1 μ 1 + n 2 μ 2 + n 3 μ 3 n
Mediana: e’ la modalità del carattere che occupa il “posto centrale” nella successione della distribuzione unitaria ordinata in ordine non decrescente; e’ quel valore che bipartisce la graduatoria delle osservazioni.
Quantili: permettono di dividere in N parti uguali la graduatoria delle osservazioni. Data una frazione
α∈[ 0 ; 1 ] , il quantile di ordine α e’ la più piccola modalità del carattere tale che F j − 1 ≤ α e F j ≥ α
Funzione di ripartizione empirica: la funzione di ripartizione empirica F(x) associa a ogni numero reale x la frequenza cumulata relativa alla modalità x della variabile, ossia la proporzione di unita con modalità inferiore o uguale a x. Proprietà:
- sempre non decrescente: ∀ x
- (^) limite x →+∞= F ( x )= 1
- limite x →−∞= F ( x )= 0
Per rappresentare l’associazione tra due caratteri qualitativi viene usata la distribuzione doppia di frequenza (tabella di contingenza). Per calcolare l’associazione/dipendenza tra due caratteri qualitativi si utilizzano: χ^2 , ϕ^2 ,V di Cramer Per calcolare la dipendenza tra un carattere quantitativo e uno qualitativo, si utilizza l’indice di dipendenza in media η^2 ; indica quanta parte della variabilità di Y e’ spiegata dalle modalità di X
Probabilità:
- ξ : esperimento casuale (aleatorio, stocastico); prova che può dare diversi esiti
- Ε^ : eventi; possibili esiti di^ ξ
- Ω : spazio campionario (o degli eventi); insieme di tutti gli E in un ξ (possibili realizzazioni dell’esperimento)
un evento E e’ un insieme di eventi elementari, ossia un sottoinsieme dello spazio campionario Ω esempio: ξ = “lancio una moneta 2 volte Ε = Testa o Croce Ω = {TT, TC, CC}
La probabilità e’ una funzione, P(), definita su una famiglia di sottoinsiemi Ω con proprietà:
- P (Ω)= 1
- (^) P ( A )≥ 0 , per ogni evento A
- P ( A 1 ∪ A 2 ∪...)= P ( A 1 )+ P ( A 2 )+... , per ogni successione di eventi a 2 a 2 disgiunti
- A ∩ B =∅⇒ P ( A ∪ B )= P ( A )+ P ( B )→ E 1 , E 2 , ... , tra loro disgiunti, allora P ( U i = 1
∞
Ei )=∑
i = 1
∞ P ( Ei ) ne deriva che: ▪ P (∅)= 0 ▪ P ( A )∈[ 0 , 1 ] ▪ (^) se A ⊆ B , allora P ( A )≤ P ( B ) ▪ P ( A ∪ B )= P ( A )+ P ( B )− P ( A ∩ B ) ▪ P ( B )= 1 ⇒ P ( B ∩ A )= P ( A )→ P ( B )= 0 ⇒ P ( B ∪ A )= P ( A )
Teorema di Bayes: siano A 1 , A 2 , …, An una partizione di Ω e sia B un evento, allora:
P ( Ai ∣ B )=
P ( B ∣ Ai )⋅ P ( Ai )
i = 1
n P ( B ∣ Ai )⋅ P ( Ai )
dato un effetto (evento), qual e’ la probabilità di una certa causa P ( Ai ) : probabilità a priori P ( B ∣ Ai ) : verosomiglianza P ( Ai ∣ B ) probabilità a posteriori denominatore: verosomiglianza marginale
Un variabile casuale X e’ una funzione che associa a ogni risultato dell’esperimento un valore numerico. Le variabili casuali sono distinte in:
- discrete: possono assumere un insieme discreto di numeri realizzazioni
- continue: possono assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale
Variabili casuali discrete:
- Distribuzione di Bernoulli: e’ un esperimento con due possibili esiti; viene indicata come X ∼ Bernoulli ( θ) , dove il parametro θ corrisponde a^ P ( X = 1 )
- Distribuzione binomiale: e’ una distribuzione di Bernoulli ripetuta n volte; viene indicata come X ∼ Binomiale ( θ ,n ) , dove θ e’ la probabilità di successo della singola prova e n e’ il numero di prove
Variabili casuali continue:
- Distribuzione normale (gaussiana): è una distribuzione della probabilità continua di un fenomeno statistico intorno alla media; viene indicata come X ∼ N ( μ , σ) , dove μ definisce la posizione della distribuzione (il baricentro della campana), e σ la scala della distribuzione (larghezza della campana)
- Distribuzione normale standardizzata: la distribuzione normale, a causa dei suoi parametri e’ difficile da utilizzare per i calcoli, si utilizza per tale motivo la standardizzata, la quale e’ una distribuzione normale che parametri^ μ=^0 e^ σ=^1
Inferenza statistica:
- obiettivo: usare i dati rilevati su un campione della popolazione per fare delle affermazioni sulla popolazione da cui il campione e’ stato estratto
- permette di estendere i risultati derivati da un campione rappresentativo (statistica) a un’intera popolazione (probabilità)
- tutte le procedure inferenziali sono legate con l‘analisi probabilistica del fenomeno; gli strumenti probabilistici permettono di vedere dove il campione si colloca rispetto a un’ipotetica distribuzione di un fenomeno all’interno di una popolazione
- in psicologia, l’inferenza e’ basata sull’approccio null hypothesis statistical significance testing (NHST): ◦ può essere considerato una fusione tra l’approccio di Fisher e quello di Neyman e Pearson ◦ idea alla base: prima dell’esperimento vengono definite due ipotesi complementari e esaustive, ipotesi nulla (status quo) e ipotesi alternativa ◦ calcolo di una funzione dei dati detta statistica test o stimatore: T ( x )= T (^) OSS ◦ confronto del valore osservato dalla statistica test TOSS con un valore critico fissato a priori TCRIT , la distribuzione teorica del fenomeno sull’intera popolazione. ◦ Sulla base del confronto si deciderà se rifiutare l’ipotesi nulla o se non la si potrà rifiutare
- costruzione sistema di verifica di ipotesi: ◦ vengono definite due ipotesi contrapposte da sottoporre a verifica: H 0 e H 1 ◦ H 0 , di natura puntuale, prevede l’assenza di un effetto rispetto al fenomeno di studio ◦ H 1 , prevede un effetto; può essere bidirezionale (ha un effetto di negazione, effetti diversi) o monodirezionale ( H 1 e’ meglio o peggio) → può essere unilaterale destra (> di un valore specificato), unilaterale sinistra (< di un valore specificato), bilaterale (diverso dal valore specificato) ◦ durante la costruzione del sistema di verifica bisogna tener conto degli errori: α , e’ la probabilità
di rifiutare H 0 dato che e’ vera; β , e’ la probabilità di non rifiutare H 0 dato che e’ falsa → si fissa,
a priori l’errore α , la decisione sarà errata nei confronti dell’errore di primo tipo al massimo di un valore pari a^ α^ , solitamente 0.05. Fissare l’errore garantisce al ricercatore che la propria decisione sarà sbagliata, nei termini dell’errore di primo tipo, al massimo nel 5% dei casi ◦ viene fatto un assunto secondo cui il fenomeno si distribuisce secondo una normale, segue una certa distribuzione probabilistica ◦ i parametri della distribuzione ( μ , σ ) non si conoscono, per stimarli si utilizza il dato osservato (campionario); si usano i dati a disposizione per dare una stima/approssimazione dei parametri della popolazione (stimatori) ◦ vengono definite le regioni critiche; la regione di rifiuto avrà l’area pari a α. Il limite dell’area, in caso di H 1 unilaterale destra e’ il quantile a livello 1 − α della distribuzione; in caso di H 1
unilaterale sinistra e’ il quantile a livello α ; se H 1 e’ bilaterale, la regione di rifiuto andrà da
−∞⇒ q^ α 2
e q 1 −^ α 2
⇒+∞ →solitamente si lavora con la normale standardizzata (unilaterale=1.64, bilaterale=1.96) ◦ si confronta il valore stimato rispetto a quella che e’ la curva si ipotizza descriva i dati; si osserva in quale regione il campione si colloca ◦ se il valore campionario cade nella regione di accettazione, si dirà che non si ha abbastanza evidenza sperimentale per rifiutare l’ipotesi nulla; se il valore cade nella regione di rifiuto, si rifiuta l’ipotesi nulla → rifiutare l’ipotesi nulla significa cambiare lo stato attuale delle cose
