Appunti teorici Dispositivi elettronici, Appunti di Dispositivi elettronici

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= ma La particella non permane nel suo stato di moto accelerato, imperturbata, ma interagisce con gli ioni del reticolo subendo frequentemente deflessioni dalla sua direzione di moto originaria e anche la componente della sua velocità nella direzione del campo cambierà a seguito di «urti» => supponiamo che le particelle subiscano urti regolari, a intervalli costanti di durata t0, e che a seguito di questi urti la particella «perda» completamente la energia cinetica acquisita, annullando la sua velocità di deriva: Grafico della velocità 𝑉𝑑 = !"#! $% = µ𝐹 => µ = mobilità La velocità media di deriva è proporzionale al campo accelerante, purchè si assumi che il tempo medio d’urto resti costante e non dipenda da campo elettrico => si giustifica la legge di Ohm La corrente elettrica nel conduttore è pari alla carica che attraversa una sua sezione nell’unità di tempo => questa carica è pari alla carica elementare (q) x il numero di portatori che attraversano la sezione per ogni secondo: 𝐼 = 𝑞𝑛(𝑉𝑑𝐴) = 𝑞𝑛𝐴µ𝐹 => n = densità di cariche di conduzione e VdA = volume Ricordo I = GV => 𝐼 = -𝑞𝑛 & ' .𝑉 Resistenza: 𝑅 = ( ) = ' !*+& [Ω] e Resistività: 𝜌 = , - = , !*+ [Ωcm] 2 La resistenza di un conduttore dipende da parametri geometrici (sezione e lunghezza) e da parametri fisici (conducibilità/resistività) caratteristici del materiale La resistività e la conducibilità dipendono dalla mobilità e dalla densità di cariche nel solido conduttore Implicazioni legge di Ohm: • Il moto delle cariche indotto dal campo elettrico è un moto accelerato interrotto => l’interruzione del moto fa sì che si instauri una proporzionalità tra campo elettrico e velocità media assunta dalle cariche nella direzione del campo • La mobilità lega la velocità media di deriva al campo elettrico accelerante • Il fatto che la proporzionalità V=RI persista all’aumentare della tensione implica che la mobilità sia costante, ovvero che il tempo medio d’urto si mantenga costante anche se il campo elettrico accelerante aumenta Moto microscopico del portatore: caotico => a temperatura finita il portatore non si sposterà molto dal punto in cui si trova inizialmente => il modulo della sua velocità può essere stimata imponendo che la sua energia cinetica media sia pari a 3kT/2, secondo il principio di equipartizione di Boltzmann 1 2𝑚𝑣 $ = 3 2 𝑘𝑇 => 𝑣 = > 3𝑘𝑇 𝑚 Se ora si applica un campo elettrico, al moto caotico si sovrappone un movimento sistematico, con velocità pari alla velocità di deriva, che lo porta a muoversi in una direzione media definita => moto agitazione termica + moto di deriva (campo) Non tutti gli «urti» annullano la quantità di moto nella direzione del campo elettrico => Vd in direzione del campo: cresce linearmente, mentre con Vd opposta al campo: negativa (solo accelerazione resta costante) Spiegazione: considero il bilancio tra la variazione della quantità di moto indotta dalla forza accelerante e le perdite di quantità di moto subite a seguito di «urti» 𝑑(𝑚𝑣𝑑) 𝑑𝑡 = 𝑞𝐹 = − 𝑚𝑣𝑑 𝜏 In questo caso 𝜏 non è propriamente il tempo medio tra un urto e il successivo, ma il tempo medio in cui la particella perde la quantità di moto acquisita => nel regime ohmico si assume costante Il tempo medio di rilassamento indica il tempo medio fra due eventi che annullano la quantità di moto nella direzione del campo 5 L 𝑚∗𝑑𝑣𝑑 𝑑𝑡 = 𝑑𝐹 − 𝑚∗𝑣𝑑 𝜏 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝑞𝐹𝑣𝑑 − 𝐸 𝜏 Condizione stazionarie: l’energia media delle particelle tende ad aumentare con il quadrato del campo elettrico => l’aumento è esattamente pari al lavoro medio compiuto dalla forza elettrica tra un «urto» e il successivo (qFvd𝜏) 𝐸 = 𝑞𝐹𝑣𝑑𝜏 = (𝑞𝐹𝜏)$ 𝑚∗ A bassi campi elettrici, l’aumento dell’energia cinetica media delle cariche determinato dal campo elettrico è piccolo rispetto a 3kT/2 => il modulo della velocità totale non cambia significativamente e resta pari sostanzialmente alla velocità termica All’aumentare del campo elettrico, l’energia cinetica e la velocità media totale delle particelle aumentano => l’energia cinetica media totale posseduta dalle cariche supera 3kT/2 Fin qui il tempo medio d’urto è stato considerato constante => in verità è costante il «camino libero medio» (𝜆), ovvero lo spazio percorso in media tra un urto e il successivo Il tempo medio d’urto è quindi il rapporto tra il cammino libero medio e la velocità media delle cariche 𝜆 = O𝑣𝜃QQQQ⃗ + 𝑣𝑑QQQQ⃗ O𝜏 => < L 𝑠𝑒 𝑣𝑑 ≪ 𝑣𝜃 𝜏 = 𝜆 𝑣𝜃 𝑠𝑒 𝑣𝑑 ≈ 𝑣𝜃 𝜏 < 𝜆 𝑣𝜃 Se la velocità di deriva incomincia ad essere significativa rispetto alla velocità di agitazione termica, le cariche diventano «calde», la loro velocità media totale è maggiore della velocità termica alla temperatura T del reticolo e il tempo medio di rilassamento tende a diminuire All’aumentare dell’energia cinetica media delle particelle non si può più trascurare un altro aspetto => il trasferimento di energia tra particelle e reticolo, a seguito di «urti», avviene per scambi di quanti, detti fononi = quanto di energia elastica associato alle onde elastiche generate dall’interazione tra il reticolo e la radiazione ottica => «fonone ottico» La quantizzazione dell’energia scambiata per urto interviene a modificare la seconda equazione: la variazione di energia della particella, nell’unità di tempo, è pari alla potenza erogata dal campo elettrico accelerante e ridotta per la perdita di energia per urto => è pari all’energia del fonone ottico scambiata ogni tempo medio d’urto 6 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝑞𝐹𝑣𝑑 − 𝐸1 𝜏 Imponendo le condizioni stazionarie si trova che la particella si muove effettivamente con una velocità di deriva indipendente dal valore del campo elettrico => dipende dall’energia del fonone e dalla massa efficace 𝑣𝑑 = > 𝐸1 𝑚∗ Il tempo medio di rilassamento non è più costante ma diventa inversamente proporzionale al campo elettrico => nel regime di saturazione se il campo elettrico raddoppia, raddoppia l’accelerazione => il tempo medio di rilassamento non resta costante (ohmico) ma dimezza (𝑞𝐹𝜏)$ = 𝑚∗𝐸𝑝 => 𝜏 = W𝑚∗𝐸𝑝 𝑞𝐹 Quindi la velocità massima raggiunta dalla particella resta costante e la corrispondente velocità media non varia => regime di saturazione della velocità Un atomo di fosforo sostituisce un atomo di silicio nel reticolo: l’atomo può formare solo 4 legami covalenti con gli atomi di Si primi vicini => uno dei suoi 5 elettroni di valenza non contribuisce a formare legami covalenti e risulta debolmente legato all’atomo Una piccola energia consente a questo elettrone di slegarsi dal sito, divenendo libero di muoversi nel cristallo, e quindi in grado di contribuire alla conduzione => sito carico positivamente: ione L’energia di legame dell’elettrone può quindi essere stimata ricorrendo ad un modello idrogenoide 7 Tra la carica dello ione e l’elettrone non c’è il vuoto ma delle nubi elettroniche che sono polarizzabili => esse tenderanno ad addensarsi attorno alla carica positiva e ne schermeranno in parte il campo elettrico 𝐹 = 𝑞 (4𝜋𝜀)𝑟$ Questo effetto è rappresentato dalla costante dielettrica che interviene nella espressione del campo elettrico Coulombiano generato dalla carica +q => assumere un valore della costante dielettrica pari alla costante dielettrica del reticolo di silicio in cui lo ione è immerso la forza elettrostatica agente sull’elettrone è pari alla forza attrattiva determinata dal nucleo carico +q e si assume che le orbite permesse sono tutte e sole quelle che soddisfano la condizione di quantizzazione del momento angolare \𝑞𝐹 = 𝑞$ (4𝜋𝜀)𝑟$ = 𝑚𝑣$ 𝑟 𝑚𝑣𝑟 = 𝑛ℎ Raggi delle orbite: 𝑟𝑛 = (567!)9 & %!& = 𝑛$𝑎: L’energia totale che compete a ogni orbita permessa è la somma dell’energia cinetica e della corrispondente energia potenziale => la somma dei due termini è negativa e pari alla metà della energia potenziale 𝐸𝑛 = %; & $ − !& (567!)<* = − !& $(567!)=:*& Ora applichiamo alle relazioni del modello idrogenoide le correzioni dovute alla ostante dielettrica relativa del reticolo di silicio, pari a 11.7 volte la costante dielettrica del vuoto 𝑟 = (4𝜋𝜀)ℎ$ 𝑚𝑞$ = 𝜀<𝑎: => la forza elettrostatica risenta della polarizzabilità delle nubi elettroniche, descritta dalla costante dielettrica relativa Un atomo B introdotto nel reticolo del silicio può formare 3 legami covalenti con altrettanti atomi Si => resta un legame vacante, ovvero una lacuna Con minimo dispendio di energia, un elettrone di legame di un atomo di silicio contiguo può passare al posto della lacuna => il sito trivalente resta carico negativo (ione negativo) Il processo di ionizzazione del drogante è permesso dalle vibrazioni reticolari che permettono di trasferire energia al drogante e liberare la carica (elettrone/lacuna A temperatura ambiente e per un ampio intervallo di valori attorno a 300K la concentrazione degli elettroni liberi nel silicio è pari alla concentrazione di drogante => semiconduttore estrinseco 10 Si ha un leggero effetto della diminuzione della mobilità, che rallenta la legge di diminuzione, ma questo è comunque limitato alla zona di drogaggi medio alti in cui si nota un cenno di flesso nella curva 𝜌 = 1 𝜎 = 1 𝑞(𝑛µ* + 𝑝µ1) I dispositivi elettronici sono costituiti da regioni di drogaggio differente e quindi le concentrazioni di elettroni e lacune variano da punto a punto e non sono per niente costanti => la concentrazione delle cariche non è uniforme; perciò, è ragionevole attendersi che ci sia un moto spontaneo che tenda a far spostare le cariche dalle zone in cui la loro concentrazione è maggiore a quelle in cui sono meno concentrate La corrente che si genera non è quindi una corrente di deriva ma di diffusione Si supponga che la concentrazione degli elettroni abbia l’andamento riportato in figura: valutiamo il flusso netto delle cariche, ovvero il numero di cariche che attraversa la sezione unitaria (A=1) => il flusso netto misurato alla sezione di riferimento (indicata all’ascissa x=0) è determinata dalla differenza tra gli elettroni che nell’unità di tempo la attraversano muovendosi da sinistra a destra (+) e di quelli che contemporaneamente la attraversano nel verso opposto (-) Stiamo supponendo che nella regione non agiscano campi elettrici, quindi le cariche si muovono solo per agitazione termica, con velocità Vth => 𝜆 = cammino libero medio, ovvero la distanza media che le cariche percorrono nel reticolo senza urtare => si ha 𝜆 = Vth 𝜙? = 𝑛(−𝜆)𝐴𝜆 2 𝜆 𝑉𝑡ℎ = 1 2 𝑛 (−𝜆)𝑉𝑡ℎ 𝜙@ = 1 2𝑛 (𝜆)𝑉𝑡ℎ L’aver scelto il cammino libero medio è cruciale perché si può assumere che le cariche non urtino prima di giungere ad x=0 rischiando di invertire il verso di moto Ora leghiamo la concentrazione in x=± l a quella in corrispondenza della sezione di riferimento x=0 => si sviluppa la funzione n(x) attorno a x=0 𝜙? = 1 2𝑉𝑡ℎ c𝑛 (0) − 𝑑𝑛 𝑑𝑥|: 𝜆 +⋯ d 11 𝜙@ = 1 2𝑉𝑡ℎ c𝑛 (0) + 𝑑𝑛 𝑑𝑥|: 𝜆 +⋯ d Sottraendo i due contributi si ricava il contributo principale alla differenza dei due flussi => è proporzionale alla derivata della concentrazione => maggiore è la derivata del profilo e maggiore è la corrente generata dal moto diffusivo spontaneo delle cariche Legge di Flick: 𝜙(0) = 𝜙?(0) − 𝜙@(0) = −𝑉𝑡ℎ𝜆 𝑑𝑛 𝑑𝑥|: => più è alta la velocità termica e più è lungo il cammino libero medio e maggiore è il flusso prodotto dalla variazione di concentrazione => coefficiente di diffusione Dn 𝜙(𝑥) = −𝑉𝑡ℎ𝜆 𝑑𝑛 𝑑𝑥 = −𝐷𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑥 Relazione di Einstein: Il modello di moto diffusivo è unidimensionale. => si è considerato solo il moto termico delle particelle nella direzione dell’asse x per semplicità => la velocità termica si deve ottenere eguagliando la energia cinetica e kT/2 invece che a 3kT/2 𝐷𝑛 = 𝑉𝑡ℎ𝜆 = 𝑉𝑡ℎ𝜏 𝜆 𝜏 = 𝑉𝑡ℎ𝜏 𝑉𝑡ℎ𝜏 𝜏 = 𝑉𝑡ℎ$𝜏 1 2𝑚𝑉𝑡ℎ $ = 𝑘𝑇 2 => 𝑉𝑡ℎ$ = 𝑘𝑇 𝑚 𝐷𝑛 = 𝑘𝑇 𝑚 𝜏 = µ* 𝑘𝑇 𝑞 => il coefficiente di diffusione e la mobilità sono proporzionali La figura riporta l’andamento della mobilità dei portatori in funzione del drogaggio: 12 La corrente totale in un semiconduttore è data dalla somma delle correnti generate dai campi elettrici (correnti di deriva) e delle correnti di diffusione determinate dalle eventuali variazioni spaziali della concentrazione di portatori (gradienti) Gli elettroni sotto l’azione di un campo elettrico e in presenza di gradiente della loro concentrazione: Considero solo componente di deriva: per l’azione del campo elettrico gli elettroni si spostano verso il polo (+) del generatore, ma (essendo cariche negative) la loro corrente ha il verso convenzionale in direzione opposta, nel verso positivo dell’asse, e quindi concorde con il verso del campo elettrico (freccia rossa: direzione campo) Densità di corrente: 𝐽𝑛 = 𝑞µ*𝑛𝐹 (- carica elettrone e – direzione contraria al campo => -*- = +) Densità di corrente: 𝐽𝑝 = 𝑞µ1𝑝𝐹 (+ carica lacuna e + direzione concorde al campo) La corrente di deriva ha sempre il verso concorde con il verso del campo elettrico indipendentemente dalla carica (positiva o negativa) considerata Ora considero solo la componente di diffusione: (freccia rossa: direzione corrente) Densità di corrente: 𝐽𝑛 = 𝑞𝐷𝑛 D* DE 15 L’ energia che si libera per ricombinazione è trasmessa al reticolo in forma vibrazionale => questo processo non genera «luce», non è radiativo, ma energia elastica, ovvero «calore» che si trasmette al reticolo Per il primo meccanismo, ci si attende che il tasso di ricombinazione sia proporzionale al prodotto della densità di lacune ed elettroni 𝑅𝑛 = 𝐵𝑛𝑝 𝐺𝑛 = 𝐵𝑛𝑖$ Nella espressione B è un coefficiente opportuno, dipendente dalla temperatura. 𝜕𝑛 𝜕𝑡 = 1 𝑞 𝜕 𝜕𝑥 𝐽𝑛 − 𝐵(𝑛𝑝 − 𝑛𝑖 $) 𝜕𝑝 𝜕𝑡 = 1 𝑞 𝜕 𝜕𝑥 𝐽𝑝 − 𝐵(𝑛𝑝 − 𝑛𝑖 $) All’equilibrio termico il tasso di generazione deve eguagliare il tasso di ricombinazione => np=ni 2 Il coefficiente B dipende dal materiale Calcoliamo il tempo medio necessario a un minoritario (elettrone) per essere «catturato» da un difetto: possiamo immaginare che se un elettrone passa attorno a un difetto a distanza minore di R esso viene catturata => (s) l’area del cerchio di raggio R, detta sezione d’urto dell’elettrone Basta considerare che nel suo moto casuale la particella copre una distanza Vth nell’unità di tempo, quindi essa incontrerebbe tutti i difetti contenuti nel cilindroide di altezza Vth e area di base (𝜎) => il numero di questi difetti è pari a NT (densità media dei difetti) per il volume 𝜎𝑉𝑡ℎ 𝜏* = 1 𝜎𝑁0𝑉𝑡ℎ Ora, assumiamo che la densità di maggioritari (elettroni) sia tale che non appena la lacuna viene «bloccata» attorno ad un difetto passi un tempo trascurabile prima che essa si ricombini => il tasso di ricombinazione è pari alla concentrazione dei minoritari (lacune) divisa per il tempo medio che ciascuna di esse impiega per essere «catturata» da un difetto 𝑅𝑛 = 𝑅𝑝 = 𝑛 𝜏* 𝐺𝑛 = 𝐺𝑝 = 𝑛: 𝜏* = 𝑛𝑖$ 𝑁𝑎𝜏* => il tasso di ricombinazione delle lacune è ovviamente pari al tasso di ricombinazione degli elettroni nello stesso volume: una lacuna si ricombina con un elettrone Equazione di continuità: minoritario 16 𝜕𝑛 𝜕𝑡 = 1 𝑞 𝜕 𝜕𝑥 𝐽𝑛 + (𝐺𝑛 − 𝑅𝑛) = 1 𝑞 𝜕 𝜕𝑥 𝐽𝑛 − 𝑛 − 𝑛: 𝜏* Equazione di continuità: maggioritario 𝜕𝑝 𝜕𝑡 = − 1 𝑞 𝜕 𝜕𝑥 𝐽𝑝 + (𝐺𝑛 − 𝑅𝑛) = − 1 𝑞 𝜕 𝜕𝑥 𝐽𝑝 − 𝑛 − 𝑛: 𝜏* In generale per diffusione si intende il processo che porta una specie chimica o un insieme di particelle a spostarsi da una regione a concentrazione più elevata ad una regione a concentrazione più bassa => la diffusione porta ad uniformare la concentrazione della specie all’interno del volume (gas esempio) Gli elettroni e lacune possono muoversi per diffusione da regioni in cui la loro concentrazione è maggiore a zone in cui la loro concentrazione è minore => genera un flusso netto di carica La componente diffusiva della corrente è descritta dalla legge di Fick La diffusione di cariche (elettroni/ioni) crea una variazione delle cariche elettriche nette presenti nelle varie regioni e quindi l’insorgenza di campi elettrici che si oppongono progressivamente al persistere del fenomeno diffusivo => le cariche non giungono a uniformare la loro concentrazione nello spazio messo a loro disposizione Giunzione p-n: A contatto due regioni drogate n e p: sono due serbatoi di cariche mobili positive (la zona p) e negative (la zona n) => gli elettroni tenderanno a diffondere dalla zona in cui la loro concentrazione è più alta (zona n) alla zona in cui sono meno concentrati => si ha un moto diffusivo di lacune da silicio p a silicio n Tuttavia, lo spostamento delle cariche determina la formazione di due strati di carica fissa: cariche positive nella regione n e negative nella regione p => sono dovuti agli atomi droganti ionizzati non più neutralizzati dalle cariche che sono diffuse All’interfaccia si genera così: • una zona svuotata da cariche mobili in cui la concentrazione di portatori mobili di carica è molto inferiore a quella degli atomi droganti (carica fissa) • una differenza di potenziale ai capi della struttura ed un campo elettrico che si oppone all’ulteriore diffusione netta di carica da una zona all’altra 17 => dopo la diffusione iniziale non si ha più spostamento netto di carica Riferendosi alle correnti, per ciascun portatore il termine diffusivo, determinato dal gradiente di concentrazione, è compensato dal termine di deriva dovuto al campo elettrico al contatto. Il risultato netto è una corrente nulla All'equilibrio i trasferimenti netti di carica ai morsetti della giunzione sono nulli. Il campo elettrico generato dal doppio strato di carica spaziale induce una differenza di potenziale, detta potenziale di contatto Colonna isoterma di gas ideale: 𝑝𝑉 = 𝑛s𝑅𝑇 => 𝑝 = 𝑛s𝑁&; 𝑉 𝑅 𝑁&; 𝑇 => 𝑝 = 𝑛𝑘𝑇 n = densità di particelle per unità di volume (numero particelle/Volume) e 𝑛s = numero di moli => il rapporto tra la costante dei gas R e il numero di Avogadro è ancora una costante: costante di Boltzmann k Le molecole di gas nella colonna risentono della forza di gravità e quindi si concentreranno sul fondo della stessa, ma alla temperatura finita T, esse posseggono una energia cinetica non nulla => ci saranno molecole in grado di raggiungere una quota z all’interno del serbatoio 𝑑𝐹 = −𝑚𝑔𝑛𝐴𝑑𝑧 𝑑𝑝 = 𝑑𝐹 𝐴 = −𝑚𝑔𝑛𝑑𝑧 v 𝑝 = 𝑛𝑘𝑇 −𝑑𝑝 = 𝑛𝑚𝑔𝑑𝑧 L’andamento della concentrazione di molecole: la diminuzione di pressione all’aumentare della quota z è proporzionale al peso delle molecole comprese tra z e z+dz Si ricava un’equazione differenziale: 𝑘𝑇𝑑𝑛 = −𝑚𝑑𝑛𝑑𝑧 => 𝑑𝑛 𝑛 = − 𝑚𝑔 𝑘𝑇 𝑑𝑧 w 𝑑𝑛 𝑛 *(9) *(:) = − 𝑚𝑔 𝑘𝑇 w 𝑑𝑧 9 : => 𝑙𝑛 𝑛(ℎ) 𝑛(0) = − 𝑚𝑔ℎ 𝑘𝑇 𝑛(ℎ) = 𝑛(0)𝑒@ %H9 /0 => all’equilibrio, la concentrazione delle molecole diminuisce esponenzialmente con la distanza dal suolo Il termine esponenziale vede all’esponente il rapporto tra l’energia potenziale che tende a confinare le particelle sul fondo e l’energia termica (kT) che dà ad esse la possibilità di portarsi in alto, 20 La carica esposta ai capi del dipolo elettrico di interfaccia deve diminuire e così anche il campo elettrico Polarizzazione diretta: La diminuzione del campo elettrico alla giunzione determina una ripresa della diffusione delle cariche maggioritarie => il dispositivo è attraversato da corrente Al diminuire della barriera di energia potenziale alla giunzione, la densità di portatori che riescono ad avere sufficiente energia per superarla aumenta esponenzialmente (come previsto in base al fattore di Boltzmann) Polarizzazione inversa: Se si applica una polarizzazione inversa, il campo elettrico alla giunzione aumenta e quindi non permette a maggior ragione il flusso diffusivo di cariche => la corrente che fluisce attraverso il diodo è minima e si origina principalmente da fenomeni di generazione netta di coppie elettrone- lacuna La polarizzazione inversa della giunzione determina un allargamento della zona svuotata Tuttavia, se si continua ad aumentare la tensione inversa applicata si può giungere al breakdown => fenomenologicamente legato ad un repentino aumento della corrente inversa Se la giunzione è ben progettata e la temperatura raggiunta localmente resta contenuta, il fenomeno è reversibile e non porta alla rottura del componente => i diodi Zener sono progettati per operare in condizioni di breakdown Dal punto di vista microscopico il fenomeno di breakdown può essere dovuto a due effetti: 1. Breakdown a valanga: un elettrone in transito nella zona di carica spaziale della giunzione acquisisce energia sotto l’azione del campo elettrico => questa energia è persa per urti con atomi del reticolo. 21 Tuttavia all’aumentare del campo elettrico accelerante l’energia fornita alla particella tra un urto e il successivo aumenta ed esiste la probabilità che un portatore ritardi ad urtare e quindi continui ad accumulare energia sotto l’azione del campo => se l’energia con cui l’elettrone giunge all’urto è alta l’impatto può determinare la rottura di un legame e la generazione di una nuova coppia elettrone-lacuna => l’evento di impatto aumenta la concentrazione delle cariche mobili e quindi della corrente Anche la lacuna prodotta dell’impatto è accelerata => riattraversa la giunzione e se il campo è abbastanza alto, anch’essa può ionizzare per impatto prima di uscire dalla zona svuotata => si rigenera un elettrone che ricomincia il percorso: reazione a catena che porta progressivamente all’aumento esponenziale della corrente Esiste un valore della polarizzazione e quindi del campo elettrico per cui il guadagno d’anello del processo reazionato supera 1=> tensione di breakdown, alla quale il fenomeno diventa divergente: in sostanza il dispositivo è in grado di portare qualunque corrente Quindi se la ragione m di questa progressione superà l’unità, il processo è divergente, ovvero la corrente che attraversa il dispositivo diventa potenzialmente illimitata 2. Effetto Zener: è prevalente nei diodi in cui le zone p ed n sono molto drogate e la rottura avviene attorno a 5V => in questo caso è il campo elettrico intenso ad estrarre direttamente elettroni dai relativi legami determinando l’aumento della corrente Giunzione p-n polarizzata direttamente: La corrente di giunzione: 𝐼 = 𝐼𝑠(𝑒 !(K /0 − 1) Quando la giunzione è polarizzata direttamente ci si attende che elettroni siano iniettati dalla zona n, in cui sono maggioritari, nella zona neura p. La concentrazione di elettroni all’inizio della zona neutra p (indicata con l’ascissa x=0) è determinata dalla concentrazione di elettroni che nella zona n sono in grado di superare la barriera di potenziale => in base alla relazione di Boltzmann, la concentrazione di questi elettroni è la frazione exp[-qE/kT) della concentrazione ND presente nel serbatoio n. La concentrazione di elettroni deve tornare alla concentrazione di equilibrio, n0, con i maggioritari nella zona p e queste considerazioni fissano le «condizioni al contorno» che devono essere rispettate dalla funzione n(x) che fornisce l’andamento della concentrazione di elettroni nella zona neutra p. 22 \ 𝑛(0) = 𝑛:𝑒 *+, $% 𝑛(+∞) = *J & L& = 𝑛: Per ricavare l’andamento n(x) si deve ricorrere alla integrazione della equazione di continuità. Equazione di continuità: F* FG = , ! F* FG − *@*: #* Zona neutra: 𝐽𝑛 = 𝑞𝜇*𝑛𝐹 + 𝑞𝐷* F* FE ≈ 𝑞𝐷* F* FE => la presenza dei portatori maggioritari scherma i campi elettrici, quindi si riduce a sola componente di diffusione Condizione stazionaria: 0 = 𝐷* F&* FE& − *@*! #* => In condizioni stazionarie le dipendenze dal tempo sono esaurite, quindi il primo termine è nullo. Per semplificare l’integrazione è opportuno assumere come variabile indipendente la concentrazione di portatori in eccesso rispetto alla concentrazione di equilibrio => n’ = n – n0 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝐷* 𝜕$𝑛 𝜕𝑥$ − 𝑛M 𝜏𝑛 = 0 𝑛M(0) = 𝑛0|𝑒 !(K /0 − 1} 𝑛M(+∞) = 0 𝐿𝑛 = √𝐷𝑛𝜏𝑛 𝑛(𝑥) = 𝑛0 |𝑒 !(K /0 − 1} 𝑒@ E '* + 𝑛0 => La soluzione presenta dei termini esponenziali decrescenti con una lunghezza caratteristica detta dalla lunghezza di diffusione dei minoritari Il profilo della concentrazione di elettroni nella zona p è quindi caratterizzato da una diminuzione esponenziale della concentrazione all’aumentare della distanza dalla giunzione 25 Su scala semi-logaritmica la relazione esponenziale ottenuta teoricamente dovrebbe dar luogo ad una retta => però (VBE=0.3V - VBE=0.7V) per tensioni di polarizzazione minori o maggiori, la caratteristica si scosta dall’andamento atteso. Per tensioni maggiori di 0.7V, ad alte correnti, incomincia a non essere trascurabile la caduta di tensione sulle resistenze in serie alla giunzione => quindi all’aumentare della tensione diretta applicata dal generatore esterno, solo una sua frazione porta alla ulteriore riduzione della barriera di potenziale alla giunzione, mentre il resto deve compensare l’aumento delle cadute RxI in serie. La corrente del dispositivo sale meno che esponenzialmente. A basse polarizzazioni, invece, incomincia ad essere visibile il contributo alla corrente di giunzione dovuta alla ricombinazione nella zona di carica spaziale => questo termine ha una dipendenza con un esponente VBE/2kT e quindi diventa paragonabile alle correnti diffusive per bassi valori di VBE (nelle normali condizioni di funzionamento esso è invece trascurabile). 26 Controllo di carica: Fissiamo ora l’attenzione sul profilo dei minoritari nelle regioni neutre: l’iniezione di carica dalle regioni adiacenti (elettroni nel caso in figura) genera un eccesso di minoritari rispetto al valore di equilibrio. La carica totale in eccesso, accumulata nella zona neutra, si ottiene integrando l’espressione della carica minoritaria appena ricavata lungo la direzione dell’asse x. 𝑁M = w 𝑛M(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑛0( ?O : |𝑒 !(K /0 − 1}𝐿𝑛 => la carica in eccesso accumulata è proporzionale alla corrente iniettata: chi entra = chi esce Condizioni stazionarie: 𝜙𝑛 = LM # Tempo medio di permanenza: 𝜏 = LM I* = '*& K* = 𝜏𝑛 => vita media di ricombinazione La densità̀ di carica per unità di area Q’ = N’q è confrontata con la densità di corrente di elettroni iniettati all’inizio della zona neutra p ed il loro rapporto è un tempo => tempo di vita medio del minoritario (elettrone): 𝜏 = PM Q*(:) La relazione appena trovata tra carica in eccesso e densità di corrente iniettata in zona neutra è detta relazione di controllo di carica. 27 Ora la zona neutra non è molto più lunga della lunghezza di diffusione dei minoritari => regione «corta» dove i minoritari iniettati alla giunzione giungono al contatto prima di avere una ragionevole probabilità di ricombinarsi. In queste condizioni si possono trascurare le ricombinazioni che avvengono in zona neutra e si assume che al contatto la concentrazione di minoritari si riporta al valore di equilibrio. In generale, le superfici di interfaccia tra il semiconduttore e i contatti sono sede di una alta densità di difetti => qui il reticolo periodico si interrompe e diversi legami restano incompleti o si completano legandosi ad atomi di impurezze che giungono lı ̀durante i processi di fabbricazione => assumere che l’eccesso di minoritari sia smaltito efficacemente in queste regioni è una buona approssimazione. 𝐷𝑛 F&* FE& = 0 => nessuna ricombinazione in zona neutra 𝑛(𝑊𝑝) = 𝑛0 => ricombinazione al contatto con ripristino dell’equilibrio Avendo trascurato i termini di generazione e ricombinazione, l’equazione di continuità si è ridotta ad affermare che la derivata seconda del profilo di concentrazione è nulla. Il profilo n(x) è una semplice retta: 𝑛(𝑥) = 𝑛0 𝑊𝑝 |𝑒 !(K /0 − 1} (𝑤𝑝 − 𝑥) + 𝑛0 La espressione della densità di corrente conserva le dipendenze esponenziali. L’unica differenza è la dimensione della zona neutra al posto della lunghezza di diffusione => poiché Wp<<Ln la densità di corrente che si ottiene a pari polarizzazione è maggiore di quanto si avrebbe in presenza di una zona neutra «lunga». 𝐽𝑛(𝑥) = −𝑞𝐷𝑛 𝑛0 𝑊𝑝|𝑒 !(K /0 − 1} 30 Nelle regioni neutre a distanza x<Ln dalla giunzione la concentrazione di minoritari è inferiore al valore di equilibrio => prevalgono quindi i fenomeni di generazione che cercherebbero di far aumentare la concentrazione di minoritari per farla ritornare alla condizione di equilibrio. Tuttavia, gli elettroni generati hanno una buona probabilità̀ di giungere alla giunzione per poi essere spinti in zona p dal campo elettrico La corrente di diffusione al bordo della zona di carica spaziale: 𝐽𝑛(0) = 𝑞𝐷𝑛 *N '* => parentesi con esponenziale trascurabile: unica differenza è che il profilo esponenziale è sostituito dal profilo lineare. La corrente di maggioritari in zona neutra: Le zone neutre sono regioni con conducibilità fissata dalla concentrazione e dalla mobilità dei maggioritari => zone resistive: le correnti di maggioritari e di minoritari siano correnti di deriva, generate da campi elettrici. 31 Le correnti di minoritari sono correnti di diffusione => non sono associate a campi elettrici/differenze di potenziale Per garantire la neutralità di carica, i maggioritari si disporranno secondo un profilo di concentrazione che segue quello dei minoritari, cosı ̀la densità di carica netta in ogni intervallo elementare della zona neutra è nulla => sia maggioritari che minoritari avranno profili con lo stesso gradiente di concentrazione. Se i livelli di corrente non sono molto alti, la concentrazione dei minoritari all’iniezione resta di ordini di grandezza inferiore alla concentrazione dei maggioritari nella zona neutra (p<<ND): regime di bassa iniezione. 𝐽𝑡𝑜𝑡 = 𝑞µ*𝑛𝐹 + 𝑞𝐷𝑛 𝜕𝑛 𝜕𝑥 + 𝑞µ1𝑝𝐹 (= 0 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑐ℎ𝑒 𝑝 ≪ 𝑁𝐷) − 𝑞𝐷𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑥 La relazione riporta l’espressione della corrente totale che attraversa la zona neutra, cioè la somma dei termini di deriva e di diffusione. Poiché i gradienti di concentrazione di maggioritari e minoritari sono identici, le componenti di diffusione tendono a sottrarsi. La cancellazione sarebbe perfetta se i coefficienti di diffusione fossero uguali. La corrente di deriva è ordini di grandezza inferiore alla corrente di deriva dei maggioritari => la corrente totale è pressoché pari alla corrente di deriva dei maggioritari e il campo elettrico in zona neutra può essere ragionevolmente ottenuto considerando solo la conducibilità dei maggioritari. In termini di peso relativo, la componente di deriva dei maggioritari è il termine di gran lunga prevalente nel determinare la corrente totale che attraversa la zona neutra. Poiché i termini di diffusione tendono a cancellarsi una stima del campo elettrico si ottiene eguagliando la corrente totale alla sola componente di deriva dei maggioritari. 32 𝐹 ≈ 𝐽𝑡𝑜𝑡 𝑞µ*𝑁𝐷 Consideriamo una giunzione p-n tra due regioni a drogaggio costante e con l’orientamento riportato in figura: La zona svuotata è caratterizzata dalla presenza di un dipolo di carica dovuto ai droganti ionizzati. La carica totale dovuta ai droganti positivi esposti è pari alla carica dei corrispondenti ioni negativi. L’analisi elettrostatica: legare quantitativamente l’estensione W della zona svuotata e l’intensità del campo elettrico massimo alla caduta di tensione al contatto e ai drogaggi. Giunzione all’equilibrio: caduta di tensione 𝜙𝑖 𝜌(𝑥) = v𝑞𝑁𝐷 − 𝑥𝑛 ≤ 𝑥 < 0 −𝑞𝑁𝐴 0 < 𝑥 ≤ 𝑥𝑝 35 𝑥𝑛 = 𝑊 𝑁𝐴 (𝑁𝐷 + 𝑁𝐴) Metto xp in 𝜙𝑖 e ricavo 𝑊 = Š$7IJ ! - , L& + , LK . così ottenendo il legame esplicito tra dimensione della regione svuotata, caduta di potenziale e drogaggi delle due regioni. Per ricavare l’intensità del campo massimo in funzione della differenza di potenziale al contatto, si deve ricavare la dipendenza di xp dalla differenza di potenziale. 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝑞𝑁𝐴𝑥𝑝 𝜀 = > 2𝑞𝜙𝑖 𝜀 | 𝑁𝐴𝑁𝐷 𝑁𝐴 + 𝑁𝐷} Concludiamo che fissata la estensione della zona svuotata, essa si ripartisce tra la zona n e la zona p in modo da garantire la neutralità => la zona svuotata sarà meno estesa nella regione più drogata. Giunzione unilaterale: Se il rapporto dei drogaggi delle due regioni è ³10 l’estensione della zona svuotata si estende essenzialmente nella regione meno drogata e dipende dal drogaggio di questa => approssimazione unilatera nella stima della estensione della zona svuotata N+p: 𝑊 = > 2𝜀𝜙𝑖 𝑞 | 1 𝑁𝐴 + 1 𝑁𝐷} ≈ > 2𝜀𝜙𝑖 𝑞𝑁𝐴 P+n: 𝑊 = > 2𝜀𝜙𝑖 𝑞 | 1 𝑁𝐴 + 1 𝑁𝐷} ≈ > 2𝜀𝜙𝑖 𝑞𝑁𝐷 𝐹𝑚𝑎𝑥 = >2𝑞𝜙𝑖 𝜀 | 𝑁𝐴𝑁𝐷 𝑁𝐴 + 𝑁𝐷} ≈ >2𝑞𝜙𝑖𝑁𝐴 𝜀 => il campo elettrico massimo è proporzionale alla radice quadrata del drogaggio della parte meno drogata Giunzione p-n polarizzata inversamente: 36 Il diodo planare, realizzato diffondendo degli accettori in una regione circolare su un substrato di tipo n, è polarizzato inversamente e ai capi del contatto la polarizzazione esterna VR si somma alla caduta di equilibrio. 𝑊 = > 2𝜀(𝜙𝑖 + 𝑉𝑅) 𝑞 | 1 𝑁𝐴 + 1 𝑁𝐷} 𝐹𝑚𝑎𝑥 = >2𝑞 𝜀 | 𝑁𝐴𝑁𝐷 𝑁𝐴 + 𝑁𝐷} (𝜙𝑖 + 𝑉𝑅) => l’estensione della zona di svuotamento aumenta, e così il campo massimo All’aumentare dell’intensità del campo elettrico aumenta la probabilità che un portatore acquista energia sufficiente per ionizzare: 𝑞𝐹𝜆 ≥ 𝐸𝑖 Per evitare il breakdown il campo elettrico massimo deve essere minore di un valore limite, detto campo di breakdown: 𝐹𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝐹𝐵 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝐵 = 𝑞𝑁𝐴𝑊 𝜀 𝑉𝐵 + 𝜙𝑖 = 𝐹𝐵𝑊 2 ≈ 𝜀𝐹𝐵$ 2𝑞𝑁𝐴 In approssimazione unilatera si può assumere xp ≈ W ottenendo la stima del campo massimo riportata in prossimità del picco del profilo triangolare => sostituendo questa nella espressione dell’area del triangolo e trascurando la tensione di built in rispetto alla tensione inversa, si ottiene la relazione che permette di stimare la tensione di breakdown di una giunzione unilatera in funzione del drogaggio della regione meno drogata. Tuttavia, il campo elettrico di breakdown non resta costante al variare del drogaggio: 37 All’aumentare del drogaggio, la estensione della zona svuotata diminuisce => il campo massimo necessario per giungere al breakdown aumenta e la tensione di breakdown diminuisce L’andamento del campo di breakdown si spiega tenendo presente che, fissata la tensione di polarizzazione, all’aumentare del drogaggio, diminuisce la estensione della zona svuotata e quindi aumenta la probabilità che i portatori possano “fallire”, uscendo dalla zona svuotata (più stretta) senza aver ionizzato. Pertanto, per giungere al breakdown è necessario aumentare la tensione inversa, per aumentare il campo elettrico e quindi aumentare il numero di portatori che in un cammino libero riescono ad accumulare energia cinetica sufficiente per ionizzare => all’aumentare del drogaggio, aumenta il campo elettrico che deve essere raggiunto per avere breakdown. Polarizzazione diretta: 𝑊 = > 2𝜀(𝜙𝑖 − 𝑉𝐷) 𝑞 | 1 𝑁𝐴 + 1 𝑁𝐷} ≈ > 2𝜀(𝜙𝑖 − 𝑉𝐷) 𝑞𝑁𝑙𝑜𝑤 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 2(𝜙𝑖 − 𝑉𝐷) 𝑊 Ho le stesse relazioni, prendendo però come positiva la tensione diretta VD => la tensione inversa è negativa. All’aumentare della tensione inversa aumenta la estensione della zona svuotata e l’intensità del campo elettrico massimo. Condensatore MOS: Il condensatore MOS prototipo è realizzato interponendo uno strato di SiO2 ideale tra un substrato in silicio uniformemente drogato e un elettrodo di gate metallico => può essere polarizzato agendo sulla differenza di potenziale tra i contatti di gate e di substrato Applicando una tensione fra gate e substrato molto negativa, si porta carica negativa sull’elettrodo di gate => la carica positiva indotta nel substrato p è costituita da lacune che si accumulano all’interfaccia silicio- ossido = regime di accumulo La tensione di banda piatta corrisponde alla tensione da applicare fra gate e substrato per annullare i campi elettrici e le differenze di potenziale nel substrato La tensione tra gate e substrato è quindi pari al potenziale di contatto tra metallo e silicio (legge di Kirchoff): 𝑉𝐹𝐵 = 𝜙𝑚𝑠 40 La caduta di tensione tra interfaccia e corpo del semiconduttore è nulla e (in assenza di cariche fisse) anche la caduta di tensione ai morsetti dell’ossido è nulla. Scrivendo il bilancio delle tensioni lungo la maglia è facile rendersi conto che la tensione di bada piatta dipende dalla differenza di potenziale tra il substrato e il conduttore di gate: 𝑉𝐹𝐵 = 𝜙𝑝 − 𝜙𝐴 − 𝜙𝐵 + 𝜙𝐴 = 𝜙𝑝 − 𝜙𝐵 Elettrostatica sopra-soglia: Se la polarizzazione di gate aumenta al di sopra della tensione di soglia, non si può più trascurare il peso della carica mobile all’interfaccia. 𝑉𝐺 = 𝜙𝑚𝑠 + ∆𝑉𝑠 + ∆𝑉𝑜𝑥 ≈ 𝜙𝑚𝑠 + 𝜓𝑠 + 𝑄′𝑑𝑄′𝑛 𝐶′𝑜𝑥 => la carica di interfaccia aumenta esponenzialmente con ∆Vs In queste condizioni è possibile introdurre un’altra approssimazione => l’’aumento della tensione di gate genera una piccola variazione (trascurabile) della tensione ai capi della zona svuotata e una variazione ben maggiore della carica mobile e quindi del suo contributo alla caduta di tensione ai capo dell’ossido. La caduta di tensione ai capi della zona svuotata può essere considerata pari a quella che si ha in condizioni di soglia => la carica mobile di canale che dà conto, con il suo aumento, della polarizzazione sopra soglia. 𝑉𝐺 = 𝑉𝑇 + 𝑄′𝑛 𝐶′𝑜𝑥 => 𝑄M𝑛 ≈ 𝐶′𝑜𝑥(𝑉𝐺 − 𝑉𝑇) In queste approssimazioni la carica di canale segue un andamento lineare, proporzionale alla tensione di overdrive (VG-VT): 41 𝐹𝑜𝑥 = 𝑄M𝑑 + 𝑄′𝑛 𝜀𝑜𝑥 𝐹𝑠 = 𝑄M𝑑 + 𝑄′𝑛 𝜀 𝐹𝑑 = 𝑄′𝑑 𝜀 => l’unico termine addizionale è quello dovuto alla carica mobile presente nel canale Resistore: Applicando tra drain e source una tensione VDS si determina una corrente che dipende dalla resistenza del canale conduttivo => IDS=VDS/Rch. Questa resistenza dipende dalle cariche presenti nel canale e diminuisce all’aumentare della tensione VGS-VT. Legge di Ohm: 𝑑𝑉𝑐 = 𝐼𝐷𝑆𝑑𝑅 = 𝐼𝐷𝑆 DE !+*∆R = 𝐼𝐷𝑆 DE +PR => La resistenza di questo tratto elementare è proporzionale alla sua lunghezza dx e inversamente proporzionale alla conducibilità e alla sezione 42 𝑑𝑉𝑐 = 𝐼𝐷𝑆 𝑑𝑥 µ𝑄*𝑊 => il prodotto tra la concentrazione di elettroni (n), la carica elementare (q) e lo spessore (∆) del canale conduttivo alla sezione x corrisponde alla densità di carica per unità di area nel canale Ora dobbiamo legare la densità Q al potenziale ai morsetti: Bilancio tra cadute di tensione: 𝑉𝐺𝑆 = 𝜙𝑚𝑠 + 𝜓𝑠 + 𝑉𝑐 + P12(WT?(X)?PM/ YMNE L’unica osservazione da fare è che il fluire della corrente IDS lungo il canale induce una caduta Vc(x) tra la sezione che si sta considerando e l’inizio del canale conduttivo posto a x=0, sul lato di source. A seguito di Vc(x) la carica di tensione ai capi della zona svuotata aumenta, e così avviene anche alla carica dovuta agli accettori ionizzati, Q’d, che è maggiore di quella che si ha in x=0 => al procedere del source al drain, la carica libera di canale diminuisce e la carica fissa dovuta agli accettori ionizzati nella zona svuotata aumenta. 𝑉𝐺𝑆 = 𝜙𝑚𝑠 + 𝜓𝑠 + 𝑉𝑐 + 𝑄MD(𝜓𝑠) 𝐶′𝑜𝑥 + 𝑄MD(𝜓𝑠 + 𝑉𝑐) − 𝑄′* 𝐶′𝑜𝑥 + 𝑄′* 𝐶′𝑜𝑥 𝑉𝐺𝑆 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑇 + 𝑄′* 𝐶′𝑜𝑥 𝑄′* = 𝐶M𝑜𝑥(𝑉𝐺𝑆 − 𝑉𝑐 − 𝑉𝑇 − ∆𝑉𝑇) ≈ 𝐶′𝑜𝑥(𝑉𝐺𝑆 − 𝑉𝑐 − 𝑉𝑇) La densità di carica mobile presente nel canale a distanza x dal source è proporzionale a (VG-VC- VT) a meno di un termine correttivo ∆VT, dovuto proprio all’aumento della dimensione di carica spaziale quando si procede dal source al drain. Nell’approssimazione a «strato di carica», il termine ∆VT si trascura => essendo ∆VT un termine positivo, sovrastima la carica di canale e quindi la corrente che attraversa il dispositivo. Sostituisco la relazione di Q’n in dVc per stimare la corrente che fluisce ai morsetti di un transistore MOSFET in regime Ohmico: 45 Se L’ non è molto diverso da L, la dipendenza del tratto ohmico del canale (L’) dalla tensione VDS può essere approssimata con il suo sviluppo al primo ordine => per VDS=VGS-VT=VDSsat L’=L e per tensioni superiori L’ diminuisce linearmente. Precedendo in questo modo si ottiene una correzione alla corrente di saturazione raggiunta al pinch- off descritta da un termine lineare in VDS. 𝜆 = − 1 𝐿 𝑑𝐿M 𝑑𝑉𝐷𝑆” (KZT=G = 1 𝐿 ” 𝑑𝐿M 𝑑𝑉𝐷𝑆” 𝐼𝐷𝑆 = 𝑘′ 𝑊 𝐿 (𝑉𝐺𝑆 − 𝑉𝑇) $[1 − 𝜆(𝑉𝐷𝑆 − 𝑉𝐷𝑆𝑠𝑎𝑡)] 𝐼𝐷𝑆 = 𝐼𝐷𝑆𝑠𝑎𝑡[1 − 𝜆(𝑉𝐷𝑆 − 𝑉𝐷𝑆𝑠𝑎𝑡)] Transconduttanza: Abbiamo un MOSFET posto in serie ad un carico resistivo e polarizzato in zona di saturazione: La modulazione del potenziale di gate determina una variazione della corrente che attraversa il transistore e quindi una variazione del potenziale di drain => per segnali di piccola ampiezza, la relazione che lega la variazione di corrente alla variazione del potenziale di gate può essere approssimata da un andamento lineare. Il fattore di proporzionalità è pari alla derivata della corrente rispetto alla tensione VGS = transconduttanza gm 𝑔𝑚 = 𝜕𝐼𝐷𝑆𝑠𝑎𝑡 𝜕𝑉𝐺𝑆 = 2𝐼𝐷𝑆𝑠𝑎𝑡 (𝑉𝐺𝑆 − 𝑉𝑇) l fattore di amplificazione è pari al prodotto gmRL. ∆𝑉𝐿 = −𝑔𝑚 ∗ 𝑅𝐿 ∗ ∆𝑉𝐺 Resistenza di uscita r0: Una resistenza può dar conto della variazione lineare della corrente del componente al variare di VDS a VGS costante. 46 Il valore di questa resistenza aumenta all’aumentare della lunghezza del canale => maggiore è la lunghezza del canale conduttivo, minore è l’incidenza percentuale della variazione del tratto ohmico del canale, DL’/L, e quindi minore sarà l’aumento della corrente con VDS. 𝑟0 = 𝑑𝑉𝐷𝑆 𝑑𝐼𝐷𝑆 = 1 𝑑𝐼𝐷𝑆 𝑑𝑉𝐷𝑆 = 1 𝜆𝐼𝐷𝑆𝑠𝑎𝑡 = 1 – 𝑑𝐿′𝑑𝑉𝐷𝑆– 𝐿 𝐼𝐷𝑆𝑠𝑎𝑡 = 𝒶𝐿 𝐼𝐷𝑆𝑠𝑎𝑡 La presenza di una resistenza di uscita finita del transistore pone un limite superiore all’amplificazione di tensione ottenibile da un transistore => se si aumenta il valore del resistore di carico e si pensasse di connettere un transistore con un componente che abbia resistenza infinita, l’amplificazione dello stadio tenderebbe al limite gmr0, essendo r0 la resistenza afferente al nodo di drain in queste condizioni limite. Il parametro gmr0, dipende solo dalle caratteristiche del componente, e definisce il guadagno massimo di tensione ottenibile => i dispositivi a canale lungo possono realizzare amplificazioni maggiori dei componenti a canale corto Tempo di transito e frequenza di taglio: Un altro parametro importante è la massima frequenza di segnale che permette di modulare la corrente erogata da un transistore: frequenza di taglio. Transistore alla variazione del potenziale del suo elettrodo di controllo: Si immagina di pilotare il transistore con un’onda quadra di periodo T => sul fronte crescente dell’onda il source inietta più cariche che si muovono con velocità finita verso il drain, perciò esiste un ritardo tra l’istante in cui aumenta il potenziale del gate e il momento in cui la corrente sul lato di drain registra una variazione significativa => è determinato dal tempo necessario alla cariche per muoversi lungo il canale. 𝑇 2 > 𝑡𝑇 ƒ = 1 𝑇 < 1 2𝑡𝑇 47 => dove tT è il tempo di transito Se il segnale di controllo ha un fronte di discesa prima che le cariche siano giunte al drain, nessun segnale significativo è traferito al circuito a valle => il dispositivo non è in grado amplificare segnali tali per cui T/2 sia minore del tempo di transito. La massima frequenza operativa del componente quindi inversamente proporzionale al tempo di transito: ƒ𝑇 = 1 2𝜋𝑡𝑇 Il tempo di transito può essere stimato come rapporto tra la lunghezza di canale e la velocità di deriva media di deriva delle cariche. 𝑣𝑑™™™™ = µ𝐹 = µ (𝑉𝐺𝑆 − 𝑉𝑇) 𝐿 𝑡𝑇 ≈ 𝐿 𝑣𝑑™™™™ = 𝐿$ µ(𝑉𝐺𝑆 − 𝑉𝑇) → 𝐿 𝑣𝑠𝑎𝑡 In regime di saturazione, la tensione ai capi della parte ohmica del canale è pari a VGS-VT => il campo elettrico medio lungo il canale può essere stimato come rapporto tra questa tensione e la lunghezza fisica del canale (si sta trascurando il tempo di transito nella regione (piccola) tra il punto di pinch-off e il drain (approssimazione L’≈L)) Se questa stima porta ad una velocità media di deriva superiore alla velocità di saturazione, si dovrà adottare il valore della velocità di saturazione lungo tutto il canale. Al diminuire della lunghezza del canale, diminuisce il massimo guadagno del transistore ma aumenta la sua massima frequenza operativa. 𝐼𝐷𝑆 ∝ 𝑛(𝑥)𝑣(𝑥) => per canali corti (< 1um) la corrente satura a causa della saturazione della velocità La corrente IDS ottenuta dalla relazione quadratica è uguagliata alla corrente al terminale di drain ipotizzando che a questa sezione le cariche raggiungano la velocità di saturazione. Dalla eguaglianza si ottiene una equazione di secondo grado, la cui radice accettabile fornisce una stima della tensione VDS_sat: 𝐼𝐷𝑆 = 𝑞𝑛∆𝑊𝑣𝑠𝑎𝑡 𝑞𝑛∆ = 𝐶′𝑜𝑥(𝑉𝐺𝑆 − 𝑉𝑇 − 𝑉𝐷𝑆𝑠𝑎𝑡) 50 Le bande sono intercalate da «gap», ovvero regioni in cui non sono presenti livelli elettronici permessi => un solido isolante è caratterizzato da bande completamente piene di elettroni o completamente vuote: non possono contribuire alla conduzione Infatti, in presenza di un campo elettrico accelerante un portatore può accettare l’accelerazione e aumentare la sua energia cinetica solo se esiste un livello energetico superiore libero, in cui esso può transire. Viceversa, i solidi metallici sono caratterizzati da un banda semi-piena o dalla sovrapposizione di una banda piena e di una banda vuota => ci sono elettroni che possono transire sotto l’azione del campo elettrico accelerante su livelli energetici liberi ad energia leggermente più alta. La loro velocità di deriva determinerà la corrente elettrica. I materiali semiconduttori hanno la struttura a bande dei solidi isolanti, ma il gap che divide l’ultima banda piena (banda di valenza) e la prima banda vuota (banda di conduzione) ha un valore dell’ordine di 1eV => questi valori sono tali che, a temperatura ambiente, una frazione non trascurabile di elettroni della banda di valenza sia promossa per agitazione termica in banda di conduzione, determinando la resistività intrinseca del solido. Un buon isolante ha invece un gap superiore ai 5eV. La natura isolante di alcuni solidi nasce da un effetto che è illustrato schematicamente dalla figura: La figura riporta i livelli energetici del reticolo del carbonio al variare della distanza tra gli atomi (così anche per Si e Ge) dove all’estremo destro sono rappresentati i livelli energetici 2s/2p di N atomi di C disposti in un reticolo con passo superiore a 16° => gli atomi non interagiscono significativamente tra loro e quindi i livelli di tutti gli atomi sono alla stessa energia, pari all’energia del livello nell’atomo isolato. Al diminuire del passo reticolare, gli atomi incominciano a interagire, e i livelli di ogni banda si separano (splitting) generando la banda 2s con N livelli energetici totalmente occupata da 2N elettroni e la banda 2p con 3N livelli energetici con 2N elettroni => al diminuire della distanza le due bande si sovrappongono chiudendo il gap che le separava, per questo il solido è conduttivo avendo una banda con 4N livelli occupata a metà da 4N elettroni. 51 A questo punto il sistema trova una condizione energeticamente più favorevole, combinando gli orbitali s e p in modo da organizzarsi con una struttura tetraedrica: ibridizzazione sp3 => generazione di due bande di 2N livelli ciascuna che, al diminuire della distanza, si separano, portando alla formazione di un nuovo gap. Il sistema diventa quindi più stabile ed evolve spontaneamente per portarsi in corrispondenza del minimo di energia. Nelle condizioni termodinamiche di equilibrio sia il diamante che il germanio ed il silicio sono caratterizzati da un gap energetico tra i 2N livelli completamente occupati ed i 2N livelli completamente liberi. Il diamante ha un gap superiore a 5eV, ed è quindi decisamente isolante, mentre il gap di Si e Ge sono 1.12eV e 0.65eV, quindi sono semiconduttori. La figura riporta schematicamente la bande di valenza e la banda di conduzione (evidenti i livelli elettronici distinti), separate dal gap. Essi sono scanditi da un numero quantico (p) che può assumere valori discreti positivi e negativi. L’energia ad essi associata è una funzione di p: 𝑑𝑝 𝑑𝑡 = 𝑞𝐹 𝐸 = 𝛼𝑝$ = 1 & $% => forma parabolica Anche gli elettroni nella banda, in presenza di un campo elettrico esterno, F, sono accelerati in direzione opposta al campo, e aumentano la loro energia => passano progressivamente a livelli energetici più alti a cui corrisponde una energia maggiore e un numero quantico superiore La curvatura della relazione quadratica tra energia e numero quantico p, suggerisce di attribuire alla particella una «massa», che è determinata dalla spaziatura dei livelli, ovvero da quanto rapidamente cresce la loro energia e, a rigore, non ha relazione con la massa inerziale della particella libera. Anche nella banda di valenza, l’andamento della energia è scandito dal numero quantico p e, in prossimità del bordo superiore, si ha una dipendenza parabolica ma, ora, con curvatura verso il basso. 52 Gli elettroni sotto l’azione del campo tendono a muoversi su stati in “alto” e di conseguenza l’energia dello stato che “manca” di elettrone si muove verso il “basso” => l’energia cresce mano a mano che la lacuna procede verso il basso Si consideri il sistema illustrato in cui un elettrone è stato promosso dalla banda di valenza alla banda di conduzione (superando quindi la barriera energetica determinata dal gap), producendo una lacuna in banda di valenza => le particelle sono accelerate da un campo e acquistano energia: L’elettrone procede in «alto», la lacuna procede «in basso». L’energia totale del sistema è pari all’energia del gap a cui si somma l’energia dell’elettrone rispetto al fondo della banda di conduzione e l’energia della lacuna rispetto al bordo superiore della banda di valenza. Le relazioni di dispersione nei reticoli cristallini sono un po’ più complicate e possono essere approssimate da parabole solo in prossimità del bordo delle bande. Per alcuni semiconduttori (come Si e Ge) il valore di p che corrisponde allo stato più basso della banda di conduzione, non corrisponde al valore di p dello stato più alto della banda di valenza: semiconduttori a gap indiretto. In altri casi, invece, si gli stati agli estremi del gap hanno lo stesso valore di p: semiconduttori a gap diretto. 𝐸 ≈ (1@1:) & $% => m = massa efficace per la densità di stati (descrive curvatura) Il valore di massa è detto massa efficace ai fini della conducibilità, poiché interviene a fissare la mobilità e quindi la conducibilità elettrica => più è piccolo il valore della massa efficace, più è alta la mobilità e quindi le particelle possono raggiungere velocità di deriva alte anche a campi elettrici contenuti. La statica di Fermi: Per il principio di esclusione di Pauli, su ogni stato ci possono essere al più due elettroni => una distribuzione statistica modificata, dove gli elettroni si «impileranno» nel serbatoio, accomodandosi a due a due sui livelli energetici disponibili. A 0K l’ultimo livello energetico occupato dipenderà dal numero totale degli elettroni, rispetto agli stati disponibili => l’energia di questo stato è detta «livello di Fermi». 55 Confrontando la dipendenza esponenziale della concentrazione intrinseca nei semiconduttori e la relazione appena ricavata si può concludere che la pendenza del grafico di Arrhenius è proprio pari alla metà del gap. Giunzione p-n: Nelle due regioni di semiconduttore il livello di Fermi è diverso => nella zona n, il livello di Fermi è più alto, poiché corrisponde alla maggiore concentrazione di elettroni nella banda di conduzione. Quando le due regioni sono poste a contatto gli elettroni si muoveranno dalla zona n alla zona p verso la condizione di energia più bassa e quando si sarà stabilito l’equilibrio il livello di Fermi deve essere costante su tutta la struttura. Andamento delle bande e del livello di Fermi ai capi della giunzione p-n all’equilibrio: => la distanza del livello di Fermi dal bordo della banda di valenza (lato p) e della banda di conduzione (lato n) è pari alla distanza fissata dal relativo drogaggio 56 Attorno alla giunzione le bande, ovvero l’energia potenziale, deve raccordarsi con continuità. La piegatura delle bande indica la presenza di un campo elettrico => la forza è pari alla derivata della energia potenziale. Nella zona di contatto il livello di Fermi è lontano sia dalla banda di valenza che dalla banda di conduzione, indicando che la concentrazione di portatori liberi è bassa => quando il livello di Fermi interseca il centro del gap, la concentrazione di p ed n è pari alla concentrazione intrinseca. Considerare la zona di contatto completamente svuotata di portatori liberi è quindi un’approssimazione accettabile: approssimazione di svuotamento completo. L’altezza della barriera di potenziale che si forma all’equilibrio è pari alla distanza tra i livelli di fermi inziali. In presenza di drogaggio, il livello di Fermi si sposta, muovendosi verso la banda di conduzione nella zona n, o verso la banda di valenza nella zona p => si definisce potenziale di Fermi la distanza tra il livello di Fermi e il livello di Fermi intrinseco, Ei. 𝜙𝐹 = 1 𝑞 (𝐸𝐹 − 𝐸𝑖) Il potenziale di Fermi è positivi per zone n, ed è negativo per zone p. 𝜙𝑝 = − 𝑘𝑇 𝑞 𝑙𝑛 | 𝑁𝐴 𝑛𝑖 } 𝜙𝑛 = 𝑘𝑇 𝑞 𝑙𝑛 | 𝑁𝐷 𝑛𝑖 } All’equilibrio, il livello di Fermi lungo tutta la struttura è costante => l’altezza della barriera d potenziale è pari alla differenza dei potenziali di Fermi: 𝑞𝜙𝑏𝑖 = 𝜙𝑖 = (𝜙𝑛 − 𝜙𝑝) L’applicazione di un potenziale esterno porta la struttura fuori equilibrio => non si ha più un unico livello di Fermi, ma un livello di fermi nella zona p (Efp) e uno nella zona n (Efn) che hanno una distanza dalla banda di valenza e di conduzione fissata dal drogaggio delle relative zone: chiamati «quasi-livelli» di Fermi. La distanza tra i «quasi-livelli» è pari alla polarizzazione applicata => l’ampiezza della barriera di potenziale aumenta per polarizzazione inversa o diminuisce per polarizzazione diretta. 57 Contatto metallo-semiconduttore: I metalli sono caratterizzati dalla presenza di una ultima banda non completamente satura di elettroni, quindi il livello di Fermi è posizionato in banda, detta banda di conduzione. La distanza tra il livello di vuoto e il livello di Fermi è detta «funzione lavoro» del metallo e rappresenta l’energia/lavoro che bisogna fornire all’elettrone al livello di Fermi, per essere portato al livello di vuoto uscendo fuori dal metallo. Fissato il livello di Fermi del semiconduttore si danno due casi: a) il livello di Fermi nel metallo è superiore al livello di Fermi nel semiconduttore (figura a sinistra) b) il livello di Fermi nel metallo è inferiore al livello di Fermi nel semiconduttore (figura a destra) All’atto della formazione del contatto, nel caso (a) gli elettroni passeranno dal metallo al semiconduttore, portando il metallo ad un potenziale positivo, mentre nel caso (b) il trasferimento sarà nella direzione opposta e il potenziale del metallo sarà negativo. Contatto rettificante (Al/Si-p+): Gli elettroni lasciano l’alluminio per portarsi nel Si-p+ dove sono minoritari => gli elettroni si ricombinano con le lacune maggioritarie e generano una zona svuotata, con carica negativa fissa. Allontanandosi dalla zona di contatto, procedendo verso il substrato p+, il livello di Fermi deve avvicinarsi alla banda di valenza del Silicio per dar conto del drogaggio maggioritario p+. L’estensione del gap e l’affinità elettronica resta costante, perché sono proprietà del materiale => le bande seguono e si piegano.