Università degli Studi di Genova
Anno Accademico 2015 – 2016
Book di matematica: Laboratorio di Matematica 2 modulo 2
Prof.ssa De Negri Enamuela
Studentessa: Viale Maria Paola
Matricola 3960190
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Book di laboratorio Matematica 2, Dispense di Didattica Della Matematica
Book con le schede svolte in presenza durante il laboratorio con la prof.ssa De Negri
Tipologia: Dispense
2016/2017
1 / 35
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Anno Accademico 2015 – 2016
Book di matematica: Laboratorio di Matematica 2 modulo 2
Prof.ssa De Negri Enamuela
Studentessa: Viale Maria Paola
Matricola 3960190
dove partire. Pertanto, dal nome della proprietà devo fare delle associazioni da evidenziare con le parentesi, in questo caso tonde. 3) La proprietà dissociativa – non è da considerarsi una proprietà perché rientra nei vari passaggi di calcolo della proprietà associativa. Come ci ha spiegato la professoressa De Negri a lezione essa è una strategia di calcolo ed ha senso, soprattutto, per il calcolo mentale. Pertanto, non era necessario menzionarla come ho fatto sull’esercizio. È importante tenere conto, come avevo scritto sulla scheda 1 che lo 0 è l’elemento neutro dell’addizione. La moltiplicazione – Come nell’addizione, a lezione abbiamo investigato anche le proprietà della moltiplicazione arrivando alla conclusione che le vere proprietà di questa operazione sono due: la proprietà commutativa e la proprietà associativa. 1) La proprietà commutativa : scambiando l’ordine dei fattori il risultato non cambia. a x b = b x a 2) La proprietà associativa : se al posto di alcuni fattori si sostituisce il loro prodotto il risultato non cambia. (a x b) x c = a x (b x c). Anche in questo caso non è corretta la scrittura (A x B) x C = A x B x C. In effetti, la mia difficoltà a ricordare la proprietà dissociativa è derivata dal fatto che questa non sia una vera proprietà ma una strategia di calcolo e che dopo due passaggi è una ripetizione dell’associativa. Abbiamo comunque confermato che l’elemento neutro della moltiplicazione è l’1. Nella scheda svolta in presenza, avevo scritto anche la proprietà dissociativa, ma sono evidenti i dubbi contrassegnati dalle cancellature con il “bianchetto”. In effetti, dopo la spiegazione fornita dalla professoressa De Negri, ho capito che non era da considerare come tale, ma come una semplice strategia di calcolo..
Grazie alla correzione di questa scheda, mi sono resa conto quanto sia poco riflessiva nell’affrontare le consegne richieste. Fortunatamente, nel momento in cui devo riprendere il lavoro per correggere, cerco di approfondire perché mi sono promessa che per me questo corso universitario non deve essere finalizzato al titolo conclusivo, ma a un percorso di formazione a tuttotondo. Pertanto, è necessario che io riveda anche gli altri contenuti matematici come la:
La sottrazione - A lezione, la prof.ssa De Negri, essendo una ricercatrice specializzata in Algebra, ha sostenuto la teoria “algebrica” che afferma: “La sottrazione è aggiungere un numero negativo ad uno inverso/opposto” , cioè +10+ (-2)= + 10 – 2 = + 8. Inoltre, nella risoluzione ritroviamo l’associatività dei numeri negativi. Questo è un modo per definire la sottrazione. In effetti, dopo la spiegazione, ho capito che la complessità di questa particolare operazione deriva proprio da questo delicato passaggio che subisce dalla dimensione algebrica. Infatti, per comprendere meglio questo passaggio è necessario servirsi della commutatività e dell’associatività come ad esempio 8 + 2 – 5 = 10 – 5 = 5 2 – 5 + 8 = -3 + 8 = 5 (si sono applicate le proprietà commutativa ed associativa). Tra le “proprietà” della sottrazione che abbiamo studiato tutti nella scuola dell’obbligo, troviamo: 1) La proprietà invariantiva - è una strategia che facilita il calcolo della differenza tra due numeri. La sua definizione più attinente è: ”La differenza tra due numeri non cambia se ad entrambi si addiziona o si sottrae lo stesso numero”. a – b = (a + b) – (b + c) oppure a – b = (a – c) – (b – c) Non deriva dalle altre proprietà perché come è stato sostenuto a lezione è solo una strategia di calcolo. In effetti, questa caratteristica mi ha fatto ragionare e riflettere sulle mie modalità di calcolare mentalmente. Infatti, questa strategia è molto utile nel momento in cui dobbiamo trasformare il sottraendo in un numero che finisce con la cifra 0. 2) La proprietà distributiva o di distributività – Espressa nella formula: A x (B + C). A lezione è emerso che viene ampliamente usata anche in modo inconsapevole. Inoltre, abbiamo valutato anche il fatto che coinvolga più operazioni. Pertanto, e trasformiamo in numero la formula sopracitata avremo: (3 x 5)= (1 + 1 + 1) x 5= 1x5 + 1x5 + 1x5 =15.
3) La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma o alla differenza – Per moltiplicare un numero per una somma o per una differenza, si può moltiplicare il numero per ciascun termine della somma (o differenza) e successivamente addizionare (o sottrarre) i prodotti ottenuti. Ad esempio: 15 x (2+3)= (15 x 2) + (15 x 3)= 30 + 45 = 75 (rispetto alla somma) 7 x (5 – 3)= (7 x 5) – (7 x 3) = 35 – 21= 14 ( rispetto alla differenza) La professoressa ci ha suggerito di pensare alla distribuzione perché non facciamo altro che distribuire quello che sta fuori la parentesi mettendolo al suo interno. Infatti, il nome della proprietà deriva da questa caratteristica. La divisione – è senza dubbio un’operazione molto delicata e, nel mio passato scolastico, ho sempre riscontrato molte difficoltà per ricordare tutti i suoi passaggi risolutivi. Tra le sue proprietà abbiamo rivisto: 1) la proprietà invariantiva che con la sua definizione afferma: “ il quoziente fra due numeri non cambia se entrambi si dividono o si moltiplicano per uno stesso numero, diverso da zero”. a : b = (a x c) : (b x c) oppure a : b = (a : c) : (b : c) 2) Proprietà distributiva : “Scomponendo il dividendo si può dividere ciascun termine della somma (o della differenza) per il divisore e poi sommare (o sottrarre) i quozienti ottenuti”. (a + b) : c = (a : c) + (b : c).
Per il terzo quesito veniva chiesto di scegliere un contesto reale significativo scrivendo di conseguenza un testo di un problema per aiutare gli alunni a costruire il significato della proprietà. Ho provato molte difficoltà nel dover inventare dei problemi pensando alle proprietà dell’addizione. Infatti, mi sono resa contro che mentre scrivevo il testo stavo complicando il linguaggio e di conseguenza anche la comprensione, rendendo così il testo del problema un testo difficile e articolato, sbagliando di conseguenza anche la consegna fornita dalla professoressa. Ho capito dall’errore che dovevo attenermi a dei consigli semplici, ma adatti alla formulazione di un problema che rispecchi la proprietà commutativa:
Un testo breve e preciso L’astenersi da usare la parola in tutto che in questo caso non doveva essere contemplata.
Mentre il secondo problema che avevo scritto per interpretare l’associatività era corretto. Tra i problemi errati, visionati in classe, c’era appunto il mio. Vi fu la discussione tra le studentesse ed era emerso che mancava la caratteristica della commutatività. Tra gli esempi riprodotti abbiamo preso in considerazione questi:
A. Proprietà commutativa dell’addizione
Lorenzo a colazione mangia 5 biscotti, dopo pranzo ne mangia 3 e dopo cena 2. Quanti biscotti ha mangiato in tutto oggi? Quanti sarebbero stati se ne avesse mangiati 2 a colazione, 5 dopo pranzo e 3 dopo cena?
5 + 3 + 2 = 10
2 + 5 + 3 = 10
B. Proprietà associativa dell’addizione
Matilde ha 2 matite rosse e 3 matite verdi nell’astuccio, poi ne ha anche 2 rosa sul banco. Quante matite ha nell’astuccio? Quante matite ha in tutto?
2 + 3 = 5
2 + 3 + 2 = (2 + 3) + 2 = 7
(Y+2) x3-2Y -
3Y+6- 2Y -
Y+
Nel testo occorre esplicitare bene la questione della ricerca del risultato: per trovare l’incognita si applica l’operazione inversa (in questo caso si sottrae 1 perché il risultato della semplificazione è l’incognita +1). Questo è riscontrabile attraverso l’equazione, se ad esempio si sceglie come incognita 2, si ottiene (2+2)x3- (2x2)-5 = 12-4-5 = 3 Ponendo il risultato uguale all’espressione finale del problema si ottiene Y+1 = 3 Y = 3- Y = 2 Trattandosi di calcoli semplici però si può evitare l’equazione e ragionare soltanto sulle operazioni inverse. Senza dubbio, questa espressione potrebbe essere indicata per una classe finale della scuola primaria. Una valenza molto importante di questi giochi, come abbiamo visto a lezione, è l’importanza dell’esplicitare le operazioni inverse che occorre eseguire per trovare il numero pensato.
Nella seconda parte, dedicata al ruolo docente, veniva richiesto di esprimere quali contenuti matematici venivano messi in atto nel momento in cui il gioco inventato da me fosse stato affrontato da un alunno. Nel compito, infatti ho argomentato in maniera corposa sottolineando il fatto che questo tipo di esercizi siano di grande utilità per allenarsi al calcolo mentale, usando di conseguenza le strategie di calcolo più congeniali agli alunni stessi. Ribadisco che quei due esempi, inventati da me, erano rivolti alla classe prima, ma forse in questo contesto avrei dovuto creare situazioni aritmetiche più complesse. Trovo comunque che per affinare questa capacità di invenzione matematica dovrei prendere maggiormente la mano e, leggendo gli esempi sul ppt, potrei accingere da quelli visionati in classe per crearne dei più complessi.
Correzione scheda n. 4
Nello svolgere la scheda n.4 ho letto attentamente la situazione problematica, tratta da una delle opere classiche più conosciute dai bambini: l’Odissea. Inoltre, evidenzio l’originalità del problema centrando l’argomentazione sull’allontanamento di Ulisse dalla propria Itaca per affrontare un lunghissimo viaggio, durato vent’anni, per volere degli dei. Da quel punto saliente, infatti, i professori di matematica, hanno saputo “tessere” un’interessante quesito matematico: quanto tempo ci metterà Penelope a finire la coperta matrimoniale usando la strategia di disfarne una parte per allungare i tempi della scelta dello sposo. Inoltre, parlando didatticamente, l’esecuzione di questa scheda offre la possibilità di lavorare su due contenuti del laboratorio:
Svolgere attività che lavorino sulle operazioni con un approccio relazionale fra esse; Riflettere sull’importanza dell’invenzione di testi validi durante la creazione dei problemi matematici. [(Yx5+6)x4+9]x5 [20Y+24+9]x5 100Y+120+45 100Y+
In classe la professoressa De Negri, ci ha spiegato che Il problema di Penelope viene attuato in numerose scuole ed ha la particolarità di essere un’attività matematica che parte però da un testo narrativo ben conosciuto e avvincente come appunto il tema dell’Odissea. A lezione si è sottolineata la modifica che è stata apportata al brano finalizzata a facilitare la comprensione dello scorrere del tempo, infatti se nella storia conosciuta Penelope tesse di giorno e disfa di notte, in questo testo si è deciso di alternare giorni di costruzione a giorni in cui la tela viene disfatta, appunto per evitare possibili incomprensioni.
Nell’eseguire questa attività mi sono soffermata più volte a pensare sull’espressione: “.. di giorno tesseva una spanna di coperta, mentre il giorno dopo, di nascosto, ne disfaceva la metà ”. Qui mi sono sorte delle immagini nella mente, quasi come uno schema ripetitivo di numeri interi e frazionari, che rivedevo la povera donna intenta a fare e a disfare il suo lavoro. Allora, concentrandomi ho cercato di scrivere sul foglio, sotto forma di linguaggio matematico, quello che mi veniva dettato dal ragionamento. Infatti, nel ruolo studente, la scheda invitava di rispondere al quesito in modo comprensibile e completo. La prima cosa che ho fatto è stata quindi, come ho già scritto precedentemente, quella di tradurre in espressione aritmetica il procedere di Penelope. Tra i dati ho letto questo: “la coperta doveva essere lunga 15 spanne e ci sarebbero voluti 50 giorni per il rientro di Ulisse a Itaca”. Pertanto:
Di conseguenza, ho considerato solo i giorni effettivi di lavoro, cioè in 25 giorni Penelope tesse ben 0, spanna di coperta. Quindi dopo ho valutato che in tale periodo Penelope non sarebbe riuscita a tessere 15 spanne, ma soltanto a 12,5 perché:
0,5 x 25= 12,5 spanne e ci sarebbero dovuti ancora altri giorni per terminare la coperta matrimoniale e Da questa deduzione la risposta al quesito risulta essere negativa: Penelope non si sarebbe potuta sposare con il capo dei proci perché non finiva per tempo la coperta matrimoniale.
(1 – ½) +(1 – ½) +(1 – ½) +(1 – ½) +(1 – ½) +(1 – ½)
+(1½) +(1 – ½) +(1 – ½) +(1 – ½) +(1 – ½) +(1 – ½) +(1-
½) +(1 – ½) +(1 – ½)+(1 – ½) +(1 – ½) +(1 – ½) +(1 – ½)
+(1– ½) +(1 – ½) +(1 – ½) +(1 – ½) +(1 – ½) +(1 – ½) =
Nella correzione fatta in classe ho trovato molto interessante le proposte risolutive delle mie compagne che alcune coincidevano con quelle esposte sul ppt visionato con l’insegnante. Infatti, alcune di esse mi sono davvero piaciute perché rivestono l’aspetto pratico di come una persona d’innanzi ad una situazione problematica, si adoperi per arrivare ad una soluzione a lui congeniale. L’altro aspetto, altrettanto importante, è stato la varietà delle strategie risolutive messe in atto non solo da noi studentesse adulte, ma dalla capacità interpretative dei gruppi di bambini della classe quinta a cui è stata somministrata questa situazione narrativa. Infatti, le soluzioni al problema sono state molto diverse e fantasiose, ma quattro sono risultate davvero ben strutturate:
I blocchi di 2 o di 4 giorni - in questa prima strategia si calcolava quanti giorni impiegasse Penelope a filare la tela moltiplicando il numero di giorni necessari per tessere una spanna, per 15 (spanne totali), così da poter vedere quanti giorni sarebbero necessari a completarla. Se il numero è maggiore di 50 Penelope non finirà la coperta in tempo e non sarà costretta a scegliere un nuovo marito. Questa strategia consiste fondamentalmente nell’individuare il ritmo di tessitura procedendo a gruppi di 2 o 4 giorni, facendo leva sulla relazione di proporzionalità tra giorni e spanne. È utile considerare anche il fatto che questa strategia è stata rappresentata in molti modi differenti: con pallini, semplici tabelle, linee dei giorni La linea dei 50 giorni – nella seconda strategia, attraverso una divisione per contenenza (50:4), si trova il numero di gruppi di 4 gg presenti in 50, di conseguenza il numero di spanne di tela che Penelope fa (dato che ogni 4 giorni fila una spanna). I giorni con segno di cancellazione – nella terza strategia i giorni venivano segnati con segno di cancellazione. Strategia grafica, ma non veloce, che presuppone di raffigurare i giorni a gruppi di due. Dato che in due giorni Penelope tesse una spanna (due quadratini) e ne disfa metà (un quadratino), i bambini raffigurano ogni coppia di giorni cancellando metà rettangolo, per poi contare i quadrati non cancellati al cinquantesimo giorno. Il ‘dimezzare’ – Nella quarta strategia veniva a vedere Penelope nella situazione che avrebbe avuto a disposizione 50 giorni ma solo la metà di questi lei tesseva- Quindi, i bambini hanno dimezzato sia il numero dei giorni che la spanna.
Per quanto riguarda invece il ruolo insegnante penso di aver abbondato con le argomentazioni matematiche presenti in questa bellissima attività di gruppo. Inoltre, a livello adulto si nota come il problema possa essere affrontato con diverse operazioni (moltiplicazione nel primo caso, divisione nel secondo e nel quarto, addizione – o moltiplicazione come addizione ripetuta- nel terzo).
Correzione scheda n. 5
Nello svolgere la scheda n.5 chiedeva nella consegna di prendere un numero a caso con tre cifre, con il criterio che la prima cifra di sinistra sia maggiore della terza e il sottraendo composto da un numero che abbia l’ordine inverso delle cifre del minuendo. Come ho letto la consegna ho pensato nuovamente a qualche gioco di strategia e, leggendo sotto, ho trovato interessante l’espressione: “riesci a trovare un numero di partenza che NON dia come risultato 1089, perché? ” Da subito, ho trovato questo gioco molto divertente tanto che, come sono rientrata dal laboratorio di matematica, sono andata a fare degli approfondimenti personali. Facendo ricerche sul web mi sono imbattuta in un documento molto dettagliato e preciso su come e quando questo gioco fu proposto in maniera pubblica (tratto da libro Y-spy del 1956, un libro per ragazzi ricco di stimolanti attività per i più piccoli). La necessità di avere sempre lo stesso risultato è data dal bisogno che i numeri siano composti da tre cifre e quindi, laddove manca una cifra la si deve sostituire con zero (anche se non ha valore posizionale “strettamente” significativo. Pertanto il “caso del numero 231”, in cui ho sbagliato a interpretare la regola degli addendi, può così essere risolto: considerare quale numero inverso del 99 (9 unità, 9 decine e 0 centinaia) il numero 990 (9 centinaia, 9 decine e 0 unità). In questo modo, il trucco funziona e non come ho fatto sulla scheda che nel secondo addendo non ho usato la commutatività per invertire l’ordine delle cifre. Pertanto, il procedimento corretto sarebbe stato:
O99+
990 = Nell’esercizio svolto in laboratorio non avevo invertito le cifre del secondo addendo.
1089 È evidente che a causa di una mal interpretazione della regola del gioco ho sbagliato il risultato finale. Un eccezione al trucco appena descritto è che il numero pensato abbia la cifra delle centinaia uguale a quella delle unità. Pertanto:
101- Scrivendo le cifre del numero uguali sia nella prima cifra a sinistra che nella terza troviamo un 101= risultato diverso.
000 + 000
000 In classe la professoressa De Negri ha affrontato la risoluzione in modo algebrico adottando questa formula: a b c – a > c a > c + 1 c b c=
b-