Calcolo Differenziale, Appunti di Analisi Matematica II

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ANALISI 2

Calcolo Differenziale

Ultima modifica: 1 marzo 2026

Indice

• 1 Funzioni di pi`u variabili
  • 1.1 Definizioni e grafici
    • 1.1.1 Grafico di funzione e sezioni (trasversali e orizzontali)
    • 1.1.2 Curve
    • 1.1.3 Accenno al teorema degli zeri per funzioni a pi`u variabili
  • 1.2 Limiti e continuit`a
    • 1.2.1 I limiti in piu variabili e le loro proprieta
    • 1.2.2 Continuit`a
    • 1.2.3 Coordinate Polari
    • 1.2.4 Il teorema del confronto per dimostrare l’esistenza di un limite
• 2 Calcolo Differenziale
  • 2.1 Derivata
    • 2.1.1 Derivata parziale
    • 2.1.2 Gradiente
    • 2.1.3 Derivata direzionale
  • 2.2 Differenziabilit`a
    • 2.2.1 Il concetto di funzione differenziabile e l’esistenza del piano tangente
    • 2.2.2 Continuit`a di una funzione differenziabile e il teorema del differenziale totale
    • 2.2.3 La regola della catena
  • 2.3 Derivate successive
    • 2.3.1 Matrice Hessiana e il teorema di Schwarz
  • 2.4 La formula di Taylor in funzioni multivariate
    • 2.4.1 La formula di Taylor secondo il resto di Lagrange e di Peano
  • 2.5 Studio di massimi e minimi per le funzioni a pi`u variabili
  • 2.6 Ottimizzazione libera
    • 2.6.1 Test dell’hessiana
    • 2.6.2 Forme Quadratiche
    • 2.6.3 Caso dubbio: il test dell’hessiana non funziona
  • 2.7 Ottimizzazione vincolata
    • 2.7.1 Parametrizzazione
    • 2.7.2 Moltiplicatori di Lagrange
    • 2.7.3 Esempio di ottimizzazione vincolata con Sostituzione e Lagrange.
  • 2.8 Integrazione
    • 2.8.1 Integrale doppio e concetto di continuit`a
    • 2.8.2 Calcolo Integrale sui rettangoli
    • 2.8.3 Integrali doppi su domini generali e la misurabilit`a secondo Peano-Jordan
    • 2.8.4 Propriet`a degl integrali doppi
    • 2.8.5 Calcolo Integrale su domini semplici
    • 2.8.6 Domini simmetrici e la jacobiana

a

b

sopragrafico

grafico

sottografico x

y

Rappresentazione del grafico y = f (x) ∈ [a, b], diviso in sottografico e sopragrafico.

Per visualizzare o rappresentare il grafico di una funzione f : D ⊆ R^2 → R ”seziono” il grafico formando le tracce che intersecano il grafico graff ⊂ R^3 con piani nello spazio tridimensionale. Affettando in R^3 il grafico diminuisco la dimensione del mio problema da R^3 a R^2 tracciando delle sezioni del grafico.

Definizione 1.1.3 (Sezione di un grafico). Considerato il grafico di f definita in R^2 con le terne (x, y, z), le sezioni piani con x = k o y = k o z = k dove k ∈ R.

Le due tipologie pi`u importanti di sezioni sono:

ˆ Sezioni trasversali ottenute con piani paralleli ai piani coordinati (xz o yz);

ˆ Sezioni orizzontali ottentute con piani paralleli al piano xy (con piano di equazione z = k).

Le intersezioni con il grafico generalmente producono una curva nello spazio.

Definizione 1.1.4 (Insiemi o curve di livello). Gli insiemi di livello, o anche curve di livello, di una funzione f : D ⊆ R^2 → R sono sottoinsiemi del dominio D su cui la funzione z = f (x, y) assume un valore costante z = k.

Formalmente,

Ck = {(x, y) ∈ D : f (x, y) = k}

Le curve di livello non si intersecano mai (eccetto in punti singolari), perch´e la funzione non pu`o assumere due valori diversi nello stesso punto.

1.1.2 Curve

Definizione 1.1.5 (Curva). Una curva in Rn^ `e un’applicazione continua definita su un inter- vallo I = [a, b] ⊆ R γ : I ⊆ R → Rn

Essa e composta da γi componenti definite su I ⊆ R e continue con i = 1...n. Il sostegno o immagine di una curvae l’insieme dei punti geometrici toccati dalla curva nello spazio Rn Sostegno = {x ∈ Rn^ : ∃t ∈ I, x = γ(t)}

Definizione 1.1.6 (Curva Regolare). Sia una curva γ : I ⊆ R → Rn^ si dice regolare se γ ∈ C^1 (I), ossia le sue componenti sono derivabili e continue su I e la derivata γ′(t) ̸= 0.

Una curva regolare non presenta spigoli o cuspidi e in ogni punto `e ben definita la retta tangente; infatti con γ′(t) = 0 la particella si ferma e riparte probabilmente da un’altra direzione creando spigoli.

Definizione 1.1.7 (Curva Cartesiana). Una curva cartesiana e una curva che puo essere rappresentata come grafico di una funzione f : I ⊆ R → R, ossia γ(t) = (t, f (t)).

E’ il modo di trasformare il grafico di una funzione ordinaria f in una curva parametrica. Percorriamo il grafico come un cammino usando lo stesso x come parametro. La prima componente scorre sull’asse x e la seconda componente segue il valore della funzione. La curva cartesiana e un caso particolare di curva regolare, infatti se fe derivabile e f ′(t) ̸= 0 allora γ′(t) = (1, f ′(t)) ̸= 0.

Definizione 1.1.8 (Curva Chiusa). Sia una curva γ : I ⊆ R → Rn, si dice chiusa se il punto iniziale coincide con quello finale γ(a) = γ(b).

1.1.3 Accenno al teorema degli zeri per funzioni a pi`u variabili

Teorema 1.1.1 (Teorema degli zeri per funzioni a piu variabili). Sia f : A ⊆ R^2 → R continua su A e supponiamo che esistano due punti P 1 = (x 1 , y 1 ) e P 2 = (x 2 , y 2 ) che appartengono ad un insieme connesso Ai ⊆ A tali che f (P 1 ) · f (P 2 ) < 0 , cioe f (P 1 ) e f (P 2 ) hanno segno opposto. Allora esiste almeno un punto P 0 = (x 0 , y 0 ) ∈ Ai tale che f (P 0 ) = 0.

Informalmente, se il grafico di f passa da valori positivi a negativi (o viceversa), deve per forza ”attraversare lo zero”, ossia intersecare il piano z = 0.

Posso rendere f (x) grande quanto voglio semplicemente prendendo x abbastanza vicino a x 0. In poche parole, piu ti avvicini a x 0 piu il valore della funzione va verso ∞. Le propriet`a fondamentali del limite:

ˆ Unicita Se esiste,e unico. Informalmente, se due limiti della stessa funzione esistono finiti e danno lo stesso risultato vuol dire che il limite `e necesariamente unico. Se lim x 1 →x 0 f (x 1 ) = l 1 e lim x 2 →x 0 f (x 2 ) = l 2 , con l 1 = l 2

allora il limite esiste ed `e unico.

ˆ Composizione Il limite di somma o prodotti di funzioni sono uguali alla somma e prodotti dei limiti; vale anche per il quoziente, il limite del rapporto `e il rapporto dei limiti, con la condizione che siano ben definiti i limiti (con il denominatore diverso da 0)

Esistenza di un limite

Per esistere un limite deve essere indipendente dalla direzione di avvicinamento di (x, y) al punto di accumulazione =⇒ un limite non deve dipendere dal cammino o dalla direzione scelti con il quale (x, y) si avvvicina il punto di accumulazione. Se, scelti due cammini per raggiungere lo stesso punto di accumulazione, il valore dei limiti risulta diverso allora il limite per f (x, y) non esiste.

Definizione 1.2.4 (Limite ristretto ad un sottoinsieme). Sia f : A ⊂ R^2 → R e sia (x 0 , y 0 ) punto di accumulazione per A. Se

lim (x,y)→(x 0 ,y 0 )

f (x, y) = l

allora per ogni sottoinsieme C ⊆ A tale che (x 0 , y 0 ) sia punto di accumulazione anche per C, vale lim (x,y)→(x 0 ,y 0 ) (x,y)∈C

f (x, y) = l

Il limite di f per (x, y) → (x 0 , y 0 ) `e uguale al limite di f per (x, y) → (x 0 , y 0 ) con (x, y) appartenente a qualsiasi sottoinsieme C di A che abbia (x 0 , y 0 ) come punto di accumulazione.

Sia f : A ⊂ R^2 → R e sia (x 0 , y 0 ) punto di accumulazione per A. Se esistono due sottoinsiemi C 1 , C 2 ⊆ A tali che:

ˆ (x 0 , y 0 ) `e punto di accumulazione per entrambi;

ˆ esistono i limiti ristretti lim (x,y)→(x 0 ,y 0 ) (x,y)∈C 1

f (x, y) = l 1

lim (x,y)→(x 0 ,y 0 ) (x,y)∈C 2

f (x, y) = l 2

ˆ con l 1 ̸= l 2 ,

allora lim (x,y)→(x 0 ,y 0 )

f (x, y) non esiste

Se il limite totale esistesse ed fosse uguale a l, allora per ogni sottoinsieme C ⊆ A tale che (x 0 , y 0 ) sia punto di accumulazione per C, dovrebbe valere

lim (x,y)→(x 0 ,y 0 ) (x,y)∈C

f (x, y) = l

Questo contraddice l’ipotesi l 1 ̸= l 2. Il risultato segue dall’unicita del limite. Come condizione necessaria ma non sufficiente per l’esistenza del limite, si puo verificare che i limiti lungo diverse curve (ad esempio rette y = mx,oppure curve come y = x^2 ) che tendono a (x 0 , y 0 ) diano lo stesso valore. Se lungo due curve si ottengono due valori limite diversi, il limite della funzione non esiste.

1.2.2 Continuit`a

Definizione 1.2.5 (Continuit`a in un punto). Sia f : A ⊂ R^2 → R. La funzione f si dice continua nel punto P 0 = (x 0 , y 0 ) ∈ A se

lim (x,y)→(x 0 ,y 0 )

f (x, y) = f (x 0 , y 0 )

Definizione 1.2.6 (Continuita su un dominio). La funzione f si dice continua in A see continua in ogni punto P 0 ∈ A.

Definizione 1.2.7 (ϵ − δ per la continuita). La funzione fe continua in P 0 = (x 0 , y 0 ) se

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tale che

∥(x, y) − (x 0 , y 0 )∥ < δ ⇒ |f (x, y) − f (x 0 , y 0 )| < ε.

DIMOSTRAZIONE Sia P 0 = (x 0 , y 0 ). Osserviamo che |f (x, y) − f (x 0 , y 0 )| = |x − x 0 |.

Poich´e vale la disuguaglianza

|x − x 0 | ≤

p (x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 = ∥(x, y) − (x 0 , y 0 )∥,

se scegliamo δ = ε, otteniamo:

∥(x, y) − (x 0 , y 0 )∥ < δ ⇒ |x − x 0 | < ε.

Quindi f e continua in P 0. Poich´e P 0e arbitrario, f `e continua in tutto R^2. □

Alcuni esempi:

ˆ f (x, y) = sin(x^2 + y^2 ) — continua su R^2 ˆ f (x, y) = exy^ — continua su R^2 ˆ f (x, y) = ln(x^2 + y^2 + 1) — continua su R^2 (argomento sempre positivo)

ˆ f (x, y) = x (^2) −y 2 x^2 +y^2 +1 — continua su^ R

2

ˆ f (x, y, z) =

p x^2 + y^2 + z^2 — continua su R^3 ˆ f (x, y) = arctan

(^) y x

— continua dove x ̸= 0 ˆ f (x, y) = xy^ con x > 0 — continua su {(x, y) : x > 0 }

1.2.3 Coordinate Polari

Definizione 1.2.8 (Coordinate polari). Un modo alternativo alle coordinate cartesiane per de- scrivere posizioni sul piano sono le coordinate polari, un sistema bidimensionale che identifica un punto P attraverso due parametri: la distanza ρ =

p (x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 da un punto fisso O (detto polo), e l’angolo θ formato da una semiretta fissa uscente da O (detta asse polare) e il segmento che unisce O a P , misurato in senso antiorario.

Sappiamo bene il concetto di distanza (ρ), mentre dobbiamo spiegare bene il concetto di angolo (θ). Geometricamente l’angolo θ e strettamente legato alla coefficente angolare (o pendenza) del- la retta che passa per il punto P , ossia quanto ci alziamo verticalmente rispetto a quanto ci spostiamo orizzontalmente. Dalla trigonometria sappiamo che il coefficente angolare della rettae tan θ = (^) cossin^ θθ , che va a coincedere esattamente con la definizione di coefficente angolare dell’angolo θ delle coordinate polari:

tan θ =

ρ sin θ ρ cos θ

yρ xρ

Quindi se conosciamo le coordinate polari (xρ, yρ) possiamo trovare l’angolo θ invertendo la tangente e, sempre dalla trigonometria, sappiamo che tan−^1 = arctan:

θ = arctan

yρ xρ

Per studiare il limite di una funzione f (x, y) quando (x, y) → (x 0 , y 0 ), si effettua una trasforma- zione in coordinate polari centrata nel punto limite. Questo metodo `e particolarmente efficace per funzioni radiali (che dipendono dalla distanza dal punto). Procedimento:

1. Si pone il centro del sistema polare in (x 0 , y 0 ), il punto di accumulazione verso cui si tende, trasformando le coordinate cartesiane (x, y) seguendo il sistema ( x = x 0 + ρ cos(θ) y = y 0 + ρ sin(θ)
2. Si studia il comportamento della nuova f (ρ, θ) per ρ → 0 +, perch´e essendo una radice quadrata di una somma di quadrati, ρ non pu`o mai essere negativa, quindi si avvicina al centro resitingendosi verso (x 0 , y 0 );
3. Si verifica che il limite sia uniforme rispetto a θ, ossia il valore non dipenda dalla direzione da cui ci si avvicina a (x 0 , y 0 ).

Il valore del limite non deve dipendere dalla direzione da cui ci si avvicina.

Definizione 1.2.9 (ϵ − δ).

∀ϵ > 0 ∃δϵ > 0 tale che ∀ρ con 0 < ρ < δ e ∀θ ∈ [0, 2 π] si ha |f (x 0 + ρ cos(θ), y 0 + ρ sin(θ))| < ϵ

θ rappresenta tutte le possibili direzioni da cui ci si avvicina, se il limite dipende da θ significa che per cammini diversi otteniamo valori diversi e per l’esistenza del limite i valori devono essere gli stessi qualsiasi sia la direzione di avvicnamento. Quindi, se il limite per f (ρ, θ) = g(θ) per ρ → 0 +^ vuol dire che g(θ) assume valori diversi al variare di θ, violando l’uniformit`a rispetto a θ e affermando che il limite non esiste.

1.2.4 Il teorema del confronto per dimostrare l’esistenza di un limite

Definizione 1.2.10 (Il teorema del confronto (o dei due carabinieri)). Siano f (x, y), g(x, y), h(x, y) tre funzioni con un intorno di P 0 = (x 0 , y 0 ). Sia

f (x, y) ≤ g(x, y) ≤ h(x, y)

Se il limite di f (x, y) e h(x, y) tende l quando (x, y) → (x 0 , y 0 ) allora il limite di g(x, y) tende l quando (x, y) → (x 0 , y 0 ).

Questo perch´e la funzione centrale g(x, y) e ”intrappolata” tra la due, quindi il valore del suo limite dovra per forza tendere a l. Quindi, l’esistenza del limite e garantita see possibile individuare una funzione maggiorante g(ρ) tale che: |f (x 0 + ρ cos θ, y 0 + ρ sin θ) − ℓ| ≤ g(ρ)

Affinch´e tale condizione sia valida, la funzione g(ρ) deve possedere tre caratteristiche fondamen- tali:

ˆ Indipendenza da θ (Funzione Radiale): g deve dipendere esclusivamente dalla di- stanza ρ. Questo garantisce che il valore del limite non dipenda dalla direzione scelta per avvicinarsi al punto (x 0 , y 0 ), assicurando l’uniformita della convergenza rispetto a θ; ˆ Non negativita: Deve risultare g(ρ) ≥ 0, in quanto deve maggiorare un valore assoluto (che rappresenta una distanza geometrica tra il valore della funzione e il suo limite);

ˆ Natura infinitesima: Deve essere verificato che limρ→ 0 + g(ρ) = 0.

La necessita di una funzione g(ρ) non negativa e infinitesima risiede nell’applicazione del teorema del confronto. Sapendo che il valore assoluto di una differenzae per definizione non negativo, possiamo impo- stare la seguente catena di disuguaglianze:

0 ≤ |f (x 0 + ρ cos θ, y 0 + ρ sin θ) − ℓ| ≤ g(ρ)

Se la funzione maggiorante g(ρ) tende a zero per ρ → 0 +, allora anche il termine centrale `e costretto a tendere a zero. Formalmente:

Calcolo Differenziale

2.1 Derivata

2.1.1 Derivata parziale

Se f : I ⊆ R → R si ha che la derivata f ′(x) o dfd^ (xx )rappresenta il tasso di variazione di f in un punto. Matematicamente f ′(x) `e definito come, se esiste finito, il limite

lim h→ 0

f (x + h) − f (x) h , ∀x ∈ R

Quindi, f ′(x) `e il coefficente angolare della retta tangente al grafico di f (x) nel punto P = (x, f (x)).

Definizione 2.1.1 (Derivata parziale rispetto ad una variabile). La derivata parziale di una funzione f : Rn^ → R rispetto ad una variabile k `e la derivata ordinaria di f considerata come funzione delle sola variabile k, mantenendo ”fisse” le altre variabili.

Il termine ”parziale” indica che si sta considerando solo una parte del dominio, ovvero la varia- zione della funzione rispetto a una singola variabile, ”congelando” tutte le altre. E una derivata` parziale nel senso che cattura solo un aspetto del comportamento della funzione, non la sua variazione completa in tutte le direzioni. La derivata parziale fornisce informazioni locali lungo una direzione specifica (quella dell’asse coordinata corrispondente), ma non descrive il comportamento globale della funzione in un intorno del punto. Formalmente, sia un punto P 0 = (x 0 , y 0 ) ∈ A e sia f : A ⊆ R^2 → R con A aperto:

ˆ La derivata rispetto a x (solo x incrementa)

lim h→ 0

f (x 0 + h, y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) h

ˆ La derivata rispetto a y (solo y incrementa)

lim h→ 0

f (x 0 , y 0 + h) − f (x 0 , y 0 ) h

13

Se questi due limiti esistono finiti, si dira che fe derivabile parzialmente (o localmente) rispetto a x e a y usando la notazione (^) ∂x∂f 0 (x 0 , y 0 ) e (^) ∂y∂f 0 (x 0 , y 0 ). Potremmo dire che la derivata parziale `e una derivata ordinaria di f sulle tracce parallele agli assi delle coordinate, lungo il piano o x = x 0 o y = y 0 :

ˆ ∂f∂x (x 0 , y 0 ) = g′(x 0 ) = (^) ddx f (x, y 0 )

ˆ ∂f∂y (x 0 , y 0 ) = h′(y 0 ) = (^) ddy f (x 0 , y)

Definizione 2.1.2 (Derivata parziale rispetto a n variabili). Sia f : A ⊆ R^2 → R con A aperto e sia un punto P 0 = (x) ∈ A. La derivata parziale della f rispetto alla variabile xi con i = 1...n in P 0 = (x) = (x 1 ...xn) corrisponde a

lim h→ 0

f (x 1 , x 2 , ..., xi− 1 , xi+h, ..., xn) − f (x 1 , ..., xn) h

Se tale limite esiste ed `e finito, esiste la derivata parziale e si scrive come:

∂f ∂xi (x) = fxi (x) = Dxi f (x)

Geometricamente, nelle funzioni a due variabili le derivate parizlai sono legate al concetto di rette tangenti al grafico dell curve ottenute fissata la traccia xz o yz.

2.1.2 Gradiente

Una funzione f : A ⊆ R^2 → R con A aperto `e derivabile su un punto P 0 = (x 0 , y 0 ) ∈ A se esistono le derivate parziali (^) ∂x∂f 0 (x 0 , y 0 ) e (^) ∂y∂f 0 (x 0 , y 0 ), o meglio, se esiste il vettore gradiente

∇f (x 0 , y 0 ) =

∂f ∂x

(x 0 , y 0 ), ∂f ∂y

(x 0 , y 0 )

Nel caso generale di una funzione f : Rn^ → R:

∇f (x) =

∂f ∂x 1

(x),... , ∂f ∂xn

(x)

Affinch´e una funzione multivariata sia derivabile in un punto:

ˆ hei = h(0... 1 ...0) = (0...h...0) ˆ x + hei = (xi...xi + h...xn)

ˆ f dipende da h

La derivata parziale puo essere rappresentata con un concetto piu generale: la derivata di- rezionale. Dato un piano tangente, per il punto in cui si poggia il piano passano infinite rette. Informalmente, la derivata direzionale `e la pendenza di una di quelle rette in riferimento ad una direzione scelta partendo dal punto del dominio.

Definizione 2.1.4 (Derivata direzionale). Dato un versore v, ovvero un vettore di norma unitaria (||v|| = 1), in Rn, sia f : A ⊆ Rn^ → R con A aperto e sia x = (x 1 ...xn) ∈ A. La derivata direzionale di f rispetto alla direzione data da v nel punto x esiste se esiste ed `e finito il limite

lim h→ 0

f (x + hv) − f (x) h

∂f ∂⃗v

(x)

L’uso del versore risulta importante perch´e non interessa la lunghezza del vettore ma solamente la direzione e il verso, quindi se non e di norma unitaria va normalizzato con la formula v = (^) ||vv||.

2.2 Differenziabilit`a

Differenza tra derivabilita e differenziabilita

ˆ Analisi 1 (Caso unidimensionale): Per le funzioni di una variabile, non c’e differenza tra derivabilita e differenziabilita. La derivabilita garantisce l’esistenza della retta tangente al grafico della funzione in un punto x 0. La differenziabilita garantisce che la funzione puo essere sostituita localmente con la retta tangente. In modo piu preciso, se fe differenziabile in x 0 , allora: f (x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) + o(x − x 0 )

dove il termine o(x − x 0 ) indica una quantita che tende a zero piu velocemente di x − x 0. Se dividiamo entrambi i membri per x − x 0 e prendiamo il limite per x → x 0 , otteniamo:

lim x→x 0

f (x) − f (x 0 ) x − x 0

= f ′(x 0 )

Questo significa che: f (x) − retta tangente = o(x − x 0 )

e quindi, avvicinandosi a x 0 , la funzione e la sua approssimazione lineare diventano sempre pi`u indistinguibili, indipendentemente da quanto piccolo sia l’intorno scelto.

ˆ Analisi 2 (Caso multivariato):

In piu variabili (f : Rn^ → R) i concetti di derivabilita (esistenza delle derivate parziali) e differenziabilita si separano. Una funzione f : A ⊆ Rn^ → Re differenziabile in x 0 se l’incremento della funzione pu`o essere approssimato linearmente in modo globale. Esiste un’applicazione lineare L : Rn^ → R tale che:

f (x 0 + h) = f (x 0 ) + L(h) + o(∥h∥) per h → 0

dove

• L(h) = ⟨∇f (x 0 ), h⟩ `e l’approssimazione lineare (il piano tangente)
• o(∥h∥) e l’errore, che tende a zero piu velocemente di ∥h∥

Se f e differenziabile, l’applicazione lineare Le univocamente determinata dal gradiente: L(h) = ∇f (x 0 ) · h. Esplicitamente in due variabili, ponendo h = (x − x 0 , y − y 0 ), la formula diventa:

f (x, y) = f (x 0 , y 0 ) + fx(x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + fy(x 0 , y 0 )(y − y 0 ) + o

p (x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2

La parola globale significa che questa approssimazione funziona in tutte le direzioni con- temporaneamente: non importa come ci avviciniamo a x 0 (lungo quale curva o direzione), l’errore relativo: lim h→ 0

|f (x 0 + h) − f (x 0 ) − L(h)| ∥h∥

tende sempre a zero, indipendentemente dalla direzione scelta. In contrasto, l’esistenza delle derivate parziali garantisce solo approssimazioni lineari lungo gli assi coordinati (direzioni “locali”). La differenziabilit`a richiede che l’approssimazione funzioni uniformemente in tutte le direzioni. Esempio fondamentale (Derivabile ma non Differenziabile): Consideriamo la funzione

f (x, y) =

( (^) x (^2) y x^2 +y^2 se (x, y)^ ̸= (0,^ 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

Nel punto (0, 0):

1. Le derivate parziali esistono e sono nulle: infatti, lungo gli assi x = 0 e y = 0 la funzione `e identicamente nulla, quindi fx(0, 0) = 0 e fy(0, 0) = 0. Il candidato piano tangente sarebbe il piano z = 0;
2. La funzione non e differenziabile: se proviamo ad avvicinarci all’origine lungo la bisettrice y = x, otteniamo f (x, x) = x/2. La pendenzae 1/2, mentre il gradiente nullo prevedeva pendenza 0. L’approssimazione lineare fallisce.

Questo dimostra che possiamo avere le derivate parziali (derivabilita) senza avere un piano tangente che approssima bene la funzione in tutte le direzioni (differenziabilita). Per evitare di verificare il limite ogni volta, si usa il seguente teorema operativo:

Teorema 2.2.1 (Condizione sufficiente per la differenziabilita). Se tutte le derivate parziali di f esistono e sono continue in un intorno di x 0 (ovvero f ∈ C^1 ), allora fe differenziabile in x 0.

La continuit`a delle derivate ”stabilizza” le pendenze, impedendo comportamenti patologici e garantendo l’esistenza del piano tangente.

Questa formula e la naturale estensione geometrica della retta tangente. In dimensione 1, l’equazione della retta tangentee:

y = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 )

Mentre l’approssimazione della funzione (formula di Taylor al primo ordine) `e:

f (x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) | {z } Parte Lineare (Retta)

• o(x − x 0 ) | {z } Errore

per x → x 0

Allo stesso modo, in R^2 , il piano tangente rappresenta la parte lineare dello sviluppo della fun- zione.

2.2.2 Continuit`a di una funzione differenziabile e il teorema del differenziale

totale

Teorema 2.2.2 (Continuita di una funzione differenziabile). Sia f : A ⊆ Rn^ → R differenziabile in un punto x 0 ∈ A allorae continua in x 0.

DIMOSTRAZIONE Per dimostrare la continuit`a in x 0 , dobbiamo verificare che:

lim h→ 0 f (x 0 + h) = f (x 0 )

Dalla definizione di differenziabilit`a, possiamo scrivere l’incremento della funzione come somma di una parte lineare e un infinitesimo di ordine superiore:

f (x 0 + h) = f (x 0 ) + ⟨∇f (x 0 ) · h⟩ + o(∥h∥) per h → 0

Passando al limite per h → 0 in entrambi i membri:

lim h→ 0

f (x 0 + h) = lim h→ 0

[f (x 0 ) + ⟨∇f (x 0 ) · h⟩ + o(∥h∥)]

Sfruttando la linearita del limite (il limite della sommae la somma dei limiti), analizziamo i tre termini separatamente:

ˆ Il primo termine `e costante rispetto ad h (non dipende dall’incremento), quindi: lim h→ 0

f (x 0 ) = f (x 0 )

ˆ Il termine lineare (prodotto scalare) tende a 0. Possiamo dimostrarlo usando la disugua- glianza di Cauchy-Schwarz e il teorema del confronto. Notiamo che: 0 ≤ |∇f (x 0 ) · h| ≤ ∥∇f (x 0 )∥ · ∥h∥ Poich´e ∥∇f (x 0 )∥ `e un numero finito e ∥h∥ → 0, il prodotto tende a zero. Di conseguenza: lim h→ 0

(∇f (x 0 ) · h) = 0

ˆ L’ultimo termine tende a zero per la definizione stessa di o-piccolo (errore infinitesimo):

lim h→ 0 o(∥h∥) = 0

Mettendo tutto insieme otteniamo:

lim h→ 0

f (x 0 + h) = f (x 0 ) + 0 + 0 = f (x 0 )

Poich´e il limite coincide con il valore della funzione nel punto, f `e continua in x 0. □

Il differenziale

Nell’analisi a pi`u variabili, dato un punto base x 0 e un vettore spostamento h:

ˆ L’incremento vero (∆f ): Rappresenta la variazione reale della funzione muovendosi sulla superficie curva del grafico.

∆f = f (x 0 + h) − f (x 0 )

ˆ Il differenziale (df ): Rappresenta la variazione calcolata muovendosi sul piano tangente. E la parte lineare dell’incremento.`

df = ∇f (x 0 ) · h

Mentre ∆f misura il dislivello esatto sulla ”montagna” (il grafico di f ), il differenziale df misura il dislivello che avremmo se camminassimo sul piano tangente che approssima la montagna in quel punto. Per spostamenti h molto piccoli (in un intorno di x 0 ), l’errore commesso sostituendo la curva con il piano `e trascurabile, quindi: ∆f ≈ df

Piu formalmente, la differenza ∆f − dfe un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla norma dello spostamento (o(∥h∥)).

Teorema 2.2.3 (Teorema del differenziale totale). Sia f : A ⊆ Rn^ → R con A aperto e sia f di classe C^1 su A, ovvero tutte le derivate parziali esistono e sono continue in un punto x ∈ A:

∃ ∇f (x) ⇔ esistono fx 1 (x), fx 2 (x),... , fxn (x)

Allora f `e differenziabile in x.

DIMOSTRAZIONE su n = 2 (vale per n variabili) Sia f : A ⊆ R^2 → R tale che (x, y) → f (x, y), si supppone che le derivate rispetto alle due variabili esistano ∀(x, y) ∈ A esistano e siano continue, allora mostro che f `e differenziabile nel punto (x, y), ∀h ∈ R^2 con h = (h, k)

lim h,k→ 0

f (x + h, y + k) − f (x, y) − ⟨∇f (x, y) · (h, k)⟩ √ h^2 + k^2

Passo 1: Consideriamo l’incremento della funzione:

∆f = f (x + h, y + k) − f (x, y)

Aggiungiamo e sottraiamo il termine misto f (x, y + k)

= [f (x + h, y + k) − f (x, y + k)] | {z } Variazione solo in x

• [f (x, y + k) − f (x, y)] | {z } Variazione solo in y

Perch´e nel primo membro la y in y + k rimane costante, nel secondo membro invece `e la x ad essere costante.

Passo 2: Applicazione del Teorema del valor medio (Lagrange) Poich´e f `e derivabile, applichiamo il Teorema del valor medio separatamente alle due parentesi:

ˆ Per la prima parentesi (variabile x), esiste un punto x 1 compreso tra x e x + h tale che:

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) = fx(x 1 , y + k) · (x + h − x) = fx(x 1 , y + k) · h con h > 0