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Una trattazione approfondita del calcolo integrale, partendo dalla definizione dell'integrale attraverso il metodo di esaustione. Vengono illustrate le proprietà dell'integrale definito, come la linearità, la relazione con le funzioni pari e dispari, e il teorema della media. Inoltre, viene introdotto il concetto di integrale indefinito e il teorema di torricelli-barrow, fondamentale per il calcolo degli integrali indefiniti. Il documento prosegue con gli integrali immediati di funzioni elementari e l'integrazione di funzioni composte tramite la tecnica dell'integrazione per parti. Infine, vengono presentate le generalizzazioni dell'integrale definito, come l'integrale generalizzato per funzioni continue su intervalli semi-illimitati o illimitati.
Tipologia: Appunti
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Metodo di Esaustione
È possibile definire l'integrale con il cosiddetto metodo di Esaustione.
Considerata una funzione e due punti , si divide il piano delle
ascisse in parti.
Considerando, quindi, il punto nell'origine, si avrà la seguente relazione :
Si ricavano ora le aree dei rettangoli calcolati tra i due punti.
y = x
2
a, b ∈ D
n
a
x =
k
k
n
b
In particolare, nel primo caso si considera altezza del rettangolo , tra due punti
e , l'ordinata del punto. Il rettangolo avrà, così, come dimensioni e
.
La somma delle aree , porta a una prima approssimazione dell'area della curva
inclusa nell'intervallo:
Nel secondo caso, invece, si considera altezza del rettangolo , l'ordinata del punto
.
a
1
a
2
a
1
x =
k
k
n
b
y =
k
f( )
n
b(k−1)
(f( ))
k=
n
n
b
n
b(k − 1)
a 2
Integrale definito
Data la funzione , positiva e continua , è possibile definire un
integrale definito.
In particolare, si considerano i punti compresi nell'intervallo di ascissa
.
Dati due punti consecutivi, è possibile ricavare il punto massimo e minimo
compreso:
Per ogni intervallo è, quindi, possibile calcolare l'area fino al valore minimo o
fino al valore massimo. L'area della sezione curvilinea sarà, quindi, compresa
tra le due ottenute.
Si considera somma inferiore , la somma delle aree degli intervalli.
Al contrario, è detta somma superiore , la somma delle aree degli intervalli
.
Facendo tendere a zero gli intervalli , la somma superiore e
inferiore convergono all'integrale definito , ossia all'area della figura curvilinea.
(f( )) ≤
k=
n
n
b
n
b(k − 1)
A ≤ (f( ))
k=
n
n
b
n
bk
f : [a, b] → R
x , i =
i
1, ..., n
m = i
f(x)
x <x<x
i−1 i
min
i
f(x)
x <x<x i−1 i
max
m
i
i
m Δx
i i
s = m Δx
i=
n
i i
M Δx
i i
S = M Δx
i=
n
i i
Δx = [x , x ]
i−1 i
L'integrale definito della funzione nell'intervallo è così rappresentato:
L'area di ogni rettangolo è così determinata da , dove identifica
l'altezza e la base.
Calcolo delle aree
Data la funzione positiva e continua , l'area sottesa dal grafico
della funzione è definita come segue:
Nel caso in cui, invece, la funzione sia negativa , l'area sarà così data:
Data quindi la funzione continua e considerati il sottoinsieme
del dominio il cui la funzione è positiva , e il sottoinsieme in cui è negativa ,
è possibile ricavare l'area come segue:
Proprietà di linearità
Date le funzioni e integrabili nel dominio, allora:
s =
Δx→
lim S =
Δx→
lim I
f [a, b]
∫ f(x)dx
a
b
f(x)dx f(x)
dx
f : [a, b] → R
A = ∫ f(x)dx
a
b
A = − ∫ f(x)dx
a
b
f : [a, b] → R D
−
A = ∫ f(x)dx −
D
∫ f(x)dx
D −
f g : [a, b] → R
b b b
Integrale definito di funzioni dispari
Data la funzione integrabile e dispari , si ricava quanto segue:
Altre proprietà
Date le funzioni e integrabili nel dominio, allora:
se
Teoremi
Data la funzione continua in , si può affermare che è integrabile
in.
f : [−a, a] → R
f
∫ (x)dx +
−a
0
f(x)dx =
0
a
f g : [a, b] → R
∫ c ⋅
a
b
dx = c(b − a)
∫ f(x)dx ≥
a
b
∫ g(x)dx
a
b
f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b]
f : [a, b] → R A f
Secondo il teorema della media , invece,
data la funzione continua in ,
allora
Teorema di Torricelli-Barrow
Questo teorema è fondamentale per il calcolo di un integrale indefinito.
Data una funzione integrabile in e considerato
se è continua , allora è derivabile e.
è, quindi, primitiva di ed è la funzione la cui derivata è.
Ma essendo una primitiva di , allora è una primitiva
di
Da questo deriva che:
Integrale indefinito
Un integrale indefinito è descritto come segue:
con definita funzione integranda e funzione integrale.
Data una funzione integrabile in e considerato quanto segue:
f : [a, b] → R A
∃x ∈
0
A ∣ ∫ f(x)dx =
a
b
f(x )(b −
0
a)
f : [a, b] → R [a, b]
F (x) = f (t)dt
a
x
f(t) F (x) F (x) =
′
f(x)
F (x) f(x) f(x)
F (x) f(x) G(x) = F (x) + c
f(x)
F (x) + c = ∫ f(t)dt
a
x
∫ f(t)dt =
a
x
F (x)
f(t) F (x)
f : [a, b] → R [a, b]
È possibile arrivare alla risoluzione attraverso una tecnica detta integrazione per
parti.
Nel dettaglio si ha:
Integrale generalizzato
Data la funzione continua ,
è continua e quindi integrabile.
Diciamo, quindi, che è integrabile in senso generalizzato se esiste ed è finito:
Data la funzione continua ,
è continua e quindi integrabile.
Diciamo, quindi, che è integrabile in senso generalizzato se esiste ed è finito:
Data la funzione continua ,
è continua e quindi integrabile.
Diciamo, quindi, che è integrabile in senso generalizzato se esiste ed è finito:
∫ g (x) ⋅
′
f(x)dx = g(x) ⋅ f(x) − ∫ g(x) ⋅f (x)dx
′
f : [a, +∞) → R
∀b ∈ R, b > a, f : [a, b] → R
f
f(x)dx =
b→+∞
lim ∫
a
b
∫ f(x)dx
a
+∞
f : (−∞, b] → R
∀a ∈ R, a < b, f : [a, b] → R
f
f(x)dx =
a→−∞
lim ∫
a
b
∫ f(x)dx
−∞
b
f : (−∞, +∞) → R
∀a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R
f
f(x)dx =
a→−∞
lim
b→+∞
lim ∫
a
b
∫ f(x)dx
−∞
+∞
Altra generalizzazione
Data la funzione continua ,
è continua e quindi integrabile.
Diciamo, quindi, che è integrabile in senso generalizzato se esiste ed è finito:
Data la funzione continua ,
è continua e quindi integrabile.
Diciamo, quindi, che è integrabile in senso generalizzato se esiste ed è finito:
Data la funzione continua ,
è continua e quindi integrabile.
Diciamo, quindi, che è integrabile in senso generalizzato se esiste ed è finito:
In tutti i casi precedenti:
f : [a, b) → R
∀ε > 0 ∈ R, f : [a, b − ε] → R
f
f(x)dx =
ε→
lim ∫
a
b−ε
∫ f(x)dx
a
b
f : (a, b] → R
∀ε > 0 ∈ R, f : [a + ε, b] → R
f
f(x)dx =
ε→
lim ∫
a+ε
b
∫ f(x)dx
a
b
f : (a, b) → R
∀ε, δ > 0 ∈ R, f : [a + ε, b − δ] → R
f
f(x)dx =
δ→
lim
ε→
lim ∫
a+ε
b−δ
∫ f(x)dx
a
b
