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CALCOLO NUMERICO
UNIVERSITÀ ECAMPUS
Lezione 001
- Qual e ̀ l'obiettivo di un metodo numerico? Ottenere una soluzione approssimata a quella analitica mediante un numero finito di operazioni matematiche.
- Nei calcoli di tipo scientifico, quale tipo di rappresentazione numerica si è sempre preferito utilizzare tra quella in virgola mobile e quella in virgola fissa? Rappresentazione in virgola mobile.
- Come si definisce il fenomeno che avviene quando il risultato di un'operazione di macchina è un numero che non appartiene al range rappresentabile dal calcolatore? Overflow.
- Individuare quale tra le seguenti affermazioni e ̀ quella corretta. In un calcolatore non è possibile implementare in modo esatto operazioni aritmetiche. 05.Come si definisce il fenomeno che avviene quando nel calcolatore si verifica una perdita sensibile di cifre significative? Cancellazione.
- Come si definisce il fenomeno che avviene quando il risultato di un'operazione di macchina è un numero che non appartiene al range rappresentabile dal calcolatore? Underflow.
- Che cos'e ̀ un algoritmo? Metodo numerico per ottenere una soluzione approssimata a quella analitica mediante un numero finito di operazioni matematiche.
- Cosa significa risolvere algoritmicamente un problema matematico? Ottenere mediante un numero finito di operazioni aritmetiche e/o logiche una soluzione che approssimi quella rigorosamente definibile analiticamente
Lezione 002
- Quante cifre significative ha il numero 3.2700x10^4? Cinque.
- Quante cifre significative ha il numero 0.000321? Tre.
- Indicare quale tra le seguenti affermazioni non e ̀ corretta. Gli zeri non sono necessariamente cifre significative in quanto possono essere usate anche solo per posizionare il punto decimale.
Lezione 003
- Dato il numero binario (10001) in base 2, quanto vale il suo equivalente in base 10? (17) in base 10.
- Dato il numero decimale (7) in base 10, quanto vale il suo equivalente in base 2? (111) in base 2.
- Dato il numero decimale (12) in base 10, quanto vale il suo equivalente in base 2? (1100) in base 2.
- Quando e ̀ applicabile il metodo di Cholesky? Se e solo se la matrice è simmetrica e definita positiva.
- Quale tipo di contrazione del numero di cifre significative e ̀ piu ̀ impegnativo da eseguire per un calcolatore? L'arrotondamento.
- Quale tipo di contrazione del numero di cifre significative e ̀ generalmente piu ̀ preciso dal punto di vista dell'errore? L'arrotondamento è più preciso del troncamento.
- Quando vengono eseguite manipolazioni algebriche contemporaneamente con numeri molto grandi e molto piccoli: L'errore di arrotondamento si amplifica molto.
- Quando si esegue un numero estremamente grande di operazioni aritmetiche: L'errore di arrotondamento si amplifica molto.
- Data A=[4, 3, 2; -5, 1, 0; 3, 3, -7]. Che tipo di matrice e ̀ la seguente matrice B=[4, -5, 3; 3, 1, 3; 2, 0, -7]? B è la trasposta di A.
- Cos'e ̀ il rango e cos'e ̀ la caratteristica di una matrice? Sono la stessa cosa.
- Quanto vale il rango di una matrice nulla? 0
- Quanto vale il rango della seguente matrice A=[-3, 1, 0; 0, -1, -1; 0, 0, -8]? 3
- Cos'e ̀ il rango di una matrice? Il massimo ordine di minori non nulli di una matrice.
- Quale tra le seguenti e ̀ una matrice triangolare superiore? [5, 2, 1; 0, 3, 1; 0, 0, 2].
Lezione 005
- Date le seguenti matrici: A=[5, 3; 2, 1; 3, 0; 1, 2] e B=[1, 2, 1, 3; 4, 3, 0, 1], quale trale seguenti affermazioni e ̀ corretta: Sono conformabili rispetto alla moltiplicazione.
- Date le seguenti matrici: A=[2, 1; 3, 0; 1, 2] e B=[1, 2, 1, 3; 4, 3, 0, 1], quale trale seguenti affermazioni e ̀ corretta: La matrice C=A*B sarà una matrice del tipo 3X4.
- Date le seguenti matrici: A=[2, 1; 3, 0; 1, 2] e B=[1, 2, 1, 3; 4, 3, 0, 1], quale trale seguenti affermazioni e ̀ corretta: Sono conformabili rispetto alla moltiplicazione.
- Quanto vale il determinante della matrice A =[1, 0, 0; 0, 0, -2; 7, 3, 0]? 6
- Date le seguenti matrici: A=[2, 3, -1; 0, -5, 4] e B=[3, 1, 0; 2, 3, -1] quanto vale la matrice C=A+B? C=[5, 4, -1; 2, -2, 3]
- Una matrice A sommata alla matrice identita ̀ , che risultato fornisce? La matrice A con tutti gli elementi della diagonale principale aumentati di 1.
- Una matrice A moltiplicata per la matrice identita ̀ , che risultato fornisce? La matrice A.
- Una matrice A moltiplicata per la matrice nulla, che risultato fornisce? La matrice nulla.
- La somma di una matrice A con la sua opposta fornisce: La matrice nulla.
- Una matrice A in cui tutti gli elementi sono elevati alla potenza zero che risultato fornisce? Una matrice con tutti gli elementi pari a 1.
- Date le seguenti matrici: A=[1, 2, 0] e B=[3; -5; 2] quanto vale la matrice C=A*B? C=-
- Data A=[4, 3, 2; -5, 1, 0; 3, 3, -7]. Che tipo di matrice e ̀ la seguente matrice B=[4, -5, 3; 3, 1, -3; 2, 0, -7]? B non ha alcun legame con A.
- Una matrice A moltiplicata per la matrice unita ̀ e sommata alla matrice nulla, che risultato fornisce? La matrice A.
Lezione 006
Quanto vale il determinante della matrice A =[5, 5, 6, 17, 1; 0, 1, 5, 6, 25; 0, 0, 0, -3, -7; 0, 0, 0, 5, -1; 0, 0, 0, 0, 3 ]? 0
- Date le seguenti matrici: A=[5, 2, 1; 0, 3, 4; -2, -5, -6] e B=[1, 1, 5; 2, 2, 2; 4, -3, 0], quanto vale la matrice C=-3*A+B? B=[-14, -5, 2; 2, -7, -10; 10, 12, 18]
- Quanto vale il determinante della matrice A =[1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1]? 1 11.Date le seguenti matrici A =[1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1] e B=[3, 2, 1, 0; 0, 2, 5, 2; 0, 0, -2, -1; 0, 0, 0, 3], quanto vale il determinante del prodotto?
- Quanto vale il determinante della matrice A =[5, 5, 6, 17, 1; 0, 1, 5, 6, 25; 0, 0, 3, -3, -7; 0, 0, 0, 5, -1; 0, 0, 0, 0, 3 ]? 225 Se la matrice A e ̀ del tipo 5X4 e la matrice B e ̀ del tipo 4X3, di che tipo sara ̀ la matrice C=AXB? 5X3. Date le seguenti matrici: B=[1, 0, 1; 3, 4, 6; 11, 3, 1] e C=[5, 5, 5; -1, 2, 0], quanto vale la matrice D= - B*C? Tale moltiplicazione non può essere eseguita.
Quanto vale la norma del vettore C =[3; 5; 8]?
Affinche ̀ due vettori siano ortogonali: Deve essere nullo il prodotto tra uno dei due vettori e la trasposta dell'altro vettore.
Lezione 008
I sistemi omogenei: Sono sempre possibili. In un sistema lineare omogeneo, la matrice dei coefficienti e quella completa: Hanno lo stesso rango. La condizione det(A) diverso da zero e ̀ sufficiente affinche ̀ : Un sistema lineare sia possibile e determinato. Un sistema lineare che ammette infinite soluzioni si dice: Indeterminato. Il seguente sistema lineare [ 1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]*[x; y; z]=[0; 0; 0] e ̀ possibile? E' sempre possibile. Se il determinante di una matrice dei coefficienti di un sistema lineare e ̀ diverso da zero: Il sistema non è ne' impossibile, ne' indeterminato.
Lezione 010
Qual e ̀ l'operazione equivalente in forma matriciale al cambio dell'ordine delle incognite di un sistema lineare? Cambiare l'ordine delle colonne della matrice dei coefficienti. Quale principio afferma che:"Se ad una equazione del sistema si sostituisce quella che si ottiene sommando ad essa membro a membro un'altra equazione del sistema eventualmente dopo averne moltiplicato entrambi i membri per una stessa costante non nulla, si ottiene un sistema equivalente a quello di partenza"? Principio di riduzione. Il metodo di eliminazione delle incognite su quale principio si basa? Principio di riduzione.
Lezione 011
Qual e ̀ la condizione da rispettare per ottenere una ed una sola soluzione con il metodo di Gauss Jordan? Determinante della matrice dei coefficienti diverso da zero. Qual e ̀ la condizione da rispettare per ottenere una ed una sola soluzione con il metodo di Gauss? Determinante della matrice dei coefficienti diverso da zero. Da cosa dipende l'efficienza computazionale? Numero di operazioni matematiche in rapporto al tempo di esecuzione. E' computazionalmente piu ̀ efficiente, il metodo di Cramer o il metodo di Gauss? Il metodo di Gauss.
E' computazionalmente piu ̀ costoso, il metodo di Cramer o il metodo di Gauss? Il metodo di Cramer.
Lezione 012
Quale forma deve assumere il sistema lineare affinche ̀ esso risulti impossibile? Basta che una delle equazioni del sistema assuma la forma 0=1. Che tipo di matrice dei coefficienti otteniamo alla fine dei passi del metodo di Gauss? Una matrice dei coefficienti triangolare superiore. Che succede se ad un certo passo del metodo di Gauss-Jordan il pivot e ̀ nullo? L'algoritmo si blocca. Che succede se ad un certo passo del metodo di Gauss-Jordan il pivot e ̀ molto prossimo allo zero? L'algoritmo si blocca. Dal punto di vista computazionale, e ̀ piu ̀ costoso il metodo di Cholesky o il metodo di Gauss? Metodo di Gauss. Cosa significa normalizzare una equazione del sistema lineare? Dividere tutti gli elementi della riga per il pivot in modo da ottenere un valore unitario dell'incognita. Dopo aver terminato i passi del Metodo di Gauss, quale operazione va eseguita per ricavare il valore delle incognite? Sostituzione all'indietro.
Lezione 013
Nella strategia di Pivoting parziale: Individuo la riga dove il primo elemento è l'elemento di modulo maggiore rispetto a tutte le altre righe e la scambio con la prima riga del sistema lineare da risolvere. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[0.0001, -7, 0, 1; 2, -2.9, 6, 1; 7, -1, -3, 1; 1, 1, 2, 1] e C=[3; 2; 1; 0]. Se applico la strategia di Pivoting parziale, quali sono le righe che devo scambiare tra loro? La terza e la prima. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[1, 1, 1; 0, 0.0001, 3; 0, 1, 1] e C=[3; 5; 0]. Se applico la strategia di Pivoting parziale, quali sono le righe che devo scambiare tra loro? La seconda e la terza. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[0, 1, 1; -2, 0, 7; -3, 0, -2] e C=[-1; 0; -4]. Se applico la strategia di Pivoting parziale, quali sono le righe che devo scambiare tra loro? La terza e la prima. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[0, 1, 1; -2, 0, 7; 7, 0, 3] e C=[-1; 0; -4]. Se applico la strategia di Pivoting parziale, quali sono le righe che devo scambiare tra loro? La terza e la prima. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[1, 1, 1; 0, 5, 3; 0, 1, 1] e C=[3; 5; 0]. Se applico la strategia di Pivoting parziale, quali sono le righe che devo scambiare tra loro? In questo caso, scambiare le righe non è necessario.
Quale tra i seguenti metodi non e ̀ un metodo numerico diretto per risolvere sistemi lineari? Metodo di Gauss Seidel. Quale tra i seguenti metodi non e ̀ un metodo numerico diretto per risolvere sistemi lineari? Metodo di Jacobi. Dal punto di vista della propagazione degli errori, e ̀ piu ̀ conveniente un metodo diretto o iterativo? Metodo iterativo. Quale tra i seguenti metodi risente di piu ̀ del problema della propagazione dell'errore? Metodo di Gauss. Quale tra i seguenti metodi risente meno del problema della propagazione dell'errore? Metodo di Gauss Seidel. Quale tra i seguenti metodi risente meno del problema della propagazione dell'errore? Metodo di Jacobi. Quale tra i seguenti metodi è il metodo numerico utile per risolvere una serie di sistemi lineari con stessa matrice dei coefficienti ma diversi vettori dei termini noti? Il metodo di Fattorizzazione LU. Quale tra i seguenti metodi e ̀ il metodo numerico utile per calcolare il determinante di una matrice? Il metodo di Fattorizzazione LU. Quale tra i seguenti metodi risente di piu ̀ del problema della propagazione dell'errore? Metodo di Gauss-Jordan.
Lezione 018
Quale metodo tra il metodo di Gauss Seidel e Jacobi e ̀ preferibile in termini di convegenza perche ́ utilizza le migliori stime possibili? Metodo di Gauss Seidel. Quale è il metodo iterativo per la risoluzione di sistemi lineari Ax=C in cui il vettore di nuove incognite si calcola in base ai valori delle incognite stesse calcolate nell'iterazione precedente? Metodo di Jacobi. Quale metodo iterativo per la risoluzione di sistemi lineari Ax=C si basa sull'inversione ad ogni iterazione della parte diagonale della matrice dei coefficienti A? Metodo di Jacobi. Quale metodo iterativo per la risoluzione di sistemi lineari Ax=C si basa sull'inversione ad ogni iterazione della parte triangolare inferiore della matrice dei coefficienti A? Metodo di Gauss Seidel.
Lezione 021
Data un'equazione non lineare pari a f=[ 1, -1, -2] ed un intervallo pari a x1=-10 e x2=1, quanto vale il valore di tentativo xr nella prima iterazione del metodo di Bisezione? -4.
Cosa è necessario operativamente, oltre all'equazione non lineare di partenza, per poter iniziare le iterazioni di un metodo chiuso per risolvere equazioni non lineari? Di due punti di partenza. Sto eseguendo il metodo di Bisezione. Operativamente dopo aver determinato il valore di tentativo (xr) nella prima iterazione come faccio a stabilire il nuovo intervallo per procedere con la seconda iterazione? Eseguo il prodotto tra la funzione in uno dei due punti di partenza e la funzione in xr determinato nella prima iterazione e controllo se risulta minore, maggiore o uguale a zero. Cosa è necessario operativamente, oltre all'equazione non lineare di partenza, per poter iniziare le iterazioni del metodo di Bisezione? Di due punti di partenza. Quando si applica il metodo di Bisezione, se il prodotto tra f(x1) [funzione nel puno x1, estremo dell'intervallo di partenza] e f(xr) [funzione nel punto xr, nuovo valore di tentativo trovato] è minore di zero, qual è il nuovo valore da utilizzare nellla iterazione successiva? L'intervallo tra x1 e xr. Cosa è necessario operativamente, oltre all'equazione non lineare di partenza, per poter iniziare le iterazioni di un metodo aperto per risolvere equazioni non lineari? Basta conoscere l'equazione non lineare di partenza. Per applicare il metodo di Bisezione: la funzione deve essere continua e cambiare di segno nell'intervallo di partenza. Il metodo della Bisezione: Converge sempre. Quando si applica il metodo di Bisezione, se il prodotto tra f(x1) [funzione nel puno x1, estremo dell'intervallo di partenza] e f(xr) [funzione nel punto xr, nuovo valore di tentativo trovato] è maggiore di zero, qual è il nuovo valore da utilizzare nellla iterazione successiva? L'intervallo tra xr e x2. Quando si applica il metodo di Bisezione, se il prodotto tra f(x 1 ) [funzione nel punto x 1 , estremo dell'intervallo di partenza] e f(xr) [funzione nel punto xr, nuovo valore di tentativo trovato] è uguale a zero, qual è il nuovo valore da utilizzare nella iterazione successiva? Nessuno, si è trovata la radice della funzione di partenza.
Lezione 022
Quando si applica il metodo di Falsa Posizione, se il prodotto tra f(x 1 ) [funzione nel punto x 1 , estremo dell'intervallo di partenza] e f(xr) [funzione nel punto xr, nuovo valore di tentativo trovato] è uguale a zero, qual è il nuovo valore da utilizzare nella iterazione successiva? Nessuno, si è trovata la radice della funzione di partenza. Quando si applica il metodo di Falsa Posizione, se il prodotto tra f(x 1 ) [funzione nel punto x 1 , estremo dell'intervallo di partenza] e f(xr) [funzione nel punto xr, nuovo valore di tentativo trovato] è minore di zero, qual è il nuovo valore da utilizzare nella iterazione successiva? L'intervallo tra x1 e xr. Quando si applica il metodo di Falsa Posizione, se il prodotto tra f(x 1 ) [funzione nel punto x 1 , estremo dell'intervallo di partenza] e f(xr) [funzione nel punto xr, nuovo valore di tentativo trovato] è maggiore di zero, qual è il nuovo valore da utilizzare nella iterazione successiva? L'intervallo tra xr e x2.
Per il secondo teorema di Gerschgorin, se ho determinato cinque cerchi e l'unione di tre cerchi (M 1 ) è disgiunta dall'unione del quarto e quinto rimasti (M 2 ), quanti autovalori appartengono all'unione denominata M 1? Tre. In cosa consiste la localizzazione degli autovalori (cerchi di Gerschgorin)? E' un metodo numerico per individuare le zone di piano in cui si trovano gli autovalori. Come si determinano i centri dei cerchi di Gerschgorin? Sono gli elementi sulla diagonale principale della matrice di partenza.
Lezione 027
Nell'algoritmo del metodo delle potenze è presente una normalizzazione. Tale normalizzazione è indispensabile ai fini del funzionamento del metodo? Sì. E' indispensabile.
