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CALCOLO NUMERICO SISTEMI LINEARI
Tipologia: Appunti
1 / 44
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N^
N
1
SOLUZIONE DI^ SOLUZIONE
DI SISTEMI LINEARI
SISTEMI LINEARI
SISTEMI LINEARI^ SISTEMI LINEARI
Si trovano in
molti campi dell'ingegneria
(es: circuiti elettrici), nella
soluzione di equazioni differenziali, …
Un
“sistema lineare di m equazioni in n incognite”
è un sistema di
m
equazioni nelle n incognite
N
a^11
+ a
+ ...+a 2
1N
= b
1
a^21
+ a
+ ...+a 2
2N
= b
2
aM
+ a
M
+ ...+a
MN
= b
M
dove
(matrice dei coefficienti):
SISTEMI LINEARI^ SISTEMI LINEARI
a^11
a^12
.^ .^
a^1
N
a^21
a^22
.^ .^
a^2
N
.. a N^1 .^ .^ .^
a^ NN
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
b ⎡^1 ⎢ b^2 ⎢ ⎢. ⎢ ⎢ b^ ⎣ N
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
X^
=
X ⎡^1 ⎢ X^2 ⎢ ⎢. ⎢ ⎢ X^ ⎣ N
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
RISOLUZIONE DI^ RISOLUZIONE
DI SISTEMI LINEARI
SISTEMI LINEARI
grado di precisione specificato dall’utente e
influenza tempo di esecuzione
Esempio:
EQUIVALENZA DI^ EQUIVALENZA Y + 5Z/7 = 9/
DI SISTEMI LINEARI
SISTEMI LINEARI
Ora si può calcolare direttamente il valore delle incognite:
1
1 2
(^1) − 2
0 1
−
1
0 0
(^12) 7
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥^. X ⎥ ⎥ ⎦
=
(^52312) −^7 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
EQUIVALENZA DI^ EQUIVALENZA
DI SISTEMI LINEARI
SISTEMI LINEARI
METODO DI^ METODO
DI GAUSS
GAUSS
Ad ogni passo
k
del procedimento (ripetuto
n-
volte) si elimina X
k
ik^
ik
(k)
kk
(k)
(K+1)
j (K) i
kj
(k)
a^
a^
..^
a^
0
a^
..^
a^
0
...
0
0
..^
a^
(^ n NN
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
METODO DI^ METODO
DI GAUSS: Eliminazione
GAUSS: Eliminazione
xn
= y
/un
nn
for (i = n-1; i>=0; i--) {
for (j=i+1; j<=n; j++)
x=xi
+ui
*xij
;j
xi^
= (y
- xi
)/ui
;ii
VARIANTE: se al generico passo k-esimo il processo di eliminazionenon viene effettuato solo sulle righe successive alla k-esima maanche sulle precedenti otteniamo dopo n passi un sistema diagonale( metodo di Jordan
In particolare, la formula: aij
(K+1)
= a
(K)ij
-m
*aik
(k)kj
j = k+1, …, n+
si applica per ogni i da 1 a n e diverso da k
Non richiede la propagazione indietro, ma è computazionalmente piùcostoso O(n
preferibile il metodo di Gauss
ESEMPIO^ ESEMPIO
Triangolazione:Triangolazione: 2X
1
-X
2
+X
3
-2X
4
=
2X
2
-X
4
=
X^1
-2X
3
+X
4
=
2X
2
+X
3
+X
4
=
Passo 1:^ Passo 1: 2X
1
-X
2
+X
3
-2X
4
=
2X
2
-X
4
=
1/2X
2
-5/2X
3
+2X
4
=
2X
2
+X
3
+X
4
=
Passo 2:^ Passo 2: 2X
1
-X
2
+X
3
-2X
4
=
2X
2
-X
4
=
-5/2X
3
+9/4X
4
=-1/
+X
3
+2X
4
=
Passo 3:^ Passo 3: 2X
1
-X
2
+X
3
-2X
4
=
2X
2
-X
4
=
-5/2X
3
+9/4X
4
=-1/
+29/10X
4
=29/
PIVOTING^ PIVOTING
kk
k k^
(k)kk
(k)rk
kk^
PIVOTING^ PIVOTING
Ulteriore Problema: Ulteriore Problema:
Ad ogni passo k, se il
valore assoluto di a
kk^
è
prossimo allo zero
, la propagazione degli
errori viene
amplificataSoluzione:PivotingSoluzione:
Pivoting
Occorre scambiare l’equazione
k-
sima con una
equazione (r-sima) tale che il valore assoluto diark
risulti: (^) z il più grande tra tutti gli
a^ ik
della sottomatrice
(i=k, ..., N) (ricerca sulla
colonna
della
sottomatrice) =>
pivoting parziale
z^
il più grande tra tutti gli
a^ ij
(i=k,..N; j=k,..N)
(ricerca sulle righe e sulle colonne dellasottomatrice): in questo caso si provvede anchead un eventuale
scambio di incognite
(se j
≠k
)
=>
pivoting completo
k^
k r r^ :^
ark^
=^ max^ k^ ≤ i^ ≤^ N
aik
r , s
:^
a^ rs
= max^ i = k ,..
N j^ = k
,.. N
a^ ij
k^
k r
s
SCALING^ SCALING
Si
normalizzano
gli
elementi
di
ciascuna
riga
della
matrice
assumendo come valore di riferimento, quello del pivot della riga
d
i
( dimensione
Quindi,
al
generico
passo
k
-simo
si
assume
come
equazione
pivotale (fra le n-k rimanenti)
la r-sima
, in modo tale che:
di
= max
a
ij j =
1,..
N
ark d r
=
max^ i =
k ,..
N
aik di
GAUSS:^ GAUSS:
Triangolar. + EliminazioneTriangolar. + Eliminazione
void pivot(matrice A, int k, int dim);void triangolarizza(matrice A, int dim) {
int i, j, k,r; float m;pivot(A,0,dim);for (k=0; k=0; i--) {
**for (X[i]=0, j=i+1; j
