Capitolo 7 - Distribuzioni campionarie
Statistica descrittiva e inferenziale
Si divide la statistica descrittiva, quella che raccoglie, presenta e descrive
i dati, dalla statistica inferenziale —> si basa sul trarre conclusioni e/o
prendere decisioni riguardanti una popolazione sulla base dei dati campionari.
Una popolazione è l’insieme di tutte le unità o individui oggetto di studi.
Per esempio: tutti i potenziali votanti alle prossime elezioni, tutti i pezzi
prodotti oggi o tutti gli scontrini del mese di novembre. Un campione è un
sottoinsieme della popolazione; per esempio: alcuni votanti a caso per
un’intervista, alcuni pezzi selezionati per un test di d’istituzione, alcuni
scontrini selezionati a caso per una verifica.
Con campionamento facciamo riferimento alla modalità di estrazione
del campione dalla popolazione. Quando parliamo di inferenza, ci riferiamo a
quel processo di generalizzazione per il quale i risultati ottenuti su un
campione vengono estesi alla popolazione.
Quando facciamo inferenza statistica sulla popolazione esaminiamo i risultati campionari (metodo
induttivo). I parametri sono le caratteristiche della popolazione, non sono noti, ma possono essere stimati a
differenza delle statistiche note, caratteristiche note del campione.
Si può analizzare la natura del campione considerando l’esperimento aleatorio che consiste nel estrarre
le unità e osservare i valori. Prima dell’esperimento il campione è un vettore di n variabili aleatorie X1, X2,
…, Xn (lettere maiuscole). Dopo l’esperimento il campione è un vettore di n numeri x1, x2, …, xn (lettere
minuscole).
Tutto ciò è vero a prescindere dal fatto che la popolazione sia finita o infinita; naturalmente la natura
finita o infinita cambia il modo di estrarre il campione.
Parametri
Tipicamente l’inferenza riguarda alcuni parametri (indici relativi alla distribuzione del carattere di
interesse nella popolazione, es. media, mediana, deviazione std.). Poiché il campionamento casuale genera
una variabile aleatoria X con la stessa distribuzione del carattere X, si chiamano parametri anche gli indici
della distribuzione della variabile aleatoria X.
Se assumiamo che la variabile aleatoria X appartenga ad una certa famiglia parametrica (es. Normale,
Binomiale) i parametri della famiglia rappresentano gli aspetti ignoti della popolazione.
Esempio: se X ha distribuzione Normale gli aspetti ignoti sono ricondotti a due soli parametri, la media
e la deviazione standard (se si conoscono questi due parametri allora si conosce l’intera distribuzione).
Campione causale
La teoria statistica di base si basa sulla nozione di campione casuale. Indichiamo con X la variabile
aleatoria che descrive la distribuzione del carattere nella popolazione e supponiamo di estrarre un campione
di dimensione n. Prima di effettuare l’estrazione, il valore che mostrerà la i-ma unità estratta è ignoto, è una
variabile aleatoria che indichiamo con Xi.
Il campione è quindi un vettore di n variabili aleatorie X1, X2,..., Xn.
Il campione si dice campione casuale quando le n variabili aleatorie X1, X2,... Xn sono iid-X, cioè
indipendenti e identicamente distribuite come X.
Indipendenti: la distribuzione di probabilità di un elemento campionario Xi non dipende dai valori
assunti dagli altri elementi campionari. Questo accade se vi è indipendenza nella popolazione e il metodo di
campionamento preserva tale indipendenza.
Identicamente distribuite come X: tutti gli elementi campionari hanno la stessa distribuzione (sono dei
cloni) e tale distribuzione è la stessa del carattere nella popolazione (= ogni Xi ha la stessa distribuzione di
X). Questo accade se le probabilità di estrazione sono identiche per tutte le unità della popolazione e non vi
sono problemi di mancata risposta o errore di misurazione.
Dire che X1, X2,... Xn è un campione casuale da una popolazione Normale significa dire che:
-La distribuzione del carattere di interesse X nella popolazione è Normale (di solito media e varianza
sono ignote).
-Le variabili aleatorie X1, X2,... Xn sono indipendenti.
