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il concetto (^) d (^) integrale è strettamente (^) collegato al calcolo di (^) aree u^ n e S (^) LCX )^ dK^ =AREA^ (^ CON SEONO )^ DELLA REGIONE D^.^ PIANO^ COMPRESA TRA K GRAFICO (^) LLX), CASSEX ?^ E^ LE^ RETTE^ VERTICACI^ X^ =a^ eX=b^ x îintervalo (^) DI integrazione Formalizziamo (^) I concetto di (^) suddividere (^) Laib] in un numero (^) finito, n (^) , di intervall, (^) pi (^) piceoli. PARTIZIONE DI UN INTERVALLO Siano (^) aib (^) EIR, acb. S. dice PARTIZIONE (^) O SUDDIVISIONE d (^) , Lab] e s (^) , indica (^) con Diun sottoinsieme (^) finito di^ LabJ. D^ =E+.: 1 =0.1....^ n3,^ tali^ che a=Xo Lx 1 C^ ... Yn =b^ Con Dn S,indica la PARTIZIONE^ EQUISPAZIATA, ouvero tale che X,=ati-a. m La (^) lunghezza del (^) maggior sottointervallo s (^). dice (^) ampiezzad. Des (^) , indica (^) con (^) IDI: a x^0 b Dl-maxExi-Xi-sii-e,...n} DD^ iî^ în^ o SOMME INFERLOR E SUPERIORI Siano (^) Laibl un intervallo Amitato e (^) f: Laib) -7 (^) IR una Funzione limitata (^). Data una (^) particione D =SX.:^ 1=0,9....n}^ di^ Laib).^ 5.^ dice^ somma^ superiore^ dif^ rispetto^ a^ Di^1 nomero^ : SID (^) )=2.^ M^ ,^ Kx.-Xire),^ dove (^) M.=supf [xi-uixi} si dice^ somma inferore^ dif rispetto a DiI^ numero fs (^) ( (^) DI=, mik-Xine) dovem^. =inf verde^ :^ difetto Ex- eix.} î verdet (^) giallo: eccesso b per una^ funzione^ non^ negativa, S(DI^ corrisponde^ allarea^ della İN :."""""ğ.ë regione verde,^ mentre^ sID)^ quella^ della^ regione (^) giallae verde^ : quind ,^ SLD)^ ea^ SID)^ approssimano^ perdretto^ e^ nispettivarmante per eccesso^ l'area^ del^ Sottografico Rd^. h, owvero^ linsiemne -.:: x R = { LXY)EIR : a (^) =x=b,O= 4= (^) hix )} abbiarmo (^) supposto che (^) h sia limitata e (^) quindi meM. sono nomer (^) , realie verificano inferm, EM^ ,^ E^ sup (^) h per (^) ogn.^ 1.^ Quind. (b-aJINfFE SIDI^ : SIDI=Cb-aISup (^) f VNEIN
INTEGRALE SECONDO RIEMANN lefetsa Siano (^) La,b] un intervallo limitato (^) e (^) h : Caib] -3 (^) IR una (^) funzione limitata (^). Qualunque somma infercore é (^) - minore o (^) uguale a (^) qualunque somma (^) superiore : se (^) D' D^ " sono due^ partizion d^. Laib], allora^ SID ): SLD") Di (^) conseguenza, gl insiemi numerici Sinf = ESCD )^ :^ D^ partizioned. La^ ,b3}, Ssup = (^) ESCD ):^ D^ particione^ di^ La,b 33 verificano sup (^) Sinf "^ InF^ Ssup DIM (^). ^y N ": ^ N*ä"ï."
. (^)? *x é (^) cndate che (^) se ad (^) una (^) particione D (^) aggiungiamo un (^) punto, (^) DDUEX}, la (^) somma (^) infervore cresce e (^) quella superiore decresce:^ SIDJESID)ESID):SID). Perció (^) considerando liunione (^) D =D'UD' delle due (^) particion e (^) applicando questa osservazione un numero finito divotte,^ siottiene^ SDLSCDL - SLDK Iouvero seD! D"^ sono^ due^ partizion^ , ds La^ .b], allora SCD^ ')E SCD") supSinf" inf^ Ssue^ -7^ questa (^) segue dalla^ prima,^ visto^ che^ qualunque numero^ reale^ at^ sinfe minore (^) uguale di^ qualunque numero reale^ BE Ssup. (quind, (^) ogniat sinf^ e^ un^ minorante^ di^ ssip^ e ogniß^ E^ Ssup^ èun^ maggiorante di sinf). Una funzione limitata^ fi: [a,bJ-3IR 5. dice^ INTEGRABKE^ SECONDO RIEMANN nell intervallo^ limitato La,b]^ se vale una delle^ seguent , condizion (^) equivalents: infSsup sup Sinf = o burm (^) Sn : lern (^) Sn m-3+8 1-7t^8 le due (^) formule individuano lo^ stesso numero che chiameremo (^) integrale di^ Ricmann (^) dif in (^) LaiB) ed e indicato (^) con i simbolo S LLX 1 :^ FUNZIONE^ INTEGRANDA LQIBJ =^ BOMINIO^ D^ INTEGRACIONE
DIMOSTRACIONE DEL TEOREMA (^) PRECEDENTE Sia (^) h una funzione limitata (^) in (^) La , b]. il supsinf = infssup =l^ E 3 lerm^ Sn = him^ nusna^ Sn=l^ Myxo ii) se^ D^ 'n^ è^ una^ qualunque successione^ di^ partizion tali^ che^ IDn^1 -30^ perm-sto, allora SupSinF = InFSSup - l^ E^3 nusze^ hom ScDn) =^ lirm nts SlDn)=e Dimostriamo la (^) parte i (^) ,^ che^ implica la^ i^. I'n e (^) una qualunque successione^ di partizion^ tal^ , che ID.1-30^ pernsto. ^ L'implicazione inferore^ sé^ semplice (^) e segue^ dalla (^) definiione degli^ estremi superioree^ . lf (^) slD (^) 'm) : (^) supSinf E (^) InfSsup I (^) SlD 'm) -3e Per dimostrare forte=3^ proveremo una (^) proprieta pir . Se (^) F (^) : La,b] -^ IR (^) é limitata (^) lanche non (^) integrabile) elDn1-
CLASSI DI (^) FUNZIONI INTEGRABILI se (^) f : La,bI-7 IRé^ monotona, allora^ he Rlaib ) DIM. Supponiamo che (^) fsia (^) crescate .fé^ limitata^ : hla) (^) fIxl (^) = flb) per (^) ogrixE La ,bJ. Fissaton siutilizza la^ Partizione (^) equispaziata. IDnl
- a mi-nff: (^) filxined knnsxis Mi=supf = fixi) sxceixis S(D)= Em ,I4.-X1-e}^ SIDI=EM.LX-X1-n)^ (D)-SIB)= (^) EMCX-Tive)-Emmilx-xi-e) =3 E Mix.-Mix.l-Mix,+^ Mixi - e xild9,-mil-x-e 1 M-m.I kyırellmammm
bMimil hexil ğex^ - e
- s beqEbux )-hix... O é (^) una sommatoria (^) telescopica ouvero tutt (^) ,i termmin tranne gh estremi^ si^ annullano I ! quinds:(hibl-ficall INTEGRABILITA DELLE FUNCION , CONTINVE (^) l'integrabilità segue dal (^) criterio di (^) ntegrabilità se (^) hé continua in (^) Laib], allora (^) LE Rlaib) Dim (^). Useremo (^) le (^) partizion equispaciate. Per (^) il teorema di (^) weierstrass, fe limitata (^) e (^) quindi ammette un (^) massimo e (^) un miniomo. Quind (^) , su ciascun intervallo (^) (xreixis esistono xiex." E (^) Lx-n; (^) xi} tal che : sup (^) h=4, = hlxi) infh =^ m. =hlx.") Lxr-es xi 3 Lxi-esxi} DIMOSTRAZIONE E^ :^ Hp^. LC(a,b] Utilizzando il^ teorema di (^) Lagrange, siba filc^ - -^ hlbl-fial^ bra e (^) quind. MLsfala) perxiy ELa,b}^ IhIx)-hlull^ - filalx -4l = LIx-^ ¿ L=maxIfil Laib} M-m. = flxiJ
- Llx,")^ MAX La^ MINILIXi^ - X"1:LXi-partizione^ equispaciata^ = wm m imaggion dli Xi - x." ne (^) segue che OcSn-sn = bE(Mi-m.I EL
- bra?? n 2
per il^ teorema^ sul criterio^ di^ integrabilità la^ funziae è^ integrabile
TEOREMA DELLA MEDIA VALORE MEDIO Sia (^) he R(a,bl. La (^) quantita (^5) b-aS? hixl dx^ édet (^) +a VALORE MEDIO^ dif (^) sull intervallo (^) La ,b]. Siano (^) fE Rlaib), m=Inff exnesxig eM=SuPF Cxysxi ).^ Allora^ il^ valore^ medio di^ fverifica m =X-a^ SP FIxIdxEM in (^) particolare, se (^) fécontinua in (^) Laib] b-aS? hixldx^ =fild^ =^ SRhIxl dx esiste ce (^) Laby tale che
- ë N" DIMOSTRAZIONE. Se (^) hé continua^ in^ Laibl, allora^ per ilteoreradi^ Weierstrass^ assumme^ tutf^ ,^ I^ valor^ , tramed M:^ quind, esiste (^) CECaibl, tale^ che hicl :b-aPah(xdx do Siano (^) he Rlaibl (^) ecEla (^) ,bJ. La funzione (^) Fc: La,bJ (^) -3 iR definita FCCX 1 := SPfItIdt XxELa ,bJ si chiarma (^) funzione (^) integrale dih relativa al (^) punto a îN :" : geometricamente se (^) f 3 o, la funzione Fa^ associa^ ad^ ogmi X^3 c^ ; a (^) .. X é (^) 'area del (^) sottografico dif " ) neliintervallo (^) (c, X). CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI INTEGRALI Siano (^) hE Rlaibl (^) ecEla,b). La (^) funzione (^) integrale definita é continua in (^) Ca (^) ,bJ.
PRIMO TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE Siano (^) he Rlaibl ece (^) laibJ.^ Se^ fè continua in (^) to E (^) LaibJ ,^ allora^ la (^) funzione (^) integrale é derivabile in (^) xo e risulta FC(xo) = h(xo) Ir (^) particlare (^) , se fe CCa ,bll. alloro (^) FE C(Co1)le Fil-hex^ perognixflai ).I FCLX) : SPhItIdt - s^ Falxol^ =^ hlxo),^ Ft^1 o)^ =^ hias E . (b) = h[b) fhutatj :hits dimostrazione Il (^) rapporto incrementale^ di (^) FcC+ e^ uguale al^ valore medio d^ f nell^ intervallo compreso^ traxe xo EX1-EcCxo) - X - to^ Axo^ ShIslds Basta dimostrare che^ tale (^) valore medio (^) converge a (^) fIxd per x (^) -3xo.Go segue facilmente dalla continutadi (^) fin (^) yo : per ogni Ez^ (^0) esiste 8 so tale che LLxd - HIXICE^ VE^ 3 OJ 8 zo " w^ filxo^ )-E aWWfIxla^ hixo^ )^ tE^ sex^ Lab?n(xo-8;^ Xoto)^ se (^) lx
- xolco s , ha ( (^) hext= Fccxs *xo So^ histds Eaf (xolts ,h 101 ala (^) tesi segue dallarbitrarietà^ di^ e^. F:sx) FUNZIONI PRIMITIVE E INTEGRALE INDEFINITO Se Ie (^) un intervallo e (^) hE CCI).,i teorema Ifondamentale (^) del calcolo (^) integrale (^) garantisce éesisterza di almeno^ una (^) funzione F (^) (integrale) tale^ che la^ derivata^ di^ F^ sid (^) uguale a (^) f in ogni punto (^) osb(J. Le^ fureion Fcle^ verificano^ queste proprietas , chiamano prim,^ tied (^5) ia (^) IEIR un intervallo (^) e sia (^) f : I-s IR (^). Una funzione^ F I: (^) -7IR 5, dice (^) funzione primitiva dif in I^ se f ederiabile in Ie Flx )= LIx) per (^) ogni x EI E (^) chiaro (^) che se (^) fix (^) ) e (^) primitivad. hix (^) ) in un intervallo I, (^) anche la funzione FIXItC lo é (^) per (^) ogn. costantec.
PRIMYITIVE DI^ DERIVATE DI FUNZION (^) ,^ COMPOSTE Sh (g(xlg(x)^ - FLgCxx)^ tc es (^). Bxsin (f 3 l dx gixinfegexy -- coskt FCg(x1) as (^). 1+' dgcal "'5 (^) gexta
t .. I garstarx sanaa (^) - euctare INT. PER PARTI JhIxIgLxIdx=flxJglx)-JfilxIgCx) dx es (^). Sxexdx flx1=ex, (^) gix )=x Jxêdx=êx-fêdxekx-e)tc es (^). Jlogxdx PRIMA TROVIAMO LINTEGRACE (^) DEFINITO T SCEGHAMO (^) filx)=e, quind , flx) =x gIx 1-logx gLXI-E Jlogxdx = Je^ - logy^ dx^ =xlogx^ - Jx-Kdx, = xlogy - x - Xllogx-e) tc ORA TROVIAMO CINTEGRALE DEFINITO IN (^) X (logx-1? elloge-e)-elloge-e) O (^) t 9 =^ t QUIND (^) "s Sslogxdx = (^) e INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE BhLgcxDgCx )dx=ShCyJdya 4 bl glal I (^). SOSTITWZIONE y=gLx) es (^). Isinletedx t-ex, dt-exdx^ zcalcolo (^) dy =gLx^7 dx [ Ssin (e) dt (^) =-costtc se int (^). definito cambiano anche gli estrem^ , sette -3-cosêtc^ a -> (^) (a) g b - y (^) g (bI
INTEGRAZIONE DI UNA (^) FONZIONE DI TIPO (^) hlax +b)^ Shlaxtbldx-EIShItIdt) cont =ax +b es (^). Ssin(3x-5) dx t= (^3) x- a (^) = 3, E = Ssin (3x-51dx^ =s^ ssintdt =-^ cost +c set (^) =34-5, allora (^) Ssin (3x-51dx =-1CoS^13 x-5) tC PER SOSTITUZIONE Sete dy APRIMA POSSIBIUTA : Yre ayzetdy Jeeatpe^ dx= Stey. = arctanlylte arctancexs +." ? SECONDAPOSSIBKITA : Y (^) = eX thy . Sepize dx = fehy ezernte Gdy
- f gexe'G, L (^) dx =G du (^) OTTENIAMO LO STESSO inwertolasostitozione risultatodierima IN MODO DA RICAVARE LAX IN^ DUE MODI DIVERS , ESPLICITA IN^ FUNZIONE (^) DI 4. PIE PASSAGGI MA dxGIA PrOnto (^). SCOMPOSICIONE IN^ FRATT^ ,^ SEMPLIC^ (FUNZIONI RAZIONALI y =-xCx) acx ) ISTEP (^) : DIVISIONE TRA NUMERATORE (^) E DENOMINATORE va (^) fatto solamente nel^ caso in cul (^) il (^) grado del (^) denominatore è (^) pic piccolo del numeratore: (^) dIxknix ) se (^) grd dIx)3 (^) GRdNIX) SALTO QUESTO PASSAGGIO 2 STEP (^) : FATTORIZZARE IL DENOMINATORE scomporre il^ denomminatore^ in^ un^ produttodi^ fattor^ ,^ di^ primo (^) grado elo di^ secondo^ grado non^ ulteriormente^ scomponibil.^ 3 STEP:^ DECOMPORRE^ LA^ FRAZIONE IN FRATT^ SEMPLICI G STEP (^) : INTEGRAZIONE DEL (^) SINGOLI PEZZETTIN
INTEGRABKITA (^) IN SENSO IMPROPRIO Il concetto di (^) integrale secondo Riemann di (^) und funzione (^) hin un intervallo I^ estato introdotto sotto le (^) ipotes , fondarmental, che (^) f fosse und (^) funzione limitata e I (^) fosse un intervallo himitato (^). LIMITE DESTRO Sia^ f : ab )IR,^ a^ EIRU (^) E-o3, tale che^ f sia (^) integrabile in (^) qw.b] per ogni wE (^) laibJ. Se esiste in IR
i 1 limite lim waxJPhCxIdx tale limite é detto (^) integrale improprio o (^) generalizzato di (^) hin (^) laibJe viere denotato con ilsimbolo (^) Såhixldx. Se il (^) limite (^) esiste finito, si dice che (^) fe integrabile in (^) seiso (^) improprio in (^) la,b] eche (^) l'integrale improprio dife (^) convergente in^ labJ.^ Se^ SPhixdx:Is l'integrale improprio (^) difé detto^ divergeite in^ la,b]. Analogamente, Sia^ f^ : Laibl -3^ IR^ , MMITESINISTRO bEIRU Et }, tale (^) che (^) fsiaintegrabil in (^) La,7] per (^) ogn .J E L9, (^) b ). Allora (^) e 'integrale improprio di (^) fin faible, se esiste in (^) ", 11 limite lim russ. SThixidx
INTEGRACI IMPROPRI NEGGI INTEGRACI^ PROPR^ - LZONA DI INTEGRAZIONE ELMITATA INTEGRACE SECONDO RIERANN
- HFUNZIONE^ INTEGRANDA^ ELIMITATA^ } : . : "/1,:: a b SE L FUNZIONE INTEGRANDA O^ A (^) ZONA DI INTEORAZIONE (^) CO EVENTUACMENTE (^) ENTRAMBE) NON SONO LIMITATE SI (^) PARLADI INTEGRALE IMPROPRIO O GENERACIZZATO caso l (^). funzione integranda illimitata Sia (^) hlx) : (^) La, b)-3 Ir (^) continua e illimitata a (^) Sinistra dib (^) louvero lim . b-hCx)
- I8) " ili IN QUESTO CASO SI DEFINISCE S fixidy = enor SfCId MTEORELEPPORRIO SDPOCEDECOMTAC socito Sia (^) flx): (9.b] continua e illimitata (^) a destra di (^) a louvero lm pat^ hlx1-^ "Y."." UIII , MOYST- ASO S , DEFINIECE SfiJaX^
Mun (^) AJsfla iniegraleproprio SI PROCEDE^ COME AC SOLITo IN ENTRAMBI 1 CASI :
- SEK^ LIMITE^ ESISTE EDEFINITO (^) LIX) S (^) , DICE INTEGRABILE^ IN^ LABJ (^) OCHE'SHCxIdX CONVERGE
- SEIL RISULTATO DEL^ CIMITE^ E (^) - OOTOSI DICE CHEL 'INTEGRALE IMPROPRIO (^) DIVERGE
- SEK LIMITE NON (^) ESISTE, SIDICE CHE LINTEGRALE IMPROPRIO NON^ ESISTE^ OE INDETERMINATO es (^). S EOx dx FONZIONE^ ILIMITATA A^ DESTRA { dellO (^) ZeRO hom knot - =to quind, is (^) lim EnorJaIzox dx =7^ lm Enor [ (^) QJY^ -3^ Gnotlim^ 2-TE^ =2^ CONVERGE
CASO IN^ CUL ABBIAMO UN^ ESTREMO ICLIMITATO E FUNZIONE (^) INTEGRANDA KCLIMITATA . 550 ^ dx lirm^ ¿-* x 3 ot^ E^ 2=t 8 y -^ -^ -^ - COME NELLIALTRO (^) CASO, SPEZZIAMO (^) CINTEGRALE IN DUE (^) : 5
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