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23 set 2024
GRANDEZZE FISICHE FONDAMENTALI
Lunghezza - m (metri). Tempo - s (secondi) Massa - kg (chilogrammi) Temperatura termodinamica - K (kelvin) Corrente elettrica - A (ampere) Quantità di sostanza - mol (mole) Intensità luminosa - cd (candela) Angolo piano - rad (radiante) Angolo solido - sr (steradiante) MULTIPLI Deca - da × 10^ Ettò - h × 10^ Chilo - k × 10^ Mega - M × 10^ Giga - G × 10^ SOTTOMULTIPLI Deci - d × 10^{-1} Centi - c × 10^{-2} Milli - m × 10^{-3} Micro - μ\m × 10^{-6} Nano - n × 10^{-9}
ANGOLO PIANO
➔ Circonferenza e raggio La formula della circonferenza C di un cerchio è C=2πr, dove: ○ r è il raggio del cerchio. ○ π è una costante matematica (circa 3,14159). ➔ Relazione tra circonferenza e radianti ● Dividiamo la circonferenza per il raggio r Questo significa che l'angolo di 360° (un angolo giro) equivale a 2π radianti. Quindi, possiamo fare questa corrispondenza: ● 360 ∘ = 2π radianti ● Dividendo entrambi i membri per 2 otteniamo: ○ 180° = π radianti ○ 1 radiante è circa 57,29° ➔ Conversione da gradi a radianti La formula generale per convertire da gradi a radianti è: Quindi, se hai un angolo in gradi, basta moltiplicare per 2π/360° per ottenere l'angolo in radianti. ➔ Esempio pratico Se vuoi convertire α gradi in radianti, puoi usare questa formula: ➔ Facciamo un esempio numerico
➔ Approssimazione del chilogrammo-forza Spesso, per semplicità, si approssima:
.ANALISI DIMENSIONALE
➔ Regola dell’analisi dimensionale Quando scrivi un’equazione fisica come: devi assicurarti che tutti i termini abbiano la stessa unità di misura. Se, ad esempio, a rappresenta una forza, allora anche bc e d/f devono avere unità di misura che corrispondono a una forza. ➔ Esempio di applicazione Supponiamo di avere: ● a come una forza (misurata in Newton, N), ● Allora, b⋅c deve essere una forza, quindi: ○ Se b rappresenta una massa (in kg) e c un'accelerazione (in m/s2), il prodotto b⋅c sarà una forza, perché: ● Inoltre, d/f deve essere una forza, quindi, se: ○ d è un’energia (in Joule, J), ○ f è una lunghezza (in metri, m), ○ Allora d/f sarà una forza, perché: ➔ Consistenza dei multipli e sottomultipli Oltre all’unità di misura, per maggiore precisione, sarebbe meglio che tutti i termini dell’equazione usassero lo stesso multiplo o sottomultiplo dell’unità. Ad esempio: ● Se a è espresso in Newton (N) , anche b⋅c e d/f dovrebbero essere in Newton, non in kilonewton (kN) o millinewton (mN), per evitare errori dovuti a fattori di scala.
TRIGONOMETRIA
➔ Consideriamo un triangolo rettangolo con angolo θ In questo triangolo, abbiamo: ● Il lato adiacente all'angolo θ, che indicheremo con AB=rcos(θ) ● Il lato opposto all'angolo θ, che indicheremo con AC=rsin(θ) ● L'ipotenusa r ➔ Relazione tra i lati AB, AC e θ Si usa il rapporto tra AC e AB per esprimere la tangente dell'angolo θ : Quindi possiamo scrivere: Questo significa che il lato opposto AC è uguale al lato adiacente AB moltiplicato per tan(θ). ➔ Espressione di AB in funzione di AC Se invertiamo la relazione precedente, otteniamo: dove è la cotangente di θ
GRANDEZZE SCALARI
Sono definibili attraverso l'utilizzo di un numero reale come ad esempio: densità, massa, temperatura, ecc…
GRANDEZZE VETTORIALI
Sono definibili attraverso l’utilizzo di uno scalare (intensità o modulo), una direzione e un verso. Richiedono la definizione di uno spazio: Euclideo 3D
Per e2=(0,1): Quindi entrambi i versori hanno modulo uguale a 1, confermando che sono vettori di lunghezza unitaria.
VETTORI
➔ Calcolo del vettore OP Il vettore OP è rappresentato dalle sue componenti nei due assi e1 e e2: dove: ◆ e1 è il versore lungo l'asse x, ◆ e2 è il versore lungo l'asse y. La lunghezza o modulo di OP, indicato come ∣OP∣, si ottiene con la formula: Calcolo: ◆ Eleviamo al quadrato ciascuna componente: ◆ Questo può essere ulteriormente semplificato come:
PRODO
➔ Definizione del prodotto scalare Il prodotto scalare tra due vettori a⃗\ve può essere calcolato in due modi:
● Usando le componenti : ● Usando i moduli e il coseno dell'angolo θ tra i vettori : ➔ Applicazione all’ esempio Consideriamo i vettori: ● OP=(2,2) ● e1=(1,0), che è il versore lungo l'asse x Prodotto scalare usando le componenti Calcoliamo OP⋅e1 usando le componenti: Quindi, OP⋅e1= Calcolo dell'angolo θ tra OP ed e ● Le componenti di OP sono OPx=2 e OPy=2. ● Il rapporto OP è quindi: ● Da qui, otteniamo θ=arctan(1)=45∘ = \fr ➔ Verifica del prodotto scalare usando i moduli e il coseno di θ Ora calcoliamo OP⋅e1 usando i moduli e il coseno dell'angolo θ: ● Il modulo di OP è ∣OP∣=8=22|OP| =
● Il modulo di e1 è ∣e1∣ = 1 ● L'angolo tra OP ed e1 è θ=45∘=π4, quindi cos(θ)= Calcoliamo quindi: ➔ Formula per trovare l'angolo tra due vettori
OC=OP+OD
OD-OC=CD
OC-OD=DC
PRODOTTO DI UNO SCALARE PER UN VETTORE
➔ Definizione del vettore OP : ➔ Definizione di OD come multiplo di OP : Se OD=a⋅OP, dove a=0,5 allora: ➔ Calcolo di OD : Moltiplichiamo ciascuna componente di OP per 0,5:
PRODOTTO VETTORIALE
➔ Definizione del prodotto vettoriale Il prodotto vettoriale tra due vettori U e V in R è un nuovo vettore W, indicato come: W=U×V dove: ● W è ortogonale al piano individuato dai vettori U e V. ● La direzione di W è determinata dalla regola della mano destra. ➔ Modulo del vettore W Il modulo del vettore W, cioè la sua lunghezza ∣W∣, è dato dalla formula: ∣W∣=∣U∣ ∣V∣ sin(α)|
dove: ● ∣U∣ e ∣V∣ sono i moduli (lunghezze) dei vettori U e V, ● α è l'angolo compreso tra i vettori U e V. ➔ Rappresentazione dei versori I versori standard nel sistema di coordinate cartesiane tridimensionale sono: ● e1=(1,0,0)T — verso l'asse x ● e2=(0,1,0)T — verso l'asse y ● e3=(0,0,1)T — verso l'asse z ➔ Prodotto vettoriale Il prodotto vettoriale tra e1 e e2 dà il versore e3: e3=e1×e ➔ Verifica del prodotto vettoriale Calcoliamo il prodotto vettoriale e1×e2 usando il determinante di una matrice 3x3: Calcolando il determinante: ➔ Modulo di e Calcolo modulo di e3: Inoltre, usando il prodotto scalare e l’angolo tra e1 ed e2 (che è 90∘): ➔ Esempio con i vettori U e V Definizione dei vettori: ● U=(1,2,0)T
il determinante è un po’ più complesso da calcolare. La formula generale è: det(B)=a(ei−hf)−b(di−fg)+c(dh−ge) Questa formula si basa sull'espansione di Laplace, e consiste nel:
- Prendere ogni elemento della prima riga (a, b, e c),
- Moltiplicarlo per il determinante della sotto-matrice ottenuta eliminando la riga e colonna in cui si trova l’elemento,
- Applicare i segni alternati (+,−,+) per ogni termine della prima riga. Esempio di calcolo del determinante di una matrice 3× Consideriamo la matrice: Applichiamo la formula passo passo: dove ciascun termine del tipo ∣xyzw è il determinante di una matrice 2×2, e si calcola come xw−yz. Calcoliamo i determinanti delle sotto-matrici: Sostituendo questi valori nella formula, otteniamo: det(B)=a(ei−hf)−b(di−fg)+c(dh−ge)
PRODOTTO TRA MATRICI E VETTORI
➔ Prodotto tra matrici A e B Consideriamo due matrici:
● Matrice A di dimensione m×n ● Matrice B di dimensione J×K Il prodotto tra A e B è possibile solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B , quindi quando n=J. Se il prodotto è possibile, la matrice risultante C=AB avrà dimensioni m×k. Esempio di prodotto tra matrici 2×2: Dati: La matrice prodotto C=AB si calcola facendo il prodotto riga per colonna : Esempio numerico: ➔ Trasposta di una matrice La trasposta di una matrice A, indicata con A^T, si ottiene scambiando le righe con le colonne. Per esempio: Se A=(2113), allora AT=(2113)A, che in questo caso è la stessa poiché A è simmetrica. ➔ Prodotto tra due vettori (prodotto scalare) Dati due vettori colonna U e V, ad esempio: Il prodotto scalare U^T V (o U⋅V) è una somma singola calcolata moltiplicando le componenti corrispondenti e sommando i risultati: UTV=3⋅1+2⋅0+4⋅1=3+0+4= ➔ Prodotto UV^T (prodotto esterno)
La trasposta della matrice dei cofattori, indicata come A(a)A^, si ottiene scambiando le righe e le colonne. In questo caso, però, la matrice è già simmetrica, quindi la trasposta è uguale alla matrice dei cofattori: ➔ Passo 4: Calcolo dell'inversa A−1A L'inversa della matrice A si trova dividendo ogni elemento della matrice trasposta dei cofattori per il determinante di A: Ora dividiamo ogni elemento per 3: ➔ Passo 5: Verifica A−1×A=IA^{- Per confermare che abbiamo trovato l'inversa correttamente, calcoliamo il prodotto tra A^{-1} e A, che dovrebbe restituire la matrice identità: Il risultato è la matrice identità, il che conferma che A−1A^{-1}A−1 è effettivamente l'inversa di A. 26 set 2024
CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE
La cinematica del punto materiale descrive il movimento di un punto nello spazio, considerando le sue coordinate e il vettore spostamento.
➔ Rappresentazione del punto materiale
Un punto materiale in uno spazio cartesiano può essere rappresentato da un vettore posizione. Se consideriamo un punto P con coordinate (xp,yp), possiamo scrivere: OP=xpi+ypj Dove: ● O è l'origine del sistema di riferimento. ● i e j sono i versori lungo gli assi x e y rispettivamente. ➔ Vettore posizione del punto P′ Se consideriamo un secondo punto P′ con coordinate (xp′,yp′), la sua posizione è data da: OP′=xp′i+yp′j ➔ Spostamento del punto Lo spostamento PP′ tra i punti P e P′ è rappresentato dal vettore UP, che può essere calcolato come la differenza tra i vettori posizione di P’′ e P: PP′=OP′−OP=UP Quindi, esplicitamente, possiamo scrivere: UP=(xp′i+yp′j)−(xpi+ypj) Semplificando, otteniamo: UP=(xp′−xp)i+(yp′−yp)j ➔ Vettore spostamento Il vettore spostamento UP rappresenta il cambiamento di posizione del punto materiale da P a P′. Le sue componenti (xp′−xp) e (yp′−yp) rappresentano le variazioni delle coordinate in direzione degli assi x e y. ➔ Interpretazione fisica ● Vettore posizione OP : indica la posizione di un punto nello spazio rispetto a un'origine. ● Vettore spostamento UP : misura quanto e in quale direzione il punto materiale si è spostato da una posizione all'altra.
4. Calcolo del modulo del vettore spostamento Per calcolare il modulo del vettore spostamento UP: Semplificando:
CINEMATICA LINEARIZZATA DEL PUNTO MATERIALE VINCOLATO
La cinematica linearizzata del punto materiale vincolato, si concentra sul movimento di un punto vincolato a muoversi lungo un percorso circolare, con una particolare attenzione alla variazione dell'angolo. Andiamo a chiarire i vari passaggi e concetti. ➔ Definizioni iniziali ● C : rappresenta una traiettoria circolare nel piano. ● R : raggio della circonferenza. ● θ 0 : angolo iniziale. ● θ : variabile lagrangiana (l'angolo attuale del punto). ● Δθ=θ−θ 0 : variazione dell'angolo. ➔ Coordinate del punto P Le coordinate del punto P su una circonferenza sono espresse in termini del raggio R e dell'angolo θ: ● Coordinate iniziali (in funzione dell'angolo iniziale θ 0 ): ○ XP=Rcos(θ0) ○ YP=Rsin(θ0) ● Coordinate finali (in funzione dell'angolo θ): ○ XP′=Rcos(θ) ○ YP′=Rsin(θ)
➔ Vettore posizione Il vettore posizione del punto P è dato da: OP=XPi+YPj=Rcos(θ0)i+Rsin(θ0)j Il vettore posizione del punto finale P′ è: OP′=XP′i+YP′j=Rcos(θ)i+Rsin(θ)j
4. Vettore spostamento Il vettore spostamento UP è dato dalla differenza tra i vettori posizione di P′ e P: UP=OP′−OP=R(cos(θ)−cos(θ0))i+R(sin(θ)−sin(θ0))j ➔ Componenti dello spostamento Le componenti del vettore spostamento possono essere espresse come: ● UP=R(cos(θ)−cos(θ0)) ● VP=R(sin(θ)−sin(θ0)) ➔ Linearizzazione dello spostamento Per linearizzare le funzioni UP(θ) e VP(θ) attorno all'angolo iniziale θ 0 , possiamo utilizzare l'espansione in serie di Taylor. L'idea è di esprimere le funzioni in un intorno di θ 0. L'espansione in serie di Taylor per una funzione f(θ) è data da: ➔ Applicazione alla linearizzazione Applicando l'espansione a UP: Dove: ● UP(θ0)=0 (dato che è il punto iniziale). ● Calcoliamo la derivata di UP:
