Scarica cinematica, velocità e moti e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Fisica solo su Docsity!
CINEMATICA (punto materiale, traiettoria, sistemi di rifermento)
Misurare una grandezza vuol dire metterla a confronto con il campione unitario detto unità di misura. misura diretta: Il confronto diretto di una grandezza con l’unità campione misura indiretta : quando si ricava il valore utilizzando opportune misure analitiche tra la grandezza oggetto della misura e altre grandezze di cui è possibile una misura diretta. La Meccanica è ... la geometria dello spazio-tempo Cinematica – dinamica -statica LA CINEMATICA consiste nello studio dei movimenti dal punto di vista dei soli effetti misurabili, senza tenere in alcun conto le cause che tali effetti determinano. Quest’ultimo è il compito della dinamica. Noi considereremo essenzialmente il moto di un punto materiale , cioè di un punto matematico che è libero di cambiare la sua posizione in funzione del tempo. Le due grandezze fisiche basilari della cinematica sono dunque la posizione ed il tempo
- Con queste due grandezze è possibile costruire un certo numero di altre grandezze, dette grandezze derivate , come ad esempio la velocità, l’accelerazione
- Lo studio del moto di un corpo complesso (sia solido o fluido) può sempre essere effettuato considerando il moto di un certo numero di punti materiali che caratterizzano varie porzioni anche piccolissime del corpo stesso. Grandezze cinematiche Spostamento= Il vettore spostamento unisce la posizione occupata nell’istante iniziale da un punto materiale in moto a quella occupata nell’istante finale. Si definisce quindi come una differenza di vettori posizione e si indica con ΔSS ΔSS=S 2 -S 1 unità di misura=metro Velocità= la velocità media è un vettore definito come rapporto tra le variazioni del vettore velocità e la variazione del tempo. Si definisce velocita’ media scalare del punto materiale, in un dato intervallo di tempo, il rapporto tra la lunghezza dell’arco di traiettoria percorso in quell’intervallo e l’intervallo di tempo stesso. unità di misura= m/s
- dove con S2-S1e’ indicato l’arco di traiettoria percorso nell’intervallo di tempo t2 - t
- Come e’ facilmente comprensibile, la velocita’ media scalare dipende dall’intervallo di tempo considerato. E’ intuitivo pensare che, riducendo sempre più’ l’intervallo di tempo che sì considera, la velocita’ media possa approssimare sempre meglio la velocita’ del mobile in un determinato istante. Infatti, eseguendo misure in intervalli di tempo sempre minori, le corrispondenti velocita’ medie si manifesteranno sempre meno diverse l’una dall’altra
velocita’ istantanea Possiamo definire velocita’ istantanea vi del punto materiale (cioe’ la sua velocita’ in un determinato istante t) la velocita’ media valutata in un intervallo di tempo estremamente piccolo e scrivere: vi=vi(t) In maniera del tutto analoga si puo’ definire la grandezza accelerazione per misurare la rapidita’ di variazione della velocita’. Consideriamo due istanti successivi t1 e t2 in base alla vi=vi(t) sappiamo che le velocita’ del mobile assumono rispettivamente i valori v1 = v (t1) e v2 = v(t2); sì definisce accelerazione tangenziale media del punto materìale, nell’intervallo di tempo (t2 - t1) il rapporto am = V 2 - V1/t2-t tra la differenza delle velocita’ istantanee relative a t1 e t2 e l’intervallo di tempo stesso. In modo analogo a quanto fatto per la velocita’ e’ possibile definire per ogni istante t la accelerazione tangenziale istantanea ai. come accelerazione media in un intervallo di tempo estremamente breve intorno all’istante t. Anche per questa nuova grandezza e’ possibile quindi fornire, in generale, una relazione analitica ai = ai (t) nonche’ una rappresentazione grafica, in un piano cartesiano avente per ascissa il tempo t e per ordinata ai. L’unita’ di misura dell’accelerazione sara’ quella che sì desume dalla espressione am = V 2 - V1/t2-t
e cioe’ trattandosi di una velocita’ divisa per un tempo in m/s^2 nel sistema MKS (sistema di unità
di misura basato sul metro,chilogrammo e secondo) Accelerazione= l’accelerazione media è un vettore definito come rapporto tra la variazione del vettore velocità e la variazione di tempo Accelerazione media: Equazioni parametriche del moto
Moto di un punto nello spazio.
In un riferimento cartesiano tridimensionale,la posizione di un punto materiale P viene individuata dalle tre coordinate x ,y , z , le coordinate delle sue successive posizioni varieranno nel tempo. La conoscenza delle relazioni che legano tali coordinate al tempo ci permette di descrivere il movimento. X=X(t) Y=Y(t) Z=Z(t) Esse costituiscono la legge del moto del punto materiale.
- Esso ci rende immediatamente evidente che lo spazio percorso dal mobile al termine, ad esempio, dei terzo secondo di osservazione e’ stato di 4 m, e che al quinto secondo esso e’ diventato di 8 m.
- Esso ci rende immediatamente evidente che lo spazio percorso dal mobile al termine, ad esempio, del terzo secondo di osservazione e’ stato di 4 m, e che al quinto secondo esso e’ diventato di 8 m. Abbiamo detto che la relazione e’ sufficiente a descrivere il moto di un punto materiale su una traiettoria nota, fornendo il legame di dipendenza esistente tra lo spazio percorso ed il tempo. E’ importante, pero’, nell’ analisi del moto, avere anche una misura della rapidita’ con cui il mobile cambia posizione nel tempo. Si introduce a questo scopo il concetto di velocita’. Riferendoci all’esempio numerico precedente, la velocita’ media del mobile nell’intervallo di tempo compreso tra t1 = 2s e t2 = 4s Vm=6-3/4-2=3m/2s= 1,5m/s In base Vm=S2-S1/T2-T risulta fissata anche l’unita’ di misura della velocita’ che potra’ essere espressa ad es. in m/s o km/h.
Moto di un punto libero
Abbiamo visto che la risoluzione di un problema di moto consiste in generale nel porre in forma esplicita le equazioni orarie del moto, cioe’ le relazioni x = x (t) ; y = y (t) ; z = z (t) per mezzo delle quali possiamo, istante per istante, descrivere completamente il moto del mobile nello spazio. Abbiamo anche visto come, nel caso particolare di un moto su traiettoria prestabilita, esse si possono ridurre alla sola relazione s=f (t) Gli stessi concetti valgono per il moto di un punto libero. Possiamo pertanto parlare, sempre riferendoci alle equazio nì parametriche del moto x = x (t) ; y = y (t) ; z = z (t) , di velocita’ ed accelerazione, medie o istantanee, e scrivere: v x = v x (t) ; vy= vy(t) ; vz = vz (t) ax = ax (t) ; ay = ay(t) ; az = az(t) Le funzioni precedenti individuano le componenti rispettivamente dello spazio percorso, della velocita’ istantanea e dell’accelerazione istantanea del punto. Ciascun gruppo di funzioni va sempre considerato nel suo insieme. E’ molto importante notare che questa rappresentazione parametrica non e’ l’unica possibile per la descrizione del moto. Abbiamo visto che la grandezza spostamento puo’ essere piu’ efficacemente espressa per mezzo di un vettore in quanto fornisce non solo la misura della lunghezza relativa allo spostamento (tramite il suo modulo), ma anche direzione e verso dello spostamento stesso. Consideriamo infatti lo spostamento di un punto P lungo la sua traiettoria, dalla posizione P1 a quella P Quando sì individui ciascuna delle posizioni P1 e P2 per mezzo dei relativi vettori di origine O risulta immediatamente evidente che lo spostamento P1 P2 e’ il vettore differenza deidue vettori 0P1 ed 0P2 cioe’ P 1P2=0P2-OP z y
o
p1 (^) p 2
Supponiamo di ripetere l’operazione che definisce la velocita’ media considerando, anziche’ l’ascissa curvilinea s,il vettore spostamentoP1 P2. Il rapporto dello spazio percorso (spostamento) all’intervallo di tempo impiegato a percorrerlo rappresenta la velocita’ vettoriale media : vm =P2P1/t2-t1 e direzione e verso di P1P Se pensiamo ad un intervallo di tempo t2-t1sufficientemente piccolo, P2 sara’ assai prossimo aP1, il vettoreP1P2 diverra’ tangente in P1 alla traiettoria e il rapporto P1P2/t2-t1 definira’ la velocita’ vettoriale istantanea Il vettore Vi rappresenta dunque, per ciascun punto della traiettoria e quindi istante per istante, la velocita’ del mobile in modulo, direzione e verso, ed e’ in ogni punto tangente alla traiettoria stessa. Analogamente si definisce il vettore accelerazione media : a m=v2-v1/t2-t Per un intervallo di tempo sufficientemente piccolo tale rapporto ci definisce la accelerazione vettoriale istantanea( ai ) Salvo casi particolari, il vettore accelerazione non sara’ tangente alla traiettoria come e’ facile verificare dalla figura Se fosse tangente significherebbe che i vettori velocita’ in istanti successivi potrebbero essere variati in modulo ma non in direzione o verso. Dato che il vettore velocita’ e’ sempre tangente alla traiettoria la traiettoria stessa non potrebbe che essere una retta: si tratterebbe cioe’ di un moto rettilineo. Notiamo che in un moto su traiettoria non rettilinea esiste una accelerazione anche quando il modulo della velocita’ si mantiene costante. Basta infatti pensare che la velocita’ di un punto materiale, considerata come vettore, puo’variare pur mantenendo costante il modulo modificando direzione e verso. Esempi di moto Consideriamo il caso particolare del moto di un punto materiale che percorra una traiettoria
prestabilita con Moto Uniformemente Vario
Il moto di un corpo si dice uniformemente vario se la sua accelerazione tangenziale e’ costante nel tempo. La relazione ai=ai(t) sarà ai=a=costante E’ ovvio che in questo caso 1’ accelerazione media coincide con quella istantanea; infatti, per qualunque intervallo di tempo, il rapporto tra la variazione della velocita’ e l’intervallo stesso, cioe’ l’accelerazione, e’ costante. Cio’ significa che, per un mobile che abbia velocita’ v0 all’istante iniziale to(velocità iniziale)indicata con v la sua velocita’ ad un qualsiasi istante successìvo t,la relazione am=v2-v1/t2-t1 potra’ scriversi Am=v-vo/t-0=v-vo/t e v-vo=at La relazione ci dice che la variazione di velocita’ istantanea nel moto uniformemente vario è direttamente proporzionale al tempo trascorso. L’accelerazione e’ la costante di proporzionalita’. x
.Per giungere a cio’ basta ricordare quanto abbiamo gia’ accennato riguardo alle interpretazioni geometriche di velocita’ ed accelerazione studiando i diagrammi orari Un altro moto di particolare interesse è quello di un punto che descriva una traiettoria circolare con velocità costante nel tempo. Dato che la traiettoria è curvilinea, la velocità non potrà essere costante in direzione e verso, ma solo in modulo. Se anche direzione e verso fossero costanti la traiettoria non potrebbe che essere una retta.
Il moto suddetto prende il nome di Moto Circolare Uniforme
Per la stessa definizione del moto, l’intera circonferenza verrà dunque descritta in un intervallo di tempo costante.Questo tempo prende il nome di periodo e si indica con T_._ Ricordando che la lunghezza di una circonferenza di raggio r è pari a 2Þr/T la velocità sarà v= 2Þr/T Assumendo un punto A come traguardo sulla circonferenza descritta dal mobile P il numero di volte che P passa per A nella unità di tempo dipende ovviamente dal periodo T. In particolare,se il periodo del moto è, ad esempio, 0,5 secondi, noi osserveremo 2 passaggi di P in un secondo. Se il periodo fosse stato 0,25 secondi avremmo contato 4 passaggi. Abbiamo misurato la frequenza del moto circolare uniforme. Indicando con v questa nuova grandezza, possiamo evidentemente scrivere V=1/T e definire la frequenza del moto come il numero di giri compiuti dal mobile nell’unità di tempo E’ chiaro che durante un periodo T il raggio OP descrive l’angolo giro. Misurando gli angoli in radianti, l’angolo giro. vale 2Þ Il rapporto 2Þ/T rappresenta quindi l’angolo (espresso in radianti) coperto dal raggio OP nell’unita’ di tempo, ed ha quindi, ricordando la definizione di velocita’ , le stesse caratteristiche di questa se quale spazio percorso si considera l’angolo coperto dal raggio OP. A tale rapporto si da’ infatti il norme di velocita’ angolare W= 2 Þ/T Vogliamo rilevare che, piu’ in generale, W=a/t dove a. e’ un generico angolo e t il tempo impiegato dal raggio a percorrerlo Confrontando v= 2Þr/T e W= 2Þ/T si ricava che v= W r Che a parità di velocità angolare quanto più ci allontaniamo da O, cioè quanto maggiore è il raggio, tanto maggiore è la velocità del mobile. Essendo il moto circolare uniforme caratterizzato dalla costanza rispetto al tempo del modulo della velocità,l’accelerazione tangenziale è nulla Ha invece un valore diverso da zero l’accelerazione radiale che risulta in questo caso espressa da a= w ² r che è ovviamente costante (in modulo) nel moto circolare uniforme (wcost.). Essa e’ causa della curvatura della traiettoria ed ha quindi ad ogni istante il verso che da P conduce ad O. Da ciò il suo nome di accelerazione centripeta.
Per quanto detto, possiamo rappresentare vettorialmente il moto del punto P Studiamo ora il moto del punto P’ (proiezione ortogonale di P) sul diametro AC. Quando il punto P si trova in B, P’ occupa la posizione indicata con O Velocità di accelerazione che competono a P’ quando esso si trova in O sono facilmente deducibili da quelle che competono a P (nello stesso istante) per semplice proiezione ortogonale di v ed a sul diametro AC. Contrassegnando con P’ le grandezze vettoriali relative al punto P’ è facile verificare che in 0 Vp=v ap= Quando P passa da B a C, P’ passa da O a C. In C,P coincide con P’. In C Vp=0 ap=a Ragionando analogamente per i punti D ed A si ricava che in 0 (puntoP inD) Vp=v ap= In a Vp=0 ap=a Il vettore accelerazione ha in C il verso che da C porta ad O ed in A il verso che da A porta ad O. Cioè l’accelerazione è sempre diretta verso O, centro del moto Il punto P’ percorre il diametro AC prima in un verso e poi nel verso opposto e così via. Sempre da fig.si vede che quando il punto P’ va da O a C, la sua accelerazione aumenta. La stessa cosa succede nel passaggio da O ad A. Viceversa, da C ad O (come pure da A ad O) l’accelerazione diminuisce fino ad annullarsi in O per poi riaumentare nel tratto OC. Dato che O è il centro del moto, consideriamo il vettore OP’ che ci fornisce lo spostamento del punto P’ rispetto ad O ed indichiamolo con Sp E’ facile vedere che i vettori Sp ed ap hanno sempre verso opposto,per un generico istante t, direzione e verso dei vettori Sp ed ap
