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CAPITOLO PRIMO
COMPLEMENTI SUI LOGARITMI
1. Complementi fondamentali sui logaritmi.
1.1. Definizione di logaritmo. Dati due numeri reali positivi a e b , con , si chiama logaritmo in base a del numero b , e si indica con log b (^) a , l’esponente al quale si deve elevare la base a per
ottenere l’ argomento b.
Si devono ricordare due importanti categorie di logaritmi:
● i logaritmi decimali , che sono quelli con base 10; ● i logaritmi naturali ( neperiani ), che sono quelli con base e.
1.2. Calcolo di logaritmi. Data la definizione di logaritmo, è possibile calcolare l’esatto valore di un generico logaritmo individuando l’esponente al quale si deve elevare la base a per ottenere l’argomento b.
Si possono presentare due casi:
- se l’argomento del logaritmo è un esponente razionale della base, il logaritmo è calcolabile in base alla definizione di logaritmo;
- se l’argomento del logaritmo è un esponente irrazionale della base, il logaritmo deve essere calcolato usando la calcolatrice.
Alcune eccezioni di cui si deve tenere presente sono:
il logaritmo di base a , dove a è un numero reale positivo diverso da uno, ed argomento 1, ha come risultato sempre zero;
il logaritmo di base a , dove a è un numero reale positivo diverso da uno, ed argomento la base stessa ha come risultato sempre uno.
1.3. Proprietà fondamentali. Prendendo in considerazione la definizione stessa di logaritmo, si possono individuare due importanti proprietà fondamentali, che sono sempre valida per qualsiasi logaritmo. In particolare, si deve ricordare che:
A) 1° proprieta : qualsiasi numero reale positivo k può essere scritto come logaritmo in base a. In simboli, si ha che:
B) 2° proprietà : qualsiasi numero reale positivo k può essere scritto come potenza di a. In simboli, si ha che:
2. Funzione logaritmica.
2.2. Funzione logaritmica con a maggiore di uno. Una funzione logaritmica con a maggiore di uno ha andamento crescente e presenta le seguenti proprietà fondamentali:
● ha andamento crescente , in quanto all’aumentare di x , i corrispondenti valori di y aumentano in maniera più che proporzionale (si dice, in altri termini, che la funzione è strettamente crescente );
● il grafico di qualsiasi funzione logaritmica interseca l’asse delle ordinate nel punto di coordinate P ≡ (0, 1 ), dal momento che il logaritmo in base a e di argomento 1 è 0 ; di conseguenza, si ha che P ≡ (0,+ 1 );
● l’asse delle ordinate è l’ asintoto orizzontale della funzione logaritmica in quanto il grafico si avvicina al semiasse delle ordinate negative, man mano che x assume valori positivi sempre più prossimi a 0.
Un’importante proprietà di qualsiasi funzione logaritmica è che rappresentata dal fatto che, la funzione logaritmica:
è il simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante del piano cartesiano e della funzione esponenziale:
2.3. Funzione logaritmica con base a minore di uno. Una funzione logaritmica con base a minore di uno, ma maggiore di zero presenta le seguenti proprietà fondamentali:
● ha andamento decrescente , in quanto man mano che x aumenta i corrispondenti valori di y tendono a diminuire progressivamente (si dice, in altri termini, che la funzione è strettamente decrescente );
● il grafico di qualsiasi funzione logaritmica interseca l’asse delle ordinate nel punto di coordinate P ≡ (0, 1 ), dal momento che il logaritmo in base a e di argomento 1 è 0 ; di conseguenza, si ha che P ≡ (0,+ 1 );
● l’asse delle ordinate è l’ asintoto orizzontale , in quanto il grafico si avvicina al semiasse delle ordinate positive, man mano che x assume valori positivi sempre più prossimi a zero.
2.4. Funzione logaritmica con base uguale a uno. Una funzione logaritmica con base uguale a uno non è mai definita in quanto qualsiasi potenza con base 1 elevata ad un certo esponente da come risultato sempre uno. Di conseguenza, non si ha alcuna funzione matematica.
2.5. Funzione neperiana. La funzione neperiana ( naturale ) è una funzione logaritmica definita dall’equazione in forma canonica:
Le proprietà fondamentali della funzione neperiana sono:
- 3° proprietà : “ logaritmo di un quoziente ”. Il logaritmo in base a del quoziente di due numeri reali positivi b e c è uguale alla differenza dei logaritmi in base a di b e c. In simboli:
3.2. Corollari del teorema precedente analizzato.
- 1° corollaro : - 2° corollaro :
3.2. Cambiamento di base. Nel caso in cui ci si trovasse di fronte ad un logaritmo in base a e di argomento b , di cui risulta difficile calcolare il suo valore sia a mente e sia mediante la calcolatrice, si può impiegare la formula del cambiamento di base.
Siano a , b e c tre numeri reali positivi, con a =/ 1 e c =/ 1 ; allora vale la seguente
formula ( formula del cambiamento di base ):
La formula del cambiamento di base permette di trasformare un logaritmo in base a di b in un logaritmo decimale o naturale cosicché il suo valore possa essere calcolato facilmente mediante l’uso di una calcolatrice scientifica o, in alcuni casi, anche a mente.
3.4. Corollari del teorema del cambiamento di base.
A) 1° corollaro : scambiando tra di loro la base e l’argomento di un logaritmo, si ottiene il reciproco del logaritmo dato. In simboli:
B) 2° corollaro : considerando il logaritmo che ha la base reciproca di quella di un logaritmo dato, si ottiene l’opposto del logaritmo dato. In simnoli:
4. Equazioni logaritmiche.
4.1. Definizione di equazioni logaritmiche elementari. Un’equazione si dice logaritmica se l’incognita compare nell’argomento di almeno un logaritmo. In generale, un’equazione logaritmica elementare si presenta in una forma simile alla seguente scrittura:
Un’equazione logaritmica può essere risolta applicando i seguenti procedimenti risolutivi:
- ricondursi, mediante il calcolo algebrico o opportune sostituzioni, a un’equazione elementare nella forma log (^) a ( x )= b ;
Questa equazione può essere risolta solo ed esclusivamente ricorrendo al metodo grafico, che consiste nel rappresentare nel piano cartesiano le due funzioni:
- , funzione logaritmica elementare con e ;
- , funzione lineare o altra funzione algebrica (es. coniche).
In altri termini, l’equazione logaritmica può essere scritta sotto forma di sistema:
Una volta rappresentate le due funzioni, il punto di intersezione o i punti di intersezione tra i grafici delle due funzioni costituiscono le soluzioni dell’equazione logaritmica considerata. Si trattano, spesso, di valori approssimativi.
4.3. Equazioni esponenziali risolvibili mediante logaritmi. Le equazioni esponenziali, cioè quelle che si possono ricondurre o che si presentano nella forma elementare af^ ( x )^ = bg ( x )possono essere risolte anche impiegando i
logaritmi. In particolare, mediante i logaritmi, si può risolvere l’equazione esponenziale:
come? sapendo che due numeri reali positivi sono uguali se e solo se i loro logaritmi sono uguali, ci si riconduce all’equazione logaritmica
che, prendendo in considerazione e applicando le proprietà dei logaritmi ( teorema logaritmo di una potenza ), ci si riconduce all’equazione logaritmica equivalente:
successivamente, risolvendo l’equazione logaritmica ottenuta mediante semplici passaggi algebrici si ottengono le soluzioni dell’equazione esponenziale.
5. Disequazioni logaritmiche.
5.1. Definizione di disequazione logaritmica. Si chiama disequazione logaritmica una disequazione in cui l’incognita compare nell’argomento di almeno un logaritmo. In altri termini, una disequazione è logaritmica se si presenta nella forma:
Una disequazione logaritmica si può risolvere fondamentalmente applicando le stesse tecniche viste per le equazioni logaritmiche. L’unica differenza fondamentale si ha nel momento in cui ci si è ricondotti alla forma:
Dal momento che si deve prestare molta attenzione alla base a del logaritmo:
A) se , si ottiene (non cambia verso disequazione); B) se , si ottiene (cambia verso disequazione).
Il procedimento risolutivo di una disequazione logaritmica si può così sintetizzare:
- si determinano le condizioni di esistenza dei logaritmi che compaiono;
- si cerca di ricondurre la disequazione alla forma elementare log f (^) a ( x )> b ;
- si risolve il sistema formato dalle soluzioni della disequazione.
La disequazione esponenziale, considerando i logaritmi decimali o naturali dei due membri, può essere ricondotta alla disequazione logaritmica
si risolve a questo punto la disequazione logaritmica ottenuta secondo i procedimenti già noti e, in questo modo, si ottengono le soluzioni della disequazione.
6. Modelli di crescita e di decadimento.
6.1. Modelli di crescita. Un modello di crescita esponenziale è una funzione esponenziale che ha come equazione in forma canonica:
Applicato ai fenomeni di crescita, N (^) 0 indica il numero di elementi della popolazione
all’istante t = 0 , N ( t )indica il numero di elementi della popolazione dell’istante t e k è
una costante che dipende dalla velocità di crescita.
6.2. Modello di decadimento. Un modello di decadimento esponenziale è una funzione esponenziale che ha come equazione in forma canonica:
Applicato a fenomeni quali il decadimento radioattivo, Q 0 indica la quantità di una
sostanza radioattiva all’istante t = 0 , Q ( t )indica la quantità di sostanza all’istante t e k è
una costante che dipende dalla velocità di decadimento.
