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> # Answer: -3. > > ############################################################ > > # EX. (2) 132 > > y1<- function(x) -2*x+ 3 > y2<- function(x) x^ 2 +x+ 1 > plot(y1,-2, 2 ) > ## We are not able to see well the exact ordinate > optimize(y1,c(-2, 2 )) $minimum [ 1 ] 1. $objective [ 1 ] -0. > ## The lowest ordinate is - > plot(y2,-2, 2 ) > ## The lowest ordinate is 3 > > # Answer: - > > ############################################################ > > # EX. (2) 133 > > y1<- function(x) x+ 1 > y2<- function(x) x^ 2 + 2 *x+ 4 > plot(y1,-2, 3 ) > ## The lowest ordinate is - > plot(y2,-2, 3 ) > optimize(y2,c(-2, 3 )) $minimum [ 1 ] - $objective [ 1 ] 3 > ## The lowest ordinate is 3 > > # Answer: - > > ############################################################ > > # EX. (2) 134 > > y1<- function(x) 2 *x- 2 > y2<- function(x) x^ 2 + 2 *x- 5 > plot(y1,-1, 2 ) > ## The lowest ordinate is - > plot(y2,-1, 2 ) > ## The lowest ordinate is - > > # Answer: - > > ############################################################ > > # EX. (2) 135 > > y1<- function(x) x- 1 > y2<- function(x) - x^ 2 - 2 *x- 1 > plot(y1,-2, 1 ) > ## The lowest ordinate is - > plot(y2,-2, 1 ) > ## The lowest ordinate is -
> ## The lowest ordinate is - > > # Answer: - > > ############################################################ > > # EX. (2) 136 > > y1<- function(x) 2 x- 2 > y2<- function(x) x^ 2 + 2 x- 5 > plot(y1,-1, 4 ) > ## The lowest ordinate is - > plot(y2,-1, 4 ) > optimize(y2,c(-1, 4 )) $minimum [ 1 ] -0. $objective [ 1 ] - > ## The lowest ordinate is - > > # Answer: - > > ############################################################ > > # EX. (2) 137 > > y1<- function(x) -x+ > y2<- function(x) x^2-2x- > plot(y1,-2,2) > ## The lowest ordinate is - > plot(y2,-2,2) > ## The lowest ordinate is - > > # Answer: - > > ############################################################ > > # EX. (2) 138 > > y1<- function(x) -x+ > y2<- function(x) x^2-2x+ > plot(y1,-1,3) > ## The lowest ordinate is - > plot(y2,-1,3) > ## The lowest ordinate is 1 > > # Answer: - > > ############################################################ > > # EX. (2) 139 > > y1<- function(x) -2*x+ > y2<- function(x) -x^2-x+ > plot(y1,-2,1) > ## The lowest ordinate is - > plot(y2,-2,1) > ## The lowest ordinate is - > > # Answer: - > > ############################################################ > > # EX. (2) 140
> ## The lowest ordinate is - > plot(y2,-2,1) > ## The lowest ordinate is 2 > > # Answer: - > > ############################################################ > > # EX. (3) 101 > > 2(-1:2) [1] 0.5 1.0 2.0 4. > 1: [1] 1 2 3 4 5 6 > > # Answer: (b) The last recycled number was 1 > > ############################################################ > > # EX. (3) 102 > > 2(1:3) [1] 2 4 8 > 1: [1] 1 2 3 4 5 6 > > # Answer: (c) The last recycled number was 8 > > ############################################################ > > # EX. (3) 103 > > exp(0:2) [1] 1.000000 2.718282 7. > 1: [1] 1 2 3 > > # Answer: (c) There was no need to recycle any argument > > ############################################################ > > # EX. (3) 131 > > abs(0:3) [1] 0 1 2 3 > log(1:5) [1] 0.0000000 0.6931472 1.0986123 1.3862944 1. > > # Answer: (c) The first recycled number was 0 > > ############################################################ > > # EX. (3) 132 > > exp(-1:2) [1] 0.3678794 1.0000000 2.7182818 7. > log(1:3) [1] 0.0000000 0.6931472 1. > > # Answer: (d) The last recycled number was 0 > > ############################################################ > > # EX. (3) 133 > > exp(1:2)
[1] 2.718282 7.
> log(1:6) [1] 0.0000000 0.6931472 1.0986123 1.3862944 1.6094379 1. > > # Answer: (c) The last recycled number was 7. > > ############################################################ > > # EX. (3) 134 > > 2(0:3) [1] 1 2 4 8 > 1: [1] 1 2 3 4 > > # Answer: (c) There was no need to recycle any argument > > ############################################################ > > # EX. (3) 135 > > 2(-1:2) [1] 0.5 1.0 2.0 4. > log(1:5) [1] 0.0000000 0.6931472 1.0986123 1.3862944 1. > > # Answer: (d) The last recycled number was 0. > > ############################################################ > > # EX. (3) 136 > > 2**(-1:2) [1] 0.5 1.0 2.0 4. > log(1:4) [1] 0.0000000 0.6931472 1.0986123 1. > > # Answer: (c) There was no need to recycle any argument > > ############################################################ > > # EX. (3) 137 > > exp(-1:3) [1] 0.3678794 1.0000000 2.7182818 7.3890561 20. > 1: [1] 1 2 3 4 5 > > # Answer: (a) There was no need to recycle any argument > > ############################################################ > > # EX. (3) 138 > > abs(1:2) [1] 1 2 > 1: [1] 1 2 > > # Answer: (a) There was no need to recycle any argument > > ############################################################ > > # EX. (3) 139 > > exp(1:3)
> # Answer: (c) > > ############################################################ > > # EX. (4) 135 > > x<- seq(0.4,3,len=11) > y<- 10+sin(10x) > g<- function(x) exp(x) > h<- function(x) 2.8x+ > plot(g,0,3) > plot(h,0,3,add=T) > points(x,y,pch=20) > > # Answer: (c) > > ############################################################ > > # EX. (4) 136 > > x<- seq(0.4,3,len=11) > y<- 10+sin(10x) > g<- function(x) exp(0.9x) > h<- function(x) -13x+ > plot(g,0,3) > plot(h,0,3,add=T) > points(x,y,pch=20) > > # Answer: (a) > > ############################################################ > > # EX. (4) 137 > > # Answer: (d) Simulation can answer the question 'What's the average outcome of my experiment?' > > ############################################################ > > # EX. (4) 138 > > # Answer: (a) Simulation can be used to estimate how probable is an event > > ############################################################ > > # EX. (4) 139 > > x<- seq(0.4,3,len=11) > y<- 10+sin(10x) > g<- function(x) exp(x) > h<- function(x) -6x+ > plot(g,0,3) > plot(h,0,3,add=T) > points(x,y,pch=20) > > # Answer: (d) > > ############################################################ > > # EX. (4) 140 > > x<- seq(0.4,3,len=11) > y<- 10+sin(10x) > g<- function(x) exp(x) > h<- function(x) -12*x+
> h<- function(x) -12x+ > plot(g,0,3) > plot(h,0,3,add=T) > points(x,y,pch=20) > > # Answer: (c) > > ############################################################ > > # EX. (4) 101 > > # Answer: (a) A distribution is a description of a random experiment > > ############################################################ > > # EX. (4) 102 > > x<- seq(0.4,3,len=11) > y<- 10+sin(10x) > g<- function(x) exp(x) > h<- function(x) -2x+ > plot(g,0,3) > plot(h,0,3,add=T) > points(x,y,pch=20) > > # Answer: (d) > > ############################################################ > > # EX. (4) 103 > > x<- seq(0.4,3,len=11) > y<- 10+sin(10x) > g<- function(x) exp(x) > h<- function(x) -6x+ > plot(g,0,3) > plot(h,0,3,add=T) > points(x,y,pch=20) > > # Answer: (c) > > ############################################################ > > # EX. (5) 101 > > set.seed(108) > v<- rnorm(100,-2,3) > sum(v[11:21]) [1] -25. > > # Answer: -25. > > ############################################################ > > # EX. (5) 102 > > set.seed(180) > A<- matrix(runif(9),3,3) > A [,1] [,2] [,3] [1,] 0.2905956 0.32568568 0. [2,] 0.8499301 0.88765772 0. [3,] 0.6784619 0.09354346 0. > b<- c(0,2,1) > A%%b [,1]
> set.seed(171) > A<- matrix(runif(9),3,3) > b<- c(2,0,1) > u<- A%%b > sum(u) [1] 3. > > # Answer: 3. > > ############################################################ > > # EX. (5) 135 > > set.seed(182) > A<- matrix(runif(12),4,3) > b<- c(1,-2,-1) > u<- A%%b > sum(u) [1] -4. > > # Answer: -4. > > ############################################################ > > # EX. (5) 136 > > set.seed(156) > v<- rnorm(100,0,3) > sum(v[41:51]) [1] 12. > > # Answer:12. > > ############################################################ > > # EX. (5) 137 > > set.seed(157) > A<- matrix(runif(6),2,3) > b<- c(2,-2,1) > u<- A%%b > sum(u) [1] 0. > > # Answer: 0.11 (?) > > ############################################################ > > # EX. (5) 138 > > set.seed(178) > v<- rnorm(100,-3,1) > sum(v[31:43]) [1] -38. > > # Answer: -38. > > ############################################################ > > # EX. (5) 139 > > set.seed(166) > A<- matrix(runif(6),2,3) > b<- c(2,-2,-1) > u<- A%%b > sum(u)
[1] -1.
> # Answer: -1. > > ############################################################ > > # EX. (5) 140 > > set.seed(149) > A<- matrix(runif(12),4,3) > b<- c(-2,1,0) > u<- A%%b > sum(u) [1] -2. > > # Answer: -2. > > ############################################################ > > # EX. (6) 131 > > f<- function(x) x^4-x^3+2x^2-2x- > optimize(f,c(-3,0),maximum=T) $maximum [1] -2. $objective [1] 128. > > # Answer: 129 > > ############################################################ > > # EX. (6) 132 > > f<- function(x) -x^4+3x^3+3x^2-x- > optimize(f,c(-3,1)) $minimum [1] -2. $objective [1] -133. > # Answer: - > > ############################################################ > > # EX. (6) 133 > > f<- function(x) x^4+2x^3-4x^2+3x- > optimize(f,c(-1,1),maximum=T) $maximum [1] 0. $objective [1] -0. > > # Answer: 0 > > ############################################################ > > # EX. (6) 134 >
> f<- function(x) -x^4-x^3-4x^2+2x- > plot(f,-10,10) > > # Answer: - > > ############################################################ > > # EX. (6) 140 > > f<- function(x) -x^4+x^3-x^2+x+ > plot(f,-10,10) > > # Answer: - > > ############################################################ > > # EX. (6) 101 > > f<- function(x) x^4-3x^3+3x^2-x- > plot(f,-10,10) > optimize(f,c(-5,5)) $minimum [1] 0. $objective [1] -1. > > # Answer: -1. > > ############################################################ > > # EX. (6) 102 > > f<- function(x) -x^4+4x^3-x^2-3x+ > optimize(f,c(-1,1)) $minimum [1] 0. $objective [1] 2. > > # Answer: 2.54 (?) > > ############################################################ > > # EX. (6) 103 > > f<- function(x) x^4-2x^3+2x^2+x- > optimize(f,c(-1,3)) $minimum [1] -0. $objective [1] -3. > > # Answer: -3. > > ############################################################ > > # EX. (7) 101 >
>> f<- function(x) 0.22exp(0.077x) > g<- function(x) 0.33+0.03x > h<- function(x) f(x)-g(x) > plot(h,0,20) > abline(h=0,col=2) > uniroot(h,c(15,20)) $root [1] 17. $f.root [1] -4.517019e- $iter [1] 5 $init.it [1] NA $estim.prec [1] 6.103516e- > > # Answer: 17. > > ############################################################ > > # EX. (7) 102 > > f<- function(x) -x^3+x^2+2x- > plot(f,-5,5) > abline(h=0,col=2) > plot(f,-2,0) > abline(h=0,col=2) > uniroot(f,c(-1.5,-1)) $root [1] -1. $f.root [1] 4.094805e- $iter [1] 4 $init.it [1] NA $estim.prec [1] 6.103516e- > > # Answer: -1. > > ############################################################ > > # EX. (7) 103 > > f<- function(x) 0.21exp(0.088x) > g<- function(x) 0.3+0.024*x > h<- function(x) f(x)-g(x) > plot(h,0,20) > abline(h=0,col=2) > uniroot(h,c(10,15)) $root [1] 11.
[ 1 ] NA
$estim.prec [ 1 ] 6.103516e- > > # Answer: -2. > > ############################################################ > > # EX. (7) 133 > > f<- function(x) x/ 100 +0.25exp(0.087x) > g<- function(x) f(x)- > plot(g, 0 , 20 ) > abline(h= 0 ,col= 2 ) > uniroot(g,c( 10 , 15 )) $root [ 1 ] 14. $f.root [ 1 ] 7.290371e- $iter [ 1 ] 4 $init.it [ 1 ] NA $estim.prec [ 1 ] 6.103516e- > > # Answer: 14. > > ############################################################ > > # EX. (7) 134 > > f<- function(x) - x^ 3 - 4 x^ 2 - 2 x+ 1 > plot(f,-5, 5 ) > abline(h= 0 ,col= 2 ) > uniroot(f,c( 0 , 2 )) $root [ 1 ] 0. $f.root [ 1 ] 7.449028e- $iter [ 1 ] 9 $init.it [ 1 ] NA $estim.prec [ 1 ] 6.103516e- > > # Answer: 0. > > ############################################################ > > # EX. (7) 135 > > f<- function(x) x/ 100 +0.2exp(0.086x)
> f<- function(x) x/ 100 +0.2exp(0.086x) > g<- function(x) f(x)- > plot(g, 0 , 20 ) > abline(h= 0 ,col= 2 ) > uniroot(g,c( 15 , 20 )) $root [ 1 ] 16. $f.root [ 1 ] -1.180642e- $iter [ 1 ] 4 $init.it [ 1 ] NA $estim.prec [ 1 ] 6.103516e- > > # Answer: 16. > > ############################################################ > > # EX. (7) 136 > > f<- function(x) - x^ 3 + 3 x^ 2 +x- 1 > plot(f,-5, 5 ) > abline(h= 0 ,col= 2 ) > plot(f,-2, 2 ) > abline(h= 0 ,col= 2 ) > uniroot(f,c(-1, 0 )) $root [ 1 ] -0. $f.root [ 1 ] -0. $iter [ 1 ] 5 $init.it [ 1 ] NA $estim.prec [ 1 ] 6.103516e- > > # Answer: -0. > > ############################################################ > > # EX. (7) 137 > > f<- function(x) x/ 100 +0.19exp(0.087*x) > g<- function(x) f(x)- > plot(g,-50, 50 ) > abline(h= 0 ,col= 2 ) > uniroot(g,c( 0 , 20 )) $root [ 1 ] 16. $f.root [ 1 ] -2.182935e-
> # Answer: 17. > > ############################################################ > > # EX. (7) 140 > > f<- function(x) x^ 3 + 3 *x^ 2 + 4 *x+ 1 > plot(f,-5, 5 ) > abline(h= 0 ,col= 2 ) > plot(f,-2, 0 ) > abline(h= 0 ,col= 2 ) > uniroot(f,c(-0.5, 0 )) $root [ 1 ] -0. $f.root [ 1 ] -5.435077e- $iter [ 1 ] 5 $init.it [ 1 ] NA $estim.prec [ 1 ] 6.103516e- > > # Answer: -0. > > ############################################################ > > # EX. (8) 131 > > f<- function(x,y) 5 *x^ 2 + 2 xy+ 4 *y^ 2 + 4 *x- 2 y- 2 > fb<- function(x) f(x[ 1 ],x[ 2 ]) > x<- seq(-5, 5 ,len= 100 ) > y<- seq(-5, 5 ,len= 100 ) > fz<- outer(x,y,f) > persp(x,y,fz) > > # Answer: - > > ############################################################ > > # EX. (8) 132 > > # y=(exp(-x^2)+5-3x)/ > f<- function(x) 4 *x- 5 *((exp(-x^ 2 )+5- 3 *x)/ 2 )-exp(-((exp(-x^ 2 )+5- 3 *x)/ 2 )^ 2 )- > plot(f,-5, 5 ) > uniroot(f,c(-5, 5 )) $root [ 1 ] 1. $f.root [ 1 ] 0. $iter [ 1 ] 4 $init.it [ 1 ] NA
$estim.prec [ 1 ] 6.103516e- > > # Answer: 1. > > ############################################################ > > # EX. (8) 133 > > f<- function(x,y) x^ 2 - 2 xy+ 4 *y^ 2 +x- 5 *y- 1 > fb<- function(x) f(x[ 1 ],x[ 2 ]) > x<- seq(-5, 5 ,len= 100 ) > y<- seq(-5, 5 ,len= 100 ) > fz<- outer(x,y,f) > persp(x,y,fz) > image(x,y,fz) > contour(x,y,fz,add=T,labcex=1.3) > optim(c(-2, 2 ),fb) $par [ 1 ] 0.1665076 0. $value [ 1 ] -2. $counts function gradient 69 NA $convergence [ 1 ] 0 $message NULL > > # Answer: -2. > > ############################################################ > > # EX. (8) 134 > > f<- function(x,y) x^ 2 + 2 xy+y^ 2 +x > g<- function(x,y) (x+ 1 )^ 2 +(y- 1 )^ 2 > x<- seq(-10, 10 ,len= 201 ) > y<- seq(-10, 10 ,len= 201 ) > fz<- outer(x,y,f) > gz<- outer(x,y,g) > contour(x,y,fz,level= 0 ) > contour(x,y,gz,level= 1 ,add=T) > > # Answer: 4 > > ############################################################ > > # EX. (8) 135 > > f<- function(x,y) x^ 2 + 2 xy+y^ 2 +x > g<- function(x,y) (x- 1 )^ 2 +(y- 1 )^ 2 > x<- seq(-10, 10 ,len= 201 ) > y<- seq(-10, 10 ,len= 201 ) > fz<- outer(x,y,f) > gz<- outer(x,y,g) > contour(x,y,fz,level= 0 )
