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ORALE MATEMATICA
L’insieme dei numeri reali viene indicato con il simbolo R R+ è l’insieme dei numeri reali positivi R- è l’insieme dei numeri reali negativi Il valore assoluto di un numero viene indicato con |x| Un’equazione di secondo grado Si risolve con la formula: Se il discriminante (radicando) è maggiore di 0 si hanno due soluzioni distinte, se il discriminante è uguale a 0 si ha un’unica soluzione, se il discriminante è minore di 0 non ci sono soluzioni reali La radice di un numero negativo però, non è definita in R di conseguenza occorre introdurre una nuova grandezza chiamata unità immaginaria (indicata con la i minuscola) L’insieme dei numeri complessi si indica con la lettera C , si può considerare un’estensione dei numeri reali e in ogni numero complesso si distingue una parte reale ed una immaginaria. I numeri complessi si rappresentano sul piano di Gauss e l’ascissa rappresenta la parte reale mentre l’ordinata la parte immaginaria. Un numero complesso chiamato z è definito dalla somma tra un numero reale indicato con a e un’unità immaginaria indicata con bi Gli intervalli in R:
- Tra parentesi quadre l’intervallo è chiuso
- Tra parentesi tonde l’intervallo è aperto
- Con l’infinito si mette sempre la parentesi tonda
- Se l’infinito è positivo l’intervallo è illimitato superiormente, al contrario se l’infinito è negativo l’intervallo è illimitato inferiormente
Maggioranti e minoranti - insieme limitato Esempio: nell’insieme (-2;1) ad esempio, tutti i numeri k maggiori di 1 sono maggioranti mentre tutti i numeri h minori di -2 sono minoranti Nè maggioranti né minoranti - insieme illimitato Massimi e minimi di un insieme Esempio: x=(-infinito, 3] 3 è un massimo Il massimo si indica con x* mentre il minimo si indica con x con il trattino sopra Estremi inferiori e superiori di un insieme Esempio: x=(-infinito, 3] estremo superiore di x= 3 mentre estremo inferiore di x= -infinito Le Funzioni Reali
- x è detta variabile indipendente mentre y è detta variabile dipendente (da x)
- R è detto codominio della funzione
- D è detto dominio della funzione (campo di esistenza C.E.)
- Il grafico della funzione è costituito da tutti i punti dell’insieme (bidimensionale)
- A differenza del grafico di una funzione a due variabili che è tridimensionale Una funzione definita in X si dice: Una funzione definita in X si dice: Funzione affine: ax+by+c=0 con b diverso da 0 (come grafico una retta) y= mx+q se c=0 è una retta che passa per l’origine
Una funzione si dice limitata se la sua immagine è un insieme limitato Se non è limitato diremo che la funzione è illimitata superiormente o inferiormente Se l’immagine della funzione ha un massimo allora la funzione ammette un massimo assoluto o globale. Un punto di massimo assoluto (Xo) è un punto che assume il più grande tra i valori dalla funzione e quindi per ogni x appartenente al dominio la f(x) sarà minore della f(xo). Ugualmente se l’immagine della funzione ha un minimo allora la funzione ammette un minimo assoluto o globale. x* : massimo x con trattino sopra: minimo L’intorno circolare centrato nel punto x (con trattino sopra) e di raggio delta è definito come l’intervallo: Di conseguenza se esiste un intorno di x (trattino) tale che x è il punto di minimo di questo intorno allora x è un minimo locale o relativo. E se esiste un intorno di x* tale che x è il punto di massimo di questo intorno allora x è un massimo locale o relativo. I punti di massimo/minimo assoluti sono anche relativi ma non sempre viceversa. Funzione composta: Date due funzioni y=f(x) e z=g(y) si chiama funzione composta la funzione ottenuta applicando ad x la prima funzione e ad y la seconda funzione ottenendo un valore finale z uguale a z=g(f(x)) Funzione pari/dispari: Una funzione si dice pari quando la f(x) è uguale alla f(-x) Il grafico della funzione pari è simmetrico rispetto all’asse delle y Una funzione si dice dispari quando la f(-x) è uguale a -f(x) Il grafico della funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine Il dominio di una funzione pari o dispari è simmetrico rispetto allo 0 Se si guarda una funzione con valore assoluto si eliminano le parti al di sotto della x quindi quelle negative La funzione inversa: Esempio: la funzione inversa di f è f alla meno 1 — è quella funzione che composta ad f coincide con la funzione di partenza
Se esiste la funzione inversa allora la funzione viene detta invertibile e ci dev’essere una corrispondenza biunivoca (ad ogni elemento del condominio corrisponde uno e un solo elemento del dominio) Se una funzione è strettamente crescente allora è invertibile nel suo dominio e la sua inversa è anch’essa strettamente crescente La monotonia è condizione sufficiente ma non necessaria per l’invertibilità Distanza o metrica: Dato l’insieme X si definisce distanza o metrica la funzione d che rispetta i seguenti requisiti:
- d(x,y)> e uguale a 0 per ogni x e y appartenenti a R
- d(x,y)=0 se e solo se x=y
- vale la proprietà simmetrica d(x,y)=d(y,x)
- vale la disuguaglianza triangolare Se esiste la funzione d allora si dirà che X è uno spazio metrico L’insieme dei reali è uno spazio metrico (ad esempio per d(x,y)= |x-y|) Sia X uno spazio metrico in cui è definita la funzione d, si dice intorno circolare di centro C appartenente a X e di raggio r il luogo dei punti aventi distanza minore di r da c Sia X uno spazio metrico si dice intorno di un punto c, qualunque insieme che contenga un intorno circolare di c Sia X uno spazio metrico, si dice P punto interno ad A se esiste un intorno circolare di P tutto contenuto in A. Si dice P punto esterno ad A se P è interno al complementare di A rispetto a X. Si dice P punto di frontiera un punto tale che in ogni suo intorno circolare esistono sia punti appartenenti ad A sia non appartenenti ad A. I punti di frontiera non sono né interni né esterni. Si dice P punto di accumulazione di un insieme A se in ogni suo intorno circolare esiste almeno un punto di A diverso da P. L’insieme dei punti di accumulazione di A è detto derivato di A. Se P è interno ad A è anche punto di accumulazione, se è esterno non è punto di accumulazione e se è un punto di frontiera può esserlo o meno. Un insieme viene detto chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione. I limiti: L’operazione di limite descrive il comportamento della funzione f nelle vicinanze del punto Xo. Il limite si legge ad esempio come ‘il limite di f per x che tende a Xo è uguale ad l’
Algebra dei limiti:
- Il limite per x che tende a Xo di k per f(x) è uguale a kxl
- Il limite per x che tende a Xo di (f+g)(x) è uguale a l+m
- Il limite per x che tende a Xo di (fxg)(x) è uguale a lxm
- Il limite per x che tende a Xo di (f/g)(x) è uguale a l/m con m diverso da 0 a denominatore
- Il limite per x che tende a Xo di (1/f)(x) è uguale a 1/l con l diverso da 0 a denominatore Le forme di indecisione:
- 0 per infinito
- 0/0 (si prendono le x con l’esponente più basso sia al numeratore che al denominatore)
- Infinito/infinito (si prendono le x con l’esponente più alto sia al numeratore che al denominatore) Se il limite per x che tende ad Xo di f(x) è uguale a + infinito allora anche il limite per x che tende a Xo di g(x) tende a + infinito e viceversa. Teorema del confronto: Siano f,g e h delle funzioni definite in un insieme X appartenente ad R e sia Xo appartenente ad X un punto di accumulazione per X si può dire che: Se il limite per x che tende a Xo di f(x) è uguale ad l e il limite per x che tende a Xo di g(x) è uguale a l, quindi sono uguali, anche il limite per x che tende a Xo di h(x) sarà uguale. f(x)<h(x)<g(x) Altre forme di indecisione: Se il limite per x che tende ad Xo di f(x) è uguale ad l e il limite per x che tende ad Xo di g(x) è uguale ad m allora si avrà che il limite per x che tende ad Xo di f(x) alla g(x) sarà uguale ad l alla m.
- Infinito alla infinito
- 0 alla 0
- 1 alla infinito
- Infinito alla 0
- 0 alla infinito Di solito in questi casi si utilizza il logaritmo Il numero e è detto numero di Nepero, è un numero irrazionale e trascendente, equivale a circa 2, Il limite per x che tende a più infinito di (1+1/x) alla x è uguale ad e. Il limite per x che tende a meno infinito di (1+1/x) elevato alla x e il limite per x che tende a più infinito di (1-1/x) alla meno x valgono entrambe e.
Se f(x) per x che tende a Xo è uguale a +/- infinito allora f si dice infinito di x che tende a Xo. Se f(x) per x che tende a Xo è uguale a 0 invece, f si dice infinitesimo di x che tende a Xo. Se il limite per x che tende ad Xo di f(x)/g(x) è uguale ad l ma diverso da 0 si dice che f(x) e g(x) siano infinitesimi dello stesso ordine. Quando l è uguale a 1 si dicono equivalenti. Quando l è uguale a 0 si dice che f(x) è di ordine superiore rispetto a g(x). Se non esiste il limite si dice che non sono confrontabili. La continuità: Se esiste il limite da sinistra di f(x) e il limite da destra di f(x), sono uguali, sono finiti e sono anche uguali alla f(Xo) allora la funzione si dice continua in Xo. Se i due limiti non sono uguali e non sono finiti allora la funzione si dice discontinua in Xo. Se esiste il limite per x che tende a Xo+ allora la funzione si dice continua da destra in Xo e se esiste il limite per x che tende a Xo- la funzione si dice continua da sinistra in Xo. Tutte le funzioni elementari sono continue nel loro dominio (es: sin x, cos x, x alla a) Discontinuità di 1 specie: Se i limiti da sinistra e da destra sono entrambe finiti ma diversi tra di loro allora si avrà una discontinuità di 1 specie (salto) Discontinuità di 2 specie: Se almeno uno dei due limiti è uguale a +/- infinito o non esiste allora si dice che c’è un punto di discontinuità di 2 specie Discontinuità di 3 specie: Se i due limiti sono finiti e uguali ma diversi dalla f(Xo) allora si avrà una discontinuità di 3 specie detta anche eliminabile Teorema di Weierstrass: Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora la funzione ammetterà dei massimi e dei minimi globali in quell’intervallo. Teorema di Darboux o dei valori intermedi: Se una funzione f(x) è continua per ogni x appartenente ad un intervallo [a,b] allora almeno in un punto Xo appartenente ad X assume dei valori compresi tra i minimi e i massimi della funzione.
Se f’(x) è maggiore/uguale a 0 la funzione è crescente in I Se f’(x) è minore/uguale a 0 la funzione è decrescente in I Se f’(x) è maggiore di 0 la funzione è strettamente crescente in I Se f’(x) è minore di 0 la funzione è strettamente decrescente in I Teorema di Fermat: Se prendiamo una funzione f(x) derivabile in Xo, se Xo è un punto di massimo o minimo locale della funzione allora la derivata di Xo sarà uguale a 0 e Xo si dirà punto stazionario della funzione (dove la derivata si annulla oppure non è definita). Teorema di Rolle: Se la funzione f(x) è continua nell’intervallo chiuso [a,b], se la funzione f(x) è derivabile nell’intervallo aperto (a,b) e se la f(a) è uguale alla f(b) allora esisterà un punto c appartenente all’intervallo aperto (a,b) tale che la derivata del punto c sia 0 Teorema di Lagrange: Uguale al teorema di Rolle tranne che per l’ultima ipotesi. Esisterà un punto c appartenente all’intervallo aperto (a,b) tale che la derivata di c sia uguale a f(a)-f(b)/a-b Derivata seconda: La derivata di una funzione già derivata si dice derivata seconda della funzione Se la funzione f(x) è derivabile due volte in (a,b) e se la f’’(x) è maggiore o uguale a zero allora la funzione è convessa, se la f’’(x) è minore o uguale a zero la funzione è concava Il punto di flesso a tengente obliqua viene individuato con la derivata seconda Se la f’(Xo) è uguale a 0 avremo un flesso a tangente orizzontale (la derivata si annulla) Se il limite è uguale a +/- infinito avremo un flesso a tangente verticale (particolare punto di non derivabilità)
- Se la f’’(Xo)<0 il punto Xo sarà un massimo locale
- Se la f’’(Xo)>0 il punto Xo sarà un minimo locale
- Se la f’’(Xo)=0 il punto Xo può essere un massimo, un minimo o un flesso a tangente orizzontale Differenziabilità: Una funzione f(x) si dice differenziabile in Xo appartenete all’intervallo aperto (a,b) se esiste alfa appartenente ad R tale che, preso Xo + h appartenente ad (a,b) si ha: Il termine alfah è detto differenziale di f in Xo all’incremento di h o invece viene detto termine di errore e va più velocemente a 0 rispetto ad h La retta di equazione y= f(Xo) + alfah è la miglior approssimazione della funzione f(x) in un intorno Xo Una funzione f(x) è differenziabile in Xo se e solo se è derivabile in Xo Formula di Taylor: Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione in un punto ci permette di esprimere la funzione nell’intorno del punto come una sequenza di polinomi di Taylor di ordine n. La formula è Studio di una funzione:
- Step 1: studio del dominio Radicando maggiore/uguale a 0 Logaritmo maggiore di 0 Denominatore di una frazione diverso da 0
- Step 2: pari/dispari Pari se f(x)=f(-x) Dispari se f(-x)=-f(x)
- Step 3: determinazione del segno f(x)>/uguale a 0
- Step 4: intersezione con gli assi x=0 y= y=0 x=
Il problema di Cauchy: Il problema di Cauchy mette a sistema y’(x)=f(x) (detta equazione differenziale) e y(Xo)=yo Per vedere la continuità di f(x) in un intorno Xo Per dimostrare l’esistenza e l’unicità della soluzione Integrazione di due funzioni razionali fratte: Se il grado del numeratore è maggiore rispetto a quello del denominatore: divisione tra polinomi. Se il grado del numeratore è minore rispetto a quello del denominatore allora ci sono tre casi: se il radicando > di 0 (scomposizione tramite A/ e B/); se il radicando = 0 (è un quadrato); se il radicando < di 0 (arctangente) Integrazione per sostituzione Integrazione per parti Integrali definiti: Trapezoide: figura geometrica delimitata da tre segmenti e una curva Data una funzione f(x) limitata in un intervallo chiuso [a,b], si definisce partizione o suddivisione di [a,b] in n sottointervalli come una successione finita di punti. Poiché la funzione è limitata nell’intervallo [a,b] esistono dei massimi e dei minimi. Vengono poi definite le approssimazioni per difetto e per eccesso (somme superiori e inferiori di Darboux). Gli insiemi delle somme inferiori e superiori sono limitati superiormente e inferiormente e separati. Se l’elemento di separazione è unico S si dice integrale definito di f(x) nell’intervallo [a,b] secondo Riemann Una funzione f(x) è limitata in [a,b] e integrabile secondo Riemann se, scelta una particolare partizione di ampiezza costante, il limite delle somme inferiori è uguale al limite delle somme superiori. Una funzione f(x) è integrabile in [a,b] se:
- f(x) è continua in [a,b]
- f(x) è monotona in [a,b]
- f(x) è limitata e continua a tratti in [a,b] Per calcolare l'integrale definito di una funzione continua basta trovare una delle primitive della funzione integranda e calcolare la differenza fra i valori assunti da tale primitiva negli estremi di integrazione Se f(x) è integrabile in [a,b] È detto media integrale di f(x) in [a,b]
Teorema della media integrale: f(x) è continua in [a,b] con a diversa da b Dimostrazione: Il valore medio secondo il teorema di Darboux è un valore compreso tra minimo e massimo della funzione Data una funzione f(x) integrabile in un intervallo chiuso I, dicesi funzione integrale una funzione F così definita
- (^) Una funzione integrale esiste in [a,b] se e solo se la funzione integranda è integrabile in [a,b]
- (^) Una funzione integrale definita in [a,b] è sempre continua in [a,b] Dimostrazione: Il teorema fondamentale del calcolo integrale: Una funzione f(x) continua nell’intervallo aperto I
Per trovare il gradiente di una funzione si trovano le derivate delle variabili e le si scrivono in verticale tra due parentesi quadre
