Scarica Congruenze - Matematica Discreta e Logica e più Appunti in PDF di Matematica Discreta solo su Docsity!
conGRuca te Sta (A/4,°, Qu, la) un anello commutotivo. Invceriti e dia DEA, a vi dice invertibile in A se esiste DEA tale che a-bx la. Buvrsore dELO Teno >° Es:rteo al nel mondo delle congruente modub « Um elemento GEA é wa divitone dello teno (d.d.e) ser * ato; * ABEA, be, vale che ba Og; CS did. Canoo Un campo é Gn anello commutativo Aln cu cqu elrmento GEA tole che Aso € inentibile, toruwio hi inreggata’ Un omelie commutetico che é puiva di dda, » clima bominio di Tuteguto, IRR BUCME Sa A un domiuio e EA, Allona diuemo che a è un elemento isviducibile ses ta+0q € nou È inventibile; + Ogni volta che amb.c cen b,c GA aMena hoc d invertibile, Puro + si dice elemento piìmo è A ser e GA e von È inuerdibile; + Ogni volta che alb-c alla albo alc. Ln quenale, vele sempne felementi primi & felimenti imniducibi0i?, Se An Palena vale l'uguaglianza CiApd: di RESTO KRobuwo n Sia un2 e nEIN. lo selarione di comuutnza 2 modulo n, 2 (mod n) se e role se n\(a-b) Va,bE CADE di CORGRLotAntA Per ogni 6 2 indichiamo x la sum clusme di conquuraza medulo n a- {BEE b=a (ea «)} Trdichimno con &, 1 ® » {ja €} l'‘insione quoziente, ampia L'insieme di tulte le classi di equivalunta, Teoesra li Se n22 olona En: J5,T,Z,...,R-1} € ho na E, elementi, ni Se DE Tolona divido 0. gen n => esittone undici q,/n CÈ tale ce azquen e Ognen. Queste significa che lana (an) nutro a (du) ossia er È consequerta E ÎS,T,2,..., =}. Tufine pen praunne che sono tuta distinte, 14) con /} E {EÙT,.- ER} e OCli-jl vw alone ‘$](med e), cioé iti quedi ÎETI,..., FTT} bo csottenente n elementi. Otetaneni su E, definiamo due operazioni ru È. che lo nendone un cnello commutatto, î, Sommot: E xt -> È, 0) abi 1, Prodotto sr: Ext. (HIT Le definizioni di tonno e prodolto di E, souo hen ponte pax 10 seguente teonema. Teohena Saro ab, d6E, sez (modu) e bEd(modn), alone atb= C+ d(mod n) a'b=c+d(med n) Niue: vio ciet CONA Th = I CCG reni DPiasrRAZIOoNE Vo Pen ipotesi abhiano che a-canh € b-danr von Mi6E È, Alone: ib (+8): ac +b-d> nhont = n(h-t) «let nlerb)-(Gud) => (Geb)i cr d(iod ») 2.5: ha che ab-cd: ab-ad+ ad-cd= a(b-d)t d(a-c)e alue)+d(na)e n(ak +64) cioé @b5S cè (mad u) sese. T Sia & $sa Asi +ls tz s s_
8; 100.3 =Î7,a,0t Toriuentipie, 1.52 B=t; frmwentiaie:} = ST,7,5,33 Rossa, R-i-8; fag= fo} Î2.4,63 0$1,5,5,8} 5 >omentibito, E-Te tz Vate sempre Es ÎS0]da tto finventibi0.$8 E -> de -L=6; drostangione Si han che 10 -\ (med 0) quindi (TEC) (med 1) quasi t08% ((1ed 00) aa 1 (med) AMono asa io reo +aiote ag-a, razcazzerst(-1) a (mod i) E Sp - Sg (mod i) Seque che Ulm ce U|Sp-Sa. ANESRA COW6LURALE ertna Sa pu rumeno piso positivo pro, alma Vx,t€ È vale (esp) = 44) (ud) Cd mosTRazione Rx il | toa E eo Pe Bo sens Te att 1) È (10) DEN MP [LEE SEIT TORI CAS Ò dove W> p(e-1)p-a)"=* Cp-reri). Ono pIAl, e inoline pie‘ peschà gi < pe se p dividesre K\ allora p domabioe dividene un } con 16 per pesci pe primo, Questo È impossibile penché (5 } PI > PIA è (R), Segue cre (cene x'+ y° E) ely (mad p) Teorena <> Saniona essesce :l biccslo Tearera d: Fircmat Sia DE& e pEP cer 650, allora: alza (med e) V a''21( mod e) Me rata nE Bisiiaquiaro due cavi +. Cose asa. Aocedo pen indutiore sua, (a) Se aro alla 020 (moi e) Ch) Se are amuno che valza a' = o. (eò e). Pre che vole (+1) = asi (med p). Pea 0 demone 1 (2+1)" = ot+ (où e) pen ipotesi indulto (estar: (mod p) È, Cass ao, Osservo che Da (a+ (-a))"= a (a) (made) Guidi als -(a)" (ed p) ona -a>o e pen "Cass mecedente vole Ca) -a(mod p) Quindi nio che x - Cal (mod e) 3 -(a)( od p) 3 almed p) => Sembra emo anche questo di Finmat Sa e€EP, p>o e "EE. A%@ua: e se Media, p)41 si ha che of-‘3 O(medp); è de Koblo, p)=' si ache at-'2 (mod p). Dirosraanone f° Biando HCD(ap)*1 peichd pd guino Ked(a,p)= p cioe pla cioe o = O(mes Pe) € quindi af'= (mes p) 3° Quando Kod(a,p)=\ pan 10 Teorema di Fermat si ha che a'-02 O (med p) Quindi af.) 30(od e) elo(ott-1) Priché pé puro segue cha 0 pia ma quisto d falsa peschi sì avnebbe KCD(a,p)= pel. Oppone. plot cioe af. 3 O(od e) Esento Berenmicane 10 sesto dellla divisione pen 13 del nume 5648. Omnia nisolvene 6188 (mod 13), Ossenvo che p=13 d primo e waggione di sento. Quindi a=5648 = 13-464+6 * 6(moò 13) Ono devo gone 6 (mod d) Antico 10 contlasio di Famat = Riché 3 d prima e KCd(6,18)=1 allona: al‘a (med p)=> 6° (mod 18) Pra niduciamo l'etpontetre D2 modulo La: B2\2 (2:26 +9 => 321 = Ymod 12) Quindi 6° = 6° (od 13) Qua colcs0iamo 6% (eò (3) paste per paso e 6Ì 2 360+ de2+10 +) 36 2 (mad (8) Aisocrare va * 6a 6.6» 10.63 603 13:4+82> 603 £(eò 13) >| seus? = e** a 6° = 5(meò 13) | >» 6%: 6-62 8-6=48=13:31%2> 4839(mad\3) —_ * 6426%.6+ 9-6 =Su= 3-4 +23 SA2 2(ueò 8) #2 Megl: «ppanti del professore usa meglio le » 682 65.6» 2-62 12= 139-0412222: \2(uoò 13) prepriete delle potence e arnicva puma al ‘6°: 60.6 2-6» %2= xe 54% => 323 +(mod (8) risaliato Qiunle 168= 6-6 #62 02» (3-34 3 22 A233B(mod 13) d6%=6%-6=3-6= 1a: 3-14 => (8 28( mod 13) dinosri VI Chiamo Rome marmazinccom è Mia E Yiaua,iia. Allono Meb(Mi, mi)» 1, poiché Yeti Mob(mjimi)= 1, Quindi Wi la conquuento Mx (od a) Vo soluzione unico vadulo ui, chiamo x: una soluzione particolane, questo la posso Pau Vie t,.-.,5 Conuideno i0 numero ya Mod Magie Meeg è vediamo che y misolve !l sistema ciod che pes ogni ia (1. -0,5 ya ni (modi) “fatti ya Rot Mpa echo E 0+04 004 Hi 4 Oer E Kia Ri (modi) questo perché x; € soluzione di Uix Sn; (mod n). terno «2 3(meò 4) mis li 1,23 435 “e 2 (od 3) = Kem- wma me 60 x 4(mod 5) Ms 16 Kai> 220 = pen nimoluene il sitema devo quindi rizaluene 4Sx3 3(mad 4) 20,22 (med3) \2x33 A(modS) Quindi x>i => \5-\2 3(-eòd 4) >> 4-3 325433 xasi => 20-122(eò 3) «> 3-6= 1872 x322 => \2-:2% (ed 5) => 5-4=20;n2 4 la slutiare del sistena modulo € È ya Rot Roca tMagxa> (5-04 290-0412223 S9 Ffostwere bi Coueno Sa aC o Pl) = {free iter (en at NtimAena vuceno - Feanar Sia vu un iero attivo e QE È tale che Kebla,a)=\, Alon Pa (med v\ Uan Ta‘ Sia A antlle commutativ, le unito di A sore U(A)= fac Ala inventitile) Ceatosizione Sia nè nx2 cllea le anita: dell'onatte Pr sore U(Z.)-SR|nes(e,u) +1} 0) AFtofotitont fia net und aMera agi elenarto diverso do Sd ®, È Imentibift oppure lm d'vitane dell desto, Ditbsraatose Se BE, tale che +8, cweso nta, e GE U(B,), cicé KCB(am): ddl. Quindi creano «he © È Un inteso, tegen; quirdi Fio Ho: i Md da (1) segue maz re) 10.) Moonera di 2 f. Se a,b EE, tale che (a.b)ei, allona p(a-b)» Pa) - P(b); 1- Se f prino positivo e mo allea e(p")= p"-(p-1). rn) ciotazta' | Pmbriera 2 1(2.-3%.5%.3)= e(2°)- P(89)- (5°) PG)= @- 54 -20-6=25920 imonolfisro CRA ANS Stomo A,8 anelli commutetivi, una funtione biunivoca {14->8 e tale cne Va ,0, CA, vale: *E (ata) = Ga) Has) * $(a 4 02)> SH) 0 562) UE AONTAN sì dice inomonfiizmo na AeBb, Ae 6 s: dicono isemonfii e scnivd AB. Merwione Siano A,4, anelli comutattiui, su A, x A1>Î (aa) a EA 6A f defini: "(e aa) +(b ba) = (sb, Q2+0,) + (0.02) (bi, 62) = (ab, ae ba) Ax A, é un anello conmutativo pradotto diuetto di Ae Aa. . (PVI (04,,04,) * Fanes, Cata.) ‘IAA, 0 TA Ne TA, se Siaite Teotena Sia hinteno, n2 2, nasa eb con a, hEÈ inteni positivi, KB(,b)=1, Allona l'anello End Box By TAMASTRA LLOLE Piove che po Dda > (da) av) < bietis. Riu il Seorena cinese rei Resri, poiché nz@a-b e hebla,b)=\1 allora Ycd4E FX esiste tn unico tolutione È nodulo u del sistana to x 3d( mad bd) Quindi Y ([eTaali]a 4) € Tax ®j tointe n unico (xTa, tale cine £([x]2d = (felan,ft]av). Segue che Fd suntetiua. Suppongo che xy &€ rale che £([x]z,)e8(Trlau) oueno ([xlza, Urlau)= (nea, (1]2t) € mostro che Eian=02, clrragtafu Ra Sì basa sul fare che lu foltonizenzione în numeri primi di uu vumeno d Un problema nou tolimbile dall punto di vista compututiorale. Ogni titente U ponsiede una coppia di intesi peattivi che e di cieninio ptblica La Nel renro che è un problema di quande complessita’ computazionale (wou intoomme.e) (ma, tu) * e, chiamato Hobuwo,é 0 pradette di due numeri primi dirtiuti p,9 che devono Creme segnati e molto grandi, Più di 200 cifre; Ta, chiamato BscmntatE CU 681%, È ua ivtee pesitivo coprimo can En) ossia rerleu Pu) Ossenco che Psv) = PC) EA = Ced) = Tuolrne colcolo du, ESfawENtTE PRvato, tele che due EM mod Onu) Guind' la criar pubblica € (nu. tu) è quella private (muidu). la chiave del metodo fish sta ael Gatte che per caleslane du a pantine de eu von tasta concert hu mo denve sapene fn sua Belnittatione che, comt ge dallo, È cu puablema cen trattabile dol punto di vista computarionale, Sano A/B utenti e HM messaggio. A vuole mondane Muessaggio a ®, A procede andavdo nell'elinco della chiavi pubblica per concane la chiave di ® e se H> n Mosa A dovro dfezcane M in vani blocati che tisultive minor: d' ne, t
