Curve a due variabili, integrali, Appunti di Analisi Matematica II

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Io

CAPITOLO

2

LECURVE

(FUNZIONI A

PIÙ

VARIABILI

CAPITOLO

3

INTEGRALI

(Dopple

TRIPLI)

pagina

CAPITOLO 2

FUNZIONI A VALORI VETTORIALI

LE CURVE

CURVE PLANE

a

(8(t)

, g(t)

consideriamo

due

funzioni

f,

g

: (a

,

b] -R

CONTINUE.

Al variare

di t in (a

,

b] il

punto (f(t) ,

g(t)

ER

·

descrive una

curva

piana

di

equazione

parametriche

E

T

telabb il

punto

si mude con continuita

g

: (a

,

b)

CURVE

NELLO SPAZIO

Estendiamo le nozioni

precedente al caso di

R

(

F(t) = re(t)

[

re(t)

-(t)Ez

• +(a ,

b)

componenti per

3 Direzioni

3 versari

dove Va

,

Ve ,

ra

: [a ,

b] R sono

funzioni

continue

ESEMPIO 1

↑

(t)

=

Rastiz

+ RSentiz +

2 t 5 +

20

,

4]

SRC

20

(R

,

rappresenta

un arco di

elica circolare cilindrica

X e

y

moto circolare

Lt

proporzionale

all'angolo

di rotazione

M

x+

y

R

o

o

↑

·

R

OPERAZIONI

OPERAZIONI ALGEBRICHE

Date le funzioni

: Ca

,

b] er"

definiarno

: Somma (F

q((t)

: = (t) +

q(t)

Vettoriale

:

(a

,

by

• Rh

prodotto (85)

(t)

: =

f(t)

Ect)

f

: (a

,

b] -R Scalare

prodotto

scalare (F

.

(t)

=

f(t)

(t)

sviluppo

come

detformate <

(5,

Prodotto

vetae

con Is , 2 ,

iz base canonica

CALCOLO DIFFERENZIALEe INTEGRALE

· Definizione limite

: Dato un punto

totta , b)

>

lim

(t)

=

Elim(t)

In

Cimite

fatto

su tutte le

componenti =

lim

e to

re(t)

,

... ,

lien

Esto

Un(t)

· DefinizioneDerivata : Dato un

punto

teba

,

bl

,

(t)

=

Erict)

=

(rect)

...in

Cimite

rapporto

incrementale

n-upla su tutte le

derivate delle

componenti

· Definizione

integrale

:

I

(t)

tractat)

=

retdt

...

rettore :

singoli integrali

di tutte le

componenti

le

proprietà

valgano

per

la

funzione

uttoriale <

= >

valgano

per

tutte

le

componenti

REGOLE DERIVAZIONE

(59'(t)

(t)(t)

E(t)'(t)

Il

prodotto

vettoriale non

gode

della

proprietà commutativa

pagina

1

PROPRIETÀCURVE

RETTA

TANGENTE

Dato

tot(a

,

b]

,

f(t) Derivabile in to con #lto) #

vettore

che determina

la direzione

il vettare rito) è un vettare TANGENTE alla curva

di

equazione

parametrica

(t)

mee punto

Fo = Fito

Nell'interpretazione MECCANICA

(t)

= posizione

,

['(t)

=

E(t)

la

velocità (vettore

tangente

F"(t) =(t)

accelerazione

(to)

=

Lim

(to + 2)

(td

=

(r](to)

, ..., !(to)

0 h

= lim

ricto

• a) - r

,

(to)

,

...,

Lim

ricto

• h)

Un

(to)

R - o h h -> 0 &

• >

Vito)

nY

F '(to) se

Ficto(

è il vettare Tangente

htt

↑

>

x

La retta passante per

Fo =

(to) e Parallela

&

r' (to)

al vettare

'Ito)

descritta

dall'equazione

parametrica

to

eg

: retta

tang

:

Y =

(to)

T'(to)(t

• to)

f(to)

>

è

detta retta

tangente

alla curva

nel

punto

Xo

per

t = to no

F =

Estol

punto

di

passaggio

=

F(to)

>

T =

reto)(t

to) +ER

TRIEDRO FONDAMENTALE DI CURVE IN R

Pato to

E ba

,

bl ser(t) è derivabile in to con'lto) #È così

definisce

la direzione

Titol

· T(td =

VERSORE TANGENTE

• >

multiplo r

: conserva direzione e verso

Il

con norma = I

alla curva

in To

= F

(to)

Se

(t) = :

oppure

F'(t)

=

E la curva

è retta

Essendo un versare

al variare di

,

(t)

può

solo cambiare direzione

alt

= 2 (t). F (t) = ~ t

FCt) e

F'(t)

ortogonali

·

Se f'Ito)

È

questo

vettore si

può

normalizzare e si ottiene

N

(to)

: =

f'(to)

VERSORE NORMALE PRINCIPALE alla curva in

To =

Flto)

11

F'(to) Il

· Il

vettore

Bito) : = Fito)

XNIto)

è

il Versore BINOMIALe alla curra

in

t

=(to)

Esto)

octogonale

a

FCzo

e

Nctol

F

(to)

e

(to) versori e

ortogonali

BCto) ha norma unitaria

ESERCIZI

ESERCIZIO 1

Sia XER

. Una particella

si muove

seguendo

la traiettoria

:

↑ (t)

=

+Sen(t)ij

+ +(a)(t)[z

Ct 25

teR

Determinare 2

tale che 11811111

=

2 TECO(R)

·

Calcolo : =(t)

=

T'(t)

=

(Sen(t)

+(a(t))[z

(Cas(t)

-Sen(t))[z

22ti

(1)

=

(Sen(1) +

cas(1))[

(Cos(2)

Sen(1)

22iz

·

(1)Il

= (Sen(1)

cg(2))

2

(Cos(2)

• Sen (1)

= 2Sen2(1)

422

= 2

422

2

=

118 (1)1)

=

2 + n= 2

422

=

4

= 2 =

I

2

ESERCIZIO 2

Determinare la retta

tangente

ed i versori

tangente

e normale

alla curva

↑ (t)

=

cas(t)[

Sen(t)i

te

,

2] into

=

>

asservo

che il

sostegno

di t è la

circonferenza

di centro (

,

1. e

raggio

1

·

Retta

tangente

:

(t) =

Sen(t)[

(a(t)

te( ,

2 π]

(

[) =

2

vettore posizione

))

=

i

=

E

+z

ziz +

(t

=

(-+)

(

Ear((t)

= x(t)[z

y(t)[2)

E

x(t)

=

2

y(t)

=

E +

Eliminando il

parametro t

/Sommo le due

equazioni)

x

y

=

v

·

Versone

tangente

& '(t) = -

Senct)[y

cas(t)i

= > 11f(t)))

= 1

Allora

Fit)

= '(t) ve

()

()

=

·

versone normale

↑

'(t)

= -

cas(t)iz

Sen(t)

• (t)

Si ha Il

Fltill =

1

(t)

=

f'(t)

=

(t)

= -

E

zi

=

()

M

↑'(t)

=

e(t)

↑

a = - F = T

L

7

ESERCIZIO

3

Sia LER .

Una

particella

si muove

seguendo

la

traiettoria

(t)

= (

(s(t) 1

3 sem() [

Gi

tel , 2]

Determinare

per quali

valori di 2 il vettore relocità (7) è

ortogonale

al vettore accellerazione

[lt)

per

ogui

t e 20

,

2]

Si

ha :

E(t) = E'lt) = (2-2) Sen

(t) +

3 cas(t)i

63

a(t)

"(t)

=

• 1. (os(t)i

3 Sen(t)i

Allora : Vt

,

2]

(t) act)

= 12

2) 2 Sen

(t)cas(t)

• 9 Sen(t) cas(t)

= 0

=

Sen(t)ca(t)((

=

= 04 = (

• 9

= 0

= > 2

• 2

= 13

=

>

L

=

1

oppure

d

=

5

CURVE

RETTIFICABILI

e

LUNGHEZZA

LUNGHEZZA

DI UNA CURVA

· consideriamo una ceva t descritta dalla

funzione

continua

: Ca ,

b] -R

· consideriamo una suddivisione di [a

,

b)

, a

= to < tec

... <

+m = b

corrispondentemente

ai

punti

sulla curva F(tr)

,

K

= 0 ,

...,

me

· consideriamo la

poligonale

P "inscritta " nella curva che si ottiene

congiungendo questi

punti

,

la

lunghezza

di Pédata da

L(P)

[Il-El-

Segmento F

Poligonale

P

E

1

L(P)

= 11

X

112

x

+...

L

= 11 -

zl

P

118ctr)

FCtr -

2)ll

Es

R= 1

O

E

Yz

&

.

-.

ulti-el

[(tz)

.

%

(ti)

L(P)

=

(t)

-E

Fiti

7

⑨ I

ti " ..

F(b)

a = to b

= tn

2

~

Ectic-FCti

-a)

LIP) è un valare

approssimato

della

lunghezza

della curva

che stiamo cercando

, se

consideriamo

un'altra suddivisione ottenuta

dalla

precedente

aggiungendo

altri

punti

(ti)

se

aggiungo

punti faccio

crescere la somma

complessiva

aumenta la

lunghessa

·

·

T(b)

LCP)

può

solo aumentare

fornendo

al

una

migliore

apprasimazione

Infatti

: se

aggiungiamo

tr

tra

tr-2 eth

si

ha

Ectr)

Ectr-1)1/ (IF(tr)

FCt'kill

11 ECtiv)

F(tr-21)

DEFINIZIONE

: La curva

↑ è detta rettificabile

se

l'estremo

superiore

delle

lunghezze

delle

poligonali

inscritte , al

variare di tutte le

possibili

suddivisioni

eup

L(P) è

finito

P

~

Se T è rettificabile

definiamo

la

lunghezza

di

T

come LIT)

=

cup

L(P)

P

• >

se suppL(P)

è

infinito

la cueva von è rettificabile

ESEMPIO

Y

Data la funzione fit

=

co

la

curva descritta da

F(t)

=

f(t)iz

,

1]

è Non rettificabile

t

= 0

Xf

TEOREMA RETTIFICABILE

Sia

una

curva

regolare

. Allara

↑ è

rettificabile

e la sua

cungherra

é data da ((t)

=

/I

till a

>

Il

'CtIII

è il modulo

del

vettore velocità

>

la

formula

della

lunghessa

è la

riformulazione

integrale

di

"Spazio

= Velocità

tempo"

è

indipendente

dalla

particolare rappresentazione

parametrica

ESEMPIO 1

Sia ↑ la

circonferenza

di centro ( ,

1. e

raggio

R

·

F(t)

=

Rcast

[

Rsent

i2 teCO

,

Lit]

↑ '(t)

= -

RSent[

Rcost 2

<

11'ctill

=

Resent

Roccet

= R

·

perciò la

lunghezza

è data da

L(P)

=

(

Rat = [R] = RITT

ESEMPIO

2

Sia ↑

l'arco di elica circolare cilindrica

·

Fle)

=

Rcast 2

Rsent

i

ht 23 te[a

, by

E'(t)

=

RSent 1

Rcost

23 < Il

'ctill

=

RESent

Roccet + 2

2

= R =

·

perciò la

lunghezza

è data da

L(P)

=

Rdt

b-al R

S

ESEMPIO 3

Sia ↑

l'arco di

cicloide

·

F(t)

=

RIt-sentite

R/z-costliz teCo

,

2]

E'(t)

=

R(

cost)[1 + R(sent)T

< Il

'(t)ll

= R

(2-cast)

2

+ Ro Sent

= J

cart-2coet)

Senat

= R

1-2cost

cost

serita

=

R22(1-cost)

=

2R

1-cat

E

cos(2x)

= cox- Sen

E

1 Cas (2x)

=

2 sen

2x

• >

1

• cas(2x)

= senz

=

ca2X

Senx

1

=

cax

+ sem

2

t

= 2x

• >

x

=

t

• >

1-cost

=

Sent(E)

essendo al

quadrato

posso

fare

la

radial

2

(as2x

=

1 +

cas(2x)

faccio

la comma

= 2R

Sen2()

=

2R/Sen())

=

arsen

e

20 ,

]

·

perciò la

lunghezza

è data da

L(P)

=

(

.

12Rsen()

=

R2-cas()]

(

• 1. 1

=

GR(CX-Coso)

= 4R

2

=

8R

ESERCIZI LUNGHEZZA

ESERCIZIO

4

calcolare la

lunghessa

della curva

fl)

=

e

• 12 +

• 12 + - 2

,

asservo

che

: ve

(d-

,

quindi

L

=

III'(till

at

Fit)

=

32 +

<

ctil

=

(2)

=

• 2

Leora

=

12 (

intervallo

Derivat

e

te (

,

3]

Il

'Lill

= 28

E

• 81t

=

/E

97)x

=

/E

9t/ +

30 22

970

·clara (

=

(2 (E

9t)dt

=

[log(t)

273

=

log(3)

2

e(1)

2

=

log(3)

36

·

ESERCIZIO 7

Calcolare la

lunghezza

del

grafico

di f(x)

= 1-11-x

43)3/

ristretta in [E ,

1]

·

rappresentazione parametrica della

curva di

e

cartesiana ~

y

=

f(x)

= 1

(

x43)

EXXX

1

F(t)

=

tiz +

f(t) - >

Radici terre sempre

definite

·

Calcolo

·

'C

-E e

Radici secondee

ma se

positive

per intervallo

L

Io

ESERCIZIO

Calcolare la

lunghesra

della arco

di

parabola Y

= x

2

0xX

· la curva

è data in

forma

Cartesiana

: Cerchiamo una sua

rappresentazione

parametrica

X(t)

= t

[x(t)

te [

,

2]

· In

forma

rettoriale

(t)

= x(t) i + y(t)iz

= tiz

t

·

Allora Filt)

27iz

>

115'(t)ll

= 1 + 4t

e- e

• S

·

L

=

I

(25)2 de

mo per

calcolarlo

cambio

variabile Senh(s)

: =

2t

=

Sent(S) =

dt

=

Ecoh(s)

ds

cashis

:

=

e

e s

cash(s)

=

2 + e

25

zete

2

=

=

/cash"

(s)dS

=

/(cosh(25)

1)ds

=

S

Esenb(es)

C

in

=

ES +

Sengisch)c

·

Ritorno

in t

Leuca

e

Se

> quindi

=

/

1242

dt

=[Elog

+t

.

INTEGRALI CURVILINEI

1 SPECIE

pagina

Siano C

: AGR" R un campo

scalare continuo

,

I una curva

regolare

a tratti

con

rappresentazione parametrica

F

: (a , b)

R contenuta in A

F(a

,

b])A

Sia s l'ascissa curvilinea

DEFINIZIONE

:

prende

il nome di

Integrale

curvilineo di

2 specie crispetto

alla

lunghezza

d'arcol di

esteso alla curva

l'integrate/e((t)

S'(t) dt

si indica

(+T

c

)d

Se

:

[

,

L] +R" è la

rappresentazione parametrica

con

parametro

la

eunghezza

d'arco

(

e F

)dS

=

I

.

eg' (s))

as

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

12

-(x

,

Y)

Se t

è una curva

piama

S

e(x , y) as

Rappresenta

l'area della

superficie

↑

↑

Y

(nel

piano

X ,Y)

e il

grafico

di l

costituita

dai

punti

di R

compresi

tra

T

·

ristretta a

T

X

PROPRIETÀ

: ·

valgono

le proprietà

di linearità e additività

G

(2(z)ds

=

(1)

Teds

(e)

Eds

·

Per

ogni

(z .

CeER ;

se

T

= Tautz allora vale la

decomposizione

(1ds-feds

·

l'integrale

curvilineo

di

prima

specie

èIndipendente Dalla rappresentazione

PARAMETRICA della curva

,

in

particolare

del suo verso

di

percorrenza

ESEMPIO

sia I la

circonferenza

di Centro

, 0) e

raggio

R

Calcolare

yz

E

=

S

yz

dS

RIASSUNTO INTEGRALI CURVILINEI PRIMA SPECIE

Dati

T

:

ACR"-R

campo

scalare continuo

·

CURva

REGOLARE a tratti con

rappresentazione parametrica

• = (t) + =(a

,

b]

f((a

,

b])cA

e con ascisa curvilinea Sit)

:=

(IFTI/1dT

= <

S'ct)

=

I rict)

·

Definiamo

INTEGRALE CURVILINEO dil

rispetto

alla

lunghessa

d'arco

↓

1ds

:

=

+(FCt))

S'CE) at

ESERCIZI INTEGRALI CURVILINEI 2 SPECIE

ESERCIZIO

1

Calcolare

Jfx*

y2-z)

ds ce

↑ è

l'arco di Elica

circolare

↑(t)

=

RCOS(t)[

RSen(t) + ht

+3 te(

,

i] f(x, y ,

= x z

yz

z

T Y

2

Calcoliamo

:Se

Ra

zelara

:

J. (x

y

• z)ds

=

f) (R"case(t)

R2 sen

=

(t) - ht)

·

R

h2 de

=

S:

(R

ht)

·

R2 + 2 dt = R

=

[Rit-G

=

R

2

(RITT-)

ESERCIZIO

2

Calcolare

Ji

xye

as ore T è la curra

↑

(t)

=

3 cos(t)iz

35en(t) te

,

π]

T Y

• >

calcoliamo

:

'(t)

=

-Sen(t) +Cast) i

'ctll

=

ESeri(t))

9.cy2(t)

=

3

gcast

Allara

:

J _

3cast)

.

3 Sen(t)e

ds

=

(3cs(t)

·

3

senct)

escort

3 at

9co2t

sentco(t)e dt(28)

=

Eca)

CAMPI VETTORIALI

pagina

62

RIASSUNTO

INTEGRALI CURVILINEI 2

·

SPECIE

Dati

· F:

ACR"-R"

campo

vettoriale continuo

·

T curva

regolare

a tratti con

rappresentazione

parametrica

f(t)

,

+t (a

,

b] [((a

,

b])

CA

Chiamiamo Integrale curvilineo di

FlangoTJ

_

F

dr

:=

(F(r(t))

. E'(t) de

=

FRE) I

In

particolare

nel

caso di :

· un

campo

rettoriale F piano

·

una curva

piana

data dal

grafico

di

una

funzione

g

F(t)

=

tiz +

g(t)iz

te(a

,

b)

si ha

J

F.

d

=

(

(Fz(t

, g(t))

F2(t

,

g(t))g'(t)dt

~

ESERCIZI INTEGRALI CURVILINEI 2.

SPECIE

ESERCIZIO 4

Calcolare S

F

·

di

ore

F(x

,

y)

= (x

=

2xy)[z

(yz

2xy)i

e T è

l'arco di

parabola

y

= X2 da

A

=

,

1. a B

=

A

·

B

·

una

parametrizzazione

è F(t)

= tiz + t

tel

1

,

1]

y

(t)

= [2 +

2ti

X

Y

>

• 1

1

• >

F(u(t))

=

(t

2 tt2)[z

(t

2ttz)[z

=

(tz

• 2t3)[z +

(t"

2t3)[

·

Allora

↓

F.

d

=

/(F2(ct))

rect)

Fectr(t)

=

J

((t

2tYE"

2tY))dt

=

12

It -2t3 + 2tS

ht")dt

=

2)2(t

-ht4)dt =

2

[34]

ESERCIZIO S

Calcolare S+

F

.

di

ore

F(x

,

y)

=

12R-Y

(E

E

conRERt

et è

l'arco di ciclocide

·(t)

=

R(t-Sen(t))

[

R(

cg(t))[

te

,

2]

X

Y

·

Si ha T'(t)

=

R(1-cos(t)([2 +

RSen(t)

F

(F(t))

=

(2R

R

• RCO(t))[1 + R(t

Sen(t))E = R(

Cos(t))[2 + R(t

Sen(t))i

·

zeeora (+Fdr

=

(

R2((

cos(t)) (1-Cos(t))

(t

Semit))Senct)] at

=

R2(((

cas(t))

(tsen(t)

Sen2(t))]dt

=

R

Esen(t)

cos2(t)

Serct)] de

=

R2/Esenct)dt

= R22-tcost)]

+ R

%**

1. Coe(t) dt

= R2[-tcas(t) +

Sen(t)]z

=

2 πR

ESERCIZIO 6

Calcolare

SF

.

ar are

f(xy)

=

ore

T

è la

circonferenza

di

equazione

cartesiana x

y

=

=

a

percorsa

in senso

antiorario Standard

·

Si ha

(t) =

aco(t) [1 + asen(t) [2 te 20

,

2]

X Y

E'(t)

= -

asen(t)i2 + acast)[2 te 20

,

2 π]

Firce)

=

acc(t)

aSentt)

2

& senit)-acos(t)

[

az

·

Allora

(

Ed

cas(t)

sen(t)

1- asen(t))

Sen(t)-cas(t)

/ acosct))

dt

Q

a

=

/22 - Sen(t)

(as(t)

Sen(t) + Sen(e) cos(t)

cos(t)]dt

=

(

1dt

=

L

132 =

2