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STATISTICA – TEORIA
Concetti:
- Popolazione : (o universo) è un qualsiasi insieme di elementi che forma l’oggetto di studio di un’analisi
statistica.
- Campione : è un sotto-insieme ottenuto da una particolare popolazione e finalizzato ad un’analisi
statistica.
- Unità statistica : rappresenta l’elemento base della popolazione, la quale può quindi essere intesa come
l’insieme delle unità statistiche ad essa relative. Un’unità statistica può consistere in un individuo, un
oggetto, un animale, ecc.
- Carattere : è il fenomeno oggetto di studio, rilevato sulle unità statistiche della popolazione di riferimento e
codificato secondo le esigenze dell’analisi statistica.
- Modalità : è l’espressione concreta con la quale la variabile si manifesta nelle unità statistiche. La
modalità può consistere in un numero (l’età di un particolare individuo) così come in una qualità (il genere
di un individuo). Le modalità del carattere sono esaustive e mutuamente esclusive (corrisponde solo una).
- Parametro : è una caratteristica numerica della popolazione (generalmente ignota)
- Statistica : è una funzione numerica del campione che NON contiene parametri ignoti
- Stimatore : è una statistica usata per stimare un parametro (ad esempio: media campionaria, proporzione
campionaria). È una variabile casuale funzione del campione
(X
1
, X
2
,... , X
n
la cui realizzazione è
finalizzata al parametro θ.
- Stima puntuale : stima di un parametro sconosciuto della popolazione attraverso una statistica
calcolata dall’osservazione campionaria
- Intervallo di confidenza : calcolo di un intervallo di valori a partire dalle osservazioni campionarie
che includa il parametro incognito della popolazione con un grado di fiducia attribuito
- Stimatore consistente : Uno stimatore T n
=t ( X
1
, X
2
,... , X
n
) definito su un campione casuale di ampiezza
n è uno stimatore consistente del parametro θ se per
lim
n → ∞
EQM
T
n
(θ)= 0 ∀ θ ∈ Θ
- Stima : valore numerico che lo stimatore assume in corrispondenza di un campione osservato.
- Caratteri/variabili qualitative : Le variabili statistiche possono essere qualitative, se esprimono una
qualità dell’individuo (ad esempio colore degli occhi o dei capelli). Una variabile qualitativa non viene
misurata, ma classificata in categorie sulla base delle modalità con cui essa si presenta (neri, castani,
rossi, biondi). Le modalità utilizzate per descrivere il fenomeno analizzato prendono la forma di aggettivi o
di altre espressioni verbali. I dati qualitativi possono essere:
- Nominali : se non esiste nessun ordinamento naturale tra le modalità; esempi di dati sconnessi sono:
il sesso (F-M), il tipo di servizio offerto da un albergo (mezza pensione/pensione completa, ecc),
professione, settore di attività economica.
- Ordinali : nel caso in cui un ordinamento naturale esiste; esempi di dati qualitativi ordinali sono: il titolo
di studio, il grado di soddisfazione/gradimento.
- Dicotomici/binari : quando le modalità sono solamente due. Esempi: maschio/femmina, vivo/morto).
- Caratteri/variabili quantitative : Le variabili quantitativi sono quelle che possono essere misurate su una
scala discreta (numero di carte di credito possedute, numero di dipendenti di un’azienda) o su una scala
continua (reddito). Le modalità sono espresse da numeri. I dati quantitativi si suddividono in:
- Discreti : (how many?) quando le modalità sono esprimibili da numeri interi; provengono da un
conteggio. Esempi: il numero di clienti, il numero di pezzi prodotti, messaggi di WhatsApp.
- Continui o reali : (how much?) quando le modalità sono esprimibili da numeri reali; provengono da
una misurazione. Esempi: il tempo d’attesa ad uno sportello, il peso di un manufatto, il tempo, il
reddito/soldi.
- Distribuzione di frequenza : è una rappresentazione tabella che riporta le modalità del carattere ed il
numero (assoluto, relativo, percentuale) delle unità che presentano il carattere con quelle modalità.
Contiamo le unità che presentano la stessa modalità. Questo ha significato per i caratteri qualitativi e
quantitativi discreti. Nel caso dei caratteri quantitativi occorre suddividere i valori che le variabile può
assumere in intervalli o classi.
- Distribuzione di frequenza assoluta : la frequenza assoluta di una modalità rappresenta il numero di
volte che questa si presenta nel collettivo. Scarsa efficacia di sintesi in presenza di un numero elevato di
modalità.
- Frequenze cumulate : la frequenza cumulata associata ad una modalità del carattere misura il numero
dei casi che presentano un valore non superiore a quella modalità. Ha significato solo se il carattere è
misurato su scala almeno ordinale.
- Media : è una sintesi di un carattere quantitativo (è una misura). Le proprietà sono cinque:
- Internalità: (mediana)
x
( min
)
≤ x ≤ x
( max
)
- La media aritmetica equi ripartisce il totale di un carattere tra le unità: esempio del portafoglio,
redistribuire soldi. (no mediana)
n x=
i= 1
n
x
i
- La somma degli scarti dalla media aritmetica è nulla: esempio: quando nella distribuzione dei soldi
qualcuno è contento e altri non lo sono. (mediana)
i= 1
n
x
i
−x
- La media aritmetica rende minima la somma dei quadrati degli scarti da una costante:
x=argmin
c
i= 1
n
x
i
−c
2
- Linearità
x
1
, x
2
, ... , x
n
e
y
1
, y
2
, ..., y
n
tale che
y
i
=a+b x
1
allora: (mediana solo se b è positivo)
y=a+b x
- Proprietà associativa:
La media di un collettivo è la media aritmetica delle medie dei sottogruppi in cui può essere
ripartito il medesimo, ponderata per la numerosità relative dei sottogruppi.
Se
x
1
e
x
2
sono le medie di due campioni di ampiezza rispettivamente
n
1
e
n
2
, la media può
essere calcolata come:
x=
n
1
x
1
+n
2
x
2
n
1
+n
2
Inoltre, i punti deboli della media aritmetica sono:
- Robustezza: sensibilità ai valori estremi.
- Rappresentatività: nei confronti di distribuzioni asimmetriche. La media aritmetica è un valore di
sintesi rappresentativo nei confronti di distribuzioni simmetriche.
- Mediana : è il valore centrale, è una sequenza ordinata (presuppone solo l’ordinamento).
- La mediana è la modalità pertinente all’unità statistica che occupa la posizione centrale nella
distribuzione ordinata delle osservazioni;
- Divide la distribuzione ordinata in due parti ciascuna contenente la meta delle osservazioni (non
interessa quanto);
- Può essere calcolata per i caratteri misurati su scala ordinale e per quelli quantitativi;
- Ha un utilizzo più basso.
Caratteristiche :
- Ordinare le osservazioni in ordine crescente. (n è il numero di osservazioni);
- Se n è dispari, la mediana è l’osservazione che occupa la posizione (n+1)/2;
- Se n è pari, la mediana è la media delle due osservazioni centrai n/2 e (n/2+1);
- La mediana di dati raggruppati è il primo valore la cui frequenza cumulata supera (o è uguale) a 0.
per la prima volta;
- Per i caratteri quantitativi suddivisi in classi, occorre fare riferimento alla distribuzione unitaria di
partenza. Altrimenti, non è possibile calcolare la mediana se non in modo approssimativo, sotto
l’ipotesi di equidistribuzione del carattere all’interno di ciascuna classe. Ai fini dell’individuazione
della classe entro cui cade la mediana si procede come sopra, facendo riferimento alle frequenze
cumulate.
Var (
^
β
0
)
=σ
2
(
n
σ
2
i= 1
n
X
i
− X
2
)
T è uno stimatore corretto di θ se E(T )=θ si dice distorto altrimenti.
- La distorsione (bias) è definita come
B (T )= E (T )−θ .
T
1
è più efficiente di
T
2
se e solo se
EQM (T
1
) ≤ EQM (T
2
) ∀ θ ∈ Θ
- Poiché la media campionaria è uno stimatore corretto per la media della popolazione, la seguente
condizione verifica che la media campionaria è uno stimatore consistente per la media della
popolazione:
E( X)=μ Var ( X )=σ
2
Var
X
σ
2
n
- La proporzione campionaria è stimatore consistente della proporzione della popolazione p:
X Bernoulli ( p) E ( X )= p Var ( X )= p ( 1 − p) Var ( ^p )=
p ( 1 − p )
n
- Stimatore per p => proporzione campionaria.
^
p=
i= 1
n
X
i
n
- Stimatore per μ=> media campionaria.
X =
i= 1
n
X
i
n
. è uno stimatore corretto, efficiente e consistente
per μ.
- Errore Quadratico Medio : di uno stimatore è definito come EQ M
T
(θ)=E(T −θ)
2
θ ∈ Θ
- Proprietà dell’intervalo di confidenza (CI)
- La statistica campionaria (in questo caso la media) è il punto centrale dell’intervallo.
- Maggiore è il livello di confidenza, più largo è l’intervallo associato
- All’aumentare dell’ampiezza campionaria diminuisce l’ampiezza dell’intervallo
- La lunghezza dell’intervallo di confidenza dipende dalla dispersione dei dati (misurada da σ ),
dall’ampiezza campionaria (
σ
x
=σ /√ n ) e dal livello di confidenza ( 1 −α).
- Intervallo di confidenza normale: L’intervallo di confienza a livello ( 1 −α ) per la media
della popolazione, nel caso di popolazione normale con varianza nota
(
x
n
−Z
1 −α/ 2
σ
√
n
; x
n
+Z
1 −α/ 2
σ
√
n
)
2
) μ , σ
2
non nota: per stimare la varianza della popolazione σ
2
, serve lo stimatore S
2
c
perché è
corretto, invece lo stimatore S
2
è distorto.
S
2
c
n− 1
i= 1
n
X
i
−X
2
S
2
n
i= 1
n
X
i
− X
2
L’intervallo di confidenza che si usa ha una distribuzione t-students con (n-1) gradi di libertà.
X −t
α / 2 ,n− 1
×
S
c
√
n
< μ< X +t
α / 2 ,n− 1
×
S
c
√
n
All’aumentare di n, la distribuzione è sempre più vicina alla distribuzione Gaussiana.
- Intervallo di confidenza per una proporzione : (bernoulli)
[
x−z
α / 2
√
x
1 − x
n
, x +z
α / 2
√
x
1 −x
n
]
X N ¿
Intervallo di confidenza per la media della popolazione μ
X N (μ , σ
2
)σ
2
valore noto
(
x
n
−z
1 −α / 2
σ
√
n
; x
n
+z
1 −α / 2
σ
√
n
)
2
)σ
2
valore NON noto
(
x
n
−t
1 −α / 2 , n− 1
S
c
√n
; x
n
1 −α / 2 , n− 1
S
c
√n
)
S
c
2
i= 1
n
X
i
− X
n− 1
- X distribuzione arbitraria E( X)=μ
Var ( X)=σ
2
valore noto – n grande
(
x
n
−z
1 −α / 2
σ
√
n
; x
n
+z
1 −α / 2
σ
√
n
)
σ
2
valore NON noto – N grande
(
x
n
−z
1 −α / 2
S
c
√n
; x
n
+z
1 −α / 2
S
c
√n
)
S
c
2
i = 1
n
X
i
− X
2
n− 1
- Intervallo di confidenza per p proporzione della popolazione:
- X Bernoulli E( X)=p Var ( X)=p ( 1 − p)n grande
(
^
p−z
1 −α / 2
√
^p ( 1 − ^p )
n
^
p+ z
1 −α / 2
√
^p ( 1 − ^p )
n
)
X N (μ , σ
2
varianza nota
H
0
: μ=μ
0
H
1
: μ> μ
0
R=
[
x ≥ μ
0
1 −α
σ
√n
]
R=
[
x−μ
0
σ
√n
≥ z
1 −α
]
p−value=P (X ≥ x|μ=μ
0
X N (μ , σ
2
varianza nota
H
0
: μ=μ
0
H
1
: μ< μ
0
R=
[
x ≤ μ
0
−z
1 −α
σ
√
n
]
R=
[
x−μ
0
σ / √
n
≤−z
1 −α
]
p−value=P (X ≤ x|μ=μ
0
X N (μ , σ
2
varianza nota
H
0
: μ=μ
0
H
1
: μ ≠ μ
0
R=
[
x ≤ μ
0
−z
1 −α / 2
σ
√n
∪ x ≥ μ
0
1 −α/ 2
σ
√ n
]
R=
[
^p− p
0
p
0
1 − p
0
n
≤−z
1 −α/ 2
]
p−value= 2 × P (
^
P ≤ ^p| p=p
0
)
oppure ...
- Regione di rifiuto (z) :
- Regione di rifiuto (t) :
VERO O FALSO
- La varianza di uno stimatore diminuisce sempre al crescere di n.
- Se due variabili casuali X e Y sono statisticamente indipendenti, allora COV(X,Y)=0.
- Nel caso di popolazione Bernoulliana con parametro p, l’errore quadratico medio della proporzione
campionaria è p(1-p)/n.
- La somma delle frequenze relative è sempre pari al numero di modalità osservate.
- La mediana coincide sempre con la moda.
- Lo stimatore è una variabile aleatoria.
Si indichi se le seguenti affermazioni riguardo una variabile casuale discreta X sono Vere o False:
- X assume sempre un numero finito di valori
- Ha varianza calcolabile sulla base di E(X) e E(X
2
)
- Non può avere valore atteso negativo
- Può avere varianza nulla
- La mediana per un carattere quantitativo discreto è sempre un numero intero.
- Il teorema del limite centrale afferma che la distribuzione di qualsiasi variabile aleatoria si può
sempre approssimare come una Gaussiana al crescere di n.
- La media e la mediana coincidono sempre se il carattere è quantitativo discreto.
- All’aumentare di α, probabilità di commettere un errore di primo tipo, aumenta β, probabilità di
commettere errore secondo tipo.
Dati due eventi A e B con 0<P(A)<P(B): Si indichi se le seguenti affermazioni sono Vere o False:
- P(A|B) è sempre maggiore di P(A).
- Se A è un sottoinsieme (strettamente) di B, P(A|B) è maggiore di P(A).
- P(A∩B) è sempre maggiore di 0.
- P(A) è sempre maggiore di P(B).
- Due eventi indipendenti con probabilità positiva non possono essere incompatibili,
- La covarianza tra due variabili aleatorie è sempre minore di 1
- La mediana non è calcolabile per caratteri quantitativi discreti.
- Al crescere di n, la distribuzione Binomiale si può approssimare con una distribuzione Gaussiana.
- Due eventi incompatibili con probabilità positiva non possono essere indipendenti,
- La medi degli scarti dalla media ha un valore nullo.
- La covarianza tra due variabili aleatorie è sempre maggiore di -1.
- Due eventi indipendenti con probabilità positiva non possono essere incompatibili.
- Due eventi indipendenti con probabilità positiva non possono essere incompatibili.
- La covarianza tra due variabili aleatorie è sempre minore di 1.
- Se due variabili casuali X e Y hanno coefficiente di correlazione uguale a 0.5, il coefficiente di
correlazione di W=2X-4 e Z=2-Y è anch’esso uguale a 0.5.
- Siano A e B due eventi incompatibili, allora l'evento A ՍB = Ω.
