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DEMOGRAFIA INTERNAZIONALE
Modulo 1 → STATISTICA DI BASE
Che cos’è la statistica?
È un insieme di metodi induttivi finalizzati a studiare fenomeni scientifici,
collettivamente tipici, per metterne in evidenza la regolarità e favorirne la prevedibilità.
La statistica studia i fenomeni, cioè ciò che è possibile misurare. Possono essere:
a) individuali o collettivi: ad esempio la nascita di un bambino è individuale,
mentre la natalità è un fenomeno collettivo, caratteristica attribuibile ad
una popolazione;
b) tipici, ( o regolari), o atipici, ( o irregolari): la mortalità oggi è un fenomeno
tipico, quindi regolare, mentre gli eventi metereologici sono atipici, quindi
irregolari;
c) scientifici o non scientifici: un fenomeno è scientifico quando è misurabile,
descrivibile, riproducibile e prevedibile, come la distanza geografica. La
scientificità di un fenomeno è spesso legata all’esistenza di un adeguato
strumento di misura.
I metodi di ragionamento possono essere:
a) deduttivi: permettono di ricavare le affermazioni particolari partendo da
affermazioni generali, ( es: tutti gli uomini sono mortali, Socrate è un uomo,
dunque Socrate è mortale);
b) induttivi: permettono di ricavare le affermazioni generali partendo da
affermazioni particolari, ( es: insieme di indizi che portano ad identificare
un colpevole → generalizzazione).
Un insieme di metodi induttivi è finalizzato a studiare fenomeni scientifici,
collettivamente tipici, per metterne in evidenza la regolarità e favorirne la prevedibilità.
Non è una scienza, ma un insieme di metodi, ( al servizio di tutte le scienze). I metodi
induttivi, partendo dall’osservazione delle differenze, suggeriscono affermazioni di
carattere generale.
Problema dello statistico: rilevare i dati, classificarli e ordinarli per facilitare
l’induzione di leggi generali, mettere in evidenza le regolarità collettive dei
fenomeni, ( es: nascita di un bambino vs natalità). I fenomeni che sono osservati a
livello individuale sembrano soggetti al caso, possono evidenziare regolarità a
livello collettivo: i fenomeni diventano classificabili e a volte prevedibili.
Elementi della Statistica:
popolazione statistica:
a) soggetto della statistica;
b) è costituita da un certo numero, ( n), di unità statistiche;
c) ha caratteristiche precise: è necessario stabilire se un’unità appartiene o
meno alla popolazione;
d) esempio: residenti di un Comune vs iscritti all’anagrafe del Comune;
variabili statistiche, ( X):
a) oggetto della statistica, caratteristica di interesse della popolazione, ( es:
temperatura corporea, età, statura…);
b) definiscono una partizione, ( sottosistemi), delle unità statistiche: si assegna
ad ogni unità un valore della variabile statistica;
c) la caratteristica statistica di una variabile è legata alla possibilità di
poterla misurare;
manifestazioni della variabile X nelle n unità statistiche: X.
rilevazione delle variabili su tutta la popolazione: la popolazione può essere troppo
vasta, troppo difficile e/o costosa;
rilevazione delle variabili su un campione della popolazione:
a) si raccolgono informazioni su un sottoinsieme di unità della popolazione e
per induzione si ottengono informazioni su tutta la popolazione: regolarità
del campione = regolarità della popolazione → calcolo delle probabilità;
b) il campione dev’essere statisticamente rappresentativo, ( miniatura della
popolazione);
c) la scelta casuale dei soggetti del campione garantisce la rappresentatività;
d) il campione viene selezionato, se non scelto in maniera appropriata. Più la
popolazione è eterogenea, più il campione dev’essere ampio.
è necessario raccogliere dei dati per misurare le variabili statistiche;
a) popolazione: n studenti di un corso di laurea;
b) variabile X: voto nell’esame di demografia internazionale;
c) dati: n voti Xi riportati dagli studenti;
le rilevazioni statistiche possono essere:
a) continue: misurano l’evento oggetto di studio nel momento in cui si verifica,
( es: nascite, voti esami, meteo);
b) a intervalli regolari: cadenzate nel tempo, ( es: assunzioni e licenziamenti
ISTAT ogni 3 mesi, PIL, prezzi, censimenti);
c) episodiche: indagini fatte ad hoc per studiare un determinato fenomeno,
( trasversale o longitudinale).
Operatore sommatoria ∑ 𝑿𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
è un simbolo utilizzato per rappresentare somme di elementi indicizzati: X1, X2,
X3, ..., Xi P , ..., Xn.
𝑛
𝑖= 1
i = individuo
n = numero di variabili
Xi = variabile statistica
Quindi è un sigma di individuo
che va da 1 a n, ( numero totale)
Scale e misura delle variabili:
Per misurare le variabili servono strumenti flessibili, in grado di tener conto della
complessità dei fenomeni.
Allo stesso tempo, però, è opportuno classificare le variabili in base al grado di
raffinatezza in cui è possibile misurarle;
esempio: peso corporeo vs professione
a) peso corporeo di A ≠ peso corporeo di B;
b) peso corporeo di A > peso corporeo di B;
c) A pesa 3kg più di B;
d) A pesa il 10% più di B;
posso dire le stesse cose per la variabile “professione”? Posso dire ad esempio che
la professione di A è maggiore dalla professione di B? No, perché la variabile
“professione” è diversa dalla variabile “peso”.
Esistono 4 possibili scale su cui misurare le variabili:
- Nominale: classificazione di individui per categoria. Le caratteristiche dei valori
sono delle etichette in termini di operazioni e si può affermare solo che una
variabile sia uguale o diversa dall’altra. Non si possono fare calcoli o dire che una
sia maggiore dell’altra. Si tratta di variabili qualitative nominali, quindi vengono
semplicemente elencate, ( es: professioni, religione, sesso…);
- Ordinale: comprende variabili qualitative che possono essere messe in un certo
ordine, ma non si può sapere quanto sia grande la differenza tra un valore e
l’altro. Possiamo dire che una categoria è diversa, anche maggiore, minore o
uguale, ma non di quanto lo è, ( es: titolo di studio, livello di soddisfazione…);
- A intervallo: quando abbiamo a che fare con i numeri, dobbiamo chiederci se le
variabili siano qualitative o quantitative. Se sono quantitative possono essere
discrete o continue. Possono essere misurate attraverso due scale: con la scala a
intervallo possiamo misurare le differenze tra i valori, ma non c’è uno zero
assoluto, ( lo zero non significa “assenza assoluta” della quantità che si sta
misurando, ma è solo un punto arbitrario scelto per il sistema di misurazione).
Esempi di variabili a intervallo possono essere la temperatura o la distanza;
- A rapporto: è un’altra scala quantitativa. Qui si può fare tutto, come ordinare,
calcolare le differenze e fare rapporti. Ha uno zero assoluto, cioè uno zero che
significa davvero “assenza di qualcosa”; questo significa che rappresenta l’assenza
totale della quantità che si sta misurando. Esempi di variabili a rapporto possono
essere il peso corporeo o la statura.
Non tutti i numeri rappresentano la quantità! Delle scale ordinali possono sembrare a
intervallo o a rapporto, ma il loro significato è qualitativo. Per esempio, se il codice dello
stato civile è: celibe/nubile = 1, coniugato/a = 2, seprato/a = 3, vedovo/a = 4, non posso
calcolare la differenza tra lo stato civile separato e vedovo. Quindi la responsabilità di
scegliere quali operazioni fare sui numero non può essere delegata al computer/software,
ma alla persona che calcola le statistiche.
Quando misuriamo una variabile qualitativa, ( nominale/ordinale), dobbiamo decidere a
priori le modalità delle variabili stesse:
esempio: se voglio rilevare la variabile X professione, devo decidere una
classificazione delle professioni a priori:
Frequenze Assolute
Modalità X1 … Xi … XI Totale
Numerosità n1 … ni … nI ∑ 𝑛𝑖 = 𝑛
Modalità → Xi, i=1, …, I → variabile, ( Xi), e individuo che va da 1, (i=1), a I
Al termine della rilevazione si può associare a ogni unità statistica la propria
professione e, a partire da tale elenco, calcolare il numero di unità statistiche, ( n1, …,
ni, …, nI), attinente a ogni modalità. La quantità ni è la frequenza assoluta della
variabile modaltà Xi. L’insieme delle I frequenze assolute definisce la distribuzione delle
frequenze assolute di X.
Esempio:
Oltre alla frequenza assoluta, è importante tenere conto anche della frequenza relativa.
La frequenza relativa in statistica è il rapporto tra il numero di volte in cui si
verifica un determinato evento, ( o un valore in un insieme di dati), e il numero
totale di eventi, ( o il totale dei dati);
𝑰
𝒊=𝟏
𝑰
𝒊=𝟏
Frequenze Relative
Modalità X1 … Xi … XI Totale
Numerosità n1 … ni … nI ∑ 𝑓𝑖 = 1
Se le variabili qualitative sono ordinali, è possibile costruire anche frequenze cumulate
assolute, ( Ni), e frequenze cumulate relative, ( Fi).
Si calcola la distribuzione di
frequenze assolute della variabile
professione in una popolazione di 24
individui.
Come fare se si vuole fare il confronto
tra popolazioni con n di individui
diversi?
Le frequenze assolute hanno una
grande importanza nella descrizione
di una variabile, ma non consentono
un rapido confronto tra distribuzioni,
in quanto strettamente legate alla
numerosità delle popolazioni.
Esempio:
Modalità Diploma Laurea Dottorato Totale
ni 9 11 4 24
fi 9/24 = 0.38 11/24 = 0.46 4/24 = 0.16 -
Fi 0.38 0.38 + 0.46 = 0.84 0.84 + 0.16 = 1 -
Le frequenze cumulate relative servono a valutare la percentuale di individui che si
trova al di sotto/sopra di un certo livello della scala, ad esempio: la percentuale che ha
al massimo, ( 8 4%), o almeno la laurea, ( 100% – 84% = 16%).
Le variabili quantitative, ( discrete o continue):
discrete: le modalità sono identificate da numeri naturali, ( es: numero di fratelli,
taglia dei pantaloni, numero di dipendenti di un’azienda, numero di studenti di
un’università…). Non si possono avere, ad esempio, 1.3 fratelli;
continue: le modalità sono identificate da numeri reali o razionali, ( come 2.5).
Date due misure è sempre possibile trovarne una intermedia, ( ad esempio, tra
184cm e 185cm, si può trovare qualcuno alto 184,5cm). Quindi la precisione
dipende dallo strumento di misura utilizzato, ( es: bilancia). In pratica la variabile
continua viene discretizzata in funzione del livello ritenuto opportuno dal
ricercatore e del livello di precisione dello strumento: si usa l’approssimazione per
arrivare ad un numero intero.
Il raggruppamento dei dati in classi:
non sempre conviene mantenere le modalità elementari di rilevazione, ( es: ogni
peso corporeo rilevato). Sia per le variabili qualitative che per quelle quantitative
i dati si possono raggruppare in classi;
la fase di rilevazione e la fase di raggruppamento vengono tenute distinte. Non è
conveniente rilevare i dati fissando a priori delle classi troppo ampie. L’ampiezza
delle classi o delle modalità di raggruppamento dipendono dalle problematiche
oggetto di studio, ( quindi da cosa stiamo studiando).
Caso particolare → variabile età:
è una variabile quantitativa, continua e su scala a rapporto;
perché è una variabile continua? Effettuiamo dei processi mentali implicitamente
statistici, con i quali si compie un’operazione di approssimazione. Di solito la
variabile età è espressa in anni compiuti: chi ha 39 anni e 2 mesi e chi ha 39 anni
e 8 mesi, dice di avere 39 anni. Mentre chi pesa 76kg pesa in media 76.0kg, chi ha
39 anni compiuti, ha mediamente 39.5 anni, quindi 39 anni e 6 mesi. Nella
maggior parte dei casi è sufficiente conoscere l’età in anni compiuti, ma è sempre
meglio rilevare la data di nascita.
La rappresentazione dei dati:
Come si rappresentano i dati?
Una volta costruite le distribuzioni di frequenza, prima di manipolarle per
ottenere degli indicatori sintetici, può essere utile rappresentarle graficamente. Ci
sono delle caratteristiche che sono più difficili da mettere in evidenza tramite le
tabelle.
Come NON fare una tabella:
Come fare una tabella:
Caratteristiche che una tabella deve avere per essere di facile comprensione:
attenzione al titolo: deve avere un senso:
non devono esserci codici, ma la loro etichetta;
tenere lo stesso numero di decimali;
allineare/incolonnare i dati;
inserire totali, ( e subtotali);
inserire note esplicative;
inserire la fonte dei dati.
Le tabelle ci permettono di:
visualizzare immediatamente le caratteristiche di una distribuzione;
operare confronti tra più distribuzioni;
semplificare la lettura di fenomeni, evidenziando andamenti, relazioni ed
eventuali valori anomali;
divulgare rapidamente le informazioni.
I criteri per costruire un grafico dipendono da:
fenomeno oggetto di studio;
tipo di variabile da rappresentare, ( qualitativa o quantitativa);
tipologia della distribuzione di frequenza che si vuole rappresentare, ( frequenze
assolute o relative).
Bisogna sempre corredare il grafico di un titolo, che indica: popolazione, variabili,
oggetto, luogo e anno di riferimento, legenda con la descrizione dei simboli utilizzati.
A cosa corrispondono le età 1, 2, 3 e 4? E M e F?
( Attenzione alle etichette).
Il diverso numero di cifre decimali rende la
tabella di difficile lettura, ( approssimazione).
Cos’è rappresentato in tabella? Sono litri?
Bicchieri? ( Unità di misura)
Manca il totale, sia di riga che di colonna.
Vi sono tutti i dettagli che ci servono:
abbiamo le classi d’età, le etichette,
l’approssimazione è più chiara…
Abbiamo la media per età e su quante
persone viene calcolata.
Vi è una legenda che spiega eventuali dati,
come le definizioni o i numeri tra parentesi.
Diagrammi circolari o a torta:
si disegna un cerchio e lo si divide in settori circolari di ampiezza proporzionale al
valore delle frequenze relative. Bisogna usare la formula delle proporzioni:
x◦ : ni = 360◦ : n → x ◦ = (ni/n) ∗ 360 ◦ = 360◦ ∗ f
in un cerchio ci sono 360 gradi: il numero di gradi sta alla frequenza, come 360 sta
al totale di individui nel campione o al 100%.
Esempio:
Il primo settore circolare, ( malattie infettive), ha lo stesso punto di inizio in entrambi i
grafici, ( ore 12), per favorire la confrontabilità.
Qui si notano subito le cause principali, quindi i settori più grossi. È più facile vedere le
proporzioni tra le varie cause. Ma è più difficile confrontare la Calabria con il Veneto.
Rappresentando graficamente i dati non si manipolano le distribuzioni di frequenza. Si
mettono in evidenza delle caratteristiche che sono meno facili da notare nelle tabelle.
Per esempio? La scelta del tipo di diagramma non è neutrale rispetto alla possibilità di
migliorare la descrizione di una distribuzione di frequenza.
Il diagramma a barre rappresenta bene distribuzioni con molte modalità e se le
distribuzioni non sono troppo diverse.
Il diagramma a torta rappresenta bene distribuzioni con poche modalità e se le
distribuzioni sono molto diverse.
anche per queste variabili si possono usare i diagrammi a barre e a torta, ma, nei
diagrammi a barre, mentre nelle variabili nominali la sequenza è irrilevante, in
quelle ordinali le modalità vanno messe in ordine.
È possibile rappresentare anche la distribuzione delle frequenze cumulate.
Esempio relativo al titolo di studio con le seguenti distribuzioni di frequenze
relative semplici e cumulate:
Nella tabella in alto ci sono le frequenze relative semplici.
Nella tabella in basso ci sono le frequenze relative cumulate.
È rilevante una grande differenza tra la classe di età più giovane e quella più vecchia in
termini di quanti sono gli alfabeti senza titolo. La maggioranza nelle due classi ha la
licenza elementare.
Istogrammi per le variabili quantitative:
quando le variabili sono quantitative, le basi delle barre hanno un’ampiezza
diversa, in base a dei calcoli.
Vi sono esattamente le distribuzioni di frequenza, ma i rettangoli rappresentati devono
avere:
l’area del rettangolo proporzionale alle frequenze;
la base dei rettangoli proporzionale alle misure delle modalità.
Come si calcolano queste quantità?
L’area del rettangolo si calcola base x altezza;
La frequenza relativa cumulata
per entrambe le classi d’età
arriva al 100%, com’è giusto
che sia.
Misure di centralità:
le distribuzioni di frequenza, ( rappresentate in tabella o tramite grafici), non
implicano procedure di sintesi dei dati stessi;
una prima riduzione di complessità dei dati iniziali si ottiene mediante il
raggruppamento dei dati in classi, soprattutto se la numerosità dei dati e delle
modalità iniziali è elevata.
Vi sono due fasi:
determinare l’esigenza conoscitiva che si vuole soddisfare a partire dai dati;
manipolare i dati per estrarre la risposta all’esigenza conoscitiva.
Esempio: - Per gli istogrammi la procedura di
stilizzazione, congiungendo i punti centrali
delle basi superiori, è particolarmente
indicata quando si lavora con variabili
continue:
- ai due lati estremi del grafico, accanto ai due
istogrammi estremi, si accostano due
segmenti aventi la stessa base;
- si congiunge poi il punto centrale di ogni
segmento con quello della base superiore
dell’istogramma vicino;
- così si costruisce il poligono di densità, utile
a confrontare due distribuzioni diverse;
- si possono fare considerazioni sulla forma
delle distribuzioni: grado di variabilità e
livello di simmetria.
X = numero di esami registrati
i = studenti, totale 9
Bisogna distribuire le frequenze relative e quelle assolute.
Trasformare i dati in informazioni sintetiche:
Vogliamo rappresentare in modo più intuitivo con una sola quantità. Raggruppiamo i dati
in classi e abbiamo la distribuzione dei dati in quelle classi.
C’è il rischio che i dati non vengano semplificati sufficientemente, ( è il caso delle
informazioni ridondanti), o che lo siano troppo.
Si ricorre alla manipolazione dei dati che rispondono alla domanda: qual è il valore che
sintetizza da solo la distribuzione di frequenza? Consentono di dare una descrizione
dell’ordine di grandezza di un dato fenomeno.
Ci sono tre principali misure di centralità: moda, mediana, media aritmetica.
(1) LA MODA:
Se i dati sono espressi secondo modalità elementari, ( non raggruppati in classi), la moda
è la modalità con la frequenza, ( assoluta o relativa), più elevata. È la modalità del
carattere che, nell’insieme delle osservazioni, si presenta con la frequenza più alta, ( cioè
il maggior numero di volte). È necessario contare quante volte ciascun valore si ripete.
Se i dati sono raggruppati in classi, contenenti un numero diseguale di modalità
elementari, la moda cade nella classe in cui è più elevato il valore ni / k = densità.
ni è la frequenza assoluta della classe i-esima
k è il numero di modalità elementari raggruppate della classe i-esima, ( ampiezza)
i risultati sono identici se, invece delle frequenze assolute ni, si usano le frequenze
relative fi
In questo caso la moda è Verona, perché ha il
numero più alto, ( la maggior parte degli iscritti va
a Verona) → modalità elementari
Dati raggruppati in classi → Verona viene messa
da sola, i comuni in provincia di Verona in una
classe e le altre province in un’altra classe. Si
sommano gli studenti appartenenti ad ogni classe:
ogni modalità è 1 per la prima e 4 per le altre due.
Per calcolare la moda:
frequenza assoluta / ampiezza = densità.
La moda è Verona, il numero più alto dei tre.
X = numero di scarpe; n = 10 individui;
la distribuzione del numero di scarpe di 10 individui è X = {38, 40, 41, 36, 38, 45,
la prima operazione da fare è ordinare i dati: X = {36, 38, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45,
la mediana è il valore che si trova tra le posizioni n / 2 = 5 e la n/2 + 1 = 6. n è
pari, quindi si prendono due numeri: la 5° e la 6° posizione;
quindi la mediana si individua calcolando la semi-somma dei valori che si trovano
in tali posizioni: (41 + 42) / 2 = 4.5.
Esempio 3:
Quando i dati sono raggruppati in classi e conosciamo la distribuzione di frequenza:
la mediana si calcola utilizzando le frequenze relative cumulate;
la classe che contiene il valore mediano è la prima in cui Fi > 50%;
se un valore di Fi è esattamente uguale al 50%, il valore mediano sta in mezzo fra
la classe i - esima e quella (i + 1) - esima.
Esempio:
Le scelte del ricercatore sul raggruppamento in classi non influenzano la determinazione
della mediana, ( non era così per la moda):
avremo sempre il 50% prima e il 50% dopo.
X = numero di esami
n = 9 studenti
Prima di tutto si mettono in ordine. Visto
che il numero è dispari, si calcola la mediana
del numero in mezzo, che occupa la
posizione n+1 / 2 = 9+1= 10/2 = 5 →
individuo che sta nella quinta posizione.
La mediana è 5 esami, ci sono quattro
studenti prima e quattro dopo.
X = titolo di studio
n = 6 individui
La mediana sta tra le due
modalità diploma e laurea.
Sono variabili qualitative ordinarie:
quindi si possono calcolare le frequenze
cumulate.
“ Abbastanza soddisfatto” è la nostra
mediana, perché supera il 50%,
(0,61 → 61%)
Se la mediana è la modalità elementare i - esima, quando le modalità vengono
raggruppate in classi accorpando modalità contigue, la mediana cade all’interno della
classe contenente la modalità i - esima.
La mediana è indifferente rispetto ai valori estremi: quali siano il valore più basso
e quello più alto, tutto ciò non influenza la mediana, perché sta in mezzo.
La mediana è una misura più raffinata della moda, meno soggetta all’arbitrio del
ricercatore. La moda è calcolata solo mediante la distribuzione delle frequenze, mentre la
mediana è calcolata facendo interagire la distribuzione delle frequenze e l’ordinamento
naturale dei dati.
(3) LA MEDIA:
La media aritmetica viene calcolata facendo interagire la distribuzione delle frequenze e
la scala di misura delle variabili.
Data una variabile quantitativa X misurata su n unità statistiche, la media aritmetica è:
𝑴 = ∑ 𝑿𝒊/𝒏
𝒏
𝒊=𝟏
;
cioè la somma dei valori rapportata alla numerosità delle unità statistiche.
Data la distribuzione di frequenze assolute: 𝑴 = (∑ 𝒙𝒊 ∗ 𝒏𝒊)/𝒏
𝒏
𝒊=𝟏
Data la distribuzione di frequenze relative: 𝑴 = (∑ 𝑿𝒊 ∗ 𝒇𝒊)
𝒏
𝒊=𝟏
Chiamata anche media ponderata.
Esempio 1 : - > Esempio 2:
A partire dai singoli valori
osservati, ( modalità
elementari), xi
X = peso corporeo
n = 24 individui
Quando abbiamo la
distribuzione di frequenze
assolute o relative, si tratta di
medie ponderate.
Moda:
- nel Paese B ci sono molte famiglie povere o più povere rispetto al paese A;
- trascura che nel Paese B ci sono famiglie abbienti e di reddito medio.
Mediana:
- uguale nei due Paesi, non varia in base ai valori estremi;
- molto usata come indice di centralità per i test clinici, in cui la media aritmetica
può essere influenzata da “ outliers”;
- Paese A e Paese B hanno un reddito simile?
Media:
- nel Paese A è il doppio rispetto al Paese B. risente dei valori estremi.
Le misure di variabilità:
L’esigenza conoscitiva a cui danno risposta le misure di centralità è “sintetizzare in un
solo valore la distribuzione di frequenza”.
Se vengono presi da soli, però, gli indicatori di centralità rischiano di dare una
rappresentazione della realtà non soddisfacente.
Anche gli indici di variabilità sintetizzano in un unico valore la distribuzione dei dati,
ma questa volta il fine è misurare gli scostamenti dei dati stessi rispetto alla situazione
di omogeneità, ossia alla mancanza di variabilità.
Quando le variabili sono su scala nominale, dobbiamo costruire un indice di variabilità
che non sia il frutto di operazioni matematiche sui valori della distribuzione, basato
solo sulla manipolazione delle frequenze. Intuitivamente, l’indicatore deve godere di
due proprietà:
- avere valore minimo e uguale a zero se tutte le unità statistiche sono concentrate
in una sola frequenza, ( che è anche la moda della distribuzione): si parla di
situazione di omogeneità;
- avere valore massimo se ogni modalità ha la stessa frequenza: si parla di
situazione di massima eterogeneità.
Un indice che gode di queste due proprietà ed è molto semplice da costruire è l’Indice di
Gini, ( G): è la misura dell’area compresa fra la retta dell’eguaglianza e la curva di
Lorenz, rapportata all’intera area che sta sotto alla retta dell’eguaglianza.
Anche la costruzione di questi
indici è legata alla scala di
misura delle variabili,
( qualitative nominali, qualitative
ordinali e quantitative).
Siano date n unità statistiche, classificate su una variabile X su scala nominale con K
modalità.
Si confrontano a due a due tutte le n unità statistiche, osservando se hanno lo
stesso valore di X;
il numero di confronti in cui le due unità risultano diverse viene chiamato g;
poiché il numero di confronti possibili è 𝒏
𝟐
, e ricordando che si confronta anche
ogni unità con se stessa, l’indicatore di variabilità vale:
𝑮 = 𝒈/𝒏
𝟐
Esempio:
Si può dimostrare che:
calcolare le quantità diverse g è macchinoso, soprattutto al crescere di n;
fortunatamente si dimostra che:
𝑮 =
𝒈
𝒏
𝟐
= ∑ 𝒇𝒌 ∗ (𝟏 − 𝒇𝒌) = 𝟏 − ∑ 𝒇
𝒌
𝟐
𝑲
𝒌=𝟏
𝑲
𝒌=𝟏
fk è la frequenza relativa della k-esima modalità.
Minima eterogeneità: una modalità è assunta da tutte le unità statistiche
Gmin = 1 – (1 + 0 + … + 0) = 0
Massima eterogeneità: ciascuna modalità è assunta da un uguale numero di unità
statistiche, (f1 = f2 = … = fk = 1/K)
Gmax = 1 - ∑ 𝒇
𝒌
𝟐
𝟏
𝒌
𝟐
(𝑲−𝟏)
𝑲
𝑲
𝒌=𝟏
𝑲
𝒌=𝟏
- rapportando G al suo massimo, otteniamo l’Indice Relativo di Gini;
𝒌
𝟐
𝑲
𝒌=𝟏
2) l’Indice Relativo di Gini varia tra 0, ( variabilità minima), e 1, ( variabilità
massima).
2 popolazioni → A e B
n = 3 unità statistiche
X = titolo d studio
Intuitivamente, la variabilità è minima nella
popolazione A, ( tutti con lo stesso titolo di
studio), e massima nella popolazione B, ( tutti
con un titolo di studio diverso).
Numero di confronti possibili: 𝒏
𝟐
𝟐
Per calcolare l’Indice di Gini si contano i ≠ (g)
A: 𝑔 = 0 , 𝑛
2
= 9 , 𝐺 = 0 / 9 = 0 (min)
B: 𝑔 = 6 , 𝑛
2
= 9 , 𝐺 = 6 / 9 = 0. 67 (max)
