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Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in CTF - anno acc. 2013/ docente: Giulia Giantesio, [email protected]
Esercizi 7: Derivata di una funzione e sue applicazioni
Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni.
Esercizio 1. f (x) = 3x + 4 ln x − 2 ex^ + 3 cos x
Soluzione. f ′(x) = 3 · D(x) + 4 · D(ln x) − 2 · D(ex) + 3 · D(cos x) =
= 3 + 4 ·
x
− 2 ex^ + 3 · (− sin x) =
= 3 +
x
− 2 ex^ − 3 sin x
Esercizio 2. f (x) = 4x + 2 ln x − 3 ex^ − 5 sin x
Esercizio 3. f (x) = x^5 + 7x^4 − 2 x^3 + 3x − 1
Esercizio 4. f (x) = x^3 +
x − e^2 x^ + ln x
Esercizio 5. f (x) =
x^4 −
x^3 − 5 x^2 + 2x − 4
Esercizio 6. f (x) =
x^4 +
x^3 − 6 x^2 − 3 x + 1
Esercizio 7. f (x) = x^4 + 3
x − ln x + ex^ − arctg x
Esercizio 8. f (x) =
x
x^3
x^4
Esercizio 9. f (x) = −
x
x^2
x^5
Esercizio 10. f (x) = 5
x^3 + 3
x^2 −
√ (^5) x
Soluzione. f ′(x) =
x^2
x
x^6
Esercizio 11. f (x) =
x^4 −
x^2 +
√ (^5) x
Esercizio 12. f (x) = (x^3 + 2x^2 + x) · ln x
1
Soluzione. Per la regola di derivazione del prodotto:
f ′(x) =
D(x^3 + 2x^2 + x)
· ln x + (x^3 + 2x^2 + x) · D(ln x) =
= (3x^2 + 4x + 1) · ln x + (x^3 + 2x^2 + x) ·
x
= (3x^2 + 4x + 1) · ln x + x^2 + 2x + 1
Esercizio 13. f (x) = (x^3 − x^2 + 2x) · sin x
Esercizio 14. f (x) = (3x − 2) · (x^2 + 4x − 3)
Esercizio 15. f (x) = (2x + 3) · (x^2 + 3x − 1)
Esercizio 16. f (x) =
x^2 − 3 x + 5 x^2 − 1 Soluzione. Per la regola di derivazione del rapporto:
f ′(x) =
D(x^2 − 3 x + 5)
· (x^2 − 1) − (x^2 − 3 x + 5) · D(x^2 − 1) (x^2 − 1)^2
(2x − 3) · (x^2 − 1) − (x^2 − 3 x + 5) · (2x) (x^2 − 1)^2
2 x^3 − 2 x − 3 x^2 + 3 − 2 x^3 + 6x^2 − 10 x (x^2 − 1)^2
3 x^2 − 12 x + 3 (x^2 − 1)^2
Esercizio 17. f (x) =
x^3 − 2 ln x x
Esercizio 18. f (x) =
3 x^2 − 2 x + 1 x^2 − 2
Soluzione. f ′(x) =
2(x^2 − 7 x + 2) (x^2 − 2)^2
Esercizio 19. f (x) =
x^2 − 3 cos x x
Esercizio 20. f (x) = (x^2 − 3 x − 5) · (3x^2 − 2 x + 1) +
x^2 + 1 3(x^2 − 1)
Soluzione. f ′(x) = 12x^3 − 33 x^2 − 16 x + 7 −
4 x 3(x^2 − 1)^2
Esercizio 21. f (x) =
(2x^2 − x) · ln x x^2 − x − 2
Esercizio 34. f (x) =
2 x − 9 1 − x
Soluzione. f ′(x) =
2 x − 9 1 − x
(1 − x)^2
Esercizio 35. f (x) =
x + 4 3 − 9 x
Soluzione. f ′(x) =
x + 4 3 − 9 x
(3 − 9 x)^2
Esercizio 36. f (x) = e3+4x−x
2
Esercizio 37. f (x) = e
4 x+ x^2 − 2
Esercizio 38. f (x) = e
x^2 + x+
Soluzione. f ′(x) = e
x^2 + x+1 (^) · x
(^2) + 2x − 5 (x + 1)^2
Esercizio 39. f (x) = x · e x−^12
Soluzione. f ′(x) = e
1 x− (^2) · x
(^2) − 5 x + 4 (x − 2)^2
Esercizio 40. f (x) = x^3 · e−x
3
Soluzione. f ′(x) = e−x
3 · (3x^2 − 3 x^5 )
Esercizio 41. f (x) = ln(2x^4 − 6 x^3 + x^2 − 5 x + 1)
Esercizio 42. f (x) = ln(x^2 + 1)
Soluzione. f ′(x) =
2 x x^2 + 1
Esercizio 43. f (x) = ln
( (^5) x + 4
x − 3
Soluzione.
f ′(x) =
(5x + 4) · (x − 3)
Esercizio 44. f (x) = ln
( (^3) − x
2 x − 10
Soluzione. f ′(x) =
(3 − x) · (x − 5)
Esercizio 45. f (x) = ln
( (^) x (^2) − 9 1 − 4 x
Soluzione. f ′(x) =
− 4 x^2 + 2x − 36 (x^2 − 9) · (1 − 4 x)
Esercizio 46. f (x) = ln
( (^4) − x 2
3 x + 1
Soluzione. f ′(x) =
− 3 x^2 − 2 x − 12 (4 − x^2 ) · (3x + 1)
Esercizio 47. f (x) = (sin x^4 ) · (cos
x)
Esercizio 48. f (x) = sin 3
x + cos 2x Soluzione.
f ′(x) =
x^2
· cos 3
x − 2 sin 2x.
Esercizio 49. f (x) = sin
( (^3) x − 2 2 x + 7
Soluzione. f ′(x) = cos
( (^3) x − 2 2 x + 7
(2x + 7)^2
Esercizio 50. f (x) = cos
( (^) x − 2
5 x + 9
Soluzione. f ′(x) = − sin
( (^) x − 2
5 x + 9
(5x + 9)^2
Esercizio 51. f (x) = ln(ln x)
Soluzione. Abbiamo:
f ′(x) =
ln x
· [D(ln x)] =
ln x
x
x · ln x
Esercizio 52. f (x) = e
√x (^2) +3x+
Esercizio 53. f (x) =
ln(x^2 + 4)
Esercizio 54. f (x) = ln(
cos x)
Soluzione. f ′(x) = −
tg x 2
Esercizio 4. f (x) =
x^2 + 3 x − 5 Soluzione. xm = 5 + 2
7; xM = 5 − 2
Esercizio 5. f (x) =
x^2 + 1 x Soluzione. xm = 1; xM = − 1
Esercizio 6. f (x) =
x^2 x^2 + 3x − 3 Soluzione. xm = 2; xM = 0
Esercizio 7. f (x) =
2 x^2 + 3x + 2 x^2 + x + 1 Soluzione. Il dominio della funzione `e R. Calcoliamo la derivata prima della funzione mediante la regola di derivazione del rapporto:
f ′(x) =
(4x + 3) · (x^2 + x + 1) − (2x^2 + 3x + 2) · (2x + 1) (x^2 + x + 1)^2
4 x^3 + 7x^2 + 7x + 3 − (4x^3 + 8x^2 + 7x + 2) (x^2 + x + 1)^2
−x^2 + 1 (x^2 + x + 1)^2
Studiamo il segno della derivata prima, ponendo f ′(x) > 0, ossia
−x^2 + 1 (x^2 + x + 1)^2
Abbiamo che
Num. > 0 ⇒ −x^2 + 1 > 0 ⇒ x^2 − 1 < 0 ⇒ − 1 < x < 1;
Den. > 0 ⇒ (x^2 + x + 1)^2 > 0 ⇒ per ogni x ∈ R;
quindi
−x^2 + 1 (x^2 + x + 1)^2
0 per − 1 < x < 1. Possiamo concludere che f e strettamente crescente per x ∈] − 1; 1[, mentre fe strettamente decrescente per x ∈] − ∞; −1[∪]1; +∞[.
Inoltre x = −1 e un punto di minimo relativo, mentre x = 1e un punto di massimo relativo (f ′^ non solo si annulla in questi due punti, ma cambia anche segno).
Esercizio 8. f (x) = x · e x^1 − 2
Soluzione. Il dominio della funzione `e ] − ∞; 2[∪]2; +∞[. Calcoliamo la derivata prima della funzione mediante le regole di derivazione del prodotto e della compo- sizione:
f ′(x) = 1 · e x−^12
x − 2
= e x−^12
(x − 2)^2
= e x−^12 ·
(x − 2)^2
= e x−^12 ·
x^2 − 5 x + 4 (x − 2)^2
Studiamo il segno della derivata prima, ponendo f ′(x) > 0, ossia
e x−^12 ·
x^2 − 5 x + 4 (x − 2)^2
Poich´e e
1 x− (^2) > 0 per ogni x appartenente al dominio, basta porre x^2 − 5 x + 4 (x − 2)^2
Abbiamo che Num. > 0 ⇒ x^2 − 5 x + 4 > 0 ⇒ x < 1 ∨ x > 4; Den. > 0 ⇒ (x − 2)^2 > 0 ⇒ per ogni x 6 = 2;
quindi
x^2 − 5 x + 4 (x − 2)^2
0 per x < 1 ∨ x > 4. Possiamo concludere che f e strettamente crescente per x ∈] − ∞; 1[∪]4; +∞[, mentre fe strettamente decrescente per x ∈]1; 2[∪]2; 4[.
Inoltre x = 1 e un punto di massimo relativo, mentre x = 4e un punto di minimo relativo.
Esercizio 9. f (x) = e
1 −x x^2
Soluzione. xm = 2
Esercizio 10. f (x) =
ln x x Soluzione. Il dominio della funzione `e ]0; +∞[. Calcoliamo la derivata prima della funzione mediante la regola di derivazione del rapporto:
f ′(x) =
x
· (x) − (ln x) · (1) x^2
1 − ln x x^2
Studiamo il segno della derivata prima, ponendo f ′(x) > 0, ossia
1 − ln x x^2
