APPLICAZIONI DELLE DERIVATE NELLO STUDIO DI FUNZIONE
Le derivate, nello studio di funzione, servono per:
•dove la funzione cresce e decresce (ovvero, dove la funzione è monotona crescente e dove è monotona
decrescente);
•quali sono i punti di massimo e minimo relativi o assoluti della funzione, cioè i punti in cui cambia la
monotonia
•utilizzare la derivata seconda nello studio di funzione serve per trovare eventuali flessi
Per fare questo, in accordo con i teoremi sulle derivate, bisogna calcolare la derivata prima della funzione, che
restituisce y = f’(x) e determinare il dominio Dom(f'). Dopo aver svolto questo passaggio bisogna porre la derivata f’(x)
maggiore o uguale di zero (uguale a zero per trovare i punti nulli).
I punti in cui la derivata prima si annulla (vale a dire le soluzioni dell'equazione f'(x)=0) sono i candidati massimi o
minimi della funzione y = f(x), detti altrimenti punti estremanti della funzione. Per sapere se tali punti x che annullano
la derivata prima sono massimi, minimi oppure niente, bisogna quindi risolvere la disequazione f ’(x) maggiore o
uguale di zero e studiare il segno della derivata prima. Supponiamo che x1 sia tale da annullare la derivata prima: f
'(x1)=0.
•se la derivata y = f '(x) è positiva prima di x 1 e negativa poi, allora x1 è punto di massimo della funzione
y = f(x);
•se la derivata y = f '(x) è negativa prima di x1 e positiva poi, allora x1 è punto di minimo della funzione
y = f(x);
Dato un punto x1 per dire che è un punto di massimo o di minimo per la funzione y = f(x) le condizioni "annullare la
derivata prima" e "alternanza del segno della derivata prima" devono valere contemporaneamente. Può infatti capitare,
ad esempio in corrispondenza di un punto x0 in cui è presente un asintoto verticale, che la funzione cresca prima e
decresca dopo di esso: per avere un'idea f(x)→+∞ per x→x0- e f(x)→+∞ per x→x0+. In tal caso avremo sicuramente
alternanza del segno della derivata prima, ma x 0 non è un punto di massimo per la funzione y = f(x); la derivata prima
infatti non si può annullare in x0 perché la funzione y = f(x) non è definita in tale punto.
A questo punto bisogna stabilire se i punti di massimo e minimo che abbiamo trovato sono relativi o assoluti.
Supponiamo che vi siano due punti di massimo x1, x2 e due punti di minimo x3, x4 per la funzione y = f(x) considerata.
Avremo quindi e
Per capire se sono relativi o assoluti dobbiamo vedere se esistono altri punti della funzione sopra, nel caso del massimo,
o sotto, nel caso del minimo; per fare questo bisogna trovare i valori della funzione corrispondenti ai massimi e minimi
trovati in precedenza, in questo modo conosceremo esattamente i punti del grafico in cui la funzione y = f(x)
raggiunge i suoi massimi/minimi:
Il punto di massimo assoluto è l'ascissa che determina il più grande tra i valori di massimo (ordinate) se la funzione non
tende a +∞ in alcun punto del dominio.
Il punto di minimo assoluto è l'ascissa che determina il più basso tra i valori di minimo (ordinate) se la funzione non
tende a -∞ in alcun punto del dominio.
Non sempre ci sono massimi e/o minimi assoluti: se ci sono, tutti gli altri massimi e/o minimi sono relativi. Se non ci
sono massimi e/o minimi assoluti, allora tutti i punti di massimo e/o minimo sono relativi. Con "relativo" infatti si
intende: "se esiste almeno un intervallo di ascisse tale per cui il valore di ordinata che si ottiene è il più grande
(massimo relativo) o il più piccolo (minimo relativo) tra tutti i valori di ordinata presenti in quell'intervallo". Con
"assoluto" si intende invece: "il valore di ordinata più grande (massimo assoluto) o più basso (minimo assoluto) su tutto
il dominio".
Si conclude lo studio della derivata prima studiando gli eventuali punti di non derivabilità della derivata prima y = f
'(x). Per farlo, basta considerare i punti che sono esclusi dal dominio della derivata prima y = f '(x), con particolare
attenzione alle ascisse che stanno nel dominio di y = f(x) ma che non appartengono al dominio di y = f '(x). Questa
ulteriore analisi potrebbe far risaltare cuspidi, punti angolosi e flessi a tangente verticale.
Un punto di flesso può esserci solo se la funzione in quel tratto è continua.
Massimi e minimi assoluti e relativi in un esempio:
Calcoliamo la derivata prima della funzione. Per farlo, dobbiamo applicare la regola di derivazione del rapporto di
funzioni, otteniamo quindi:
segue
