Università della Calabria - Corso di Studio in Economia Aziendale
Metodi Matematici per l'Economia
GRECO VINCENZO
DIMOSTRAZIONI TEOREMI RICHIESTI ALL’ESAME ORALE:
ROLLE
LAGRANGE E I COROLLARI
PERMANENZA SEGNO
UNICITA’ DEL LIMITE
MONOTONIA
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DIMOSTRAZIONI TEOREMI PER ESAME, Sintesi del corso di Matematica Generale
DIMOSTRAZIONI DEI TEOREMI RICHIESTI ALL’ESAME ORALE: • ROLLE • LAGRANGE E I COROLLARI • PERMANENZA SEGNO • UNICITA’ DEL LIMITE • MONOTONIA
Tipologia: Sintesi del corso
2021/2022
1 / 13
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Università della Calabria - Corso di Studio in Economia Aziendale Metodi Matematici per l'Economia GRECO VINCENZO DIMOSTRAZIONI TEOREMI RICHIESTI ALL’ESAME ORALE: ROLLE LAGRANGE E I COROLLARI PERMANENZA SEGNO UNICITA’ DEL LIMITE MONOTONIA
ROLLE ENUNCIATO: Sia f(x) : [a, b] → R
- Continua nell’intervallo [a, b]
- derivabile in (a, b) E se gli estremi dell’intervallo saranno uguali, cioè f(a)=f(b) , allora esiste almeno un punto in cui la f’(x)= all’interno dell’intervallo. Ovvero la retta tangente al grafico è orizzontale all’asse delle ascisse. Il punto c corrisponde a un punto di massimo o di minimo della funzione DERIVABILE? → una funzione è derivabile in un punto se esistono finiti e coincidono il limite destro e quello sinistro del rapporto incrementale
Se in tutti questi casi ∃ un punto c ∈ (a, b) di Max o di min, per il teorema di Fermat vale che f’(c) = 0
LAGRANGE Se la funzione soddisfa la prima e la seconda ipotesi del teorema di Rolle, ovvero:
- è continua nell’intervallo [a, b]
- è derivabile nell’intervallo (a, b) salvo eventualmente negli estremi x=a e x=b allora esiste (almeno) un punto c interno all’intervallo [a, b] nel quale è verificata l’uguaglianza che rappresenta il rapporto incrementale del segmento che congiunge i punti ( a, f(a) ) e ( b, f(b) ) GRAFICAMENTE Possiamo affermare che esiste un punto in cui la retta tangente al grafico è parallela rispetto alla retta seccante passante per i due punti.
1° COROLLARIO DI LAGRANGE Se due funzioni f(x) e g(x) Ipotesi:
- sono continue nell’intervallo [a, b]
- e che in (a, b) hanno derivata nulla f’(x)=0 g’(x)= Tesi= allora queste funzioni sono costanti f(x)=c g(x)=c È chiaro che da f(x)=c segue che f’(x)= - viceversa supponiamo che risulti f’(x)=0 ∀ x ∈ [a , b] - consideriamo 2 punti x1 e x2 ∈ [a , b] - con x1< x Grazie al teorema di Lagrange possiamo scrivere Dove c è un punto appartenente all’intervallo [x1, x2] ⊆ [a, b] Se f’(c) segue allora il nominatore della nostra uguaglianza deve essere pari a 0, e ciò può essere possibile solo quando la differenza fra f(x2) e f(x1) è pari 0, e ciò è possibile quando f(x2)=f(x1). La funzione è dunque costante.
2° COROLLARIO Se due funzioni f(x) e g(x)
- sono continue nell’intervallo [a, b]
- e hanno nell’intervallo derivata uguale f’(x) = g’(x) se succede questo esse differiscono per una sola costante DIMOSTRAZIONE Considero la funzione h(X) imponendo che essa sia pari alla differenza fra f(x) e g(x) h(x) = f(x) – g(x) derivo h’(x) = f’(x) – g’(x) ma essendo che la derivata di f(x) e la derivata di g(x) sono eguali segue che h’(x)= 0
ESISTENZA E UNICITA’ DEL LIMITE I limiti possono anche non esistere! Basta considerare il grafico della funzione sin(x). lim x→ ±∞ f ( x )=sin ( x ) Questa funzione non ammette limite tendente a più o meno infinito. Il suo grafico continua a oscillare fra -1 e +1 senza che le oscillazioni assumano un andamento convergente verso alcuna posizione del limite. ENUNCIATO Quando il limite esite è unico, cioè che f(x) non può assumere al limite due valori diversi Il teorema del limite Sia f:A ⊆ R con un punto P di accumulazione per l’insieme A Il limite di f per x che tende a p avrà come risultato t lim x→ p f ( x )= T Cioè quando noi andiamo a calcolare il limite di una f(x) tendente allo stesso numero non è possibile che asso assuma due valori diversi. DIMOSTRAZIONE Per dimostrare questo teorema procediamo a una dimostrazione per assurdo. Supponiamo che esistono T1 e T2 entrambi limiti di f(x) per x tendente a 0 con T1 ≠T2. Se fossero contemporaneamente vere le relazioni:
lim x→ p f ( x )= T (^) 1 lim x→ p f ( x )= T (^) 2 Dovrebbe esistere ∀ K>0 un intorno N1 di P, i cui punti x ( con x≠p) soddisfano la disuguaglianza: T 1 − K < f ( x ) < T 1 + K Ugualmente continuando a ragionare per assurdo dovrebbe esiste un intorno N2 di P in cui i punti ( con x≠p) soddisfano anche questa disuguaglianza: T 2 − K < f ( x ) < T 2 + K Nell’intorno di P dato da N1 ∩ N2 le precedenti disuguaglianze dovrebbero dunque valere simultaneamente per i punti x ∈ N1 ∩ N2 avremo: T 2 − K < f ( x ) < T 1 + K Da cui segue che T 2 − K < T 1 + K Ovvero − K − K <− T 2 + T 1 − 2 K ← T 2 + T 1 k >
T 2 − T 1
Tale conclusione è impossibile perché contraddice l’arbitrarietà di K. Il limiti dunque è unico.
Ovvero f(x1) ≤ f(x2) la funzione è crescente.