Dinamica dei Fluidi: Esercizi e Quiz per la Comprensione, Schemi e mappe concettuali di Fisica

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La dinamica dei

fluidi

Proprietà dei fluidi:

Densità: ρ = ρ (x,y,z,t) in generale varia da punto a punto da istante a istante

Fluido incomprimibile : ρ = ρ(x,y,z,t) = cost [con ottima appross. Liquidi]

Viscosità : η = η(x,y,z,t) si manifesta come forza parallela alla velocità e che dipende da essa. Si oppone allo scorrimento delle diverse parti di fluido una sull’altra (forze di taglio presenti in condizioni dinamiche)

Fluido non viscoso : η = 0 [solo in prima approssimazione]

Viscosità : η = η(x,y,z,t)

dz

dF =ηdSdv

Spesso si usa però come unità di misura (non del S.I.):

poise 1 poise = 10-1^ kg m-1^ s-

centipoise 1 centipoise = 10-2^ poise = 10-3^ kg m-1^ s-

Liquido

Coefficiente di viscosità (mPa·s)

Temperatura ( °C)

acqua

1.79 0 1.00 20 0.28 100

alcool etilico 1.20 20

glicerina 1490 20

mercurio

1.685 0 1.554 20 1.240 100

olio d'oliva 84.0 20

olio per motori 200 30

sangue 4.0 37

Coefficiente di viscosità di alcuni liquidi

Gas Viscosità (μP) Temperatura (°C) aria 170.8 0 182.7 18

argon

209.6 0 221.7 20 269.5 100

elio

186.0 0 194.1 20 228.1 100 idrogeno 83.5^0 87.6 20.

metano

102.6 0 108.7 20 133.1 100

neon

297.3 0 311.1 20 364.6 100

ossigeno

189 0 201.8 19. 256.8 127. Coefficiente di viscosità di alcuni gas

Linea di flusso

x

y

z

Un linea di flusso è tangente punto a punto al vettore velocità in quel punto.

Nei moti stazionari:

le linee di flusso sono fisse nel tempo e non si incrociano

Quando un fluido è in movimento, il suo moto può essere caratterizzato in due diversi modi:

• Moto laminare
• Moto turbolento

Moto laminare Ogni particella che passa in un particolare punto si muove lungo la stessa traiettoria seguita dalla particella passata in precedenza. Le particelle del fluido di muovono lungo una traiettoria detta linea di corrente. In regime stazionario le linee di corrente hanno una configurazione costante nel tempo e coincidono con le traiettorie degli elementi del fluido

Si definisce un fluido ideale un fluido con le seguenti caratteristiche:

• il fluido è non viscoso, ossia non presenta forze di attrito interne
• il fluido è incomprimibile, cioè la sua densità è costante

Inoltre si assume che:

• il moto del fluido è stazionario, e quindi v, ρ e p in ogni punto del fluido non dipendono dal tempo
• il moto del fluido è non turbolento , e quindi ogni elemento del fluido ha ω nulla attorno al suo centro e non ci sono correnti vorticose nel fluido in movimento

Tubo di flusso

In un fluido stazionario, la velocità in ogni punto è costante: Ogni particella che arriva nei diversi punti P, Q, R ha in quei punti velocità vP, v (^) Q, vR

1. Due linee di flusso non possono mai incrociarsi
2. L’insieme delle linee di flusso non cambia nel tempo
3. L’insieme delle linee di flusso passanti per una linea chiusa immersa nel fluido definisce un tubo di flusso

In un tubo di flusso :

Le velocità delle particelle del fluido che si muovono sulla superficie è parallela alla superficie stessa

Durante il moto, nessuna particella di fluido può entrare o uscire dal tubo di flusso

L’equazione di continuità

Si considera un tubo di flusso ed un fluido ideale in moto stazionario.

Nel tempo dt il fluido nella sezione S 1 si muove dello spazio

dx 1 =v 1 dt

e la massa contenuta in questo volume S 1 dx1 è:

dm 1 (^) =ρ 1 S 1 dx 1 = ρ 1 S 1 v 1 dt

Nello stesso tempo dt, il fluido in S 2 si muove di

dx 2 =v 2 dt

e la massa contenuta nel volume S 2 dx2 è:

dm 2 =ρ 2 S 2 dx 2 = ρ 2 S 2 v 2 dt

Poiché la massa si conserva (anche dalla definizione di tubo di flusso!) ed il moto è un moto stazionario , allora è

dm 1 = dm 2

essendo poi quello considerato un liquido ideale allora ρ 1 = ρ 2 = ρ, e si può scrivere che:

ρ 1 S 1 v 1 = ρ 2 S 2 v 2

L’equazione precedente prende il nome di equazione di continuità :

il prodotto dell’area di un condotto per la velocità del fluido, in tutti i punti del tubo è costante

Dall’equazione precedente si vede anche che:

la velocità di un fluido in un condotto (fluido ideale, regime stazionario) è inversamente proporzionale alla sezione del tubo

S 1 v 1 = S 2 v 2

S v = cost

Si trova poi sperimentalmente che la legge è valida anche per i gas. Se le velocità non sono troppo elevate, nel loro moto in un condotto sono quasi incomprimibili.

Il termine Sv viene anche definito portata ( volumetrica ) e si misura in m^3 /s.

fluidi 12 DP 16

L’equazione di Bernoulli Dato un fluido ideale (incomprimibile e non viscoso) in moto in un condotto con moto stazionario ed irrotazionale. Nel caso più generale, il condotto ha sezione ed altezza non costanti. Il suo moto può essere descritto con l’equazione di Bernoulli (1700, 1782).

In un tempo dt, il fluido nella sezione 1 si sposta di un tratto dx 1 mentre quello nella sezione 2, di un tratto dx 2.

Le aree A 1 ed A 2 sono differenti , ma per quanto visto i volumi di fluido nelle due sezioni sono uguali : dV 1 = dV 2.

Nella sezione 1 agisce la pressione p 1 e quindi la forza

p 1 A 1

Il lavoro dW 1 fatto da questa forza, nel tempo dt, è dW 1 (^) = F 1 dx 1 = p 1 A 1 dx 1 = p 1 dV 1 = p 1 dV Analogamente, nella sezione 2 è dW (^) 2 =− F 2 dx 2 =− p 2 A 2 dx 2 =− p 2 dV 2 =− p 2 dV

Il lavoro fatto dalle forze di pressione nel tempo dt è quindi pari a:

Parte di questo lavoro va in variazione di energia cinetica ( cambia la velocità v del fluido nelle due sezioni ) e parte in variazione di energia potenziale ( cambia la quota z ).

Si dm la massa di fluido che attraversa una sezione del tubo nel tempo dt. Allora la variazione di energia cinetica E (^) k è pari a:

e la variazione di energia potenziale E (^) P è

2 1

2 2 2 v v^1 2

dE^1 dm dm k = −

Applicando il teorema lavoro-energia , si può quindi scrivere che

dW = ( p 1 − p 2 ) dV

dE (^) P = dmg z 2 − dmgz 1

dW = dEk + dE P

e sostituendo ( 1 2 ) 22 v 12 ( 2 1 ) 2

1 v 2

1 p p dV dm dm + dmg z − dmg z 

  

− =^ −

Dividendo entrambi i membri per dV e ricordando che è:

dV

dm ρ =

Alcune conseguenze del teorema di Bernoulli

Consiste in un condotto orizzontale a sezione variabile e viene utilizzato per misure di portata e di velocità.

1. Tubo di Venturi

Poiché il tubo è orizzontale, è z 1 = z 2 , quindi l’equazione di Bernoulli diventa:

2 2 2 2 1 1 2 v v^1 2

p + 1 ρ = p + ρ

ed essendo ( equazione di continuità )

S 1 v 1 = S 2 v 2 2

1

2 v (^1) S v S =

2 2 2 2 2

2

1

1 2 v 2

v^1 2

(^1) ρ = + ρ 

 



• p S

p S

( ) ( 12 22 )

v 2 1 2 1 2 S S

S p p −

= − ρ

Dalla misura della differenza di pressione nelle due sezioni, ∆p = p 1 – p 2 , si possono calcolare la velocità v 2 e quindi quella v 1 e determinare la portata.

Alcune conseguenze del teorema di Bernoulli