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CALCOLO DI PRIMITIVE
Premessa. Illustriamo qui brevemente le principali tecniche di integrazione. Un lavoro piu approfondito verra svolto durante le esercitazioni.
I Nel seguito, indichiamo con f una funzione continua su un certo intervallo [a, b] e con F una sua primitiva, e consideriamo integrali indefiniti relativi a tale intervallo.
- Primitive Immediate
I Nella tabella, α ̸= 1 e k ̸= 0 sono numeri reali, mentre a ̸= 1 `e un numero positivo.
f (x) F (x) 1 x log^ |x| xα^ x α+ α+ sin x − cos x cos x sin x 1 cos^2 x tan^ x 1 sin^2 x −^ cot^ x ex^ ex ax^ a x log a 1 1+x^2 arctan^ x √^1 1 x^2 arcsin^ x √^1 x^2 +k log^ |x^ +^
x^2 + k | sinh x cosh x cosh x sinh x 1 cosh^2 x tanh^ x
| Osservazione. Sono dette funzioni elementari le composizioni o combinazioni finite di funzioni razionali, algebriche, trigonometriche o esponenziali. Tuttavia (e lo si pu`o dimostrare) non tutte le funzioni elementari hanno primitiva elementare. Tre esempi sono
e x 2 sin x x
ex 1 + x le cui primitive sono classificate tra le funzioni cosiddette “speciali”.
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- Cambio di Variabili
I Si utilizza la seguente formula (cfr. Proposizione 41 della Dispensa): ∫ f (ψ(x))ψ′(x) dx = F (ψ(x)) + C
dove ψ : [α, β]! [a, b] `e suriettiva e derivabile e ψ′^2 R(α, β).
z Esempi:^1
cos 2x dx =
2 cos 2x dx =
sin 2x + C
esin^ x^ cos x dx =
esin^ x(sin x)′^ dx = esin^ x^ + C
1 + x dx = log j1 + xj + C
tan x dx =
sin x cos x dx =
(cos x)′ cos x dx = log j cos xj + C
I Gli ultimi due esempi sono un caso particolare di ∫ (^) ψ′(x)
ψ(x)
dx = log |ψ(x)| + C
Esercizio. Calcolare le primitive delle seguenti funzioni:
tanh x
cos x cos^2 (sin x)
ex^ cos ex
3 x 1 + x^4 [Si riscriva la fuzione come
2 x 1 + (x^2 )^2 notando che (x^2 )′^ = 2x]
| Osservazione. Se la ψ e invertibile, allora si puo porre ψ(x) = t ottenendo ∫ f (ψ(x))ψ′(x) dx x=ψ−^1 (t)
f (t) dt
(^1) Qui usiamo anche la formula ∫^ λf (x) dx = λ ∫^ f (x) dx (vedi paragrafo successivo).
- Metodo di Scomposizione
I Si utilizza la linearit`a dell’integrale, ovvero ∫ (^) [ f (x) + λg(x)
]
dx =
f (x) dx + λ
g(x) dx
z Esempi:
tan^2 x dx =
sin^2 x cos^2 x dx =
cos^2 x dx
dx = tan x x + C
x 1 + x dx =
dx
1 + x dx = x log j1 + xj + C
sin^2 x dx =
1 cos 2x 2 dx =
dx
cos 2x dx = x 2
sin 2x + C
Esercizio. Calcolare la primitiva di cos^2 x.
Esercizio. Calcolare la primitiva di
sin 2x Suggerimento: usare la relazione 1 sin 2x
sin^2 x + cos^2 x 2 sin x cos x
tan x +
cot x
Esercizio. Usando il punto precedente, calcolare la primitiva di
sin x
- Integrazione per Parti
I Data un’altra funzione continua g con primitiva G si ha (cfr. Proposizione 40 della Dispensa): (^) ∫
f (x)G(x)dx = F (x)G(x) −
F (x)g(x)dx
z Esempi:
xex^ dx = xex^
ex^ dx = xex^ ex^ + C
x^2 ex^ dx = x^2 ex^ 2
xex^ dx = x^2 ex^ 2 xex^ + 2ex^ + C
log x dx =
1 log x dx = x log x
x
x
dx = x log x
dx = x log x x + C
| Osservazione. Quando l’integrazione per parti si reitera (come nel secondo esempio) si deve continuare a derivare la funzione derivata al passo precedente, altrimenti si torna all’integrale di partenza.
| Osservazione (ovvero: sul perch´e abbiamo la fissa della costante arbitraria). Volendo calcolare l’integrale indefinito ∫ 1 x dx
invece di utilizzare direttamente la tabella lo calcoliamo per parti: ∫ 1 x
dx =
x
dx = x
x
x
x^2
dx = 1 +
x
dx
Sottraendo l’integrale a entrambi i membri concludiamo che 0 = 1.
Morale: lo studente consideri seriamente di rivalutuare il ruolo della costante arbitraria nell’integrale indefinito. Nonostante qualcuno possa pensare il contrario, non `e solo un vezzo del docente!
Esercizio. Data f con f ′′^ continua, calcolare f (2) sapendo che
f (3) = 2 f ′(2) = 4
2
(3 x)f ′′(x) dx = 3
Svolgimento. Integrando per parti otteniamo ∫ (^3)
2
(3 x)f ′′(x) dx = (3 x)f ′(x)
3 2
2
f ′(x) dx = f ′(2) + f (3) f (2)
Dai dati a disposizione, concludiamo che
3 = 4 + 2 f (2) ) f (2) = 1
- Integrazione per Ricorrenza
Questa `e una tecnica basata su un’integrazione per parti reiterata, molto utile quando si abbia un prodotto di due funzioni con primitiva (e derivata) ricorrente (seni-coseni trigonometrici-iperbolici o funzioni esponenziali). La illustriamo attraverso due esempi.
z Esempio 1: Ricalcoliamo con questo metodo la primitiva di sin^2 x. Si ha
I : =
sin^2 x dx =
sin x sin x dx = cos x sin x
( cos x) cos x dx
= cos x sin x +
cos^2 x dx = cos x sin x +
[1 sin^2 x] dx = cos x sin x + x I
