Dispositivi Elettronici Piccini Gianluca Cap 7, Dispense di Elettronica

Scarica Dispositivi Elettronici Piccini Gianluca Cap 7 e più Dispense in PDF di Elettronica solo su Docsity! Capitolo 7 La giunzione metallo semiconduttore e i MESFET Per l’analisi del comportamento elettrico di una giunzione metallo semiconduttore si impiegano i diagrammi a bande della struttura, sia in condizioni di equilibrio ter- modinamico sia nella situazione in cui si applicchi un potenziale elettrico. Viene utilizzata la teoria ideale di Schottky per classificare i contatti metallo-semiconduttore come contatti raddrizzanti o metallici (ohmici). È sufficiente un semplice confronto dei valori del lavoro di estrazione per avere un’indicazione se la giunzione abbia o meno un comportamento raddrizzante. Si ricorre all’equazione di Richardson per valutare la corrente inversa come corrente termoemessa nel semiconduttore e si mettono in luce i limiti della teoria di Schottky nel progetto di contatti non raddrizzanti. La loro scarsa affidabilità non ne permette l’impiego pratico nella realizzazione di circuiti integrati. Si preferisce l’impiego dei con- tatti tunnel il cui studio viene affrontato applicando al diagramma a bande del contatto metallo-semiconduttore i meccanismi di conduzione attraverso una barriera di poten- ziale (rettangolare e triangolare) descritti nei capitoli 1 e 2. Dagli esempi considerati è facile rilevare che l’elevata densità di corrente ottenibile per effetto tunnel in un contat- to tra metallo e silicio e la sua dipendenza lineare dalla tensione applicata consentono di ottenere un contatto a bassa resistenza tra un semiconduttore e una connessione metallica esterna. Il diodo Schottky viene anche studiato come dispositivo raddrizzante; allo scopo si svol- gono alcuni esercizi che mettono in evidenza le caratteristiche I-V e la dipendenza dalla temperatura delle caratteristiche elettriche. Per la sua rilevanza applicativa è poi utile ricordare che il contatto metallo-semiconduttore è alla base di alcuni metodi sperimentali per la determinazione delle grandezze che definiscono il diagramma a bande e del profilo di drogaggio a partire dalla misura della capacità di giunzione. Infine il capitolo si chiude con l’esame del primo dispositivo a tre morsetti considerato in questo testo: il transistore a effetto di campo MESFET, che basa il suo funzionamento su di un contatto metallo-semiconduttore. 189 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini - ? ? ? ? ?  ? ? Metodo C(V ) Capacità Diagramma a bande del 7.1.1,2,3,4,5 7.2.1 Limiti della teoria ideale di Schottky 7.3.1 Caratteristiche statiche 7.5.1, 7.5.2 Caratteristiche dinamiche 7.7.1 di giunzione 7.5.4 di caratterizzaz. 7.6.1, 7.6.2 sistema metallo-semiconduttore Teoria di Schottky ideale diodi Schottky diodi Schottky Contatti tunnel Diagrammi a bande 7.4.1, 7.4.2, 7.4.3 MESFET 7.8.1, 7.8.2 Caratteristiche statiche MESFET 7.8.3 Figura 7.1: Struttura del capitolo 7. 7.1 Diagramma a bande della giunzione metallo semicon- duttore 7.1.1 Si dimostri che in una struttura costituita da due materiali diversi il livello di Fermi, all’equilibrio termodinamico, è costante. Per ottenere che il livello di Fermi sia costante la condizione dell’equilibrio termodinamico è strettamente necessaria? Si considerino due materiali (1) e (2) caratterizzati dalle funzioni di Fermi-Dirac f1(E) e f2(E), dalle densità degli stati g1(E) e g2(E), dalle concentrazioni di elettroni n1(E) e n2(E) e dalle concentrazioni di posti vuoti v1(E) e v2(E). In condizione di equilibrio termodinamico, situazione all’interfaccia tra i materiali (1) e (2) si deve avere, per ogni energia E?, un bilanciamento del flusso di elettroni tra i due materiali: il numero di elettroni che mediamente vanno verso (2) (proporzionale al numero di elettroni in grado di effettuare il passaggio, n1, per il numero di posti vuoti in grado di accoglierli, v2) deve essere pari a quelli che mediamente fanno il cammino opposto n1(E?)v2(E?) = n2(E?)v1(E?) Per i singoli fattori valgono le espressioni 190 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini Se il drogaggio è uniforme la carica spaziale positiva che si estende per una profondità xd dalla superficie di contatto con il metallo entro il semiconduttore è QS = qANd xd e ai suoi capi si forma una differenza di potenziale φi = ΦM − ΦS = ΦM − χ− EC − EF q dove EC − EF = kT ln NC Nd = 0, 0259 ln 3, 22 · 1019 8 · 1014 eV = 0, 275 eV per cui φi = ΦM − ΦS = 4, 75 V − 4, 15 V − 0, 275 V = 0, 325 V Dato che la carica è costante con x, il campo elettrico presenta una pendenza costante, cioè ha una variazione lineare E(x) = Emax ( 1− x xd ) il suo valore massimo in x = 0 è Emax = −qNd xd ²S L’area sotto la curva del campo elettrico rappresenta la tensione φi localizzata ai capi della regione svuotata, per cui φi = −12 Emax xd = q Nd 2²S x2d e esplicitando xd xd = √ 2²S φi qNd = √ 2× 11, 7× 8, 8544 · 10−12 × 0, 325 1, 6 · 10−19 × 8 · 1020 = 0, 7 µm da cui Emax = −1, 6 · 10 −19 × 8 · 1020 × 0.7 · 10−6 11, 7× 8, 8544 · 10−12 = −865 kV/m Integrando il campo elettrico5 si ottiene U(x) = Emax ( x− x 2 2xd ) + C Ponendo a zero l’energia potenziale all’interno del semiconduttore, U(xd) = 0, la costante diventa C = −Emax xd/2, per cui in definitiva U(x) = Emax ( x− x 2 2xd − x 2 ) 5Con un doppio cambiamento di segno, uno per il passaggio campo - potenziale l’altro per il passaggio potenziale - energia potenziale. 193 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x1018 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 profondita‘, um E ne rg ia p ot en zi al e, e V Figura 7.3: Energia potenziale degli elettroni (EC) in prossimità di un contatto con Au. 7.1.4 Si costruisca il diagramma a bande di una giunzione metallo-semiconduttore di tipo n in presenza di polarizzazione esterna L’applicazione di un potenziale esterno modifica l’aspetto del diagramma a bande rispetto a quello presentato all’equilibrio termodinamico (problema 7.1.2). Non è più possibile introdurre il livello di Fermi, infatti se il sistema non è all’equilibrio termodi- namico a rigore non vale più la statistica di Fermi-Dirac e quindi non è corretto parlare di livello di Fermi. Si può però, in condizioni di basso livello di iniezione, definire (capi- tolo 5) uno pseudo-livello di Fermi per gli elettroni EFn e uno per le lacune EFp, im- maginando che sussista per ciascuna delle due popolazioni, considerate separatamente, una condizione di equilibrio. Nel diagramma a bande in esame il semiconduttore è di tipo n e si considera lo pseudolivello degli elettroni. Le considerazioni che devono essere fatte nella costruzione del diagramma a bande fuori dall’equilibrio sono diverse a seconda che - non vi sia corrente che fluisce nel dispositivo, o perlomeno la sua intensità sia piccola, e inoltre il semiconduttore presenti una grande conducibilità (elevato drogaggio), - il flusso di corrente non sia trascurabile e quindi, data la conducibilità non infinita del semiconduttore drogato, si abbia una caduta di potenziale sul semiconduttore. Il primo caso si riferisce a un contatto polarizzato inversamente, oppure in polariz- zazione diretta, ma con piccole tensioni. Dato che il metallo e il semiconduttore si possono ritenere a conducibilità elevata e che la corrente è di bassa intensità, le cadute 194 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini di tensione nel metallo e nel corpo del semiconduttore (rsI) possono essere consider- ate trascurabili; la tensione applicata Va si localizza tutta sulla giunzione. Dato che qΦM qΦB E [eV] q Va qχ Eg EFM EFn q(φi − Va) E0 Figura 7.4: Diagramma a bande di un sistema metallo-semiconduttore di tipo n polarizzato inversamente (assenza di una corrente apprezzabile). il semiconduttore è di tipo n la giunzione è polarizzata inversamente se si applica il polo negativo sul metallo: ciò comporta che i livelli energetici del lato semiconduttore si abbassino rispetto a quelli del metallo (fig. 7.4). Il salto energetico tra i due pseudo- livelli di Fermi degli elettroni è pari a qVa. Applicare una tensione inversa porta allo stesso risultato che si avrebbe con un semiconduttore con lavoro di estrazione superiore al valore effettivo di una quantità qVa (altezza della barriera di potenziale maggiore). Comportamento analogo si verifica in polarizzazione diretta per correnti di bassa in- tensità sino a che la caduta rsI è trascurabile; il risultato è lo stesso che si avrebbe con un semiconduttore caratterizzato da un lavoro di estrazione più basso di una quantità qVa (altezza della barriera inferiore). Si potrebbe pensare di applicare una tensione diretta che annulli la barriera (Va = φi), cioè raggiungere una situazione di banda piatta come succede nei dispositivi MOS (capitolo 11) e come è illustrato nella figura 7.5. Ciò non è possibile, infatti al crescere della tensione diretta la barriera φi − Va diminuisce, ma aumenta la corrente e la caduta rsI diventa non più trascurabile. Sul contatto metallo-semiconduttore non viene applicata l’intera tensione esterna, ma la tensione Va − rsI. La barriera nel semiconduttore vale φi − (Va − rsI) = φi − Va + rsI e non si annulla mai. Nella figura 7.6 risultano evidenti la caduta di tensione nel corpo del semiconduttore, tipica di un comportamento resistivo (zona lineare del diagramma a bande), e la zona svuotata, che rappresenta un comportamento capacitivo (zona parabolica). Si noti invece come in ogni caso la barriera di potenziale dal metallo al semiconduttore non vari al variare del potenziale esterno, in quanto è data dalla differenza qΦM − qχ, tra due quantità che dipendono solo dai materiali in gioco. 7.1.5 Si abbia un contatto metallo-semiconduttore tra alluminio e silicio di tipo n, in cui il profilo di drogaggio sia gaussiano con il massimo sulla superficie. Il valore misurato della barriera è qΦB = qΦM (Al)− qχ(Si) = 0, 69 eV. 1. Si disegni qualitativamente il diagramma a bande. 2. Si indichi come sia possibile valutare il potenziale di contatto φi, inteso come differenza dei lavori di estrazione dei due materiali. 195 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini qΦM qχ 0, 086 eV E0 Figura 7.7: Diagramma a bande del metallo e del semiconduttore considerati separatamente. qΦM qΦB = 0, 164 eV 0, 715 eV E [eV] qχ x E0 Figura 7.8: Diagramma a bande della giunzione metallo semiconduttore all’equilibrio termodinamico. In conclusione si ha c = 4507, 5 cm−1 b = Cp 1− e−1/2 ecσ − 1 = Cp · 1, 992 = 1, 992 · 10 18 cm−3 a = Cp + b = (1 + 1, 992) · Cp = 2, 992 · 1018 cm−3 d) Con la nuova distribuzione e nell’ipotesi di completo svuotamento N+d = Nd(x) ≡ C(x) = a− b ecx si integra l’equazione di Poisson ottenendo E(x) =   x o ρ ²s dx′ = q ²s  x o N(x′) dx′ = q ²s [ ax− b c (ecx − 1) ] + K Se xd è la profondità a cui la regione completamente svuotata ha fine, allora E(xd) = 0 K = − q ²s [ axd − b c (ecxd − 1) ] 198 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini b e+cx b b e−cx b a− b e+cx a− b a− b e−cx a− b a x x x x Figura 7.9: Andamenti delle funzioni +be±cxe a− be±cx con a, b, c > 0. mentre in x = 0 il campo è massimo, E(x) = K. Ponendo V (x = 0) = 0, la tensione cresce all’interno del semiconduttore sino a un massimo V (x = xd) = Vj = φi−Va che, all’equilibrio termodinamico (tensione applicata Va = 0), vale V (x = xd) = Vj = φi V (x) = −  x 0 E(x′) dx′ = − q ²s [ a 2 x2 − b c2 ecx + b c x ] + Kx ∣∣∣∣ x 0 = − q ²s [ a 2 x2 − b c2 ecx + b c x + b c2 ] + Kx Vj = V (xd) = − q ²s [ a 2 x2d − b c2 ecxd + b c xd + b c2 ] + Kxd = − q ²s [ a 2 x2d − b c ( 1 c − xd ) (ecxd − 1) + b c xd ] È possibile trovare all’equilibrio termodinamico l’ampiezza della regione svuotata risol- vendo numericamente l’equazione ΦM − χ− kT q ln ( NC a− becxd ) = − q ²s [ a 2 x2d − b c ( 1 c − xd ) (ecxd − 1) + b c xd ] (7.1) Si ottiene una soluzione approssimata disegnando in funzione di xd il primo e il secondo membro dell’equazione e cercandone il punto di intersezione. Dalla figura 7.10 si ha per l’estensione della regione svuotata il valore6 xd ' 28, 18 nm e qφi = 0, 6032 eV. Si nota che la curva relativa al primo membro è sostanzialmente una retta orizzontale. Ciò si spiega osservando che, con il valore trovato per xd, l’esponenziale nelle formule vale al massimo ecxd = e450750×28,18·10 −9 = e1,27·10 −2 = 1, 013 ' 1 6Ora che si conosce l’ordine di grandezza di xd si può osservare come i punti usati per approssimare la gaussiana con l’esponenziale coprano un dominio troppo ampio; come nodi si sarebbero potuti assegnare per esempio x = 0, xd, 10xd. 199 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 xd (nm) po te nz ia le d i c on ta tto , e V Figura 7.10: Andamento del potenziale nel semiconduttore con Nd(x) = a − b ecx, espresso mediante le due relazioni. L’intersezione corrisponde al potenziale di contatto e permette di determinare l’ampiezza della regione svuotata. mentre al minimo, per xd = 0, vale 1. Tale variazione viene ulteriormente ridotta dalla funzione logaritmica e il primo membro della (7.1) si può ritenere costante, qφi = 0, 603 eV. e) Nel secondo membro della (7.1) l’esponenziale si potrebbe approssimare con i primi due termini dello sviluppo in serie Nd(x) = a− b ecx ' a− b (1 + cx) = (a− b)− (bc)x = m− nx dove m = a−b e n = bc. Ripetendo il procedimento secondo i passi seguiti in precedenza si ha E(x) = ρ ²s = q ²s  x o N(x′) dx′ = q ²s ( mx− n 2 x2 ) + K E(xd) = 0 → K = − q ²s ( mxd − n2x 2 d ) da cui V (x) = −  x 0 E(x′) dx′ = − q ²s [m 2 x2 − n 6 x3 ] + Kx ∣∣∣∣ x 0 = − q ²s [m 2 x2 − n 6 x3 ] + Kx infine Vj = V (xd) = − q ²s x2d ( −m 2 + n 6 xd + m− n2xd ) = − q ²s x2d (m 2 − n 3 xd ) 200 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini ovvero Nd < 8, 5× 1011 cm−3 È da notare che un tale livello non risulta realistico per un drogaggio intenzionale, in quanto il drogaggio di fondo non intenzionale può avere concentrazione superiore. b) Nel caso di silicio di tipo p, dato che qΦS è sempre maggiore di qΦM , il contatto è di tipo raddrizzante qualsiasi sia la concentrazione di drogante (problema 7.5.2). qΦM qΦB E [eV] qχ Eg EF qΦS E0 Figura 7.13: Diagramma a bande di un sistema metallo-semiconduttore di tipo n con Nd < 8, 5× 1011 cm−3. qΦM qΦB E [eV] qχ Eg EF qΦS E0 Figura 7.14: Diagramma a bande di un sistema metallo-semiconduttore di tipo p con un valore di Na qualsiasi. 7.3 Limiti della teoria ideale di Schottky 7.3.1 Nel caso della teoria ideale di Schottky, la natura del contatto dipende solo dai valori di qΦM e qΦS ovvero dal fatto che, in condizioni di equilibrio termodinamico, esista 203 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini qΦM qΦB Eg E [eV] qχ EF qΦS E0 Figura 7.15: Diagramma a bande della giunzione metallo semiconduttore con il metallo avente qΦM = 4, 5 eV in condizioni di equilibrio termodinamico. qΦM E [eV] qχ EF qΦS E0 Figura 7.16: Diagramma a bande della giun- zione metallo semiconduttore con il metal- lo avente qΦM = 4, 05 eV in condizioni di equilibrio termodinamico. o meno una regione di carica spaziale. In realtà ciò è vero solo in parte, infatti per chiarire la natura di un contatto metallo-semiconduttore è necessario anche fare delle ipotesi sui flussi di portatori in condizione di non equilibrio termodinamico. Si considerino quattro contatti “non raddrizanti” (secondo la teoria ideale di Schottky) tra silicio di tipo n con drogaggio7 pari a Nd = 8, 5 · 1011 cm−3 con spessore di 5 µm, e i metalli con lavori di estrazione rispettivamente 4, 05 eV, 4, 15 eV, 4, 5 eV e 5, 05 eV. 1. Si determinino le densità di corrente inversa, usando la formula di Richardson per l’emissione da un metallo (limite di emissione). 2. Determinare la densità di corrente supponendo una velocità massima degli elet- troni di 4 · 106 cm/s (limite di trasporto) e si calcoli per quale valore di tensione si raggiunge con questa corrente il limite di emissione. 3. Si valuti se in condizione di polarizzazione diretta vi sono vincoli al comporta- mento non raddrizzante del contatto. 4. Si disegnino le caratteristiche tensione corrente in condizioni di polarizzazione diretta e inversa, mettendo in luce i limiti della teoria ideale di Schottky. Secondo la teoria di Schottky entrambi i contatti non sono raddrizzanti, come si nota dai rispettivi diagrammi a bande all’equilibrio (fig. 7.15 e 7.16). In realtà in un processo di fabbricazione di circuiti integrati un contatto può essere considerato non raddrizzante quando presenta una resistenza bassa e costante per ampie variazioni (in modulo e segno) della tensione. a) In condizioni di polarizzazione inversa la corrente di elettroni dal metallo verso il semi- conduttore è legata a un fenomeno di emissione dal metallo nel semiconduttore. Per 7Questo valore di drogaggio non è realizzabile, ma viene usato solo allo scopo di chiarire i punti esaminati nell’esercizio. 204 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini valutare tale corrente si applicano i concetti esaminati nel capitolo 2 a proposito dell’e- missione di un metallo nel vuoto8. Si impiega l’equazione di Richardson alla barriera metallo semiconduttore di valore pari al lavoro di estrazione del metallo diminuito dell’affinità elettronica nel silicio: qΦB = qΦM − qχ, J = A0 · T 2 · exp ( −qΦM − qχ kT ) Si valutano le correnti a 300 K relative ai contatti realizzati tra il silicio e i vari metalli. Si ha9 A0 = 4mqπ h3 k2 = 120 · 104 Am−2K−2 e quindi A0 · T 2 @ 300 = 10, 8 · 106 Am−2 L’affinità elettronica del silicio vale 4,05 V, quindi qΦB nei quattro casi vale 0, 0,1 eV, 0,45 eV e 1,0 eV; si hanno le densità di corrente qΦB = 0, 0 eV J = 10, 8 · 106 Acm−2 qΦB = 0, 1 eV J = 230, 1 · 103 Acm−2 qΦB = 0, 45 eV J = 0, 327 Acm−2 qΦB = 1 eV J = 21, 3 · 10−11Acm−2 In condizioni di polarizzazione inversa la corrente termoemessa nel silicio dal metallo rappresenta il limite massimo della corrente che può scorrere nel contatto (limite di emissione). Non è detto che tale corrente possa effettivamente scorrere nel contatto: la corrente dipende dai fenomeni di trasporto nel semiconduttore. b) Si tratta di valutare per quali valori di tensione si incorra nel limite di emissione. Nel semiconduttore con spessore di 5 µm si uguaglia la corrente emessa dal metallo nel semiconduttore con la corrente di trascinamento nel semiconduttore e si ottiene il valore massimo di tensione inversa applicabile10. Il fatto di supporre che tutto il potenziale cada sul silicio è giustificato perché la caduta resistiva sul metallo è trascurabile e fino a quando non intervenga il limite di emissione il potenziale sulla giunzione non cambia. Quindi Jemessa = Jt = qµnnE = qµnnVa/L e la tensione massima prima di incorrere nel limite di emissione vale Va = JemessaL qµnn Ponendo µn = 1400 cm2V−1s−1, per L=5 µm si ottiene, qΦB = 0, 0 eV Va = 28, 28 · 106 V qΦB = 0, 1 eV Va = 6, 041 · 105 V qΦB = 0, 45 eV Va = 0, 808 V qΦB = 1 eV Va = 5, 59 · 10−10 V 8Si trascura il fenomeno dell’abbassamento della barriera di potenziale per effetto Schottky, quando si applica una tensione esterna. 9In realtà per un’analisi più precisa bisognerebbe correggere il valore teorico utilizzando per barriere Schottky con silicio di tipo n il valore 250 Acm−2K−2. 10Oltre questo limite la corrente tende a saturare e quindi varia poco al crescere della tensione; la resistenza del contatto cresce sensibilmente. 205 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini qΦM qΦB Eg x n(E) n(E) qχ ' qΦS E0 E E Figura 7.20: Diagramma a bande all’equilibrio termodinamico del contatto metallo (alluminio) semiconduttore (silicio drogato n con Nd = 2, 8 · 1019 cm−3) e relativa distribuzione degli elettroni nel metallo e nel semiconduttore in banda di conduzione per una temperatura pari a 300 K. 2. non è possibile un controllo accurato dell’interfaccia tra metallo e semiconduttore, tale da fissare con sicurezza l’entità della barriera qΦB (il valore può variare molto rispetto alla situazione ideale, soprattutto a causa delle cariche superficiali) e quindi la corrente inversa. Per questo motivo si ricorre alla realizzazione di contatti con silicio fortemente drogato nei quali la conduzione avviene per effetto tunnel (il flusso di cariche dovuto all’effetto tunnel prevale sulle componenti di iniezione). 7.4.1 Si determini la corrente in un contatto di area A = 4 µm2 tra alluminio e silicio drogato di tipo n con Nd = 2, 8 · 1019 cm−3, in condizioni di polarizzazione diretta e inversa assumendo una velocità di trascinamento di 106 cm s−1. Si confrontino i risultati con quelli che si otterrebbero con un semiconduttore drogato Nd = 5 · 1016 cm−3. Si approssimi la forma della barriera in modo lineare e si usi il metodo WKB esaminato nel capitolo 1. Dato l’alto livello di drogaggio nel semiconduttore il livello di Fermi viene ad allinearsi con il bordo inferiore della banda di conduzione; il diagramma a bande risultante al- l’equilibrio termodinamico è quello illustrato nella figura 7.20. La possibilità di avere conduzione tra metallo e semiconduttore e viceversa, è legata all’attraversamento del- la barriera di potenziale di altezza qΦB ' qφi per effetto tunnel. Secondo la teoria di Schottky questo contatto sarebbe sicuramente raddrizzante in quanto qΦM > qΦS . L’elevato drogaggio però riduce la larghezza della barriera di potenziale consentendo un flusso di elettroni per effetto tunnel. Il problema dell’attraversamento di una barriera di potenziale è stata affrontato nel capitolo 1; se ne usano qui i risultati fondamentali. - L’altezza della barriera è qΦB = qΦM − qχ = 0, 25 eV; - la larghezza della barriera può essere calcolata all’equilibrio integrando l’equazione di Poisson qNa 2²S x2d = φi −→ xd = √ 2²S qNd φi 208 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini qΦB x E xd Figura 7.21: Andamento del potenziale relativo alla barriera e sua approssimazione triangolare per l’applicazione del metodo WKB. Dato che EC − EF ' 0, il valore del potenziale di contatto coincide con il valore della barriera di potenziale (qφi ' qΦB = 0, 25 eV) xd = √ 2× 11, 7× 8, 854 · 10−14 1, 6 · 10−19 × 2, 8 · 1019 × 0, 25 = 34 Å Nel caso di semiconduttore con drogaggio Nd = 5 · 1016 si sarebbe ottenuto xd = 469 Å - La barriera può essere approssimata linearmente con una barriera triangolare e quindi si applica il metodo WKB per il calcolo della probabilità di trasmissione. La barriera di potenziale è illustrata nella figura 7.21 e può essere espressa con U(x)−EF = qΦB ( 1− x xd ) - La distribuzione degli elettroni a 300 K sia nel metallo sia nella banda di con- duzione del semiconduttore (come si è visto nel calcolo del lavoro di estrazione per emissione da catodo freddo) consente di assumere che la quasi totalità della corrente è prodotta dagli elettroni con energia prossima al livello di Fermi. Per tale ragione si calcola con il metodo WKB la probabilità di trasmissione per un elettrone con energia pari ad EF . La probabilità di trasmissione si può valutare come T (E) = exp [ −2 ~ ∫ d 0 {2m? (U(x)− E)} 12 dx ] Per E = EF è d = xd e U(x)−EF = qΦB − q ΦB xd x = qΦB ( 1 − x xd ) 209 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini JSM JMS E Figura 7.22: Andamento delle densità elettroniche nel metallo e nel semiconduttore in prossimità della giunzione. allora T (EF ) = exp [ −2 ~ ∫ xd 0 √ 2m? { q ΦB ( 1− x xd )} dx ] = exp [ −2 ~ √ 2m? q ΦB ∫ l 0 √( 1− x xd ) dx ] = exp [ −2 ~ √ 2m? q ΦB [ −2 3 xd ( 1− x xd ) 3 2 ]xd 0 ] = exp [ −2 ~ √ 2m? q ΦB 2 3 xd ] = exp [ − 4 3 ~ √ 2m? q ΦB xd ] Numericamente, introducendo la massa efficace dell’elettrone (0, 26 m0), T (EF ) = exp [ − 4 3~ √ 2× 0, 26× 9, 1 · 10−31 × 1, 6 · 10−19 × 0, 25× 34 · 10−8 ] T (EF ) = 2, 7 · 10−3; La corrente che scorre nel contatto può essere calcolata, in prima approssimazione11, come Itunnel ' q · vx ·A · n · T (EF ) = 1, 6 · 10−19 × 106 × 4 · 10−8 × 2, 8 · 1019 × 2, 7 · 10−3 = 0, 483 mA Per confronto, i valori trovati con una concentrazione Nd = 5 · 1016 sono xd = 469 AA ; TEF = 3, 698 · 10−36 ; Itunnel ' 6, 6 · 10−36 mA Anche in questo caso il contatto è raddrizzante, ma la corrente per effetto tunnel è del tutto trascurabile12. 11Si considera la corrente di elettroni dal semiconduttore verso il metallo in quanto questa, data la minor concentrazione elettronica, può rappresentare il limite all’ohmicità del contatto. 12In questo caso in realtà EC−EF non è più trascurabile e in corrispondenza di EF nel semiconduttore si ha la banda proibita. 210 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini n = 1 A0 = 120e4 D = -6244.8276 cur = 1e2 T = 700 1 f = cur - A0*T**2*exp(b/T) fp = A0*(- 2*T+D)*exp(b/T) dT = - f/fp T = T + dT write (59,*)n, T, f, dT n = n+ 1 if(abs(dT/T).lt.1.E-6) stop if(n.ge.100) stop go to 1 end I risultati ottenuti nelle varie iterazioni sono riportati nella tabella Iter. Temperatura f(T) errore (∆T )/T 1 635.90448 -7.8515E+07 -64.0955 2 582.10742 -2.6364E+07 -53.7970 3 536.37341 -8.9142E+06 -45.7340 4 497.05889 -3.0321E+06 -39.3145 5 462.93185 -1.0367E+06 -34.1270 6 433.05389 -356103.590 -29.8779 7 406.70248 -122798.8120 -26.3513 8 383.32290 -42483.1875 -23.3795 9 362.50766 -14728.2549 -20.8152 10 344.01562 -5103.9677 -18.4920 11 327.86468 -1756.5256 -16.1509 12 314.54599 -589.5696 -13.3187 13 305.23257 -183.3345 -9.3134 14 300.97738 -45.5815 -4.2551 15 300.22888 -5.9966 -0.7485 16 300.20877 -0.1530 -2.012E-02 17 300.20874 -1.9735E-04 -2.598E-05 Con 17 iterazioni partendo da T = 700 K si trova T = 300.20874 con un errore relativo dell’ordine di 10−5. A questa temperatura la caratteristica statica del diodo Schottky è data dall’espressione J = J0 ( eVa/VT − 1 ) 3, 398 · 10−5 ( eVa/0,026 − 1 ) L’andamento è tracciato nella figura 7.24 Il lavoro di estrazione del metallo può essere calcolato, pensando che il semiconduttore sia silicio, ricordando che qΦM − qχ = 0, 77 eV −→ ΦM = 4, 05 + 0, 77 = 4, 83 V Tale valore del lavoro di estrazione potrebbe corrispondere al tungsteno. 7.5.2 Si consideri il sistema illustrato nella figura 7.25 nel quale - il contatto in A è realizzato con un metallo con funzione di lavoro qΦM = 4, 5 eV; 213 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Tensione[V] D en si ta ‘ di c or re nt e [A /m ^2 ] Figura 7.24: Densità di corrente a 300,21 K in funzione della tensione applicata. - lo strato epitassiale n− ha Nd = 5 · 1015 cm−3; - l’area dello strato epitassiale racchiuso dall’ossido è (L = 10 µm)× (W = 5 µm), il suo spessore è Xepi = 2, 5 µm; - il substrato di tipo p è drogato con Na = 2 · 1016 cm−3, il suo spessore è Xsub = 500 µm; - il tempo di vita delle concentrazioni in eccesso di elettroni e di lacune τn = τp = 0, 25 µs; - il contatto in C non è raddrizzante14. 1. Tracciare il diagramme a bande dettagliato nella sezione 1− 1′. 2. Determinare il circuito elettrico “equivalente” della struttura. 3. Determinare le caratteristiche I-V nelle condizioni di misura: (a) al contatto C viene applicata una tensione variabile tra −5 V e +5 V, il contatto B viene lasciato aperto mentre A è a massa; (b) al contatto B viene applicata una tensione variabile tra −5 V e +5 V, il contatto C viene lasciato aperto mentre A è a massa. 14Nella tecnologia del silicio i contatti tra silicio drogato p e alluminio realizzano naturalmente un contatto non raddrizzante. Infatti l’alluminio è un drogante di tipo p per il silicio e la sua deposizione sul silicio genera un sottile strato p+ che trasforma il contatto, raddrizzante per la teoria di Schottky, in un contatto tunnel. Di ciò non si terrà conto nella soluzione del problema e si costruirà un diagramma a bande che garantisce un comportamento non raddrizzante nell’ipotesi che valga la teoria ideale di Schottky. 214 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini 3µm 4µm 2µm 2µm 2µm 1µm A B n+ 2,5µm 500µm ossido n− C Substrato p 1 1′ Figura 7.25: Layout e sezione della struttura integrata presa in esame. a) Per la valutazione delle grandezze che determinano il diagramma a bande all’equilibrio termodinamico a 300 K si ha (EF − Ei)n = kT ln ( Nd ni ) = 0, 026× ln ( 5× 1015 1, 45 · 1010 ) = 0, 331 eV (Ei −EF )p = kT q ln ( Na ni ) = 0, 026× ln ( 1, 4 · 1016 1, 45 · 1010 ) = 0, 36 eV Per quanto riguarda la giunzione J1 metallo semiconduttore si ha: qΦB(J1) = qΦM − qχ = 4, 5− 4, 05 = 0, 45 eV L’ampiezza della regione di svuotamento della giunzione metallo semiconduttore può essere calcolata a partire dal potenziale di contatto φi1 = qΦM − qΦS = 4, 5− (4, 05 + 0, 56− 0, 331) = 0, 221 eV e quindi xdJ1 = √ 2εs qNd · φi1 = √ 2× 11, 7× 8, 854 · 10−14 16 · 10−19 × 5 · 1015 × 0, 221 = 0, 756 · 10−5 cm = 0, 0756 µm 215 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini RsubJ2J1 VC Figura 7.28: Circuito equivalente nella prima configurazione di misura. Nella situazione in cui al contatto C viene applicata una tensione variabile VC tra −5 V e +5 V e il contatto B viene lasciato aperto mentre A è a massa, il circuito equivalente diventa quello della figura 7.28 Il diagramma tensione corrente può essere costruito notando che, se VC > 0, la giunzione J2 tende a essere in conduzione diretta; in realtà la tensione Va ai suoi capi non può crescere oltre il valore corrispondente alla corrente inversa di J1, quindi: I0(J1) = I0(J2) ( eVa/VT − 1 ) Va = VT ln ( I0(J1) + I0(J2) I0(J2) ) = 0, 288 V Oltre a questo valore la tensione in eccesso si localizza, come tensione inversa, sulla giun- zione J1 mantenendo la corrente costante pari a I0(J1) fino a quando l’estensione della regione svuotata non diventi tale da svuotare completamente la regione n−. Per questo valore di tensione la corrente, che era limitata alla corrente inversa della giunzione metallo semiconduttore, aumenta rapidamente, in quanto le due barriere di potenziale entrando in contatto tendono ad annullarsi tra di loro17. S’innesca cioè il meccanismo di “perforazione diretta”, cui corrisponde un intenso flusso di portatori (elettroni dal metallo al semiconduttore di tipo p). Il valore della tensione VC che porta al completo svuotamento può essere calcolato assumendo che sia trascurabile la regione svuotata xdn(J2) della giunzione 18 n−−p e quindi considerando solo l’estensione della regione svuotata della barriera Schottky. Dalle relazioni xd = √ 2εs qNd (φi − Va) ; Emax = qNd εs xd ; φi − Va = +12Emaxxd(Va) Lo svuotamento completo si ha quando xdJ1 ' 2, 5 µm, per cui risulta immediato valutare il campo massimo e la tensione inversa sulla giunzione nella condizione limite Emax = 1, 6 · 10 −19 × 5 · 1015 11, 7× 8, 85 · 10−14 × 2, 5 · 10 −4 = 1, 93 · 105 V cm−1 φi − Va = +12Emax · xd → Va = φi − 1 2 Emax · xd Va(J1) = 0, 221 V − 24, 14 V = −23, 919 V 16Sarebbe più corretto considerare il diodo corto e quindi sostituire alle lunghezze di diffusione le lunghezze fisiche dei due lati della giunzione. 17Si faccia riferimento alla figura 7.26 pensando che la zona neutra n− scompaia. 18All’equilibrio termodinamico la larghezza della regione di svuotamento nella giunzione è 0,362 µm. Quando si polarizza inversamente il contatto J1, la giunzione J2 è polarizzata direttamente (se pur di poco dato che la corrente resta limitata) e quindi la regione di svuotamento nel lato n di J2 si riduce ulteriormente. 218 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini J0(J2) J0(J1) -32 24,2 VC I Figura 7.29: Andamento corrente-tensione nella prima configurazione di misura. J0(J2) = qn 2 i AJ (Dn/LnNa + Dp/LpNd) e J0(J1) = AJA0 exp (−q(ΦM − χ)/kT ). La tensione esterna che indurrà il completo svuotamento sarà VC = −Va(J1) + Va(J2) VC = 23, 919 V + 0, 288 V = 24, 207 V Se si considera poi il caso in cui si applica al contatto C una tensione negativa si osserva che la giunzione J1 tende a essere polarizzata direttamente, ma ora la giunzione J2 si polarizza inversamente limitando la corrente complessiva al valore di saturazione inversa I0(J2). Quindi oltre alla tensione Va = VT ln ( I0J2 + I0J1 I0J1 ) = 0, 39 µV la tensione si localizza come tensione inversa sulla giunzione J2. Come nel caso delle ten- sioni applicate positive, la corrente rimarrà limitata sin tanto che lo strato n− non risulti completamente svuotato, a questo punto s’innesca un meccanismo di “perforazione di- retta”. Trascurando la regione svuotata relativa alla giunzione J1 si può calcolare la tensione alla quale lo strato risulta completamente svuotato VC = Va(J1)− Va(J2) ' −Va(J2) VC ' φi2 − qx 2 dNd 2²SNa (Na + Nd) ' −32, 04V Seconda situazione di misura. Nella seconda situazione di misura al contatto B viene applicata una tensione variabile tra −5 V e +5 V, il contatto C viene lasciato aperto mentre A è a massa. Il circuito equivalente della seconda configurazione di misura è illustrato nella figura 7.30 In questo caso la caratteristica I − V è essenzialmente quella relativa alla giunzione J1(metallo semiconduttore) con in serie la resistenza Repi. 7.5.3 Capacità di giunzione 7.5.4 Si realizzi un oscillatore costituito da un circuito LC nel quale la capacità è realiz- zata con un diodo Schottky polarizzato inversamente. Ricordando che la frequenza di 219 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini J1 Repi VB Figura 7.30: Circuito equivalente della seconda configurazione di misura. oscillazione è data da f0 = 1 2π √ LC si determinino, nel caso in cui L = 100 µH e T = 300K, a) l’espressione della capacità differenziale del contatto; b) la frequenza di oscillazione per una barriera Schottky ideale tra platino (qΦM = 5, 3 eV) e silicio drogato uniformemente con Nd = 1016 cm−3 con polarizzazione nulla (l’area del diodo è 10−5 cm2); c) il valore di polarizzazione per cui la frequenza di oscillazione risulta accresciuta del 50 % rispetto al suo valore a polarizzazione nulla. a) La capacità differenziale in una giunzione metallo semiconduttore è legata alla vari- azione della carica di svuotamento in funzione della tensione applicata. C = dQS(Va) dVa Per determinare la dipendenza funzionale di QS dalla tensione QS = qANdxd si integra l’equazione di Gauss e si ha il campo elettrico E(x) = ∫ x xd qNd ²S dx + E(xd) = qNd ²S (x− xd) + 0 una nuova integrazione produce il potenziale Φ(x) = ∫ x 0 qNd ²S (xd − x)dx + Φ(0) = qNd ²S xdx− qNd2²S x 2 La tensione totale che cade nella regione svuotata nel lato semiconduttore del contatto Φ(xd), all’equilibrio termodinamico, è il potenziale di contatto φi Φ(xd) = qNdx 2 d q²s ; φi = 1 2 q ²s Ndx 2 d (7.2) 220 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini una situazione di crescente polarizzazione diretta. Dato che ci si trova in presenza di semiconduttori di tipo n nei due casi si ha qΦi1 = qΦM1 − qχ− (EC − EF )1 qΦi2 = qΦM2 − qχ− (EC − EF )2 L’influenza su Φi di ΦM e di (EC−EF ) è di segno opposto, pertanto non si sa a priori se a potenziali di contatto maggiori corrispondano lavori di estrazione del metallo maggiori o minori. Se si esamina l’influenza di (EC − EF )1 e di (EC − EF )2 si osserva che è trascurabile. Infatti, dato che in prima approssimazione è ND1Ω ' 5ND5Ω , si ha (EC − EF )5Ω − (EC −EF )1Ω = kT ln ( NC ND5Ω ) − kT ln ( NC 5ND5Ω ) = kT ln 5 = 0, 042 eV Per cui risulta qΦM1 < qΦM2 . Per quanto riguarda le concentrazioni di drogaggio si possono evidenziare (usando frecce per indicare variazioni di crescita o diminuzione) le relazioni di massima Nd xd C 1/C2 ρ ↑ ↓ ↑ ↓ 1 Ωcm ↓ ↑ ↓ ↑ 5 Ωcm I valori delle concentrazioni di drogaggio si desumono dalle pendenze delle rette della figura 7.32, in quanto il coefficiente angolare delle curve 1/C2 vale a = − 2 qA2Nd²S Ricapitolando si ha che il contatto JM1 è tra il metallo con lavoro di estrazione qΦM1 minore e il semiconduttore con resistività 5 Ωcm, mentre JM2 ha qΦM2 maggiore e il semiconduttore con 1 Ωcm. Per valutare i lavori di estrazione dei due metalli si usano le espressioni qΦM1 = qχ + kT ( ln NC ND5Ω ) + qΦi1 qΦM2 = qχ + kT ln ( NC 5ND5Ω ) + qΦi2 7.6.2 Rivelatori di profilo Applicato un contatto metallico a un semiconduttore di tipo n si misurano le capacità differenziali in funzione della tensione applicata. a) In un caso si trova la curva della figura 7.33, b) nel secondo quella della figu- ra 7.34. Si determino i due profili di drogaggio e si indichi quale può essere stato il processo tecnologico che li ha generati. Nel caso di drogaggio non uniforme Nd = N(x) si fanno misure di capacità differenziale al variare della tensione applicata. Nelle figure 7.33 e 7.34 sono riportate in funzione di V le capacità per unità di area C/A. Per ogni valore di tensione la regione di carica spaziale si estende sino alla profondità xd fornita dalla relazione C/A = εs xd (7.5) 223 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini Figura 7.33: Capacità differenziale in funzione della tensione applicata. Campione 1. 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x10-6 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 tensione, V C , F /c m ^2 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 tensione, V C , F /c m ^2 Figura 7.34: Capacità differenziale in funzione della tensione applicata. Campione 2. 224 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini Tra la concentrazione di drogaggio in xd e la capacità per unità di area vale la relazione. N(xd) = −2 q²s d ( 1/(C/A)2 ) dV (7.6) Evidentemente il primo campione ha un drogaggio uniforme (fig. 7.35), quindi può essere uno strato ottenuto per crescita epitassiale; il secondo (fig. 7.36) potrebbe essere la coda di una gaussiana di un processo di diffusione. 7.7 Caratteristiche dinamiche diodo Schottky 7.7.1 Si consideri la struttura nella figura 7.37 costituita da un transistore Schottky: ovvero un transistore nel quale la metallizzazione del contatto di base viene allargata in modo da coprire parzialmente anche il collettore. 1. Si determini il circuito equivalente della giunzione base collettore; 2. si spieghi come la presenza della giunzione metallo-semiconduttore modifichi la tensione di accensione della giunzione tra base e collettore; 3. si mettano in evidenza le conseguenze sui tempi di commutazione rispetto ad un transistore convenzionale. L’estensione della metallizzazione del contatto di base ha come conseguenza la creazione di una giunzione metallo semiconduttore tra base e collettore. Considerando il tran- sistore bipolare come l’insieme di due giunzioni p-n, è possibile costruire un circuito equivalente di prima approssimazione nel quale tra base e collettore si hanno due diodi in parallelo: una giunzione p-n che corrisponde a quella naturale del transistore e un contatto metallo-semiconduttore. La tensione di accensione (tensione di soglia) di un contatto metallo-semiconduttore è più bassa di quella corrispondente di una giunzione p-n di circa 200-300 mV. Ciò ha come conseguenza che la giunzione p-n non andrà mai in conduzione diretta, in quanto si accenderà sempre prima il diodo Schottky nel quale fluirà tutta la corrente tra base e collettore. In tal modo il transistore bipolare non arriva mai in saturazione e la quantità di carica accumulata nella base risulta limita- ta, con il vantaggio di ridurre il ritardo a essa connesso e di aumentare la velocità di commutazione. La corrente in un diodo Schottky è una corrente di portatori maggior- itari, quindi non si hanno fenomeni di diffusione e di accumulo di portatori minoritari, come avviene nelle giunzioni p-n; pertanto l’unico elemento che interviene a limitare la velocità di commutazione è legato alla capacità di svuotamento, che comunque risulta inferiore a quella della giunzione p-n. A verifica di quanto detto si simula con SPICE prima una giunzione p-n sola pilotata con un’onda quadra (commutazione di natura digitale ON-OFF) e in un secondo tempo mettendo in parallelo a essa un diodo Schottky. SPICE non possiede internamente un modello di diodi a barriera Schottky, ma si possono ottenere ottimi risultati con il modello di un diodo a giunzione fissando opportunamente i parametri. In particolare la corrente inversa di saturazione viene fissata a un valore più alto di quello corrispondente a una giunzione p-n, mentre il tempo di transito, dato che la corrente è di portatori maggioritari, viene considerato zero, annullando in tal modo gli effetti della capacità di diffusione (si veda il paragrafo ??). Il modello SPICE utilizzato per descrivere un diodo Schottky è 225 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini 0 50ns 100ns 150ns 200ns 800mV 600mV 400mV 200mV 0V Figura 7.39: Commutazione di una giunzione p-n: tensione ai capi del diodo in funzione del tempo. 0 50ns 100ns 150ns 200ns 500mV 400mV 300mV 200mV 100mV -0mV Figura 7.40: Commutazione di una giunzione p-n con in parallelo un diodo Schottky: tensione ai capi dei diodi in funzione del tempo. 228 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini GaAs GaAs epitassiale DGS a L Z Figura 7.41: a) Sezione trasversale di un MESFET a doppia eterogiunzione. I MESFET offrono numerose caratteristiche attraenti per l’impiego nei circuiti in- tegrati ad alta velocità, dato che possono essere realizzati con semiconduttori (semi- conduttori composti dei gruppi III-V, quali l’arseniuro di gallio e il fosfuro di indio) nei quali sono elevate sia la mobilità degli elettroni, fatto che consente di minimizzare le resistenze serie, sia la velocità di saturazione, che permette di aumentare la frequenza di taglio. I MESFET reali sono costruiti usando strati epitassiali su substrati semiisolanti (per esempio GaAs intrinseco) per minimizzare le capacità parassite. Le dimensioni fondamentali del dispositivo sono quelle del canale: la lunghezza L, la larghezza Z e l’altezza a. Nelle rappresentazioni la sorgente è usualmente a massa e le tensioni VG del gate e VD del collettore sono misurate rispetto alla sorgente. MESFET a canale normalmente aperto (ON) Il dispositivo a canale normalmente aperto (o a svuotamento), è un dispositivo che a riposo (VGS = 0) presenta un canale conduttore. Per tensioni inverse sul gate20, in ogni sezione longitudinale x del dispositivo l’area della sezione trasversale aperta al flusso della corrente è pari a A = Z[a − w(x)], dove w(x) è la larghezza della regione di svuotamento del lato semiconduttore del contatto. L’estensione w della regione svuotata dipende dalle tensioni ai suoi capi: dal lato del metallo la tensione VGS , da quello del semiconduttore la tensione nel punto x che è parte della tensione applicata ai capi dell’intero canale, VDS . Al crescere della polarizzazione inversa sul gate il canale tende a chiudersi. In conclusione w(x) è una funzione di VDS e di VGS , parimenti lo sarà la resistenza del canale e quindi la corrente. Per correnti ID di piccola intensità, la larghezza della regione di svuotamento è approssimativamente costante, w(x) ' w, quindi ID = G VDS dove G = σ A L = qµnNd Z(a− w) L La corrente varia linearmente con la tensione di collettore. Il legame tra w e la tensione dipende dal profilo di drogaggio; nel caso di un profilo di drogaggio costante di donatori nel semiconduttore w = √ 2εs qNd (φi − VGS) allora ID = G0 { 1− √ 2εs qNda2 (φi − VGS) } VDS (7.7) 20Si usano quasi esclusivamente canali di tipo n, pertanto la polarizzazione inversa comporta VGS < 0. 229 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini dove G0 è la conduttanza a canale aperto G0 = qµnNd Za L (7.8) La tensione lungo il canale aumenta dal valore zero in corrispondenza della sorgente al valore VD sul collettore, di conseguenza il contatto risulta polarizzato inversamente in misura sempre maggiore man mano che si procede dalla sorgente verso il collettore. La regione di svuotamento è più estesa in prossimità dell’elettrodo di drain e si ha una riduzione progressiva lungo x della sezione trasversale aperta al flusso di corrente (e della conduttanza); la corrente pertanto aumenta con la tensione con una pendenza inferiore a quella della zona lineare. Assumendo una deformazione graduale del canale si trova ID = G0 { VDS − 23 1√ φi − VP [ (φi − VGS + VDS) 3 2 − (φi − VGS) 3 2 ]} (7.9) dove VP è la tensione di strozzamento (pinch-off), cioè la tensione totale alla quale la regione svuotata occupa tutto il canale. Nel caso di drogaggio omogeneo di tipo n VP = φi − qNda 2 2εs (7.10) Nei dispositivi a svuotamento (depletion), VP è sempre negativa 21. Quando la ten- sione VDS raggiunge il valore VD,sat, la corrente satura per strozzamento e rimane sostanzialmente costante VD,sat = qNda 2 2εs − (φi − VGS) ID,sat = G0 [ 1 3 (φi − VP )− (φi − VGS) { 1− 2 3 [ φi − VGS φi − VP ] 1 2 }] Il dispositivo descritto presenta una saturazione per strozzamento, cioè per chiusura del canale mediante la regione di carica spaziale. Nei MESFET normalmente succede che, prima che il canale si chiuda completamente, il campo longitudinale superi il valore per cui la velocità satura al valore vsl, cioè Ey>> 105 V/cm. In questo caso µ ∝ 1/Ey , la corrente ID = q xw Z Nd µ Ey (7.11) diventa quasi costante e si ha la saturazione di velocità. Le formule precedenti contin- uano a valere con l’unica differenza che la tensione e la corrente di saturazione hanno valori inferiori. MESFET a canale normalmente chiuso (OFF) Per applicazioni ad alta velocità e a bassa potenza si preferisce il dispositivo a canale normalmente chiuso che, per VG = 0, non ha un canale conduttore perché la differenza di potenziale intrinseco φi della giunzione di porta è sufficiente a svuotare la regione del 21Nei FET a giunzione (capitolo 9) il potenziale di contatto è solitamente trascurabile rispetto alla quantità qNda 2/(2εs); la tensione di strozzamento è quindi spesso definita come VP = −qNda 2 2εs 230 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini 1. Mediante l’uso del circuito equivalente della figura (7.42) si determini l’espres- sione della frequenza di taglio fT , definita come frequenza per cui, con l’uscita in corto circuito, l’amplificazione di corrente è unitaria. 2. Partendo dalla relazione trovata si trovi una relazione approssimata (per eccesso) della frequenza di taglio in cui siano espliciti i legami con la geometria del canale e la concentrazione di drogaggio. a) Ponendo in corto circuito i morsetti d’uscita del circuito equivalente della figura 7.42 si determina la frequenza f = fT per la corrente che attraversa la capacità d’ingresso 2πfCgs vgs è eguale alla corrente d’uscita gm vgs Pertanto si ottiene f = fT = gm 2π Cgs La capacità CG che compare a denominatore della 7.14 è la somma della capacità tra il gate e la sorgente Cgs e la capacità tra il gate e il drain. La prima delle due è predominante sull’altra, quindi Cgs si può ritenere una buona approssimazione per difetto della CG. CG = Cgs + Cgd > Cgs b) La frequenza di taglio è un parametro del MESFET impiegato come amplificatore di segnale d’ingresso, quindi la zona di funzionamento è quella di saturazione e la transconduttanza gm è data dalla (7.13). La transconduttanza massima si ha per valori di VGS prossimi a zero; la conduttanza a canale aperto G0 della (7.8) costituisce una limitazione superiore gm < G0 = qµnNd Za L La capacità Cgs è sostanzialmente la capacità di transizione del contatto metallo- semiconduttore tra il gate e il canale. Si ha Cgs = εs A xd = εs xd L× Z Il MESFET si trova in zona di saturazione, quindi l’ampiezza xd della regione svuotata varia fortemente lungo il canale e in prossimità del drain il canale è completamente chiuso. Al fine di ottenere una valutazione per difetto della capacità, si assume xd = a. In conclusione fT = gm 2π CG < G0 2π Cgs = µnqNda 2 2πεsL2 233 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini 7.8.2 Sia un MESFET a canale n in GaAs con barriera per il flusso di elettroni dal metallo al semiconduttore φB = 0, 9 V. Il canale ha un drogaggio Nd = 1 · 1017 cm−3, è spesso a = 0, 1 µm, lungo L = 1 µm e largo Z = 10 µm. 1. Si determini se si tratta di un dispositivo ad arricchimento o a svuotamento. 2. Si calcoli il valore della tensione di soglia. 3. Si valuti l’intensità della corrente di saturazione per VG = 0 V. 4. Si calcoli la frequenza di taglio. Nel GaAs la massa efficace degli elettroni è m?n = 0, 068m0 e di conseguenza la densità efficace degli stati in banda di conduzione vale NC = 4, 7 · 1017 cm−3. a) Si calcola la tensione interna φi = φB − kT q ln NC Nd = 0, 9 V − 0, 0259 V ln 4, 7 · 10 17 cm−3 1 · 1017 cm−3 = 0, 86 V Per determinare il tipo di funzionamento del MESFET si deve effettuare un confronto tra lo spessore del canale e l’estensione della regione spaziale, pertanto si calcola w = √ 2εs qNd (φi) = √ 2× 11, 7× 8, 8544 · 10−14 F/cm× 0, 86 V 1, 6 · 10−19 C× 1 · 1017 cm−3 w = 0, 11 µm dato che la profondità del canale è a = 0, 1µm, il MESFET è normalmente chiuso, cioè ad arricchimento. b) La tensione di soglia del dispositivo, coincidente con la tensione di strozzamento VP , è VT = φi − qNda 2 2εs = 0, 86− 1, 6 · 10 −19 C× 1017 cm−3 × (0, 1 · 10−4)2 2× 11, 7× 8, 8544 · 10−14 F/cm = 0, 77 V c) La mobilità degli elettroni con l’intensità di drogaggio Nd è µn = 5000 cm2V−1s−1, quindi la conduttanza a vuoto vale G0 = qµnNd Za L = 1, 6 · 10−19 × 5000× 1017 10 · 10 −4 × 0, 1 · 10−4 1 · 10−4 = 0, 008 Ω −1 e la corrente di saturazione per VG = 0 ID,sat = G0 [ 1 3 (φi − VP )− φi { 1− 2 3 [ φi φi − VP ] 1 2 }] = 0, 008 [ 1 3 0, 09− 0, 86 { 1− 2 3 [ 0, 86 0, 09 ] 1 2 }] = 7, 5 mA d) Si usa la (7.14) fT ≤ G0 πZεsL/a = 0, 016 π × 10−3 × 1, 16 · 10−12/(2× 0, 2 · 10−4) = 2, 46 · 10 11 Hz fT ≤ 246 GHz 234 Introduzione all’analisi dei dispositivi a semiconduttore G.Masera C.Naldi G.Piccinini Figura 7.44: Diagramma a bande di un MESFET sotto il gate. 7.8.3 Si consideri una sezione sotto il gate di un MESFET formato da un contatto Ti/Pt/Au con φi = 0, 8 V su di uno strato attivo di tipo n+ sopra il substrato semiisolante. Sia applicata una tensione gate-canale VGC . 1. Si disegni qualitativamente il diagramma a bande per una polarizzazione inversa VG sul gate a 300 K. 2. Sapendo che nel GaAs i donatori introducono livelli discreti a 0, 12 eV sotto la banda di conduzione, che vi sono impurità che introducono livelli di tipo accetta- tore 0, 62 eV sopra la banda di conduzione, e discontinuità reticolari che intro- ducono livelli profondi (EL2) di tipo donatore 0, 42 eV sotto la banda di con- duzione, si riportino tali livelli nel diagramma a bande mettendo in evidenza, per confronto con il livello di Fermi, il grado di ionizzazione. 7.8.4 Si consideri un MESFET il cui canale sia ottenuto per impiantazione con una dose di N ′ = 2, 51 · 1012 cm−2. Il profilo di drogaggio è approssimativamente gaussiano con un massimo alla profondità di 50 nm. La deviazione standard è ∆Rp = 50 nm. Se il 235