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Modelli probabilistici nel discreto
Sono caratterizzati da variabili aleatorie discrete, il cui campo di variazione è in corrispondenza con
l'insieme numerico "Z " o "N ".
Larga applicazione, sia nelle tecniche di ricerca investigative, sia in quelle inferenziali, trovano il modello
uniforme, il modello binomiale o Bernoulliano, il modello di Poisson, il modello Gaussiano o normale.
Un modello probabilistico viene descritto completamente attraverso:
❖ i valori che assume la variabile 𝑋;
❖ le funzioni di probabilità semplice e cumulata P(X) e F(X) ;
❖ i valori indice: media e varianza 𝜇 ; 𝜎
2
che, nel discreto, assume la seguente configurazione teorica:
1
2
3
𝑛
𝑖
𝑖
𝑖
𝑥
𝑛
𝑥
1
La condizione per cui la somma è da intendersi estesa a tutti i possibili valori che può assumere X si dice
condizione di normalizzazione, ovvero che “la distribuzione di probabilità è normalizzata ad 1”. Per brevità
possiamo semplificare considerando che la condizione di normalizzazione consista nell'imporre che la somma
dei pesi (probabilità in questo caso) di tutti i punti sia 1.
𝑖
𝑖
2
𝑖
2
𝑖
Media e varianza 𝜇 ; 𝜎
2
(e quindi anche la deviazione standard 𝜎) sono i parametri che caratterizzano i
modelli e determinano la forma delle curve relative.
DISTRIBUZIONE BINOMIALE
Si applica a variabili casuali discrete di tipo dicotomico (variabili bernoulliane), ovvero che possono
assumere solo 2 valori.
L’evento si verifica: successo x = 1
L’evento non si verifica: insuccesso x = 0
La distribuzione binomiale descrive la probabilità di ottenere un numero finito k di successi in n prove
ripetute, sapendo che la probabilità di successo per il singolo evento è costante e vale p (probabilità di un
evento bernoulliano). Pertanto si tratta di una Distribuzione discreta, con dominio l’insieme dei numeri
naturali. Univocamente definita dai parametri n e p.
Ad esempio, il numero di “teste” (eventi favorevoli k o trattandosi di variabile ancora meglio x ) in 10 lanci
di una moneta onesta (non truccata) assume una distribuzione binomiale con parametri n=10 e p= .50.
1
1 http://www.stat.berkeley.edu/~stark/Java/Html/BinHist.htm
I tre eventi semplici F,L e S sono indipendenti (regola produttoria), pertanto qualunque altra sequenza
contenente esattamente x successi avrà sempre come probabilità p
x
q
n−x
(cambia l’ordine dei fattori ma non
il prodotto).
Ogni combinazione (terna) corrisponde ad un evento incompatibile rispetto alle altre (regola sommativa della
probabilità totale). In base all’analisi combinatoria, il numero di combinazioni di classe x di n oggetti, ovvero
tutte modalità di scegliere x oggetti da un insieme di n oggetti, indipendentemente dall’ordine è
𝑛 𝑥
Ponendo 1 − p = q otteniamo in definitiva:
𝑛 𝑥
𝑥
𝑛−𝑥
𝑥
𝑛−𝑥
Ovvero: P(x) = 3p
q
