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Criterio di Monotonia
se Criterio di monotonia:
f
`e una funzione derivabile in (
a, b
), si ha:
f (^) ′ ( x ) ≥ 0 ∀ x ∈
a, b
f
`e debolmente crescente in (
a, b
f (^) ′ ( x ) ≤ 0 ∀ x ∈
a, b
f
`e debolmente decrescente in (
a, b
Nota:
per quanto riguarda la
monotonia stretta
si pu`
o dimostrare
che: f (^) ′ ( x ) > 0 ∀ x
a, b
f
`e strettamente crescente in (
a, b
f (^) ′ ( x ) < 0 ∀ x
a, b
f
`e strettamente decrescente in (
a, b
MA
non valgono le implicazioni inverse!!
Basta considerare la fun-
zione
f (^) ( x ) =
x 3 : ` e strettamente crescente in
R
, ma
f (^) ′ (0) = 0.
Matematica con Elementi di Statistica, Anna Torre – a.a. 2013-
Criterio di Monotonia
Esempi.
Determinare gli intervalli in cui le seguenti funzioni risultano
crescenti e quelli in cui risultano decrescenti:
f (^) ( x ) =
x 2
Si ha che:
f (^) ′ ( x ) = 2
x ≥ (^0)
x (^) ≥
Quindi,
f
`e decrescente in (
(^) 0) ed `
e crescente in (
g ( x ) = (
x 2 −^ (^) 3)
e x
Si ha che:
g ′ ( x ) = (
x 2
x (^) −
(^) 3)
e x ≥ (^0)
x ≤ −
3 oppure
x ≥
Quindi,
g
`e decrescente in (
(^) 1) ed `
e crescente in (
- e
in (
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Esercizio
Studiare la monotonia delle seguenti funzioni:
f (^) ( x ) =
x 2
x 2 −^ (^1)
g ( x ) = ln(
x 2 − (^2) x )
h ( x ) =
e − x (^22)
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Funzioni Concave e Convesse
f(x ) 1
f(x ) 2
y
x
x
1
x
2 y = f(x) b
a
O
Una funzione
f `e convessa
in (
a, b
) se
f (^) ( λ x
1 (^) + (
(^) − (^) λ ) (^) x 2 ) (^) ≤
(^) λ f
(^) ( x 1 ) + (
(^) − (^) λ ) (^) f (^) ( x 2 )
per ogni
x 1 , x 2 ∈ ( a, b
) e per ogni
λ ∈
[ , 1].
Cio`
e, presi comunque due punti sul
grafico di
f (^) , il segmento che li congiunge sta
sopra
il grafico.
Una funzione
f `e concava
in (
a, b
) se
f (^) ( λ x
1 (^) + (
(^) − (^) λ ) (^) x 2 ) (^) ≥
(^) λ f
(^) ( x 1 ) + (
(^) − (^) λ ) (^) f (^) ( x 2 )
per ogni
x 1 , x 2 ∈ ( a, b
) e per ogni
λ ∈
[ , 1].
Cio`
e, presi comunque due punti sul
grafico di
f (^) , il segmento che li congiunge sta
sotto
il grafico.
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Punti di Massimo e Minimo Relativo
Punti di massimo e minimo relativo.
Sia
f : (^) A (^) →
(^) R
e sia
x 0 (^) ∈ (^) A .
x 0 si dice
punto di massimo relativo
se esiste
δ >
(^) 0 tale che
f (^) ( x ) (^) ≤
(^) f (^) ( x 0 )
per ogni
x (^) ∈ (^) ( x 0 (^) − (^) δ, x
0 (^) +
(^) δ ) .
x 0 si dice
punto di minimo relativo
se esiste
δ >
(^) 0 tale che
f (^) ( x ) (^) ≥
(^) f (^) ( x 0 )
per ogni
x (^) ∈ (^) ( x 0 (^) − (^) δ, x
0 (^) +
(^) δ ) .
Teorema dei punti critici (Fermat).
Sia
f una funzione definita su un intervallo
[ a, b
] e sia
x 0 un punto di massimo o di minimo relativo.
Se
x 0 ∈
( a, b
) e se
f `e
derivabile
in
x 0 , allora
f (^) (′ x 0 ) = 0.
Nota:
i punti in cui si annulla la derivata prima (tra cui vanno ricercati gli eventuali
punti di massimo o di minimo relativi interni), si dicono
stazionari
o critici
.
Criterio della derivata seconda.
Sia
f una funzione derivabile due volte nell’in-
tervallo (
a, b
) e sia
x 0 un
punto critico
.
Se
f (^) ′′ ( x 0 ) (^) > (^) 0, allora
x 0 `e un punto di minimo relativo.
Se
f (^) ′′ ( x 0 ) (^) < (^) 0, allora
x 0 `e un punto di massimo relativo.
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Esercizio
(a) Studiare le seguenti funzioni:
f (^) ( x ) = 2
x 3 −^ (^6) x (^) + 1
(b)
f (^) ( x ) = ln(
x 2
determinandone
campo
di
esistenza,
comportamento
agli
estremi,
monotonia, eventuali punti di massimo e minimo, convessit`
a, e trac-
ciarne un grafico qualitativo.
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Esercizi
grafico:
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Soluzione (b):
f (^) ( x ) = ln(
x 2
campo di esistenza:
R
comportamento agli estremi del dominio:
lim
x →−∞
(^) f (^) ( x ) = +
∞
lim
x →
∞ (^) f (^) ( x ) = +
∞
monotonia:
f (^) (′ x ) =
2 x
x 2
f `e strettamente crescente in (
,
∞ )
f `e strettamente decrescente in (
−∞
,
x (^) = 0 `
e un punto critico di
f
x eventuali punti di massimo e minimo: (^) = 0 `
e un punto di minimo assoluto, in cui
f vale
f (^) (0) = 0
convessit`
a:
f (^) ′′ ( x ) =
2(
(^) − (^) x 2 )
( x 2
2
f `e convessa in (
− 1 , 1),
f `e concava in (
−∞
, −
- e in (
,
∞ )
x (^) =
(^) − 1 e
x (^) = 1 sono punti di flesso
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Massimi e Minimi Assoluti di una Funzione su
[
a, b
]
Problema:
determinare massimo e minimo assoluti di una funzione
assegnata
f
su un intervallo dato [
a, b
].
Stabilire se la funzione `
e continua.
Se lo `
e, essa ha certamente
massimo e minimo assoluti in [
a, b
] (per il Teorema di Weierstrass).
Stabilire se la funzione `
e derivabile e trovare gli eventuali punti in
cui non `
e derivabile.
I
candidati
punti
di
massimo
di
una
funzione
continua
in
un
intervallo chiuso e limitato [
a, b
] sono i seguenti:
gli estremi dell’intervallo:
a, b
gli eventuali punti
z ∈ (^) ( a, b
) in cui la funzione non `
e derivabile;
indichiamo con
A
questo insieme;
gli eventuali punti ¯
x
∈
( a, b
) in cui la funzione `
e derivabile e
f (^) ′ (¯ x ) = 0; indichiamo con
B
tale insieme.
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Massimi e Minimi Assoluti di una Funzione su
[
a, b
]
Il valore massimo (assoluto) `
e il massimo tra questi valori:
f (^) ( a ) ,
f (^) ( b ) ,
f (^) ( z ) per
z ∈ (^) A,
f (^) (¯ x ) per ¯
x (^) ∈
B
I punti di massimo sono i valori di
x
tali che
f (^) ( x ) `
e uguale al
valore massimo.
Il valore massimo `
e unico. I punti di massimo non sono necessari-
amente unici.
Analogamente per i punti di minimo e il valore minimo.
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Esercizi
Esercizio 3.
(compito d’esame del 26/02/2013)
Si consideri la funzione
f (^) ( x ) =
e x − 2+
k
se
x ≤
1 ,
x 2
se 1
< x
Determinare per quale valore di
k
la funzione
f
`e continua nel
punto
x (^) = 1.
Per tale valore di
k
la funzione
f
`e derivabile nel punto
x (^) = 1?
Per il valore di
k
per cui la funzione `
e continua, trovare i punti
di massimo e minimo assoluti di
f
sul suo dominio di definizione,
specificandone l’ascissa e l’ordinata.
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Regola di de l’Hˆ
opital
Teorema di de l’Hˆ
opital.
Siano
f (^) , g
due funzioni derivabili nell’in-
tervallo aperto (
a, b
), escluso al pi`
u il punto
x 0 , tali che
lim
x → x 0 (^) f (^) ( x ) =
lim
x → x 0 (^) g ( x ) = 0
e g ′ ( x ) 6
= 0 per
x
vicino a
x 0 .
Se esiste il limite
lim
x → x 0 f (^) ′ ( x )
g (′ x ) , allora
esiste anche il limite
lim
x → x 0 f (^) ( x )
g ( x ) =
lim
x → x 0 f (^) ′ ( x )
g (′ x ) .
Osservazione:
il teorema continua a valere, con le dovute modifiche,
anche per
x → ±∞
e per le forme indeterminate
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Esercizi
Esercizio 1.
Date le funzioni
f (^) ( x ) =
x 2 − (^3) x (^) + 2
e
g ( x ) = 2
x (^) −
(^) 1,
(a)
dire quanto vale
f ◦ (^) g
e qual `
e il suo insieme di definizione;
(b)
dire quanto vale
g ◦ (^) f
e qual `
e il suo insieme di definizione;
(c)
disegnare un grafico qualitativo di
f (^) , di
g , di
f ◦ (^) g
e di
g (^) ◦ (^) f (^).
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