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LE SUCCESSIONI
Definizione 1: Una successione a valori reali è una funzione 𝑎: ℕ → ℝ e si indica con il simbolo {𝑎 𝑛
𝑛= 0
∞
dove
𝑎𝑛 = 𝑎(𝑛) per ogni 𝑛 ∈ ℕ.
In altre parole una successione non è altro che un insieme ordinato di numeri reali. Alcuni esempi di
successioni:
𝑛= 0
∞
𝑛= 1
∞
𝑛
𝑛= 0
∞
Definizione 2: Si dice che la successione {𝑎
𝑛
𝑛= 0
∞
converge ad 𝛼 ∈ 𝑅 se per ogni 𝜖 > 0 esiste un 𝑚 ∈ 𝑁 tale
che se 𝑛 > 𝑚 allora:
𝑛
E si scrive:
𝑛→∞
𝑛
Cosa significa che {𝑎 𝑛
𝑛= 0
∞
converge a 𝑎? Dire che la successione {𝑎
𝑛
𝑛= 0
∞
converge a 𝑎 significa affermare
che se l’indice è sufficientemente grande allora 𝑎 𝑛
è quasi 𝑎 ovvero la differenza tra 𝑎
𝑛
e 𝑎 è molto piccola.
Per esempio:
1
𝑛+ 1
𝑛= 0
∞
converge a 0, infatti quando 𝑛 è molto grande
1
𝑛+ 1
è così piccolo che è quasi zero. Quindi
possiamo scrivere: 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛+ 1
𝑛+ 3
2 𝑛
𝑛= 1
∞
converge a
1
2
. Infatti se scriviamo
𝑛+ 3
2 𝑛
𝑛
2 𝑛
3
2 𝑛
1
2
3
2 𝑛
possiamo subito vedere
che quando 𝑛 è molto grande
3
2 𝑛
è così piccolo che è quasi zero, quindi
𝑛+ 3
2 𝑛
è quasi uguale ad
1
2
Possiamo scrivere: 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛+ 3
2 𝑛
1
2
𝑛
𝑛= 0
∞
non converge. Infatti quando 𝑛 è pari (− 1 )
𝑛
= 1 e quando 𝑛 è dispari (− 1 )
𝑛
Le successioni le vediamo per poter studiare le serie numeriche, prima notiamo che vale il seguente teorema:
Teorema 3: Una successione a valori reali
𝑛
𝑛= 0
∞
converge se e solo se per ogni 𝜖 > 0 esiste un 𝑚 ∈ ℕ tale
che se 𝑛, 𝑙 > 𝑚 allora:
𝑙
𝑛
Questo teorema è importante per varie ragioni, ad esempio:
Il teorema permette di stabilire la convergenza di una successione senza trovarne il limite. Quindi,
almeno in linea di principio, è un po’ più semplice
Il teorema implica, tra le altre cose, che se la successione a valori reali
𝑛
𝑛= 0
∞
converge, allora le
quantità
𝑛+ 1
𝑛
tende a 0, ovvero diventa molto piccola.
Infine è utile osservare che vale il seguente teorema:
Teorema 4: Se una successione {𝑎 𝑛
𝑛= 0
∞
è monotona crescente cioè 𝑎
0
1
2
𝑛
≤.. .. ed è
limitata, allora esiste una costante 𝐴 ∈ ℕ tale che 𝑎 𝑛
≤ 𝐴 per ogni 𝑛, allora è convergente.
Notazione 5: il simbolo di sommatoria ∑ viene utilizzato per scrivere le somme in maniera compatta. Per
esempio per indicare la somma 𝑎 1
2
10
scriviamo
𝑛
10
𝑛= 1
, oppure per indicare la somma 𝑏
1
2
7
scriviamo
𝑛
7
𝑛= 1
. In basso scriviamo il primo indice ed in alto il più grande.
LE SERIE NUMERICHE
Una serie numerica non è altro che la somma di infiniti termini. Per esempio potremmo trovare la somma di
una quantità
1
2
1
2
2
1
2
3
1
2
𝑛
+… In una somma normale i termini sono finiti, mentre nel caso di una
serie i termini sono infiniti.
Notazione 6: indichiamo con il simbolo
𝑛
∞
𝑛= 1
la somma 𝑢
1
2
𝑛
- …, tale somma è detta serie.
Utilizzando questo simbolo possiamo scrivere:
𝑛
∞
𝑛= 1
2
3
𝑛
Definizione 7: data la serie
𝑛
∞
𝑛= 1
indichiamo con 𝑠
𝑛
la seguente somma: 𝑠
𝑛
1
2
𝑛
, tale
quantità è detta 𝑛 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 somma parziale (perché la serie contiene infiniti termini e noi ne consideriamo
solo i primi).
Osservazione 8: si noti che una serie non è una somma ordinaria perché contiene infiniti termini, ma una
somma parziale è una somma che contiene solo un numero finito di termini, quindi è una somma ordinaria.
Definizione 9: si dice che la serie
𝑛
∞
𝑛= 1
converge e ha per somma 𝑆 quando esiste il limite finito di 𝑠
𝑛
𝑛→∞
𝑛
= 𝑆. La serie è detta divergente a +∞ (oppure −∞) quando 𝑠
𝑛
diverge a +∞ (oppure −∞). La serie
è detta irregolare o oscillante se 𝑠 𝑛
non ammette limite.
Osservazione 10: per studiare una serie, dobbiamo studiare il comportamento delle somme parziali.
Esempio 11: si consideri la seguente serie ( Mengoli ): ∑
1
𝑛(𝑛+ 1 )
∞
𝑛= 1
per studiarne il carattere dobbiamo
studiare, per ogni 𝑛, la seguente somma: 𝑠 𝑛
1
1 ( 1 + 1 )
1
2 ( 2 + 1 )
1
𝑛(𝑛+ 1 )
1
1 ∙ 2
1
2 ∙ 3
1
𝑛∙(𝑛+ 1 )
Si noti che possiamo riscrivere 𝑠 𝑛
1
2
1
2
1
3
1
𝑛
1
𝑛+ 1
) quindi attraverso le ovvie
cancellazioni, otteniamo 𝑠 𝑛
1
𝑛+ 1
, da cui segue che 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛
𝑛→∞
1
𝑛+ 1
) = 1. Quindi la serie è
convergente e possiamo scrivere che ∑
1
𝑛(𝑛+ 1 )
∞
𝑛= 1
Possiamo applicare la stessa strategia a casi più generali, infatti:
Osservazione 12: in generale se
𝑛
∞
𝑛= 1
è tale che 𝑢
𝑛
𝑛
𝑛+ 1
dove
𝑛
𝑛= 0
∞
è una successione, allora
otteniamo: 𝑠 𝑛
1
2
𝑛
1
2
2
3
𝑛
𝑛+ 1
1
𝑛+ 1
, quindi
𝑛→∞
𝑛
𝑛→∞
1
𝑛+ 1
1
𝑛→∞
𝑛+ 1
allora la serie è convergente se e solo se esiste 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛+ 1
Se assumiamo che 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛+ 1
= 𝑎 allora possiamo scrivere che
𝑛
∞
𝑛= 1
𝑛
𝑛+ 1
∞
𝑛= 1
1
Osservazione 13: Studiare il carattere di una serie significa stabilire se la serie converge o diverge. Quindi un
esercizio che vi chiede di studiare il carattere di una serie è un esercizio dove bisogna dimostrare che la serie
converge o diverge.
Esercizio 14: si consideri la seguente serie ∑ (
1
𝑛+ 3
1
𝑛+ 4
∞
𝑛= 0
, per studiarne il carattere dobbiamo studiare,
per ogni 𝑛, 𝑠 𝑛
1
3
1
4
1
4
1
5
1
𝑛+ 3
1
𝑛+ 4
). Si noti che possiamo riscrivere 𝑠
𝑛
1
3
1
𝑛+ 4
da cui
segue che 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛
𝑛→∞
1
3
1
𝑛+ 4
1
3
. Quindi la serie è convergente e possiamo scrivere che:
∞
𝑛= 0
Dimostrazione: Si noti che se ∑ 𝑢
𝑛
∞
𝑛= 1
converge, allora {𝑠
𝑛
0
∞
converge, quindi in particolare, la differenza
𝑛
− 1
tende a zero, cioè: lim
𝑛→∞
𝑛
− 1
Questo significa che lim
𝑛→∞
𝑛
= 0 poiché:
Da cui segue che lim
𝑛→∞
𝑛
Molto importante: la prima cosa da controllare quando si vuole studiare una serie
𝑛
∞
𝑛= 1
è lim
𝑛→∞
𝑛
Se lim
𝑛→∞
𝑛
≠ 0 allora la serie non può convergere
Se lim
𝑛→∞
𝑛
= 0 allora la serie potrebbe convergere
Questa è un osservazione molto semplice, ma molto utile quindi in se abbiamo un esercizio sulle serie la
prima cosa che dobbiamo controllare è se il termine 𝑢 𝑛
generale tende a zero.
Esempio: si consideri la serie ∑
𝑛
2
log
𝑛
1 +𝑛
𝑛
2
∞
𝑛= 1
, si noti che:
2
log
2
2
2
log
2
Quindi la serie non può convergere perché il termine generale
𝑛
2
log
𝑛
1 +𝑛
𝑛
2
non tende a zero, ma anzi è sempre
maggiore di uno.
Esempio: si consideri la seguente serie
𝑛
3
2 𝑛
2
∞
𝑛= 1
per studiarne il carattere osserviamo che:
3
2
3
3
2
2
3
2
Quindi:
lim
𝑛→∞
3
2
= lim
𝑛→∞
3
2
Quindi la serie è divergente.
Esempio: si consideri la seguente serie
3
𝑛
𝑛
4
∞
𝑛= 1
per studiarne il carattere osserviamo che si può dimostrare
che per ogni 𝛼 > 1 e per ogni 𝑑 ∈ ℕ si ha: lim
𝑛→∞
𝛼
𝑛
𝑛
𝑑
= ∞ allora segue che (𝛼 = 3 𝑒 𝑑 = 4 ): lim
𝑛→∞
3
𝑛
𝑛
4
= ∞, quindi
la serie è divergente.
Esempio: si consideri la seguente serie ∑
4
𝑛
𝑛
3
3
𝑛
∞
𝑛= 1
per studiarne il carattere osserviamo che
4
𝑛
𝑛
3
3
𝑛
4
3
𝑛
1
𝑛
3
poiché
4
3
1 allora segue che (𝛼 = 4 / 3 𝑒 𝑑 = 3 ): lim
𝑛→∞
4
𝑛
𝑛
3
3
𝑛
= lim
𝑛→∞
4
3
𝑛
1
𝑛
3
= ∞. Quindi la serie è
divergente.
Noi adesso studieremo una classe di serie molto importante ovvero quelle che hanno termini positivi. Questo
significa che studiamo le serie della forma
𝑛
∞
𝑛= 1
con 𝑢
𝑛
≥ 0 per ogni n.
Le ragioni per cui le serie a termini positivi sono (relativamente) più facili da studiare sono le seguenti:
- La 𝑛 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 somma parziale 𝑠
𝑛
1
2
𝑛
è sempre positiva
1
2
𝑛
𝑛+ 1
, ovvero la successione delle somme parziali è monotona crescente.
- Le serie a termini positivi non sono mai irregolari. Possono divergere, ma non possono essere
irregolari.
Per questa classe di serie ci sono risultati sulla convergenza che sono molto intuitivi. Iniziamo con il seguente:
Teorema (Criterio del confronto): date due serie a termini positivi
𝑛
∞
𝑛= 1
e
𝑛
∞
𝑛= 1
con (almeno
definitivamente 𝑢 𝑛
𝑛
. Allora:
Se
𝑛
∞
𝑛= 1
è convergente →
𝑛
∞
𝑛= 1
è convergente
Se
𝑛
∞
𝑛= 1
è divergente →
𝑛
∞
𝑛= 1
è divergente
Dimostrazione: se 𝑠′ 𝑛
1
2
𝑛
e 𝑠
𝑛
1
2
𝑛
allora 𝑠
𝑛
𝑛
poiché per ipotesi
𝑛
∞
𝑛= 1
convergente, allora
𝑛
è limitata (poiché è limitata
𝑛
quindi, essendo monotona crescente,
deve convergere. La seconda parte si dimostra allo stesso modo.
Cosa possiamo fare con un risultato del genere? Cercare di ridurre il caso che vogliamo studiare a un caso
che conosciamo. Per ora noi conosciamo solo tre casi: la serie di Mengoli, quella geometrica e quella
armonica generalizzata!
Esempio: si consideri la seguente serie
𝑒
−𝑛
log 𝑛
∞
𝑛= 3
, per studiarne il carattere osserviamo che se 𝑛 ≥ 3 allora
log 𝑛 > 1 quindi otteniamo che
𝑒
−𝑛
log 𝑛
𝑒
−𝑛
1
−𝑛
, da cui segue che
𝑒
−𝑛
log 𝑛
∞
𝑛= 3
∞ −𝑛
𝑛= 3
poiché:
Quindi, tenendo in mente che
∞ −𝑚
𝑚= 0
1
1 −𝑒
− 1
, possiamo scrivere
che:
∞ −𝑛
𝑛= 3
− 3
∞ −𝑚
𝑚= 0
− 3
1
1 −𝑒
− 1
. Quindi la serie inziale
𝑒
−𝑛
log 𝑛
∞
𝑛= 3
è convergente.
Esempio: si consideri la seguente serie ∑
𝑛
3
+√𝑛
𝑛
5
+log 𝑛+𝑛
1 / 3
∞
𝑛= 1
per studiarne il carattere osserviamo che:
3
5
1 / 3
3
5
3
3
5
3
5
2
Si noti che la prima disuguaglianza è vera perché log 𝑛 + 𝑛
1 / 3
0 sempre, e la seconda disuguaglianza è
vera perché 𝑛
3
𝑛 sempre. Quindi otteniamo∑
𝑛
3
+√𝑛
𝑛
5
+log 𝑛+𝑛
1 / 3
∞
𝑛= 1
1
𝑛
2
∞
𝑛= 1
Poiché per quanto sappiamo sulla serie armonica generalizzata
1
𝑛
2
∞
𝑛= 1
< ∞ allora, per il criterio del
confronto, otteniamo che:
𝑛
3
√
𝑛
𝑛
5
+log 𝑛+𝑛
1 / 3
∞
𝑛= 1
1
𝑛
2
∞
𝑛= 1
< ∞. Quindi la serie
𝑛
3
√
𝑛
𝑛
5
+log 𝑛+𝑛
1 / 3
∞
𝑛= 1
è
convergente.
Esempio: Si consideri la seguente serie
1
𝑛− √
𝑛
∞
𝑛= 2
, per studiarne il carattere osserviamo che 𝑛 − √
𝑛 < 𝑛 da
cui segue che
1
𝑛
1
𝑛−√𝑛
, quindi possiamo scrivere che ∞ = ∑
1
𝑛
∞
𝑛= 2
1
𝑛−√𝑛
∞
𝑛= 2
. Quindi la serie è divergente.
Esempio: Si consideri la seguente serie
1
√
𝑛(𝑛+ 1 )
∞
𝑛= 1
, per studiarne il carattere osserviamo che 𝑛 < 𝑛 + 1 ,
da cui segue che 𝑛 √
𝑛, ovvero
1
√𝑛(𝑛+ 1 )
1
𝑛√𝑛
, quindi possiamo scrivere che:
∞
𝑛= 1
3 / 2
∞
𝑛= 1
∞
𝑛= 1
Allora per il criterio del confronto e per il fatto che
3
2
1 otteniamo che
1
√
𝑛(𝑛+ 1 )
∞
𝑛= 1
< ∞, quindi la serie è
convergente.
Esempio: si consideri la seguente serie ∑
2
𝑛
3
𝑛
+𝑛
∞
𝑛= 1
per studiarne il carattere osserviamo che:
adesso osserviamo che 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
2
3
𝑛
𝑛
2
3
< 1 , da cui segue che, per il criterio della radice,
otteniamo
2
𝑛
3
𝑛
∞
𝑛= 1
e quindi, per il criterio del confronto abbiamo < 2
2
𝑛
3
𝑛
∞
𝑛= 1
Quindi la serie è convergente.
Osservazione: può essere utile quando si lavora con le serie tenere in mente che valgono i seguenti:
Per ogni 𝑑 ∈ ℕ: 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛
𝑑
𝑙𝑜𝑔 𝑛
= 0 , ovvero i polinomi crescono più velocemente della funzione logaritmo
Per ogni 𝛼 > 1 e per ogni 𝑑 ∈ ℕ : 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎
𝑛
𝑛
𝑑
= ∞, ovvero le funzioni esponenziali, se la base è 𝛼 > 1 ,
crescono più velocemente dei polinomi.
Osservazione: è fondamentale quando si lavora con la serie, essere in grado di capire quali termini sono
importanti e quali non sono importanti per determinare il carattere della serie. Questo di solito aiuta a
semplificare il problema.
Esempio: si consideri la seguente serie: ∑ (
𝑒
𝑛
+𝑛
5
2 𝑛𝑒
𝑛
+𝑛
2
𝑛
∞
𝑛= 1
per studiarne il carattere possiamo osservare che
al denominatore il termine preponderante è 2 𝑛𝑒
𝑛
e al numeratore è 𝑒
𝑛
quindi otteniamo:
quindi, poiché 0 < 1 , per il teorema della radice, la serie
𝑒
𝑛
+𝑛
5
2 𝑛𝑒
𝑛
+𝑛
2
𝑛
∞
𝑛= 1
è convergente.
Osservazione: Si noti che le frazioni che hanno solo un termine al numeratore e solo un termine al
denominatore sono più facili da manipolare, per questa ragione è utile tenere in mente le seguenti semplici
disuguaglianze:
Se 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 sono numeri positivi allora
𝑎+𝑏
𝑐+𝑑
𝑎+𝑏
𝑐
𝑎
𝑐
𝑏
𝑐
e
𝑎+𝑏
𝑐+𝑑
𝑎+𝑏
𝑑
𝑎
𝑑
𝑏
𝑑
Se 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 sono numeri positivi e 𝑎 > 𝑏 allora
𝑎+𝑏
𝑐+𝑑
2 𝑎
𝑐+𝑑
Se 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 sono numeri positivi e 𝑎 > 𝑏 allora
𝑎+𝑏
𝑐+𝑑
2 𝑎
𝑐
e
𝑎+𝑏
𝑐+𝑑
2 𝑎
𝑑
Introduciamo un altro importante criterio per stabilire il carattere di una somma a termini positivi. Anche in
questo caso la serie geometrica gioca un ruolo fondamentale ma la generalizzazione che otteniamo è
importante. La dimostrazione non è molto semplice ma mette in luce chiaramente perchè il risultato è vero.
Teorema (del Rapporto): data una serie a termini positivi
𝑛
∞
𝑛= 1
consideriamo il limite lim
𝑛→∞
𝑢
𝑛+ 1
𝑢
𝑛
(qualora
esiste). Allora valgono i seguenti:
A. lim
𝑛→∞
𝑢
𝑛+ 1
𝑢
𝑛
𝑛
∞
𝑛= 1
è convergente
B. lim
𝑛→∞
𝑢
𝑛+ 1
𝑢
𝑛
𝑛
∞
𝑛= 1
è divergente
Dimostrazione: se lim
𝑛→∞
𝑢 𝑛+ 1
𝑢 𝑛
= 𝑞 < 1 possiamo scegliere un 𝜖 così piccolo e possiamo scegliere 𝑛
0
∈ ℕ tale
che se 𝑛 > 𝑛 0
allora 𝑞 − 𝜖 <
𝑢
𝑛+ 1
𝑢
𝑛
< 𝑞 + 𝜖 < 1 sono soddisfatte. Da cui segue che 𝑢
𝑛
𝑛−𝑛
0
𝑛 0
Quindi nel caso A ∑ 𝑢
𝑛
∞
𝑛=𝑛 0
𝑛−𝑛
0
𝑢
𝑛 0
∞
𝑛=𝑛 0
𝑛 0
𝑛−𝑛
0
< 1
∞
𝑛=𝑛 0
poiché 𝑞 + 𝜖 < 1 da cui
segue che la serie deve convergere.
Se invece lim
𝑛→∞
𝑢
𝑛+ 1
𝑢
𝑛
= 𝑞 > 1 allora possiamo scegleire un 𝜖 così piccolo e possiamo scegliere 𝑛
0
∈ ℕ tale che
se 𝑛 ≥ 𝑛 0
vale 1 < 𝑞 − 𝜖 <
𝑢 𝑛+ 1
𝑢 𝑛
< 𝑞 + 𝜖 da cui segue 𝑢
𝑛
𝑛−𝑛
0
𝑢
𝑛
0
Quindi nel caso B
𝑛
∞
𝑛=𝑛
0
𝑛−𝑛
0
𝑢
𝑛
0
∞
𝑛=𝑛
0
∞ da cui segue che la serie diverge poiché 1 < 𝑞 − 𝜖.
Osservazione: si noti che se lim
𝑛→∞
𝑢 𝑛+ 1
𝑢 𝑛
= 1 non possiamo, in generale, dire nulla. In questo caso il teorema
non dà informazioni. Infatti si consideri la serie divergente
1
𝑛
∞
𝑛= 1
, si ha lim
𝑛→∞
1
𝑛+ 1
1
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛+ 1
Si consideri invece la serie convergente
1
𝑛
2
∞
𝑛= 1
, ma anche questa volta si ha
lim
𝑛→∞
2
2
= lim
𝑛→∞
2
2
= lim
𝑛→∞
2
2
2
Definizione: si noti che per definizione se 𝑚 ∈ ℕ allora 𝑚! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙.. .∙ 𝑚, il simbolo 𝑚! si legge
𝑚 𝑓𝑎𝑡𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒. Per esempio 2! = 1 ∙ 2 = 4 , 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6 , 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24 … si noti che vale
Esempio: si consideri la seguente serie ∑
1
( 3 𝑛+ 1 )!
∞
𝑛= 0
per studiarne il carattere osserviamo che:
Quindi lim
𝑛→∞
1
( 3 (𝑛+ 1 )+ 1!
1
( 3 𝑛+ 1 )!
= lim
𝑛→∞
1
( 3 𝑛+ 2 )( 3 𝑛+ 3 )( 3 𝑛+ 4 )
= 0 allora, per il criterio del rapporto, otteniamo che
1
( 3 𝑛+ 1 )!
∞
𝑛= 0
Quindi la serie è convergente.
Esempio: si consideri la seguente serie
log 𝑛
𝑛
(𝑛+ 1 )!
∞
𝑛= 2
Per studiarne il carattere osserviamo che:
da cui segue che lim
𝑛→∞
log(𝑛+ 1 )
𝑛+ 1
(𝑛+ 2 )!
log 𝑛
𝑛
(𝑛+ 1 )!
= lim
𝑛→∞
1
(𝑛+ 2 )
(𝑛+ 1 )
𝑛
log(𝑛+ 1 )
log 𝑛
Allora, per il criterio del rapporto, otteniamo che
log 𝑛
𝑛
(𝑛+ 1 )!
∞
𝑛= 2
< ∞, quindi la
serie è convergente.
Osservazione: nelle serie in cui compaiono numeri fattoriali è sempre utile tentare di applicare il criterio del
rapporto.
Osservazione: per ogni 𝛼 > 1 si ha lim
𝑛→∞
𝑛!
𝛼
𝑛
= ∞, ovvero il fattoriale cresce molto più velocemente delle
funzioni esponenziali.
Esempio: si consideri la seguente serie
1 −cos
1
𝑛
𝑛−log 𝑛
∞
𝑛= 1
, per studiarne il carattere osserviamo che, grazie alla
formula di Taylor con cos 𝑥 =
1
𝑛
il limite diventa lim
𝑛→∞
1
2
1
2 𝑛
3
( 1 −
log 𝑛
𝑛
)
𝑎
= lim
𝑛→∞
1
2
1
2 ( 1 −
log 𝑛
𝑛
)
𝑎− 3
, si
osservi che il limite è finito se 𝛼 − 3 = 0 ovvero 𝛼 = 3 e otteniamo
lim
𝑛→∞
1
2
1
2 𝑛
3
( 1 −
log 𝑛
𝑛
)
𝑎
1
2
, quindi il carattere
1 −cos
1
𝑛
𝑛−log 𝑛
∞
𝑛= 1
è lo stesso
di
1
𝑛
3
∞
𝑛= 1
quindi
1 −cos
1
𝑛
𝑛−log 𝑛
∞
𝑛= 1
è convergente.
Esempio: si consideri la seguente serie
log(𝑒
𝑛
− 1 )+𝑛
𝑛
3
∞
𝑛= 1
, per studiarne il carattere osserviamo che:
il limite diventa lim
𝑛→∞
𝑛+log( 1 −
1
𝑒
𝑛
)+𝑛
𝑛
3
= lim
𝑛→∞
2 +
1
𝑛
log( 1 −
1
𝑒
𝑛
)
𝑛
2
, si
osservi che quindi il limite lim
𝑛→∞
log(𝑒
𝑛
− 1 )+𝑛
𝑛
3
1
𝑛
𝑎
è finito se 𝛼 = 2.
Allora il carattere della serie
log(𝑒
𝑛
− 1 )+𝑛
𝑛
3
∞
𝑛= 1
è lo stesso di
1
𝑛
2
∞
𝑛= 1
, quindi
log(𝑒
𝑛
− 1 )+𝑛
𝑛
3
∞
𝑛= 1
è convergente.
Osservazione: la funzione coseno è quasi uguale ad 1 quando siamo vicino all’origine 𝑥 = 0 poiché
cos 𝑥 = 1 −
𝑥
2
2!
𝑥
4
4!
−... quindi 1 − cos 𝑥 =
𝑥
2
2!
𝑥
4
4!
−. .. è molto piccolo.
Esempio: si consideri la seguente serie ∑ √
𝑛 ( 1 − cos (
1
𝑛
1
𝑛
2
∞
𝑛= 1
, per studiarne il carattere osserviamo
che, grazie alla formula di Taylor con 𝑥 =
1
𝑛
1
𝑛
2
, possiamo scrivere che:
si osservi che il limite lim
𝑛→∞
√
𝑛( 1 −cos(
1
𝑛
1
𝑛
2
))
1
𝑛
𝑎
è finito se 𝛼 =
3
2
, infatti
Allora il carattere
𝑛 ( 1 − cos (
1
𝑛
1
𝑛
2
∞
𝑛= 1
è lo stesso di
1
𝑛
3
2
∞
𝑛= 1
, quindi, poiché
3
2
1 , la serie è
convergente.
Si ricordi che, dato quello che abbiamo presentato in precedenza, se uno deve studiare una serie a termini
positivi
𝑛
∞
𝑛= 1
, si potrebbe usare la seguente strategia:
Vedere se il termine generale 𝑣
𝑛
contiene funzioni di cui si conosce la serie di Taylor per esempio:
1
1 +𝑥
, log( 1 + 𝑥),
1
2
log
1 +𝑥
1 −𝑥
𝑥
, sin 𝑥 , cos 𝑥
Decidere che cosa “vale” x. Per esempio, se la serie è ∑ sin
1
𝑛
∞
𝑛= 1
, allora 𝑥 =
1
𝑛
se invece la serie è
∑ sin (
1
𝑛
3
+𝑛
1
2
𝑛
∞
𝑛= 1
allora 𝑥 =
1
𝑛
3
+𝑛
1
2
𝑛
Utilizzare la serie di Taylor per riscrivere i termini
Usare il terorema enunciato nell’ultima lezione per studiare la nuova serie. Negli esempi, quindi:
∑ sin
𝑥=
1
𝑛
∞
𝑛= 1
, ∑ sin (
3
∞
𝑛= 1
∞
𝑛= 1
𝑥=
1
𝑛
3
+𝑛
3
∞
𝑛= 1
Potrebbe essere il caso che è necessario fare più scelte. Per esempio nel seguente ∑ 𝑒
1
𝑛 sin (
1
𝑛
∞
𝑛= 1
allora per il primo termine, che è un esponenziale bisogna usare 𝑥 =
1
𝑛
per il secondo sin dobbiamo
utilizzare invece 𝑥 =
1
𝑛
cioè:
quindi
Ora introduciamo un’altra importante classe di serie. Per questa classe non imponiamo più che i termini
devono essere tutti positivi, ma consideriamo casi dove i termini possono essere negativi, ovviamente
dobbiamo sempre imporre delle condizioni per ottenere casi trattabili.
Definizione: una serie con termini di segni alternati è una serie del tipo
∞ 𝑛
𝑛= 1
𝑛
1
2
3
dove 𝑢 𝑛
0 per ogni n.
Adesso introduciamo il concetto di convergenza assoluta.
Definizione: si dice che la serie
𝑛
∞
𝑛= 1
converge assolutamente se
𝑛
∞
𝑛= 1
Teorema: se
𝑛
∞
𝑛= 1
< ∞ allora
𝑛
∞
𝑛= 1
converge. Ovvero la convergenza assoluta implica la convergenza
semplice.
Osservazione: è fondamentale tenere in mente che le serie assolutamente convergenti si comportano quasi
come le somme ordinarie. Questo non è vero per le serie che non convergono assolutamente.
Teorema: data una serie con termini di segno alternato
∞ 𝑛
𝑛= 1
𝑛
, la serie è convergente se sono
verificate le seguenti:
𝑛
è un infinitesimo, cioè: lim
𝑛→∞
𝑛
- La successione {𝑢
𝑛
} è decrescente (almeno definitivamente) 𝑢
1
2
3
Osservazione: se una serie converge, non significa che deve convergere assolutamente. Per esempio la serie
∞ 𝑛
𝑛= 1
1
𝑛
converge, ma non converge assolutamente.
Osservazione: si osservi che per applicare il teorema dobbiamo verificare che la successione {𝑢 𝑛
} è
decrescente cioè dobbiamo verificare che 𝑢
1
2
3
≥. .. A volte potrebbe risultare difficile o non
immediato dimostrare che la successione è decrescente in maniera diretta, ovvero dimostrare direttamente
che per ogni n 𝑢 𝑛
𝑛+ 1
. Una possibile alternativa alla verifica diretta è trovare una funzione 𝑓 = 𝑓(𝑥) tale
che per ogni n 𝑓(𝑛) = 𝑢 𝑛
e tale che 𝑓′ < 0 , infatti in questo caso abbiamo 𝑢
𝑛
𝑛+ 1
dato che 𝑓′ < 0.
Esempio: si consideri la seguente serie
𝑛
3 +𝑛
1 +𝑛+𝑛
2
∞
𝑛= 1
per studiarne il carattere osserviamo che:
ha lo stesso ordine di
1
𝑛
quindi non converge assolutamente. Si osservi
lim
𝑛→∞
3 +𝑛
1 +𝑛+𝑛
2
= 0 e se definiamo 𝑓(𝑥) =
3 +𝑥
1 +𝑥+𝑥
2
segue che
Quindi 𝑓′(𝑥) < 0 per 𝑥 > 0 da cui segue che {
3 +𝑛
1 +𝑛+𝑛
2
𝑛= 0
∞
è decrescente
quindi per il teorema appena presentato, la serie ∑ (− 1 )
𝑛
3 +𝑛
1 +𝑛+𝑛
2
∞
𝑛= 1
è
convergente.
Si ricordi che i risultati da tener in mente quando si lavora con le serie sono i seguenti:
Se una serie ∑ 𝑢
𝑛
∞
𝑛= 1
converge, allora 𝑢
𝑛
deve esser necessariamente infinitesimo, cioè lim
𝑛→∞
𝑛
(Criterio del confronto) date due serie a termini positivi ∑ 𝑢
𝑛
∞
𝑛= 1
e ∑ 𝑣
𝑛
∞
𝑛= 1
con (almeno
defininitivmante) 𝑢
𝑛
𝑛
, allora:
A. Se
𝑛
∞
𝑛= 1
è convergente →
𝑛
∞
𝑛= 1
è convergente
B. Se
𝑛
∞
𝑛= 1
è divergente →
𝑛
∞
𝑛= 1
è divergente
(Radice) data una serie a termini positivi
𝑛
∞
𝑛= 1
consideriamo il limite lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛
(qualora esiste),
allora valgono i seguenti:
A. lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛
𝑛
∞
𝑛= 1
è convergente
B. lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛
𝑛
∞
𝑛= 1
è divergente
(Rapporto) data una serie a termini positivi
𝑛
∞
𝑛= 1
consideriamo il limite lim
𝑛→∞
𝑢
𝑛+ 1
𝑢
𝑛
(qualora esiste),
allora valgono le seguenti:
A. lim
𝑛→∞
𝑢
𝑛+ 1
𝑢
𝑛
𝑛
∞
𝑛= 1
è convergente
B. lim
𝑛→∞
𝑢 𝑛+ 1
𝑢 𝑛
𝑛
∞
𝑛= 1
è divergente
Date due serie a termini positivi
𝑛
∞
𝑛= 1
e
𝑛
∞
𝑛= 1
tale lim
𝑛→∞
𝑣
𝑛
𝑢
𝑛
= 𝑘 con 𝑘 > 0 allora:
A. Se ∑ 𝑣
𝑛
∞
𝑛= 1
è convergente → ∑ 𝑢
𝑛
∞
𝑛= 1
è convergente
B. Se
𝑛
∞
𝑛= 1
è divergente →
𝑛
∞
𝑛= 1
è divergente
Quindi
𝑛
∞
𝑛= 1
e
𝑛
∞
𝑛= 1
hanno lo stesso carattere.
(Integrale) in particolare possiamo osservare che data una serie a termini positivi
𝑛
∞
𝑛= 1
se esiste
un 𝑎 ∈ ℝ tale lim
𝑛→∞
𝑢
𝑛
1
𝑛
𝑎
= 𝑘 dove k è un numero reale diverso da 0, allora:
𝑛
∞
𝑛= 1
(Ordini di grandezza) importante la seguente tabella:
𝑑
𝑛
≺ n!
In cui le funzioni sono presentate in ordine crescente (il simbolo ≺ si legge “cresce meno velocemente
di” ovvero valgono le seguenti:
- Per ogni 𝑑 ∈ ℕ lim
𝑛→∞
𝑛
𝑑
log 𝑛
= ∞ ovvero i polinomi crescono più velocemente della funzione
logaritmo
- Per ogni 𝛼 > 1 e per ogni 𝑑 ∈ ℕ si ha lim
𝑛→∞
𝛼
𝑛
𝑛
𝑑
= ∞, ovvero le funzioni esponenziali, se la base
𝛼 > 1 , crescono più velocemente dei polinomi
- Per ogni 𝛼 > 1 si ha lim
𝑛→∞
𝑛!
𝛼!
= ∞, ovvero il fattoriale cresce molto più velocemente delle
funzioni esponenziali
- Se 𝑎, 𝑏, 𝑐 e d sono numeri positivi, allora
𝑎+𝑏
𝑐+𝑑
𝑎+𝑏
𝑐
𝑎
𝑐
𝑏
𝑐
e
𝑎+𝑏
𝑐+𝑑
𝑎+𝑏
𝑑
𝑎
𝑑
𝑏
𝑑
a. Se a,b,c e d sono numeri positivi e 𝑎 > 𝑏 allora
𝑎+𝑏
𝑐+𝑑
2 𝑎
𝑐+𝑑
b. Se a,b,c e d sono numeri positivi e 𝑎 > 𝑏 allora
𝑎+𝑏
𝑐+𝑑
2 𝑎
𝑐
e
𝑎+𝑏
𝑐+𝑑
2 𝑎
𝑑
- Serie di Taylor:
a. Per − 1 < 𝑥 < + 1 vale la seguente
1
1 +𝑥
2
3
b. Per − 1 < 𝑥 ≤ + 1 vale la seguente log( 1 + 𝑥) = 𝑥 −
𝑥
2
2
𝑥
3
3
c. Per − 1 < 𝑥 < + 1 vale la seguente
1
2
log (
1 +𝑥
1 −𝑥
𝑥
3
3
𝑥
5
5
d. Per ogni 𝑥 ∈ ℝ vale la seguente 𝑒
𝑥
𝑥
2
2!
𝑥
3
3!
e. Per ogni 𝑥 ∈ ℝ vale la seguente sin 𝑥 = 𝑥 −
𝑥
3
3!
𝑥
5
5!
f. Per ogni 𝑥 ∈ ℝ vale la seguente cos 𝑥 = 𝑥 −
𝑥
2
2!
𝑥
4
4!
- (Segni Alternati) data una serie con termini di segno alternato ∑ (−)
𝑛
𝑛
∞
𝑛= 1
se sono verificate
le seguenti:
a. 𝑢
𝑛
è un infinitesimo cioè lim
𝑛→∞
𝑛
b. La successione
𝑛
è decrescente (almeno definitivamente) 𝑢
1
2
3
allora la serie converge.
Esempio: si studi il carattere della serie
𝑛
3
2
3 𝑛
2
𝑛
∞
𝑛= 1
. Per studiare osserviamo che la funzione cos è limitata,
infatto
cos 𝑥
≤ 1 ∀𝑥 ∈ ℝ e quindi:
si noti che il calcolo mostra
che la serie ha lo stesso
carattere della serie ∑
𝑛
3
2
3
𝑛
∞
𝑛= 1
e applicando il criterio del
rapporto otteniamo:
Poiché
1
3
< 1 allora, per il Criterio del Rapporto,
𝑛
3
2
3
𝑛
∞
𝑛= 1
converge, quindi possiamo concludere che anche
𝑛
3
2
3 𝑛
2
𝑛
∞
𝑛= 1
converge.
Esempio: si studi il carattere della serie
𝑛
3
√𝑛+𝑛
5
+( 1 −sin
𝜋
2
𝑛)
2
∞
𝑛= 1
. Per studiare il carattere si noti che
𝑛
3
√
𝑛+𝑛
5
+( 1 −sin
𝜋
2
𝑛)
2
𝑛
3
√𝑛+𝑛
5
, quindi
𝑛
3
√
𝑛+𝑛
5
+( 1 −sin
𝜋
2
𝑛)
2
∞
𝑛= 1
𝑛
3
√𝑛+𝑛
5
∞
𝑛= 1
, ma la serie
𝑛
3
√𝑛+𝑛
5
∞
𝑛= 1
converge
perché ha lo stesso carattere della Armonica Generalizzata con 𝑎 = 2 : lim
𝑛→∞
𝑛
3
√
𝑛+𝑛
5
1
𝑛
2
= lim
𝑛→∞
𝑛
3
𝑛
5
( 1 +
√𝑛
𝑛
5
)
2
= 1 , da
cui segue che per il Criterio del Confronto ed il Criterio Integrale che la serie:
𝑛
3
√𝑛+𝑛
5
+( 1 −sin
𝜋
2
𝑛)
2
∞
𝑛= 1
converge.
Esempio: si consideri la seguente serie ∑ (
2 𝑘− 3
𝑘
2
𝑛
∞
𝑛= 0
. Per studiarne il carattere osserviamo che la serie è una
serie Geometrica, quindi sappiamo che se |
2 𝑘− 3
𝑘
2
| < 1 converge e se |
2 𝑘− 3
𝑘
2
| ≥ 1 non converge (potrebbe
divergere o oscillare, ma sicuramente non convergere). Si noti che il quoziente ha il segno:
Positivo Negativo
2
Quindi consideriamo i due casi:
Se il quoziente è positivo, ovvero per 𝑘 > 3 / 2 , allora |
2 𝑘− 3
𝑘
2
2 𝑘− 3
𝑘
2
< 1 , quindi se e solo se
2
2
− 2 𝑘 + 10 che è sempre soddisfatto (si noti che la parabola ha il vertice
di coordinate nel (1, 9). Quindi se 𝑘 > 3 / 2 ha somma finita possiamo scrivere
2 𝑘− 3
𝑘
2
𝑛
∞
𝑛= 0
1
1 −
2 𝑘− 3
𝑘
2
Definizione: si chiama integrale indefinito di una funzione f in un intervallo I l’insieme di tutte le sue anti-
derivate o primitive e si denota con il simbolo ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Osservazione: perché nella definizione si parla d’insieme? La risposta è semplice, infatti se F(x) è una
primitiva di f(x) allora anche qualsiasi funzione della forma F(x)+c (dove 𝑐 ∈ ℝ) è una primitiva. Infatti
Osservazione: è anche comune indicare l’integrale di f con il simbolo ∫ 𝑓. Ovviamente il primo problema che
dobbiamo risolvere è come trovare l’integrale di una funzione assegnata, cioè come scrivere esplicitamente
la primitiva, il problema non ha una soluzione generale, ma per alcune classi di funzioni è risolvibile.
Per iniziare è utile tenere in mente gli integrali indefiniti delle funzioni più comuni, per fare questo osserviamo
la seguente tabella:
Osservazione: si noti che per verificare che F è la primitiva di f, basta calcolare F’ e verificare che F(x)’=f(x).
Quindi per verificare che la tabella è corretta basta perdere una funzione nella seconda colonna e calcolare
la derivata, ovvero la funzione nella prima colonna sotto segno di integrale.
Osservazione: è anche utile tenere in mente che vale sempre la seguente: ∫
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 per la semplice ragione che la derivata della somma (differenza) è la somma
(differenza) delle derivate e anche la seguente ∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 è valida quando A è una costante
arbitraria.
Dobbiamo sempre scrivere esplicitamente la funzione primitiva, quindi dobbiamo cercare di utilizzare ogni
stratagemma possibile partendo da quello che sappiamo delle derivate. Per fare questo teniamo in mente
che per le funzioni composte vale il seguente risultato: (ℎ(𝑔(𝑥))′ = ℎ′(𝑔(𝑥)𝑔′(𝑥)).
Utilizzando quanto sappiamo sulle funzioni composte possiamo affermare che: ∫
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 = log
infatti:
Se 𝑓(𝑥) > 0 allora log
- 𝑐 = log 𝑓(𝑥) + 𝑐, quindi (log 𝑓(𝑥) + 𝑐)′ =
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
Se 𝑓(𝑥) < 0 allora log
- 𝑐 = log(−𝑓(𝑥)) + 𝑐, quindi (log
[
]
−𝑓′(𝑥)
−𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
Utilizzando quanto sappiamo sulle funzioni composte, otteniamo, se 𝑘 ≠ − 1 , ∫
[
]
𝑘
[ 𝑓(𝑥)
]
𝑘+ 1
𝑘+ 1
[ 𝑓(𝑥)
]
𝑘+ 1
𝑘+ 1
[ 𝑓(𝑥)
]
𝑘
𝑓′(𝑥)
𝑘+ 1
= [𝑓(𝑥)]
𝑘
Se B è una costante e ∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐 allora si verifica facilmente (calcoliamo la derivata utilizzando la
regola sopra) che ∫
Se 𝐴 ≠ 0 è una costante e ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐, allora si verifica facilmente che ∫ 𝑓(𝐴𝑥)𝑑𝑥 =
1
𝐴
Possiamo anche scrivere che se A e B sono due costanti e 𝐴 ≠ 0 e ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐 allora
1
𝐴
𝐹(𝐴𝑥 + 𝐵) + 𝑐. Un’applicazione di quanto detto permette di affermare, per esempio,
che ∫
1
𝐴𝑥+𝐵
1
𝐴
log
Osservazione: uno potrebbe riscrivere la tabella sopra con la seguente modifica: invece di usare x usa Ax+B.
Per fare un esempio ∫ 𝑒
𝑥
𝑥
𝐴𝑥+𝐵
1
𝐴
𝐴𝑥+𝐵
1
1 +𝑥
2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 +
𝑐 diventa ∫
1
1 +(𝐴𝑥+𝐵)
2
1
𝐴
𝑎𝑟𝑐 tan(𝐴𝑥 + 𝐵) + 𝑐.
Esempio: Adesso vediamo come calcolare ∫
𝑃
1
(𝑥)
𝑃
2
(𝑥)
𝑑𝑥 nel caso in cui 𝑃
2
(𝑥) ha grado 2 e 𝑃
1
(𝑥) ha grado
inferiore al 2. Per fare questo poniamo che 𝑃 2
2
1
(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑞, distinguiamo i possibili
casi:
Se ∆= 𝑏
2
− 4 𝑎𝑐 > 0 allora 𝑃
2
(𝑥) ammette due radici distinte 𝑥
1
e 𝑥
2
e possiamo scrivere 𝑃
2
1
2
). Si dimostra che è sempre possibile trovare costanti G e D tali che
𝑃
1
(𝑥)
𝑃
2
(𝑥)
𝐺
𝑎(𝑥−𝑥
1
)
𝐷
𝑎(𝑥−𝑥
2
)
, quindi possiamo scrivere che ∫
𝑃
1
(𝑥)
𝑃
2
(𝑥)
𝐺
𝑎(𝑥−𝑥
1
)
𝐷
𝑎(𝑥−𝑥
2
)
Se ∆= 𝑏
2
− 4 𝑎𝑐 = 0 allora 𝑃
2
(𝑥) ammette una radice con molteplicità due 𝑥
1
e possiamo scrivere
2
1
2
allora è sempre possibile trovare costanti H e L tali che
𝑃 1
(𝑥)
𝑃 2
(𝑥)
𝐻
𝑎(𝑥−𝑥 1
)
2
𝐿
𝑎(𝑥−𝑥 1
)
, quindi possiamo scrivere che ∫
𝑃 1
(𝑥)
𝑃 2
(𝑥)
𝐻
𝑎(𝑥−𝑥 1
)
2
𝐿
𝑎(𝑥−𝑥 2
)
Se ∆= 𝑏
2
− 4 𝑎𝑐 < 0 allora 𝑃
2
(𝑥) non ha radici reali e possiamo verificare direttamente (calcolando
la derivata) che ∫
𝑃
1
(𝑥)
𝑃
2
(𝑥)
𝑑𝑥 è
𝑚
2 𝑎
log(𝑎𝑥
2
2 𝑎𝑞−𝑚𝑏
√( 4 𝑎𝑐−𝑏
2
)𝑎
2
𝑎𝑎𝑟𝑐 tan 2 ∙
𝑎
2
( 4 𝑎𝑐−𝑏
2
)
𝑏
2 𝑎
) + 𝐶, dove C è una costante arbitraria.
Esempio: si calcoli ∫
4
𝑥(𝑥+ 2 )
𝑑𝑥. Per calcolare osserviamo che, utilizzando quanto scritto sopra, dobbiamo
scrivere:
Quindi dobbiamo avere 2 𝐴 = 4&𝐴 + 𝐵 = 0 , quindi 𝐴 = 2&𝐵 = − 2 , da
cui segue ∫
4
𝑥(𝑥+ 2 )
2
𝑥
2
(𝑥+ 2 )
𝑑𝑥, che implica ∫
4
𝑥(𝑥+ 2 )
2 log|𝑥| − 2 log|𝑥 + 2 | + 𝑐.
Esempio: si calcoli ∫
3 𝑥+ 1
𝑥
2
− 2 𝑥+ 3
𝑑𝑥. Per calcolare osserviamo che 𝑥
2
− 2 𝑥 + 3 non ha radici reali poiché il vertice
della parabola è il punto (1, 2), quindi, utilizzando quanto scritto sopra, dobbiamo scrivere ∫
3 𝑥+ 1
𝑥
2
− 2 𝑥+ 3
3
2
log(𝑥
2
− 2 𝑥 + 3 ) + 2 √ 2 𝑎𝑟𝑐 tan
1
√ 2
Esempio: si calcoli ∫
8 𝑥+ 1
4 𝑥+ 3
. Per calcolare osserviamo che
8 𝑥+ 1
4 𝑥+ 3
5
4 𝑥+ 3
, quindi:
Esempio: si calcoli ∫(𝑒
𝑥
- 1 )𝑑𝑥. Per calcolare osserviamo che, utilizzando la tabella, otteniamo:
Osservazione: si noti che se uno deve applicare il teorema, parte da un integrale ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, quindi si deve
riuscire a scomporre 𝑓(𝑥) in un prodotto della forma 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥) per poter applicare il teorema o integrazione
per parti. Il punto centrale è scegliere 𝑢(𝑥) e 𝑣(𝑥) in modo che 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Esempio: si calcoli ∫ 𝑥𝑒
− 3 𝑥+ 2
𝑑𝑥, per calcolare osserviamo che ponendo 𝑣(𝑥) = −
1
3
− 3 𝑥+ 2
e 𝑢(𝑥) = 𝑥
otteniamo:
Esempio: si calcoli ∫ 𝑥𝑙𝑜𝑔
2
𝑥𝑑𝑥. Per calcolare osserviamo
che ponendo 𝑣(𝑥) =
𝑥
2
2
e 𝑢(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔
2
applicando ancora l’integrazione per parti alla coppia
𝑥
2
2
e 𝑢(𝑥) = log 𝑥 calcolare il secondo integrale
otteniamo:
da cui segue immediatamente che:
Esempio: si calcoli ∫
𝑥 + 4 𝑑𝑥. Per calcolare
osserviamo che, utilizzando quanto scritto sopra,
ponendo 𝑣(𝑥) =
2
3
3
2 e 𝑢(𝑥) = 𝑥:
Esempio: si calcoli ∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥. Per calcolare osserviamo
che, utilizzando quanto scritto sopra, ponendo 𝑣(𝑥) =
− cos 𝑥 e 𝑢(𝑥) = 𝑥
Teorema (Integrazione per sostituzione): data una funzione 𝑓(𝑥) se 𝑥 = 𝑔(𝑡) allora ∫ 𝑓(𝑔(𝑡))𝑔′(𝑡) =
Dimostrazione: se ∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐, allora 𝐹(𝑔(𝑡))′ =
𝑓(𝑔(𝑡))𝑔′(𝑡), quindi:
È importante, per quello che segue, tenere in mente che se 𝑥 = 𝑥(𝑡) allora scriveremo 𝑑𝑥 = 𝑥′(𝑡)𝑑𝑡:
Per integrali della forma ∫
𝑛
) 𝑑𝑥, ecco la sostituzione che si può applicare √
𝑛
ovvero 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑡
𝑛
𝑡
𝑛
−𝑏
𝑎
, da cui seguono le importanti 𝑎𝑑𝑥 = 𝑛𝑡
𝑛− 1
𝑛
𝑎
𝑛− 1
𝑑𝑡, quindi otteniamo ∫
𝑛
𝑡
𝑛
−𝑏
𝑎
𝑛
𝑎
𝑛− 1
Per integrali della forma ∫ 𝑓(𝑒
𝑎𝑥
)𝑑𝑥, ecco la sostituzione che si può applicare 𝑒
𝑎𝑥
= 𝑡 da cui seguono
le importanti 𝑎𝑒
𝑎𝑥
1
𝑎𝑒
𝑎𝑥
1
𝑎𝑡
𝑑𝑡, quindi otteniamo ∫
𝑎𝑥
1
𝑎𝑡
Per integrali della forma ∫
𝑓(sin 𝑏𝑥 , cos 𝑏𝑥)𝑑𝑥, ecco la sostituzione che si può applicare sin 𝑏𝑥 = 𝑡,
da cui seguono le importanti 𝑏 cos 𝑏𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡, quindi in alcuni casi possiamo semplificare.
Esempio: si calcoli ∫
𝑒
2 𝑥
𝑥
1 +𝑒
𝑥
𝑑𝑥. Per calcolare poniamo 𝑒
𝑥
= 𝑡 quindi abbiamo
2 𝑥
2
e 𝑒
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 da cui segue 𝑑𝑥 =
1
𝑡
𝑑𝑡 e l’integrale diventa →
Quindi, poiché 𝑒
𝑥
= 𝑡, otteniamo ∫
𝑒
2 𝑥
𝑥
1 +𝑒
𝑥
𝑥
𝑥
Esempio: si calcoli ∫
( 3 +cos 𝑥) sin 𝑥
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
sin 𝑥 𝑑𝑥. Per calcolare poniamo
cos 𝑥 = 𝑡, quindi abbiamo − sin 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 da cui segue →
Quindi ∫
( 1 +cos 𝑥)
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
sin 𝑥 𝑑𝑥 =
3
cos 𝑥
− log
cos 𝑥
Esempio: si calcoli ∫
1
√
𝑥+ 7
𝑑𝑥. Per calcolare poniamo √
𝑥 = 𝑡 quindi
abbiamo
1
2 √
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 da cui segue che 𝑑𝑥 = 2 √𝑥𝑑𝑡 = 2 𝑡𝑑𝑡, allora
possiamo scrivere →
Quindi ∫
1
√
𝑥+ 7
𝑑𝑥 = 2 √𝑥 − 14 log
Esempio: calcolare l’eventuale primitiva 𝐹(𝑥) della funzione 𝑓(𝑥) =
3
√𝑥+ 4
, tale che
lim
𝑥→ 0
𝐹(𝑥) = 7. Per calcolare poniamo √
𝑥 + 4 = 𝑡 quindi abbiamo
1
2 √𝑥+ 4
𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 da
cui segue 𝑑𝑥 = 2 √𝑥 + 4 𝑑𝑡 = 2 𝑡𝑑𝑡 allora possiamo scrivere →
Quindi ∫
3
√𝑥+ 4
𝑥 + 4 + 𝑐, adesso osserviamo che dobbiamo avere lim
𝑥→ 0
𝑥 + 4 + 𝑐) = 7 , da cui
segue che 𝑐 = − 5 , quindi 𝐹(𝑥) = 6 √𝑥 + 4 − 5
Esempio: calcolare l’eventuale primitiva 𝐹(𝑥) della funzione 𝑓(𝑥) =
− 2 𝑥+ 1
3
𝑥
2
tale lim
𝑥→+∞
1
2
. Per calcolare la primitiva osserviamo
che →
Adesso dobbiamo imporre che lim
𝑥→+∞
1
2
− 2 𝑥+ 1
3
𝑥
1
2
, ma questo implica che 𝑐 =
1
2
, quindi 𝐹(𝑥) =
1
2
− 2 𝑥+ 1
3
𝑥
1
2
Esempio: calcolare l’eventuale primitiva 𝐹(𝑥) della funzione
log(𝑥+ 2 )
𝑥
2
, che è infinitesima per 𝑥 → +∞. Per
calcolare la primitiva osserviamo che utilizzando
∫ 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) − ∫ 𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥, con 𝑣(𝑥) =
1
𝑥
e 𝑢(𝑥) = log(𝑥 + 2 ), abbiamo →
