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Determinare la legge di sconto d(t0, tn) in termini della legge di capitalizzazione r(t0, tn).
La legge di sconto e la legge di capitalizzazione sono funzioni inverse l’una dell’altra. Sia: r ( t
0
, t
n
)la legge di
capitalizzazione, cioè il fattore con cui un capitale al tempo t
0
cresce fino al tempo t
n
; d ( t
0
, t
n
)la legge di sconto, cioè il
fattore che riporta un capitale dal tempo t
n
al tempo t
0
. Per definizione vale: C ( t
n
)= C ( t
0
) r ( t
0
, t
n
) e quindi
C ( t
0
)= C ( t
n
) d ( t
0
, t
n
Poiché le due operazioni devono annullarsi a vicenda, deve valere:
C ( t
0
)= C ( t
0
) r ( t
0
, t
n
) d ( t
0
, t
n
Dividendo entrambi i membri per C ( t
0
), otteniamo: r ( t
0
, t
n
) d ( t
0
, t
n
)=1. Da cui segue la relazione
fondamentale: d ( t
0
, t
n
r ( t
0
, t
n
cioè la legge di sconto è l’inversa della legge di capitalizzazione.
Dare la definizione di tassi equivalenti e ricavare, mostrando tutti i passaggi, l’espressione del tasso equivalente in RIC.
Due tassi di interesse i
1
e i
2
, applicati con due regimi finanziari diversi (o con periodi di capitalizzazione diversi), si dicono
equivalenti se, a parità di capitale iniziale e di durata dell’operazione, producono lo stesso montante finale. Abbiamo
i :
il tasso
annuo effettivo e
i
( m )
il tasso annuo convertibile
m
volte l’anno (cioè applicato ogni
1 / m
di anno). Nel regime di interesse
composto, il montante dopo
t = 1
anno deve essere lo stesso. Con tasso annuo effettivo
i
:
M = C ( 1 + i ).
Con tasso
convertibile
m
volte
i
( m )
o
gni periodo ha tasso:
i
( m )
m
e in un anno ci sono
m
capitalizzazioni, quindi:
M = C
(
i
( m )
m
)
m
Imponendo l’uguaglianza dei due montanti troviamo che
C ( 1 + i )= C
(
i
( m )
m
)
m
=¿ 1 + i =
(
i
( m )
m
)
m
Esplicitando
i
( m )
(
( 1 + i )
1 / m
i
( m )
m
(
( 1 + i )
1 / m
i
( m )
m
=>
i
( m )
= m
[
( 1 + i )
1 / m
]
Dare la definizione di forza di interesse e, assumendo che essa sia costante e pari a δ, mostrare la relazione che la lega ai
tassi di interesse nominali ed effettivi.
La forza di interesse misura la velocità con cui un capitale cresce in ogni istante di tempo. Formalmente è definita come:
δ ( t )=
C ( t )
dC ( t )
dt
cioè il rapporto tra la variazione istantanea del capitale e il capitale stesso. Se δ è costante,
l’equazione differenziale è:
dC ( t )
dt
= δ C ( t ).
Separando le variabili:
dC ( t )
C ( t )
= δ dt.
Integrando:
ln C ( t )= δt + k.
Ponendo esponenziale:
C ( t )= C ( 0 ) e
δt
La legge di capitalizzazione è dunque
r ( 0 , t )= e
δt
In relazione ad
i
definito da:
C ( 1 )= C ( 0 )( 1 + i ).
Ma dalla formula precedente:
C ( 1 )= C ( 0 ) e
δ
Uguagliando:
C ( 0 )( 1 + i )= C ( 0 ) e
δ
Dividendo per
C ( 0 )
:
1 + i = e
δ
⇒ i = e
δ
Con
i
( m )
Nel regime composto con
m
conversioni annue:
C ( 1 )= C ( 0 )
(
i
( m )
m
)
m
Ma anche:
C ( 1 )= C ( 0 ) e
δ
Uguagliando:
(
i
( m )
m
)
m
= e
δ
Prendendo la radice
m
-esima:
1 +
i
( m )
m
= e
δ / m
Quindi:
i
( m )
= m ( e
δ / m
− 1 ).
Se la forza di interesse è costante
:
r ( 0 , t ) ¿ e
δt
i ¿ e
δ
i
( m )
¿ m ( e
δ / m
Partendo dalla definizione, mostrare come si ricava la formula del montante di una rendita posticipata a rata costante e
tasso periodale i per n periodi.
Il montante è il valore finale del capitale alla scadenza. È l’importo che si riceve o si restituisce alla fine. In una rendita
posticipata per trovare il montante dobbiamo prendere ogni singola rata R e portarla fino al tempo finale “n”. è una
progressione geometrica di ragione
( 1 + i )
con
n
termini : M=R( 1 +i)n− 1 +R( 1 +i)n− 2 +⋯+R. raccogliendo R =>
M=R[( 1 +i)n− 1 +( 1 +i)n− 2 +⋯+ 1 ] , tale somma sarà uguale a [(1+i)^n-1]/[(1+i)-1]=>(1+i)^n-1/i e dunque la formula finale del
montante diventerà
M = R
( 1 + i )
n
i
Dare la definizione di scindibilità per la legge finanziaria di capitalizzazione r(t0, tn). Verificare, inoltre, usando la
definizione, che tale legge `e scindibile in RIC.
Una legge finanziaria di capitalizzazione
r ( t
0
, t
n
si dice scindibile se, per ogni istante intermedio
t
1
con
t
0
≤ t
1
≤ t
n
,
vale la proprietà:
r ( t
0
, t
n
)= r ( t
0
, t
1
) r ( t
1
, t
n
cioè capitalizzare da
t
0
a
t
n
è equivalente a capitalizzare prima
da t
0
a t
1
e poi da t
1
a t
n
. Nel regime di interesse composto (RIC), la legge di capitalizzazione è:
r ( t
0
, t
n
)=( 1 + i )
t
n
− t
0
dove
i
è il tasso effettivo annuo e t
n
− t
0
è il tempo (espresso in anni). Per verificare la
scindibilità calcoliamo:
r ( t
0
, t
1
) r ( t
1
, t
n
)=( 1 + i )
t
1
− t
0
( 1 + i )
t
n
− t
1
Usando le proprietà delle potenze:
( 1 + i )
t 1
− t 0
( 1 + i )
t n
− t 1
=( 1 + i )
(
t
1
− t
0
)+( t
n
− t
1
)
=( 1 + i )
t n
− t 0
Ma
( 1 + i )
t
n
− t
0
= r ( t
0
, t
n
r ( t
0
, t
n
)= r ( t
0
, t
1
) r ( t
1
, t
n
per ogni
t
1
, e dunque:
la legge di capitalizzazione in RIC
e scindibile.
Dare la definizione di scindibilità finanziaria di una legge di capitalizzazione e verificare se la stessa sia
scindibile nel caso r(t) = e^((2^t-1)/log(2))
Una legge di capitalizzazione
r ( t )
(con origine
t = 0
) si dice finanziariamente scindibile se per ogni t
1
, t
2
≥ 0 vale:
r ( t
1
+ t
2
)= r ( t
1
) r ( t
2
: cioè il fattore di capitalizzazione su due periodi consecutivi è il prodotto dei fattori sui singoli
periodi.
r ( t )= e
2
t
− 1
log 2
verificare se vale:
r ( t
1
2
)= r ( t
1
) r ( t
2
r ( t
1
2
)= e
2
t 1
− 1
log 2
= e
2
t 1
2
t 2
− 1
log 2
.r ( t
1
) r ( t
2
)= e
2
t 1
− 1
log 2
⋅ e
2
t 2
− 1
log 2
= e
2
t 1
− 1 + 2
t 2
− 1
log 2
= e
2
t 1
t 2
− 2
log 2
.
Affinché la
legge sia scindibile dovrebbe valere:
Una rendita perpetua è una rendita che paga una rata costante R per un numero illimitato di periodi. Nel caso posticipato le rate sono
ai tempi: 1, 2, 3, …, il valore attuale è VA= 1 +iR+( 1 +i)2R+( 1 +i)3R+… La somma vale: VA =
R
1 + i
1 + i
R
1 + i
i
1 + i
R
i
V A
post
R
i
. Nelle rendite perpetue anticipate le rate sono un periodo prima (tempi 0,1,2,...) quindi valgono di più di un
fattore (1+i) => VAant=R( 1 +i)/i. Nelle rendite differite, le rate partono al tempo m+1, spostata avanti di m periodi => VAdiff
=R/i*( 1 +i)−m.
Dimostrare come calcolare il debito residuo all’epoca k in un piano di ammortamento francese e in un piano italiano e spiegare
perché la quota interessi residua è proporzionale al debito residuo.
In un piano di ammortamento francese la rata sappiamo essere costante ed essere uguale a R=C/a(n|i). Il debito residuo all’epoca k è
il valore attuale, al tempo k, delle rate che restano da pagare infatti Dk=R*a(n-k|i), dunque una rendita posticipata di n-k rate.
In un piano italiano invece la quota capitale sappiamo essere costante ed uguale a QCk=C/n, capitale fratto numero di rate ed il
debito residuo è uguale a Dk=C*(1-k/n). In qualsiasi piano di ammortamento gli interessi del periodo k si calcolano sul capitale
ancora da restituire all’inizio del periodo, cioè sul debito residuo Dk-1 infatti QIk=Dk-1*i, dunque la quota interessi è proporzionale
al debito residuo perché il tasso i è costante e gli interessi maturano sempre sul capitale ancora non rimborsato, se il debito residuo
diminuisce, anche gli interessi diminuiscono in modo proporzionale.
Spiegare la differenza tra corso secco e corso tel-quel.
Il prezzo di un titolo nel mercato obbligazionario può essere espresso in due modi diversi: corso secco e tel-quel: il primo è il prezzo
puro del titolo, ovvero il valore dell’obbligazione al netto degli interessi maturati dall’ultima cedola. Questo prezzo riflette quindi il
valore nominale, il tasso cedolare, il tasso di mercato e la durata residua. Il secondo invece esprime il prezzo effettivamente pagato
dall’acquirente ed è dato dalla somma del corso secco e degli interessi maturati, quindi include il valore del titolo e la quota di cedola
già maturata a favore del venditore. La differenza nasce dal fatto che le cedole vengono pagate solo in date prefissate a differenza del
titolo che può essere scambiato in qualunque giorno. Chi vende il titolo tra due cedole ha diritto agli interessi maturati fino a quel
momento difatti l’acquirente deve pagare il corso secco e rimborsare al venditore gli interessi maturati.
Dimostrare il teorema dei prezzi impliciti.
Il Teorema dei Prezzi Impliciti dimostra come i tassi di interesse a termine siano determinabili dai tassi a pronti e viceversa,
sfruttando la proprietà di non arbitraggio in un mercato ideale, dove portafogli equivalenti devono avere lo stesso prezzo; la
dimostrazione è basata sulla costruzione di portafogli di Zero Coupon Bond con flussi di cassa identici su diversi orizzonti
temporali, provando che i prezzi impliciti derivano da una relazione matematica che lega i rendimenti a scadenza, escludendo
opportunità di profitto certo senza rischio. Prezzo a pronti di uno ZCB con scadenza s:
v ( t ,s )=
[
1 + i ( t ,s )¿
( s − t
)
Prezzo a termine implicito
v ( t ; T ; s )
di un ZCB che scade in
s
acquistato oggi per essere consegnato e pagato in
T : v ( t ; T ; s )=
v ( t ,s )
v ( t , T )
. Facendo un esempio con tre ZCB con scadenze t<=T<=s. Il portafoglio A: vendo allo
scoperto uno ZCB con scadenza s, ricevendo v(t,s) oggi, e acquisto v(t,s)/v(t,T) ZCB con scadenza T e pago il suo prezzo oggi di
v(t,T)*v(t,s)/v(t,T). Dunque il flusso di cassa netto a quest’epoca è uguale a 0, perché v(t,s)-v(t,s)=0, al tempo T riceverò v(t,s) e al
tempo s il flusso di cassa mi farà ricevere 1; nel portafoglio B: acquisto uno ZCB con scadenza s a un prezzo implicito v(t,T,s), il
quale mi impegnerà a pagare 1 in T e ricevere 1 in s; nel portafoglio C: acquisto uno ZCB a pronti v(t,T) e vendo allo scoperto uno
ZCB v(t,s), il profitto sarà nullo ma con flusso di cassa in T e s. Il prezzo implicito deriva dal fatto che i portafogli A e B hanno flussi
di cassa equivalenti nel tempo ed avranno quindi lo stesso prezzo oggi: v(t,T,s)=v(t,s)/v(t,T)
