Domande d'esame e approfondimenti di Fisica Tecnica (UniTN), Prove d'esame di Fisica Tecnica

Scarica Domande d'esame e approfondimenti di Fisica Tecnica (UniTN) e più Prove d'esame in PDF di Fisica Tecnica solo su Docsity! Nicola Genuin, mat. N° 186691 1 Nel presente documento si riportano le conoscenze fondamentali richieste dal corso di fisica tecnica svolto dal prof. Prada A., riportando una revisione del testo “Tutte le domande per l’esame di FISICA TECNICA” del prof. Baggio P., arricchita da alcuni approfondimenti. Sommario D1 Relazioni monomie per trasformazioni adiabatiche ............................................................................. 3 D2 Eguaglianza e diseguaglianza di Clausius, entropia ............................................................................... 6 D3 Scala termodinamica di temperatura .................................................................................................. 10 D4 Ciclo di Carnot inverso ......................................................................................................................... 13 D5 Variazioni di entropia, diagramma T-s ................................................................................................. 15 D6 Equazione di Clausius-Clapeyron ......................................................................................................... 18 D7 Relazioni di Maxwell ............................................................................................................................ 19 D8 Principio degli stati corrispondenti ...................................................................................................... 22 D9 Batteria di raffreddamento e deumidificazione .................................................................................. 24 D10 Deflusso adiabatico in un condotto ..................................................................................................... 25 D11 Saturazione adiabatica ........................................................................................................................ 27 D12 Psicrometria: grandezze fisiche ........................................................................................................... 29 D13 Ciclo di condizionamento invernale .................................................................................................... 30 D14 Ciclo di condizionamento estivo .......................................................................................................... 33 D15 Ciclo Otto ............................................................................................................................................. 35 D16 Ciclo Diesel ........................................................................................................................................... 37 D17 Ciclo Brayton-Joule .............................................................................................................................. 40 D18 Scambio termico tramite superficie cilindrica ..................................................................................... 42 D19 Scambio termico tramite superficie piana, con generazione .............................................................. 45 D20 Scambio termico tramite barra cilindrica, con generazione ............................................................... 47 D21 Sistema alettato ................................................................................................................................... 49 D22 Conduzione in 2D, reg. stazionario, sep. variabili ................................................................................ 52 D23 Conduzione in 2D, reg. stazionario, diff. finite .................................................................................... 55 D24 Conduzione in 2D, reg. variabile, sep. variabili.................................................................................... 57 D25 Conduzione in 2D, reg. variabile, diff. finite ........................................................................................ 59 D26 Convezione .......................................................................................................................................... 61 D27 Scambiatore di calore .......................................................................................................................... 63 D28 Coefficienti di scambio termico ........................................................................................................... 67 D29 Leggi di Kirchhoff ................................................................................................................................. 69 D30 Superfici grigie coassiali ....................................................................................................................... 71 D31 Verifica a condensazione interstiziale ................................................................................................. 72 D32 Verifica a condensazione superficiale ................................................................................................. 75 Nicola Genuin, mat. N° 186691 2 D33 Trasmissione del calore attraverso una parete multistrato ................................................................ 77 D34 Radiazione mutua tra superfici grigie parallele ................................................................................... 79 A1 Gas ideali ............................................................................................................................................. 81 A2 Principio zero della termodinamica ..................................................................................................... 82 A3 Primo principio della termodinamica .................................................................................................. 83 A4 Secondo principio della termodinamica .............................................................................................. 86 A5 Ciclo di Carnot...................................................................................................................................... 88 A6 Relazioni di Maxwell ............................................................................................................................ 91 A7 Diagramma psicrometrico ................................................................................................................... 94 A8 Equazione del calore ............................................................................................................................ 95 A9 Legge di Fick ......................................................................................................................................... 99 A10 Equazioni differenziali ....................................................................................................................... 101 Nicola Genuin, mat. N° 186691 5 alla base del funzionamento di un sistema con deflusso) e la variazione di entalpia sarà 𝑑ℎ = 𝑐𝑝𝑑𝑇. Si può quindi riscrivere il I° PDT come: 𝑐𝑝𝑑𝑇 + 𝑣𝑑𝑝 = 0 Come visto in precedenza, si sfrutta l’equazione di stato dei gas perfetti, ottenendo 𝑣 = 𝑅𝑇 𝑝 , per scrivere: 𝑐𝑝𝑑𝑇 + 𝑅𝑇 𝑝 𝑑𝑝 = 0 Dividendo per la temperatura 𝑇 e per la capacità termica a pressione costante 𝑐𝑝 si ottiene: 1 𝑇 𝑑𝑇 + 𝑅 𝑐𝑝 1 𝑝 𝑑𝑝 = 0 Dalla la relazione della costante universale dei gas 𝑅 = 𝑐𝑝 − 𝑐𝑣 si ottiene 𝑅 𝑐𝑝 = 1 − 𝑐𝑣 𝑐𝑝 = 1 − 1 𝑘 = 𝑘−1 𝑘 e: 1 𝑇 𝑑𝑇 + 𝑘 − 1 𝑘 1 𝑝 𝑑𝑝 = 0 Integrando: ∫ 1 𝑇 𝑑𝑇 2 1 + 𝑘 − 1 𝑘 ∫ 1 𝑝 𝑑𝑝 2 1 = 0 ln ( 𝑇2 𝑇1 ) + 𝑘 − 1 𝑘 ln ( 𝑝2 𝑝1 ) = 0 Per le proprietà dei logaritmi: ln [ 𝑇2 𝑇1 ( 𝑝2 𝑝1 ) 𝑘−1 𝑘 ] = 0 𝑒 ln[ 𝑇2 𝑇1 ( 𝑝2 𝑝1 ) 𝑘−1 𝑘 ] = 𝑒0 𝑇2 𝑇1 ( 𝑝2 𝑝1 ) 𝑘−1 𝑘 = 1 𝑇2𝑝2 𝑘−1 𝑘 = 𝑇1𝑝1 𝑘−1 𝑘 𝑻𝒑 𝒌−𝟏 𝒌 = 𝒄𝒐𝒔𝒕 Nicola Genuin, mat. N° 186691 6 D2 Eguaglianza e diseguaglianza di Clausius, entropia A partire dal ciclo di Carnot, ricavare l’eguaglianza e la diseguaglianza di Clausius. A partire dai suddetti risultati, giustificare inoltre l’introduzione della coordinata termodinamica entropia. EGUAGLIANZA DI CLAUSIUS Si consideri una macchina di Carnot che operi tra due sorgenti a temperatura differente, con 𝑇1 e 𝑇2 rispettivamente le temperature della sorgente calda e della sorgente fredda, e 𝑄1 e 𝑄2 allo stesso modo il calore scambiato dalla macchina con la sorgente calda e con la sorgente fredda. Per una qualunque macchina reversibile, sia che produca lavoro, sia che venga impiegata per sottrarre calore alla sorgente più fredda (macchina frigorifera) vale la seguente relazione: 𝑄1 𝑇1 + 𝑄2 𝑇2 = 0 poiché: |𝑄1| 𝑇1 = |𝑄2| 𝑇2 anche considerando i segni dei calori scambiati (uno assorbito e l’altro ceduto): 𝑄1 𝑇1 = − 𝑄2 𝑇2 Si consideri un ciclo chiuso, quindi reversibile, come quello rappresentato da una curva circolare, lo si divida con un certo numero 𝑛 di adiabatiche e si consideri il ciclo rappresentato dalla spezzata formata da un segmento di adiabatica e da un segmento di isoterma scelti in modo tale che il calore scambiato in ogni tratto sia il medesimo di quello scambiato dal tratto di ciclo reale. Ognuno di questi sottocicli è un ciclo di Carnot, quindi complessivamente si può scrivere: ∑ 𝑄𝑖 𝑇𝑖 𝑛 𝑖=1 = 0 Facendo tendere all’infinito il numero reale di strisce in cui si divide il ciclo e quindi divenendo infinitesimi i processi isotermi, ogni termine 𝑑𝑄 𝑇 relativo ad ogni segmento si approssima al termine relativo al ciclo reale compreso tra le stesse adiabatiche. Ammesso che ogni singolo ciclo sia reversibile o almeno internamente reversibile ,si può quindi scrivere che per ogni ciclo: ∮( 𝜹𝑸 𝑻 ) 𝑹𝑬𝑽 = 𝟎 Questa relazione, che rappresenta il II° PDT e l’eguaglianza di Clausius, contiene una grandezza il cui integrale ciclico è nullo: questa grandezza non può essere funzione di linea, cioè dipendere dalla modalità con la quale evolve la trasformazione, come il lavoro o il calore scambiato. Proprio perché non dipende dal percorso della trasformazione seguito per raggiungere un determinato stato, questa grandezza è una grandezza di stato. Si consideri, infatti, il ciclo al quale viene sottoposto un gas contenuto in un dispositivo cilindro-pistone: se alla fine del ciclo il pistone ritorna nella sua posizione iniziale, il gas occuperà lo stesso volume iniziale. La variazione netta di volume calcolata sul ciclo è nulla. Questo si può esprimere matematicamente tramite l’integrale ciclico del volume, ∮𝑑𝑉 = 0, che, come per ogni altra grandezza di stato, è nullo. Ne consegue quindi che la quantità deve rappresentare una grandezza di stato espressa in forma differenziale, ovvero che, nel caso della diseguaglianza di Clausius, che se si considera una trasformazione reversibile aperta, non ciclica, tra uno stato 1 e uno stato 2, l’integrale ∫ 𝛿𝑄 𝑇 calcolato tra i due stati non dipende dal percorso ma Nicola Genuin, mat. N° 186691 7 solo dagli stati estremi, cioè costituisce un differenziale esatto di una nuova funzione di stato, 𝑆, detta entropia: 𝑑𝑆 = ( 𝛿𝑄 𝑇 ) 𝑅𝐸𝑉 L’entropia ha un valore definito a meno di una costante additiva arbitraria per ogni stato di un sistema in equilibrio, ed è una grandezza estensiva. Per ogni processo reversibile, si ha dunque: 𝛿𝑄 = 𝑇𝑑𝑆 La variazione di entropia di un sistema può essere calcolata ricorrendo all’integrazione, tra gli stati iniziale e finale, dell’equazione: 𝑑𝑆 = ( 𝛿𝑄 𝑇 ) 𝑅𝐸𝑉 ∫𝑑𝑆 2 1 = ∫( 𝛿𝑄 𝑇 ) 𝑅𝐸𝑉 2 1 ∆𝑆 = 𝑆2 − 𝑆1 = ∫( 𝛿𝑄 𝑇 ) 𝑅𝐸𝑉 2 1 Si noti che, in realtà, si è definita la variazione di entropia e non l’entropia come grandezza assoluta: per stabilire i valori assoluti dell’entropia si dovrà dare ricorso al terzo principio della termodinamica. Poiché nella pratica interessano le variazioni di entropia, si può assegnato arbitrariamente il valore 0 si entropia a un qualsiasi stato di riferimento, valutare ogni altro valore con l’equazione appena ricavata, che può essere integrata conoscendo la relazione funzionale tra 𝑄 e 𝑇 durante la trasformazione. Questa relazione spesso non è nota, per cui nella maggior parte dei casi il calcolo della variazione di entropia viene fatto utilizzando dati in forma di tabulato. Ciò è possibile perché, essendo l’entropia una grandezza di stato, i cui valori cioè dipendono solo dallo stato del sistema, la variazione di entropia ∆𝑆 tra due stati del sistema considerato è la stessa qualunque sia il percorso della trasformazione, reversibile o irreversibile, che ha portato il sistema da uno stato all’altro. Si noti che l’integrale di 𝛿𝑄/𝑇 fornisce il valore della variazione di entropia solo se è calcolato facendo riferimento al percorso di una trasformazione internamente reversibile tra due stati di partenza e di arrivo. Nel caso di trasformazione irreversibile, la variazione di entropia tra due stati di un sistema può essere calcolata come integrale di 𝛿𝑄/𝑇 solo ricorrendo ad una conveniente trasformazione immaginaria internamente reversibile tra i due stati considerati. DISEGUAGLIANZA DI CLAUSIUS in un ciclo reale sono sempre presenti irreversibilità causate da fenomeni di attrito nel deflusso del fluido. Esiste una naturale irreversibilità nello scambio di calore 𝑄1 dalla sorgente calda al sistema, per il fatto che durante questo scambio il sistema è ad una temperatura 𝑇1 ′ inferiore a 𝑇1. Esiste anche irreversibilità nello scambio di calore 𝑄2 dal sistema alla sorgente fredda, per il fatto che il sistema è a temperatura 𝑇2 ′ maggiore di 𝑇2. Tutto avviene dunque come se il ciclo agisse reversibilmente fra due sorgenti a temperatura 𝑇1 ′ e 𝑇2 ′, cosicché il rendimento della parte reversibile della trasformazione sarà: 𝜂𝑅𝐸𝑉 = 1 − 𝑇2 ′ 𝑇1 ′ Nicola Genuin, mat. N° 186691 10 D3 Scala termodinamica di temperatura A partire dal ciclo di Carnot, ricavare la scala termodinamica di temperatura e dimostrarne l’equivalenza con la scala di temperatura basata sul gas ideale. La scala di temperatura termodinamica è una scala di temperatura indipendente dalle sostanze che vengono impiegate per la sua determinazione, e in quanto tale offre grandi vantaggi nei calcoli termodinamici. Per la sue definizione di considerino tre macchine di Carnot 𝐴, 𝐵 e 𝐶, con 𝐴 e 𝐵 in serie, in parallelo a 𝐶: i motori 𝐴 e 𝐶 assorbono lo stesso calore 𝑄1 dalla sorgente a temperatura 𝑇1; il motore 𝐶 cede il calore 𝑄3 al pozzo a temperatura 𝑇3; il motore 𝐵 riceve il calore 𝑄2 scaricato dal motore 𝐴 alla temperatura 𝑇2 e cede il calore 𝑄3 al pozzo a temperatura 𝑇3. L’energia scaricata sottoforma di calore dai motori 𝐵 e 𝐶 deve necessariamente essere la stessa dato che i motori 𝐴 e 𝐵 possono essere visti come un unico motore reversibile che opera tra gli stessi serbatoi del motore 𝐶 con lo stesso rendimento di quest’ultimo. Dal momento che il calore in ingresso al motore 𝐶 è lo stesso di quello del motore ottenuto combinando i motori 𝐴 e 𝐵, entrambi i sistemi devono scaricare lo stesso calore. In termini rigorosi, per il secondo teorema di Carnot, secondo il quale tutti i motori termici reversibili hanno lo stesso rendimento se operano tra gli stessi serbatoi di calore indipendentemente dal ciclo seguito e dalle caratteristiche del fluido evolvente, si ha che il rendimento dei motori termici reversibili dipende esclusivamente dalle caratteristiche dei serbatoi di calore: 𝜂𝐴 = 1 − |𝑄2| |𝑄1| 𝜂𝐵 = 1 − |𝑄3| |𝑄2| 𝜂𝐶 = 1 − |𝑄3| |𝑄1| Poiché i serbatoi di calore sono caratterizzati dalla loro temperatura, si ha che il rendimento dei serbatoi tra i quali essi funzionano dipenderà dalle relazioni: |𝑄2| |𝑄1| = 𝑓(𝑇1, 𝑇2) |𝑄3| |𝑄2| = 𝑓(𝑇2, 𝑇3) |𝑄3| |𝑄1| = 𝑓(𝑇1, 𝑇3) Si consideri ora l’identità: |𝑄1| |𝑄3| = |𝑄1| |𝑄2| ∙ |𝑄2| |𝑄3| che corrisponde, per quanto appena visto, a: 𝑓(𝑇1, 𝑇3) = 𝑓(𝑇1, 𝑇2) ∙ 𝑓(𝑇2, 𝑇3) Esaminando questa equazione si ha che, se il termine a sinistra dell’equazione è funzione solo di 𝑇1 e di 𝑇3, lo deve essere anche quello a destra, indipendentemente da 𝑇2. Questa condizione di indipendenza è soddisfatta solo se la funzione 𝑓 ha la forma: 𝑓(𝑇1, 𝑇2) = 𝜙(𝑇1) 𝜙(𝑇2) 𝑓(𝑇2, 𝑇3) = 𝜙(𝑇2) 𝜙(𝑇3) A questo punto si ottiene: |𝑄1| |𝑄3| = 𝑓(𝑇1, 𝑇3) = 𝑓(𝑇1, 𝑇2) ∙ 𝑓(𝑇2, 𝑇3) = 𝜙(𝑇1) 𝜙(𝑇2) ∙ 𝜙(𝑇2) 𝜙(𝑇3) = 𝜙(𝑇1) 𝜙(𝑇3) Si ottiene così una relazione dove non compare la temperatura 𝑇2, che è a questo punto completamente arbitraria. Il rapporto a secondo membro si definisce come rapporto fra due temperature termodinamiche o temperature Kelvin, il quale fu il primo a usare questa definizione proponendo di adoperare la funzione 𝜙(𝑇) = 𝑇, ottenendo in generale: Nicola Genuin, mat. N° 186691 11 ( |𝑸𝒔| |𝑸𝒊| ) 𝑹𝑬𝑽 = 𝑻𝒔 𝑻𝒊 Questa scala di temperatura viene detta scala di Kelvin e su di essa si leggono temperature assolute. Sulla scala Kelvin, i rapporti di temperatura dipendono dai rapporti delle quantità di calore scambiate tra un motore termico reversibile e le riserve di calore, indipendentemente dalle proprietà fisiche di qualsiasi sostanza, infatti essi sono equivalenti soltanto ai rapporti dei valori assoluti delle quantità di calore scambiate. Si noti che la scala di termodinamica di temperatura non è completamente definita dall’equazione sopra proposta, poiché questa fornisce solo i rapporti fra le temperature e non definisce l’unità di misura, ovvero il grado Kelvin. Essendo stato attribuito al punto triplo dell’acqua (stato al quale coesistono in equilibrio tutte e tre le fasi dell’acqua) il valore di 273.15 𝐾, il grado Kelvin è definito come 1/273.15 dell’intervallo di temperatura fra questa temperatura e lo zero assoluto. Si noti che le ampiezze delle divisioni nelle scale Celsius e Kelvin coincidono (1 °𝐶 ≡ 1 𝐾), e che il valore della temperatura tra queste due scale differisce soltanto per una costante: 𝑇(°𝐶) = 𝑇(𝐾) − 273.15. Per concludere, per una macchina di Carnot che opera tra due sorgenti a temperature generiche, si ha: |𝑄| |𝑄𝑇| = 𝜙 𝜙𝑇 perciò il rapporto tra calore scambiato e temperatura termodinamica è una costante: |𝑄| 𝜙 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 Anche se la scala termodinamica di temperatura è stata definita ricorrendo all’aiuto dei motori termici reversibili, la validità di quanto esposto può essere dimostrata con considerazioni fisiche su un ciclo reversibile che sfrutti un gas ideale come fluido evolvente. Inoltre, poiché non è possibile, o comunque non è pratico, operare realmente con questo tipo di motori per determinare valori numerici sulla scala di temperatura, e poiché il rendimento del ciclo di Carnot non dipende dalla sostanza che lo percorre, le temperature assolute possono essere misurate accuratamente ricorrendo ad altri mezzi, come il termometro a gas ideale. Il primo principio della termodinamica, per una trasformazione reversibile di un gas ideale, offre la relazione: 𝑑𝑈 = 𝛿𝑄 − 𝛿𝑊 𝛿𝑄 = 𝑑𝑈 + 𝛿𝑊 𝛿𝑄 = 𝑐𝑣𝑑𝑇 + 𝑝𝑑𝑣 Le quantità di calore |𝑄1| e |𝑄2| scambiato durante le trasformazioni isoterme (compressione ed espansione) si possono ricavare integrando rispettivamente sulle due isoterme 1-2 e 3-4 in figura: |𝑄1| = ∫ 𝑝𝑑𝑣 𝑣2 𝑣1 = ∫ 𝑅𝑇 𝑣 𝑑𝑣 𝑣2 𝑣1 = 𝑅𝑇1 ln ( 𝑣2 𝑣1 ) |𝑄2| = ∫ 𝑝𝑑𝑣 𝑣4 𝑣3 = ∫ 𝑅𝑇 𝑣 𝑑𝑣 𝑣4 𝑣3 = 𝑅𝑇2 ln ( 𝑣4 𝑣3 ) e il loro rapporto vale: Nicola Genuin, mat. N° 186691 12 |𝑸𝟏| |𝑸𝟐| = 𝑅𝑇1 ln ( 𝑣2 𝑣1 ) 𝑅𝑇2 ln ( 𝑣4 𝑣3 ) = 𝑻𝟏 𝑻𝟐 Avendo semplificato la costante universale dei gas 𝑅 e i due logaritmi che sono equivalenti, come si dimostrerà ora. Per le due trasformazioni adiabatiche 2-3 e 4-1 si può riscrivere il I° PDT come: 𝑐𝑣𝑑𝑇 + 𝑝𝑑𝑣 = 0 𝑐𝑣𝑑𝑇 + 𝑅𝑇 𝑣 𝑑𝑣 = 0 𝑐𝑣 𝑅 1 𝑇 𝑑𝑇 = − 1 𝑣 𝑑𝑣 e integrando si ottiene: ∫ 𝑐𝑣 𝑅 1 𝑇 𝑑𝑇 𝑇3 𝑇2 = − ∫ 1 𝑣 𝑑𝑣 𝑣3 𝑣2 = − ln ( 𝑣3 𝑣2 ) = ln ( 𝑣2 𝑣3 ) ∫ 𝑐𝑣 𝑅 1 𝑇 𝑑𝑇 𝑇4 𝑇1 = − ∫ 1 𝑣 𝑑𝑣 𝑣4 𝑣1 = − ln ( 𝑣4 𝑣1 ) = ln ( 𝑣1 𝑣4 ) Considerando che 𝑇1 e 𝑇2 sono uguali e pari alla temperatura 𝑇𝑠 della sorgente di calore a temperatura maggiore e che 𝑇3 e 𝑇4 sono uguali e pari alla temperatura 𝑇𝑖 della sorgente di calore a temperatura minore, si ottiene ∫ 𝑐𝑣 𝑅 1 𝑇 𝑑𝑇 𝑇3 𝑇2 = ∫ 𝑐𝑣 𝑅 1 𝑇 𝑑𝑇 𝑇4 𝑇1 = ∫ 𝑐𝑣 𝑅 1 𝑇 𝑑𝑇 𝑇𝑖 𝑇𝑠 = ln ( 𝑣2 𝑣3 ) = ln ( 𝑣1 𝑣4 ) Dall’ultima eguaglianza consegue che: 𝑣2 𝑣3 = 𝑣1 𝑣4 ⟹ 𝑣2 𝑣1 = 𝑣3 𝑣4 Come volevasi dimostrare. Nicola Genuin, mat. N° 186691 15 D5 Variazioni di entropia, diagramma T-s A partire dal primo principio della termodinamica e dalla definizione di entropia ricavare le relazioni per calcolare la variazione di entropia del gas a comportamento ideale. Sulla base delle relazioni ricavate, tracciare su un diagramma T-s le curve corrispondenti a trasformazioni isocore e isobare. Discutere la relazione tra pendenza di una curva e calore specifico. Il primo principio della termodinamica ∆𝑈 = 𝛿𝑄 − 𝛿𝑊 può essere riscritto come 𝛿𝑄 = ∆𝑈 + 𝛿𝑊 e quindi, per quanto visto nella (D2): 𝑇𝑑𝑠 = 𝑐𝑣𝑑𝑇 + 𝑝𝑑𝑣 Si può ora dividere per la temperatura 𝑇: 𝑑𝑠 = 𝑐𝑣 𝑇 𝑑𝑇 + 𝑝 𝑇 𝑑𝑣 e sostituire la pressione con 𝑝 = 𝑅𝑇/𝑣: 𝑑𝑠 = 𝑐𝑣 𝑇 𝑑𝑇 + 𝑅𝑇 𝑣𝑇 𝑑𝑣 = 𝑐𝑣 𝑇 𝑑𝑇 + 𝑅 𝑣 𝑑𝑣 Integrando si ottiene: ∫𝑑𝑠 = 𝑐𝑣 ∫ 1 𝑇 𝑑𝑇 𝑇2 𝑇1 + 𝑅 ∫ 1 𝑣 𝑑𝑣 𝑣2 𝑣1 ∆𝑠 = 𝑐𝑣 ln ( 𝑇2 𝑇1 ) + 𝑅 ln ( 𝑣2 𝑣1 ) + 𝑐𝑜𝑠𝑡 Si può quindi raccogliere 𝑐𝑣: ∆𝑠 = 𝑐𝑣 [ln ( 𝑇2 𝑇1 ) + 𝑅 𝑐𝑣 ln ( 𝑣2 𝑣1 )] + 𝑐𝑜𝑠𝑡 e, tenendo conto che 𝑅 = 𝑐𝑝 − 𝑐𝑣, cioè 𝑅 𝑐𝑣 = 𝑐𝑝 𝑐𝑣 − 1 = 𝑘 − 1, riscrivere: ∆𝑠 = 𝑐𝑣 [ln ( 𝑇2 𝑇1 ) + (𝑘 − 1) ln ( 𝑣2 𝑣1 )] + 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑐𝑣 ln [( 𝑇2 𝑇1 )( 𝑣2 𝑣1 ) 𝑘−1 ] + 𝑐𝑜𝑠𝑡 Ricordando quindi la prima delle relazioni monomie ricavate nella (D1), vale a dire 𝑇𝑣𝑘−1 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, si ottiene: 𝑠 = 𝑐𝑣 ln(𝑇𝑣 𝑘−1) + 𝑐𝑜𝑠𝑡 La costante si determina imponendo lo zero dell’entropia per 𝑇 = 𝑇0 = 273.15 𝐾 e per il volume iniziale 𝑣 = 𝑣0 che si ha alla temperatura iniziale 𝑇0 alla pressione 𝑝0 = 1 𝑎𝑡𝑚: 𝑐𝑜𝑠𝑡 = −𝑐𝑣 ln(𝑇0𝑣0 𝑘−1) Supponendo che i calori specifici rimangano costanti, l’espressione dell’entropia di un gas ideale diventa: 𝑠 = 𝑐𝑣 ln(𝑇𝑣 𝑘−1) − 𝑐𝑣 ln(𝑇0𝑣0 𝑘−1) = 𝑐𝑣[ln(𝑇𝑣 𝑘−1) − ln(𝑇0𝑣0 𝑘−1)] 𝒔 = 𝒄𝒗 𝐥𝐧 [ 𝑻 𝑻𝟎 ( 𝒗 𝒗𝟎 ) 𝒌−𝟏 ] Nicola Genuin, mat. N° 186691 16 Volendo esprimere questa relazione in funzione di pressione e volume, anziché temperatura e volume, ci si avvale dell’equazione di stato dei gas perfetti 𝑝𝑣 = 𝑅𝑇, utilizzando 𝑇 = 𝑝𝑣 𝑅 : 𝑠 = 𝑐𝑣 ln [ 𝑝𝑣𝑅 𝑝0𝑣0𝑅 ( 𝑣 𝑣0 ) 𝑘−1 ] 𝑠 = 𝑐𝑣 ln [ 𝑝 𝑝0 𝑣 𝑣0 ( 𝑣 𝑣0 ) 𝑘−1 ] 𝒔 = 𝒄𝒗 𝐥𝐧 [ 𝒑 𝒑𝟎 ( 𝒗 𝒗𝟎 ) 𝒌 ] Allo stesso modo, per esprimerla in funzione di temperatura e pressione, si sfrutta 𝑣 = 𝑅𝑇 𝑝 , avendo l’accortezza di sostituire il calore specifico a volume costante 𝑐𝑣 con quello a pressione costante 𝑐𝑝, ottenendo: 𝑠 = 𝑐𝑣 ln [ 𝑇 𝑇0 ( 𝑅𝑇𝑝0 𝑅𝑇0𝑝 ) 𝑘−1 ] 𝑠 = 𝑐𝑣 ln [ 𝑇 𝑇0 ( 𝑇𝑝0 𝑇0𝑝 ) 𝑘−1 ] 𝑠 = 𝑐𝑣 ln [ 𝑇 𝑇0 ( 𝑇 𝑇0 ) 𝑘−1 ( 𝑝0 𝑝 ) 𝑘−1 ] 𝑠 = 𝑐𝑝 ln [ ( 𝑇 𝑇0 ) 𝑘 ( 𝑝 𝑝0 ) 1−𝑘 ] 𝒔 = 𝒄𝒑 𝐥𝐧 [ 𝑻 𝑻𝟎 ( 𝒑 𝒑𝟎 ) 𝟏−𝒌 𝒌 ] Si ricordi che l’ipotesi che i calori specifici siano costanti non è esatta nemmeno nel caso in cui si consideri un gas ideale in quanto variano con la temperatura. Occorre perciò fare riferimento a valori medi dei calori specifici 𝑐𝑝 e 𝑐𝑣 e del loro rapporto 𝑘 tra le temperature iniziale e finale della trasformazione. Si possono rappresentare le trasformazioni su un diagramma T-s utilizzando le relazioni appena ricavate. Per tracciare le isobare (pressione costante) si sfrutta l’ultima esprimendola per 𝑝 = 𝑝0: 𝑠 = 𝑐𝑝 ln [ 𝑇 𝑇0 ( 𝑝0 𝑝0 ) 1−𝑘 𝑘 ] = 𝑐𝑝 ln 𝑇 𝑇0 + 𝑐𝑝 ln 1 1−𝑘 𝑘 = 𝑐𝑝 ln 𝑇 𝑇0 Per le isobare a pressione costante diversa da dalla pressione iniziale 𝑝0, si osserva che il termine 𝑐𝑝 ln ( 𝑝 𝑝0 ) 1−𝑘 𝑘 è positivo per 𝑝 < 𝑝0 (essendo 𝑘 > 1 e quindi l’esponente minore dell’unità) e le isobare corrispondenti si troveranno a destra dell’isobara per 𝑝 = 𝑝0, e negativo per 𝑝 > 𝑝0, con le isobare corrispondenti più a sinistra. La pendenza di una linea isobara in un punto è rappresentata dal valore della temperatura assoluta in quel punto. Per tracciare le isocore (volume costante) si utilizza la prima relazione ricavata esprimendola per 𝑣 = 𝑣0: Nicola Genuin, mat. N° 186691 17 𝑠 = 𝑐𝑣 ln [ 𝑇 𝑇0 ( 𝑣0 𝑣0 ) 𝑘−1 ] = 𝑐𝑣 ln 𝑇 𝑇0 + 𝑐𝑣 ln 1 𝑘 = 𝑐𝑣 ln 𝑇 𝑇0 Le isobare per volumi specifici maggiori di 𝑣0 si trovano più a destra sul diagramma mentre quelle per volumi specifici minori sono a sinistra. Le isocore sono linee più pendenti delle isobare perché 𝒄𝒗 < 𝒄𝒑. Nicola Genuin, mat. N° 186691 20 ESPRESSIONE DELL’ENTROPIA Per quanto appena visto, 𝑑𝑢, 𝑑ℎ, 𝑑𝑓 e 𝑑𝑔 sono differenziali esatti, quindi si può scrivere: 𝑑𝑢 = ( 𝜕𝑢 𝜕𝑠 ) 𝑣 𝑑𝑠 + ( 𝜕𝑢 𝜕𝑣 ) 𝑠 𝑑𝑣 𝑑ℎ = ( 𝜕ℎ 𝜕𝑠 ) 𝑝 𝑑𝑠 + ( 𝜕ℎ 𝜕𝑝 ) 𝑠 𝑑𝑝 𝑑𝑓 = ( 𝜕𝑓 𝜕𝑇 ) 𝑣 𝑑𝑇 + ( 𝜕𝑓 𝜕𝑣 ) 𝑇 𝑑𝑣 𝑑𝑔 = ( 𝜕𝑔 𝜕𝑇 ) 𝑝 𝑑𝑇 + ( 𝜕𝑔 𝜕𝑝 ) 𝑇 𝑑𝑝 Confrontando queste espressioni con le prime colorate, si ottiene facilmente: 𝑇 = ( 𝜕𝑢 𝜕𝑠 ) 𝑣 = ( 𝜕ℎ 𝜕𝑠 ) 𝑝 𝑣 = ( 𝜕ℎ 𝜕𝑝 ) 𝑠 = ( 𝜕𝑔 𝜕𝑝 ) 𝑇 −𝑠 = ( 𝜕𝑓 𝜕𝑇 ) 𝑣 = ( 𝜕𝑔 𝜕𝑇 ) 𝑝 −𝑝 = ( 𝜕𝑢 𝜕𝑣 ) 𝑠 = ( 𝜕𝑓 𝜕𝑣 ) 𝑇 Da queste si possono ora ricavare delle espressioni per i calori specifici conoscendo le espressioni originali, vale a dire la prima eguaglianza delle due righe, e moltiplicando per ( 𝜕𝑠 𝜕𝑠 ): 𝒄𝒗 = ( 𝜕𝑢 𝜕𝑇 ) 𝑣 = ( 𝜕𝑢 𝜕𝑠 ) 𝑣 ( 𝜕𝑠 𝜕𝑇 ) 𝑣 = 𝑻( 𝝏𝒔 𝝏𝑻 ) 𝒗 𝒄𝒑 = ( 𝜕ℎ 𝜕𝑇 ) 𝑝 = ( 𝜕ℎ 𝜕𝑠 ) 𝑝 ( 𝜕𝑠 𝜕𝑇 ) 𝑝 = 𝑻( 𝝏𝒔 𝝏𝑻 ) 𝒑 Per calcolare la variazione di entropia partendo dalle altre proprietà termodinamiche, si differenzia la funzione 𝑠 = 𝑠(𝑇, 𝑣) dello stesso tipo delle prime viste per ricavare l’espressione dell’entropia (le terze colorate): 𝑑𝑠 = ( 𝜕𝑠 𝜕𝑇 ) 𝑣 𝑑𝑇 + ( 𝜕𝑠 𝜕𝑣 ) 𝑇 𝑑𝑣 e la si moltiplica per la temperatura 𝑇 per ottenere un’espressione di 𝑇𝑑𝑠: 𝑇𝑑𝑠 = 𝑻 ( 𝝏𝒔 𝝏𝑻 ) 𝒗 𝑑𝑇 + 𝑇 ( 𝜕𝑠 𝜕𝑣 ) 𝑇 𝑑𝑣 e si ottiene: 𝑇𝑑𝑠 = 𝒄𝒗𝑑𝑇 + 𝑇 ( 𝜕𝑠 𝜕𝑣 ) 𝑇 𝑑𝑣 Allo stesso modo, per calcolare la variazione di entropia partendo dalla funzione 𝑠 = 𝑠(𝑇, 𝑝) differenziata: Nicola Genuin, mat. N° 186691 21 𝑑𝑠 = ( 𝜕𝑠 𝜕𝑇 ) 𝑝 𝑑𝑇 + ( 𝜕𝑠 𝜕𝑝 ) 𝑇 𝑑𝑝 e moltiplicandola per la temperatura 𝑇 per ottenere un’espressione di 𝑇𝑑𝑠: 𝑇𝑑𝑠 = 𝑻 ( 𝝏𝒔 𝝏𝑻 ) 𝒑 𝑑𝑇 + 𝑇 ( 𝜕𝑠 𝜕𝑝 ) 𝑇 𝑑𝑝 si ottiene: 𝑇𝑑𝑠 = 𝒄𝒑𝑑𝑇 + 𝑇 ( 𝜕𝑠 𝜕𝑝 ) 𝑇 𝑑𝑝 dove si può inoltre sostituire il termine in rosso, ottenendo: 𝑇𝑑𝑠 =𝒄𝒑𝑑𝑇−𝑇∂v𝜕𝑇𝑝𝑑𝑝 Sostituendo i risultati appena ottenuti nelle espressioni di energia interna ed entalpia si ottiene: 𝑑𝑢 = 𝑇𝑑𝑠 − 𝑝𝑑𝑣 𝑑𝑢 = 𝒄𝒗𝑑𝑇 + 𝑇 ( 𝜕𝑠 𝜕𝑣 ) 𝑇 𝑑𝑣 − 𝑝𝑑𝑣 𝒅𝒖 = 𝒄𝒗𝒅𝑻 + [𝑻 ( 𝝏𝒔 𝝏𝒗 ) 𝑻 − 𝒑]𝒅𝒗 𝑑ℎ = 𝑇𝑑𝑠 + 𝑣𝑑𝑝 𝑑ℎ = 𝒄𝒑𝑑𝑇 − 𝑇 ( ∂v ∂T ) p 𝑑𝑝 + 𝑣𝑑𝑝 𝒅𝒉 = 𝒄𝒑𝒅𝑻 − [𝑻 ( 𝝏𝒗 𝝏𝑻 ) 𝒑 + 𝒗]𝒅𝒑 Dalle espressioni ottenute di nota la totale dipendenza di energia interna 𝑈 ed entalpia 𝐻 dalla temperatura 𝑇. Le espressioni dentro le parentesi quadre sono nulle nel caso in cui l’equazione di stato sia quella di un gas ideale, ritrovando così per il gas ideale 𝑑𝑢 = 𝑐𝑣𝑑𝑇 e 𝑑ℎ = 𝑐𝑝𝑑𝑇. Nicola Genuin, mat. N° 186691 22 D8 Principio degli stati corrispondenti Illustrare il principio degli stati corrispondenti e descrivere come impiegare ili fattore di comprimibilità 𝑍 e l’equazione di Van der Waals per approssimare l’equazione di stato dei gas reali. Per gas reali si intendono sostanze pure allo stato aeriforme. Il loro comportamento devia da quello del gas ideale quanto più aumenta la pressione, infatti essi soddisfano l’equazione di stato del gas perfetto solo per pressioni molto basse (𝑃 → 0) e alte temperature. È necessario introdurre un parametro di correzione per poter applicare la legge dei gas ai gas reali: questo parametro è il fattore di comprimibilità: 𝑍 = 𝑝𝑣 𝑅𝑇 Una legge generale valida per tutti i gas è la legge degli stati corrispondenti: essa stabilisce che se due gas hanno gli stessi valori di pressione ridotta 𝑝𝑅 e temperatura ridotta 𝑇𝑅, devono avere lo stesso valore di volume ridotto 𝑣𝑅 e il fattore di comprimibilità è approssimativamente lo stesso per tutti i gas. Il pedice indica, come già specificato, un parametro ridotto, ossia il rapporto tra il parametro e il valore dello stesso parametro al punto critico. I gas seguono bene la legge degli stati corrispondenti a pressioni molto basse e a temperature elevate. Si può esprimere come: 𝑣𝑅 = 𝜙(𝑝𝑅 , 𝑇𝑅) Il volume specifico ridotto 𝑣𝑅 si può esprimere nel seguente modo: 𝑣𝑅 = 𝑣 𝑣𝑐 e allo stesso modo si possono esprimere la pressione ridotta e la temperatura ridotta: 𝑝𝑅 = 𝑝 𝑝𝑐 𝑇𝑅 = 𝑇 𝑇𝑐 Se 𝑍𝑐 = 𝑝𝑐𝑣𝑐 𝑅𝑇𝑐 indica il valore di comprimibilità al punto critico, si può ricavare 𝑣𝑐 = 𝑍𝑐𝑅𝑇𝑐 𝑝𝑐 e quindi ottenere: 𝑣𝑅 = 𝑣 𝑣𝑐 = 𝑍𝑅𝑇𝑝𝑐 𝑍𝑐𝑅𝑇𝑐𝑝 = 𝑍𝑇𝑝𝑐 𝑍𝑐𝑇𝑐𝑝 = 𝑍 𝑍𝑐 𝑇𝑅 𝑝𝑅 = 𝜙(𝑝𝑅 , 𝑇𝑅) Risulta che per uguali valori di pressione e temperatura ridotta, tutti i gas devono presentare uguali valori del rapporto 𝑍/𝑍𝑐. Per bassi valori di pressione ridotta, il fattore di comprimibilità è pari all’unità, 𝑍 = 1, per tutti i gas, e ne consegue che il suo valore al punto critico 𝑍𝑐 deve essere lo stesso per tutti i gas. In realtà il suo valore varia da 0.233 a 0.308, pertanto la legge degli stati corrispondenti cade in difetto per basse pressioni poiché il comportamente di tutti i gas tende a quello del gas ideale quando la pressione 𝑝 tende a 0. Nicola Genuin, mat. N° 186691 25 D10 Deflusso adiabatico in un condotto Illustrare il processo di deflusso adiabatico in un condotto, scrivendo le relazioni che lo descrivono e calcolando la variazione di entropia nel caso di un fluido generico e di un gas a comportamento ideale. Evidenziare inoltre il legame tra produzione di entropia e perdita di lavoro utilizzabile. Dalla disuguaglianza di Clausius si sa che lungo un processo elementare il sistema subisce una variazione di entropia 𝑑𝑆 che è data da: 𝑑𝑆 = 𝛿𝑄 𝑇 + 𝑑𝑆𝑖𝑟𝑟 Questo comporta due conseguenze, già viste in precedenza: 1. Un processo adiabatico 𝑑𝑄 = 0 può essere isoentropico solo se è reversibile; 2. I processi adiabatici naturali sono ad entropia crescente perché sono irreversibili. Si può calcolare la variazione di entropia di un sistema durante un processo naturale che porti il sistema da uno stato di equilibrio 1 ad un altro stato di equilibrio 2 ricordando che l’entropia è una funzione di stato e le sue variazioni tra due stati sono indipendenti dal percorso della trasformazione. Conviene quindi sostituire al processo naturale (irreversibile) un qualsiasi processo reversibile tra gli stessi due stati. Lungo questo processo vale così la relazione: 𝑑𝑆 = 𝛿𝑄 𝑇 Si prende in esame un processo di deflusso adiabatico, con attrito, di un fluido in un condotto, che scorrendo perde pressione a causa degli attriti, rendendo il processo irreversibile. Applicando il I° PDT per un sistema con deflusso si ha: 𝑑ℎ = 𝛿𝑄 − 𝛿𝐿′ ma essendo il processo adiabatico, non si hanno scambi di calore, e quindi 𝛿𝑄 = 0; inoltre, non c’è nemmeno scambio di lavoro, dunque 𝛿𝐿′ = 0. Ne consegue che il processo è isoentalpico, cioè ℎ = 𝑐𝑜𝑠𝑡 (𝑑ℎ = 0). Si sostituisca il processo reale irreversibile con un processo reversibile che porti dallo stato 1 allo stato 2, processo lungo il quale l’aumento di entropia deve essere ottenuto solo per mezzo di una somministrazione di calore esterno, durante la quale è necessario che la temperatura coincida con la temperatura dell’ambiente esterno 𝑇𝑎. La tratteggiata 1-2 nel grafico proposto rappresenta la isoentalpica irreversibile. La trasformazione reversibile è composta di due processi. Durante il primo, 1-3, isotermo, sapendo che 𝛿𝑄 = 𝑇𝑑𝑠, e che in un sistema con deflusso il lavoro è dato da una variazione di pressione 𝑑𝑝, si ha: 𝑄13 = ℎ3 − ℎ1 − 𝐿13 𝑇𝑎(𝑠3 − 𝑠1) = ℎ3 − ℎ1 − ∫𝑣𝑑𝑝 3 1 Nicola Genuin, mat. N° 186691 26 Durante il secondo, 3-2, isoentropico, si ha invece: 𝑄23 = 0 = ℎ2 − ℎ3 − ∫𝑣𝑑𝑝 2 3 𝑇𝑎(𝑠2 − 𝑠3) = ℎ2 − ℎ3 − ∫𝑣𝑑𝑝 2 3 Sommando si calcola il calore che entra nel processo e che causa un aumento di entropia, tenendo conto che la 1-2 è isoentalpica per cui ℎ2 = ℎ1, e che la 3-2 è isoentropica per cui 𝑠3 = 𝑠1: 𝑄𝑡𝑜𝑡 = 𝑄13 + 𝑄23 𝑇𝑎(𝑠3 − 𝑠1) + 𝑇𝑎(𝑠2 − 𝑠3) = ℎ3 − ℎ1 − ∫𝑣𝑑𝑝 3 1 + ℎ2 − ℎ3 − ∫𝑣𝑑𝑝 2 3 𝑇𝑎(𝑠1 − 𝑠1) + 𝑇𝑎(𝑠2 − 𝑠1) = ℎ3 − ℎ1 − ∫𝑣𝑑𝑝 3 1 + ℎ1 − ℎ3 − ∫𝑣𝑑𝑝 2 3 𝑇𝑎(𝑠2 − 𝑠1) = ∫𝑣𝑑𝑝 3 1 − ∫𝑣𝑑𝑝 2 3 𝑠2 − 𝑠1 = 1 𝑇𝑎 (∫𝑣𝑑𝑝 3 1 − ∫𝑣𝑑𝑝 2 3 ) ∆𝑆𝑖𝑟𝑟 = 1 𝑇𝑎 𝐿∗ IL termine 𝐿∗ esprime il lavoro perso a causa dell’irreversibilità del processo. Se si tratta di un gas ideale l’isoterma coincide con l’isoentalpica, il punto 3 coincide con il punto 2 e quindi: 𝑠2 − 𝑠1 = 1 𝑇𝑎 (∫𝑣𝑑𝑝 2 1 − ∫𝑣𝑑𝑝 2 2 ) 𝑠2 − 𝑠1 = 1 𝑇𝑎 (−∫𝑣𝑑𝑝 2 1 ) 𝑠2 − 𝑠1 = −𝑅 ∫ 1 𝑝 𝑑𝑝 2 1 = 𝑅 ln ( 𝑝1 𝑝2 ) Nicola Genuin, mat. N° 186691 27 D11 Saturazione adiabatica Descrivere il processo di saturazione adiabatica, scrivendo le equazioni di bilancio che lo descrivono ed illustrando la trasformazione su di un diagramma psicrometrico. Dimostrare che la temperatura di saturazione adiabatica dipende solamente dalle condizioni in ingresso nel saturatore. Il processo di saturazione adiabatica permette di aumentare il contenuto di vapore acqueo dell’aria che scorre all’interno di un dispositivo chiamato saturatore adiabatico e di diminuire la temperatura, dal momento che una parte del calore latente1 di evaporazione dell’acqua viene fornita all’aria. La temperatura di saturazione adiabatica è quel valore di temperatura alla quale l’acqua, evaporando il modo adiabatico, porta l’aria stessa a saturazione. La massima quantità di vapore che può essere contenuta in fase aeriforme è quella che si raggiunge quando il componente possiede una pressione parziale pari alla pressione di saturazione alla temperatura considerata; un eventuale eccesso di componente considerato si separa sotto forma di liquido, in presenza di fase condensata la miscela si dice satura nel componente vapore. Il valore di tale temperatura è univocamente determinato dallo stato termodinamico iniziale dell’aria. Nel processo, descritto dall’immagine a fianco, una portata di aria umida viene portata a condizioni di saturazione per iniezione, attraverso opportuni ugelli nebulizzatori, della portata d’acqua ?̇?𝑙. Il processo a regime permanente è adiabatico e isobaro, e l’apparecchiatura pertanto viene chiamata saturatore adiabatico. Si imponga per l’acqua di alimentazione lo stesso valore di temperatura dell’aria umida satura in uscita dall’apparecchio: questo valore è la temperatura di saturazione adiabatica 𝑡1 ∗ dell’aria nello stato di ingresso 1. Trattandosi di processo con deflusso a regime permanente, adiabatico e senza scambio di lavoro, il primo principio della termodinamica porge, per il bilancio dell’energia: ?̇?𝑎ℎ1 + ?̇?𝑙ℎ𝑙 = ?̇?𝑎ℎ𝑠 Di questa relazione, è utile esplicitare le componenti del secondo termine: ℎ𝑙 è l’entalpia specifica del liquido nelle condizioni di ingresso, e per le convenzioni poste per gli stati di riferimento ad entalpia nulla si può scrivere: ℎ𝑙 = 𝑐𝑙𝑡𝑙 = 𝑐𝑙𝑡𝑙 ∗ sapendo che 𝑐𝑙 è il calore specifico del liquido saturo; per ?̇?𝑙 è invece opportuno scrivere un bilancio di massa per l’acqua: ?̇?𝑎𝑥1 + ?̇?𝑙 = ?̇?𝑎𝑥𝑠 da cui si può ricavare un’espressione per la portata massica di liquido ?̇?𝑙: ?̇?𝑙 = ?̇?𝑎(𝑥𝑠 − 𝑥1) Si può così riscrivere l’equazione per il bilancio di energia come segue, per poi semplificare ?̇?𝑎: ?̇?𝑎ℎ1 + ?̇?𝑎(𝑥𝑠 − 𝑥1)𝑐𝑙𝑡𝑙 ∗ = ?̇?𝑎ℎ𝑠 1 Calore latente Quantità di energia scambiata, sotto forma di calore, durante lo svolgimento di una transizione di fase. Nicola Genuin, mat. N° 186691 30 D13 Ciclo di condizionamento invernale Descrivere il funzionamento di un ciclo di condizionamento invernale illustrando le trasformazioni coinvolte su di un diagramma psicrometrico e ricavando le equazioni di bilancio che ne descrivono il funzionamento. Ricavare inoltre la retta di esercizio dell’ambiente e la relazione per calcolare la potenza termica complessivamente necessaria per il funzionamento del ciclo. Il condizionamento è l’insieme dei processi che permettono il controllo di alcuni parametri quali temperatura, umidità relativa, velocità di movimento e purezza dell’aria negli ambienti confinati, in modo da realizzare le condizioni più opportune in dipendenza della destinazione d’uso dell’ambiente stesso. Per mantenere l’aria dell’ambiente alle volute condizioni termo-igrometriche, l’impianto dovrà contrastare ed annullare l’azione dei carichi termici ambientali, ossia: - Carichi sensibili: flussi termici o Flusso termico scambiato con l’ambiente esterno attraverso strutture divisorie; o Flusso termico indotto dalla radiazione solare su struttura esterne; o Flusso termico dovuto a sorgenti termiche interne; o Infiltrazioni incontrollate di aria esterna. - Carichi latenti: flussi entalpici associati ad immissioni di vapore o Sorgenti interne di immissione di vapore; o Infiltrazioni incontrollate di aria esterna. Per fare ciò è necessario utilizzare i bilanci di massa: ?̇?𝐴𝑥𝐼 + ?̇?𝑣 = ?̇?𝐴𝑥𝐴 ed energia: ?̇?𝐴ℎ𝐼 + ?̇?𝑣ℎ𝑣 − |Φ𝑠| = ?̇?𝐴ℎ𝐴 Nel caso di funzionamento invernale: 1. Con un ventilatore si estrae dall’ambiente una portata di aria (equivalente a quella di introduzione ?̇?𝐴) che si trova nelle condizioni ambiente 𝐴; 2. Di questa portata, una parte (equivalente alla portata d’aria di rinnovo ?̇?𝑅) viene espulsa all’esterno, mentre la parte restante (?̇?𝐴 − ?̇?𝑅) viene ricircolata e miscelata con l’aria di rinnovo ?̇?𝑅 prelevata all’esterno in condizioni 𝐸: si ottiene quindi ancora una portata ?̇?𝐴, nelle condizioni di miscelazione 𝑀, individuabili nel diagramma psicrometrico dai valori delle portate miscelate sul segmento congiungente lo stato ambiente 𝐴 e lo stato dell’aria esterna 𝐸; 3. Nell’apparecchio condizionatore la portata di aria immessa ?̇?𝐴 deve essere portata dallo stato di miscelazione 𝑀 allo stato di immissione 𝐼: ciò si ottiene preriscaldando l’aria (dopo opportuna filtrazione) in una prima batteria calda (di preriscaldamento) fino ad un opportuno stato 1, in modo che: 4. Nel successivo lavatore adiabatico possa venire umidificata fino allo stato 2 evitando la formazione di condensa, ovvero evitando di superare la retta di saturazione, mantenendo 𝜑1 = 𝜑2; Nicola Genuin, mat. N° 186691 31 5. Una successiva batteria calda, detta di postriscaldamento, può infine portare l’aria allo stato di immissione 𝐼 voluto; 6. la portata d’aria viene infine immessa nell’ambiente da un opportuno ventilatore di mandata. Si calcola la potenza termica totale necessaria a far funzionare il sistema compreso delle batterie di pre e post riscaldamento, tenendo conto che Φ𝑝𝑟𝑒 e Φ𝑝𝑜𝑠𝑡 si ricavano facendo un bilancio di energia tra le condizioni di 𝑀 e 1, e tra 2 e 𝐼, e che il processo tra 1 e 2 è isoentalpico, quindi ℎ1 ≅ ℎ2: Φ𝑡𝑜𝑡 = Φ𝑝𝑟𝑒 + Φ𝑝𝑜𝑠𝑡 Φ𝑡𝑜𝑡 = ?̇?𝐴(ℎ1 − ℎ𝑀) + ?̇?𝐴(ℎ𝐼 − ℎ2) Φ𝑡𝑜𝑡 = ?̇?𝐴(ℎ1 − ℎ𝑀) + ?̇?𝐴(ℎ𝐼 − ℎ1) Φ𝑡𝑜𝑡 = −?̇?𝐴ℎ𝑀 + ?̇?𝐴ℎ𝐼 Volendo esprimere Φ𝑡𝑜𝑡 in funzione delle condizioni esterne note è necessario ricavare dal bilancio di energia le espressioni di ?̇?𝐴ℎ𝐼 (dal bilancio di energia iniziale): ?̇?𝐴ℎ𝐼 = ?̇?𝐴ℎ𝐴 − ?̇?𝑣ℎ𝑣 + |Φ𝑠| e di ?̇?𝐴ℎ𝑀, ricordando che la portata di ricircolo vale (?̇?𝐴 − ?̇?𝑅): ?̇?𝐴ℎ𝑀 = (?̇?𝐴 − ?̇?𝑅)ℎ𝐴 + ?̇?𝑅ℎ𝐸 Quindi si ottiene: Φ𝑡𝑜𝑡 = −(?̇?𝐴 − ?̇?𝑅)ℎ𝐴 − ?̇?𝑅ℎ𝐸 + ?̇?𝐴ℎ𝐴 − ?̇?𝑣ℎ𝑣 + |Φ𝑠| Φ𝑡𝑜𝑡 = |Φ𝑠| − ?̇?𝑣ℎ𝑣 − ?̇?𝑅(ℎ𝐴 − ℎ𝐸) I termini che compongono l’espressione rappresentano la potenza necessaria a compensare il carico termico ambiente totale e la potenza necessaria a portare l’aria di rinnovo dalle condizioni esterne a quelle ambiente. Su un diagramma di Mollier di possono rappresentare le trasformazioni per questo tipo di condizionamento: - 𝑀1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : attraversamento della batteria di preriscaldamento ad umidità specifica 𝑥 costante; - 12⃗⃗⃗⃗ : attraversamento dell’umidificatore ad entalpia ℎ costante; - 2𝐼⃗⃗ ⃗: attraversamento della batteria di postriscaldamento ad umidità specifica 𝑥 costante. Qui si introduce il concetto di retta di esercizio, che è il luogo dove giacciono gli stati possibili per l’immissione dell’aria dell’ambiente. Questa retta ha un estremo corrispondente allo stato ambiente 𝐴 e pendenza pari al rapporto tra la somma di calore sensibile e latente e la portata totale di vapore immessa Φ𝑡𝑜𝑡 ′ /?̇?𝑣. Per ricavare Φ𝑡𝑜𝑡 ′ si utilizza l’equazione di bilancio di energia: ?̇?𝐴ℎ𝐼 + ?̇?𝑣ℎ𝑣 − |Φ𝑠| = ?̇?𝐴ℎ𝐴 ?̇?𝐴ℎ𝐼 + Φ𝑡𝑜𝑡 ′ = ?̇?𝐴ℎ𝐴 Φ𝑡𝑜𝑡 ′ = ?̇?𝐴(ℎ𝐴 − ℎ𝐼) Per ricavare 𝑚𝑣 si utilizza il bilancio di massa: ?̇?𝐴𝑥𝐼 + ?̇?𝑣 = ?̇?𝐴𝑥𝐴 Nicola Genuin, mat. N° 186691 32 ?̇?𝑣 = ?̇?𝐴(𝑥𝐴 − 𝑥𝐼) La pendenza della retta di esercizio vale quindi: Φ𝑡𝑜𝑡 ′ ?̇?𝑣 = ?̇?𝐴(ℎ𝐴 − ℎ𝐼) ?̇?𝐴(𝑥𝐴 − 𝑥𝐼) = ℎ𝐴 − ℎ𝐼 𝑥𝐴 − 𝑥𝐼 Nicola Genuin, mat. N° 186691 35 D15 Ciclo Otto Descrivere un ciclo Otto, illustrando le trasformazioni necessarie a realizzarlo sia su di un piano 𝑝 − 𝑣 che su di un piano 𝑇 − 𝑠. Ricavare il rendimento di tale ciclo in funzione del rapporto volumetrico di compressione. Un motore a quattro tempi ad accensione comandata, che fa riferimento ad un ciclo Otto, attua i processi seguenti in un dispositivo pistone-cilindro: 0-1 Aspirazione: viene aspirata con valvola di aspirazione aperta una miscela aria-combustibile mentre il pistone si muove dal punto morto superiore (PMS) al punto morto inferiore (PMI); 1-2 Compressione: con entrambe le valvole chiuse la miscela è compressa dallo spostamento del pistone dal PMI al PMS, con rapporto di compressione 𝑟𝑣 dato da 𝑉1/𝑉2; 2-3 Combustione: in corrispondenza del volume minimo, con innesco dato dall’accensione di una scintilla, si ha la combustione della miscela con conseguente aumento della temperatura e della pressione; 3-4 Espansione: il gas combusto si espande, col pistone che si sposta dal PMS al PMI, con entrambe le valvole chiuse; 4-5 Scarico: al volume massimo la valvola di scarico si apre ed i prodotti della combustione escono dal cilindro fino ad equilibrare il valore di pressione esterna; 5-0 Espulsione: sempre con la valvola di scarico aperta, i prodotti della combustione residui vengono espulsi dal pistone che ritorna al PMS. Il ciclo ideale corrispondente si compone invece solo di quattro processi: 1-2 Compressione isoentropica; 2-3 Scambio di calore positivo 𝑄23 a volume costante (il sistema acquisisce calore); 3-4 Espansione isoentropica; 4-1 Cessione di calore 𝑄41 a volume costante (il sistema cede calore). Il lavoro netto del ciclo è calcolabile con: 𝐿𝑛 = 𝑄23 − |𝑄41| Quindi il rendimento termico del ciclo vale: 𝜂𝑡 = 𝐿𝑛 𝑄23 = 𝑄23 − |𝑄41| 𝑄23 = 1 − |𝑄41| 𝑄23 Ricordando la relazione 𝜹𝑸 = 𝒄𝒗𝒅𝑻, si ottengono le eguaglianze 𝑄23 = 𝑐𝑣(𝑇3 − 𝑇2) e 𝑄41 = 𝑐𝑣(𝑇4 − 𝑇1), quindi si può riscrivere la formula del rendimento termico come: 𝜂𝑡 = 1 − 𝑐𝑣(𝑇4 − 𝑇1) 𝑐𝑣(𝑇3 − 𝑇2) = 1 − 𝑇4 − 𝑇1 𝑇3 − 𝑇2 Nicola Genuin, mat. N° 186691 36 Inoltre, ricordando che per le trasformazioni adibatiche vale la relazione 𝑻𝒗𝒌−𝟏 = 𝒄𝒐𝒔𝒕, per le trasformazioni 1-2 e 3-4 si ha 𝑇1𝑣1 𝑘−1 = 𝑇2𝑣2 𝑘−1 e 𝑇3𝑣3 𝑘−1 = 𝑇4𝑣4 𝑘−1, e poiché per i volumi vale 𝑣2 = 𝑣3 e 𝑣4 = 𝑣1, si può ricavare: 𝑇4 𝑇3 = ( 𝑣3 𝑣4 ) 𝑘−1 = ( 𝑣2 𝑣1 ) 𝑘−1 = 𝑇1 𝑇2 = ( 1 𝑟𝑣 ) 𝑘−1 = 𝑇4 𝑇1 = 𝑇3 𝑇2 Sostituendo questo nell’espressione del rendimento, si ottiene: 𝜂𝑡 = 1 − 𝑇4 − 𝑇1 𝑇3 − 𝑇2 𝜂𝑡 = 1 − 𝑇1 ( 𝑇4 𝑇1 − 1) 𝑇2 ( 𝑇3 𝑇2 − 1) 𝜂𝑡 = 1 − 𝑇1 ( 1 𝑟𝑣 ) 𝑘−1 𝑇2 ( 1 𝑟𝑣 ) 𝑘−1 𝜂𝑡 = 1 − 𝑇1 𝑇2 𝜂𝑡 = 1 − ( 1 𝑟𝑣 ) 𝑘−1 Le espressioni mettono in evidenza come il rendimento termico del ciclo Otto sia equivalente a quello di un ciclo di Carnot fra le temperature 𝑇2 e 𝑇1, ed è ovviamente inferiore a quello di un ciclo di Carnot tra le temperature massima e minima di ciclo 𝑇3 e 𝑇1; il valore del rendimento termico dipende solo dal rapporto di compressione, crescendo all’aumentare di questo. Nei motori a combustione interna alternativi ad accensione comandata vi è peraltro un limite alla possibilità di aumentare il rapporto di compressione, dato dal raggiungimento della temperatura di autoaccensione della miscela compressa (fenomeno detto detonazione). Si osservi ancora come il valore del rendimento termico del ciclo non dipenda dal valore della temperatura massima 𝑇3; da tale valo dipende invece il lavoro netto del ciclo, e quindi il valore della pressione media efficace (PME). Nicola Genuin, mat. N° 186691 37 D16 Ciclo Diesel Descrivere un ciclo Diesel, illustrando le trasformazioni necessarie a realizzarlo sia su di un piano 𝑝 − 𝑣 che su di un piano 𝑇 − 𝑠. Ricavare il rendimento di tale ciclo in funzione dei rapporti volumetrici caratteristici. Il ciclo Diesel è un ciclo meccanico di un motore alternativo a combustione interna con accensione spontanea: 0-1 Aspirazione: viene aspirata con valvola di aspirazione aperta solo aria comburente mentre il pistone si muove dal punto morto superiore (PMS) al punto morto inferiore (PMI); 1-2 Compressione: con entrambe le valvole chiuse l’aria comburente viene compressa dallo spostamento del pistone dal PMI al PMS, con rapporto di compressione 𝑟𝑣 dato da 𝑉1/𝑉2; 2-3 Combustione: al volume minimo, viene iniettato il combustibile nell’aria che, a seguito della compressione, ha raggiunto una temperatura maggiore di quella di autocombustione del combustibile; 3-4 Espansione: il gas combusto di espande, col pistone che si sposta dal PMS al PMI, con entrambe le valvole chiuse; 4-5 Scarico: al volume massimo la valvola di scarico si apre ed i prodotti della combustione escono dal cilindro fino ad equilibrare il valore della pressione esterna; 5-0 Espulsione: sempre con la valvola di scarico aperta, i prodotti della combustione residui vengono espulsi dal pistone che ritorna al PMS. Il ciclo ideale corrispondente si compone invece di soli quattro processi: 1-2 Compressione isoentropica; 2-3 Scambio di calore positivo 𝑄23 a volume costante (il sistema assorbe calore); 3-4 Espansione isoentropica; 4-1 Cessione di calore 𝑄41 a volume costante (il sistema cede calore). Il lavoro netto del ciclo è calcolabile con: 𝐿𝑛 = 𝑄23 − |𝑄41| Quindi il rendimento termico del ciclo vale: 𝜂𝑡 = 𝐿𝑛 𝑄23 = 𝑄23 − |𝑄41| 𝑄23 = 1 − |𝑄41| 𝑄23 Ricordando la relazione 𝜹𝑸 = 𝒄𝒗𝒅𝑻, si ottengono le eguaglianze 𝑄23 = 𝑐𝑝(𝑇3 − 𝑇2) e 𝑄41 = 𝑐𝑣(𝑇4 − 𝑇1), e sapendo che 𝑘 = 𝑐𝑝/𝑐𝑣, si può riscrivere la formula del rendimento termico come: 𝜂𝑡 = 1 − 𝑐𝑣(𝑇4 − 𝑇1) 𝑐𝑝(𝑇3 − 𝑇2) = 1 − 𝑇4 − 𝑇1 𝑘(𝑇3 − 𝑇2) Si esprimono dunque tutte le temperature in funzione di 𝑇2. Per l’isoentropica (adiabatica, 𝑇𝑣 𝑘−1 = 𝑐𝑜𝑠𝑡) 1-2, considerando il rapporto volumetrico di compressione 𝑟𝑣 = 𝑣1/𝑣2 si ha: 𝑇1𝑣1 𝑘−1 = 𝑇2𝑣2 𝑘−1 Nicola Genuin, mat. N° 186691 40 D17 Ciclo Brayton-Joule Descrivere un ciclo turbina a gas, illustrando le trasformazioni necessarie a realizzarlo sia su di un piano 𝑝 − 𝑣 che su di un piano 𝑇 − 𝑠. Ricavare il rendimento di tale ciclo in funzione del rapporto delle pressioni. Un ciclo di questo tipo di compone di due trasformazioni isobare e due isoentropiche, ed opera con deflusso a regime permanente. Si possono distinguere due tipologie di turbomotore a gas: - A ciclo chiuso, ossia a combustione esterna, più rari; - A ciclo aperto, ossia a combustione interna, più frequenti. Il turbomotore a ciclo aperto è composto dai seguenti processi ideali: 1-2 Compressione: il compressore aspira aria dall’esterno nelle condizioni 1 e la comprime fino alla pressione 𝑝2 con lavoro fornito dall’esterno; 2-3 Combustione: l’aria compressa insieme al combustibile viene inviata in un combustore dove ha luogo una trasformazione idealmente adiabatica e isobara con formazione di prodotti ad elevata temperatura; 3-4 Espansione: i prodotti della combustione vengono espansi isoentropicamente fino alla pressione iniziale 𝑝1; 4-1 Scarico: i prodotti della combustione vengono rilasciati nell’ambiente nelle condizioni 4 e viene prelevata nuova aria nelle condizioni 1. Una caratteristica del turbomotore a gas a ciclo aperto è quella di sviluppare una grande potenza in rapporto all’ingombro della macchina. Il rendimento termico risulta: 𝜂𝑡 = 𝐿𝑛 𝑄+ = 1 − 𝑄− 𝑄+ = 1 − 𝑄41 𝑄32 = 1 − 𝑐𝑝(𝑇4 − 𝑇1) 𝑐𝑝(𝑇3 − 𝑇2) = 1 − 𝑇4 − 𝑇1 𝑇3 − 𝑇2 Si può a questo punto definire il rapporto di pressione 𝑟𝑝 per le trasformazioni isoentropiche di compressione ed espansione, dato rispettivamente dai rapporti 𝑝2/𝑝1 e 𝑝3/𝑝4. Per l’adiabatica 1-2, così come per la 3-4, ricordando la relazione 𝑻𝒑 𝟏−𝒌 𝒌 = 𝒄𝒐𝒔𝒕, e sapendo (si veda il grafico) che 𝒑𝟏 = 𝒑𝟒 e 𝒑𝟐 = 𝒑𝟑, si può scrivere: 𝑇1𝑝1 1−𝑘 𝑘 = 𝑇2𝑝2 1−𝑘 𝑘 𝑇3𝑝3 1−𝑘 𝑘 = 𝑇4𝑝4 1−𝑘 𝑘 𝑇1 𝑇2 = ( 𝑝2 𝑝1 ) 1−𝑘 𝑘 = ( 𝑝3 𝑝4 ) 1−𝑘 𝑘 = 𝑇4 𝑇3 = 𝑟𝑝 1−𝑘 𝑘 = 𝑇1 𝑇4 = 𝑇2 𝑇3 Il rendimento diventa quindi: 𝜂𝑡 = 1 − 𝑇4 − 𝑇1 𝑇3 − 𝑇2 Nicola Genuin, mat. N° 186691 41 𝜂𝑡 = 1 − 𝑇4 (1 − 𝑇1 𝑇4 ) 𝑇3 (1 − 𝑇2 𝑇3 ) 𝜂𝑡 = 1 − 𝑇4 𝑇3 (1 − 𝑟𝑝 1−𝑘 𝑘 ) (1 − 𝑟𝑝 1−𝑘 𝑘 ) 𝜂𝑡 = 1 − 𝑇4 𝑇3 = 1 − 𝑟𝑝 1−𝑘 𝑘 Il rendimento termico di un ciclo ideale di Bryton-Joule è quindi equivalente a quello di un ciclo di Carnot tra le temperature 𝑇1 e 𝑇2; esso dipende solo (per un determinato fluido motore ideale) dal valore del rapporto di pressione 𝑟𝑝 elaborato dal compressore crescendo con questo, e non (direttamente) dai valori di temperatura minima 𝑇1 e massima 𝑇3 del ciclo. Peraltro, fissati i valori delle temperature minima e massima di ciclo 𝑇1 e 𝑇3, resta condizionato il valore massimo del rapporto di pressione (𝑟𝑝)𝑚𝑎𝑥 che è possibile ipotizzare per un ciclo di Brayton-Joule così vincolato. Nicola Genuin, mat. N° 186691 42 D18 Scambio termico tramite superficie cilindrica Descrivere il processo di trasmissione del calore attraverso una superficie cilindrica soggetta, sul lato esterno, ad uno scambio convettivo con il fluido circostante. A partire dalle relazioni che descrivono il fenomeno, ricavare l’espressione del raggio critico di isolamento. Si considera un cilindro cavo in un materiale limitato da una superficie interna di raggio 𝑟1 e da una superficie esterna di raggio 𝑟2, sulle quali siano imposte rispettivamente le temperature 𝑇1 e 𝑇2. Si considera lo strato infinitamente esteso nella direzione dell’asse del cilindro e non vi sia in esso generazione di calore. È opportuno scrivere l’equazione della conduzione, equazione differenziale anche detta equazione del calore: 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 − 𝜌𝑐 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 0 dove 𝜌 è la densità e 𝑐 il calore specifico. È altresì conveniente riscrivere l’equazione in coordinate cilindriche, considerando unitario il prodotto 𝜌𝑐 = 1, ottenendo: 𝜕2𝑇 𝜕𝑟2 − 1 𝑟 𝜕𝑇 𝜕𝑟 = 0 Integrando si ottiene: 𝑇(𝑟) = 𝑐1 ln 𝑟 + 𝑐2 Si impongono dunque due condizioni al contorno per ottenere le espressioni per le costanti additive incognite 𝑐1 e 𝑐2; la prima stabilisce che in corrispondenza della superficie interna, di raggio 𝑟1, la temperatura sia 𝑇1 come imposto nelle ipotesi iniziali, mentre la seconda, allo stesso modo, impone 𝑇2 per la superficie esterna: 𝑇(𝑟1) = 𝑇1 = 𝑐1 ln 𝑟1 + 𝑐2 𝑇(𝑟2) = 𝑇2 = 𝑐1 ln 𝑟2 + 𝑐2 Dalla prima si può ricavare 𝑐2, da sostituire nella seconda: 𝑐2 = 𝑇1 − 𝑐1 ln 𝑟1 𝑇2 = 𝑐1 ln 𝑟2 + 𝑇1 − 𝑐1 ln 𝑟1 Dalla seconda si può così ottenere 𝑐1, da sostituire nella prima: 𝑐2 = 𝑇1 − 𝑇2 − 𝑇1 ln ( 𝑟2 𝑟1 ) ln 𝑟1 𝑐1 = 𝑇2 − 𝑇1 ln ( 𝑟2 𝑟1 ) Sostituendo le espressioni delle costanti nella formula iniziale si ottiene: 𝑇(𝑟) = 𝑇2 − 𝑇1 ln ( 𝑟2 𝑟1 ) ln 𝑟 + 𝑇1 − 𝑇2 − 𝑇1 ln ( 𝑟2 𝑟1 ) ln 𝑟1 e raccogliendo 𝑐1: Nicola Genuin, mat. N° 186691 45 D19 Scambio termico tramite superficie piana, con generazione Illustrare il processo di trasmissione del calore in una lastra piana con generazione interna di calore e, a partire dall’equazione differenziale che descriver la trasmissione del calore, ricavare una soluzione per il calcolo dell’andamento della temperatura all’interno del dominio. Estendere inoltre il risultato al caso in cui sia nota, anziché la temperatura superficiale, la temperatura del fluido indisturbato che lambisce la lastra. Si considera uno strato piano limitato, in un opportuno sistema di riferimento, tra i piani 𝑥 = −𝑙 ed 𝑥 = +𝑙 e infinitamente esteso nelle altre due direzioni. Su entrambe le facce sia imposta una temperatura 𝑇1 e vi sia all’interno dello strato una generazione di calore 𝐻 per unità di volume e di tempo, indipendente dalla temperatura. L’andamento della temperatura all’interno dello strato si ottiene risolvendo l’equazione di Poisson: 𝜆∇2𝑇 − 𝜌𝑐 𝑑𝑇 𝑑𝑡 + 𝐻 = 0 che in questo caso, essendo la temperatura costante nel tempo (ipotesi di stazionarietà), si riduce a: 𝜆 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 + 𝐻 = 0 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 + 𝐻 𝜆 = 0 Integrando due volte si ottiene, in ordine: 𝑑𝑇 𝑑𝑥 = − 𝐻 𝜆 𝑥 + 𝑐1 𝑇(𝑥) = − 𝐻 𝜆 𝑥2 2 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2 Si impongono dunque due condizioni al contorno per ottenere le espressioni per 𝑐1 e 𝑐2; nella fattispecie, in corrispondenza di entrambe le facce della superficie piana, come definito all’inizio, si dovrà avere la temperatura 𝑇1: 𝑇(−𝑙) = 𝑇1 = − 𝐻 𝜆 𝑙2 2 − 𝑐1𝑙 + 𝑐2 𝑇(𝑙) = 𝑇1 = − 𝐻 𝜆 𝑙2 2 − 𝑐1𝑙 + 𝑐2 Si può così, ad esempio, ottenere 𝑐2 dalla prima e sostituirlo nella seconda: 𝑐2 = 𝑇1 + 𝐻 𝜆 𝑙2 2 + 𝑐1𝑙 𝑇1 = − 𝐻 𝜆 𝑙2 2 − 𝑐1𝑙 + 𝑇1 + 𝐻 𝜆 𝑙2 2 + 𝑐1𝑙 e quindi ricavare 𝑐1 dalla seconda e sostituirlo nella prima: Nicola Genuin, mat. N° 186691 46 𝑐2 = 𝑇1 + 𝐻 𝜆 𝑙2 2 𝑐1 = 0 Sostituendo le costanti nell’equazione generale per 𝑇(𝑥) si ottiene: 𝑇(𝑥) = − 𝐻 𝜆 𝑥2 2 + 𝑇1 + 𝐻 𝜆 𝑙2 2 e raccogliendo 𝐻/2𝜆: 𝑻(𝒙) = 𝑯 𝟐𝝀 (𝒍𝟐 − 𝒙𝟐) + 𝑻𝟏 La temperatura all’interno dello strato ha andamento parabolico; il valore massimo si trova nel piano mediano dello strato. Se le condizioni sulle due facce fossero costituite da scambio termico con un fluido a temperatura 𝑇𝑓 e coefficiente di scambio 𝛼, allora si potrebbe scrivere per ciascuna delle due facce un’espressione per il calore scambiato per convezione: 𝑞 = 𝛼𝐴(𝑇1 − 𝑇𝑓) Il calore scambiato per conduzione invece sarebbe, coinvolgendo al derivata di 𝑇(𝑥): 𝑞 = −𝜆𝐴 𝑑𝑇 𝑑𝑥 𝑞 = −𝜆𝐴 𝑑 ( 𝐻 2𝜆 𝑙2) 𝑑𝑥 𝑞 = −𝜆𝐴 𝐻 2𝜆 (−2𝑙) 𝑞 = 𝐴𝐻𝑙 Eguagliando l’espressione del calore per conduzione con quello per convezione (dovendosi stabilire una condizione di equilibrio fra i due fenomeni di scambio), si ottiene un’espressione di 𝑇1 in funzione di 𝑇𝑓: 𝛼𝐴(𝑇1 − 𝑇𝑓) = 𝐴𝐻𝑙 𝛼𝑇1 − 𝛼𝑇𝑓 = 𝐻𝑙 𝛼𝑇1 = 𝐻𝑙 + 𝛼𝑇𝑓 𝑇1 = 𝐻𝑙 𝛼 + 𝑇𝑓 Sostituendo nell’espressione trovata in funzione della temperatura superficiale di ottiene: 𝑻(𝒙) = 𝑯 𝟐𝝀 (𝒍𝟐 − 𝒙𝟐) + 𝑯𝒍 𝜶 + 𝑻𝒇 Nicola Genuin, mat. N° 186691 47 D20 Scambio termico tramite barra cilindrica, con generazione Illustrare il processo di trasmissione del calore in una barra cilindrica con generazione interna di calore e, a partire dall’equazione differenziale che descrive la trasmissione del calore, ricavare una soluzione per il calcolo dell’andamento della temperatura all’interno del dominio. Estendere inoltre il risultato al caso in cui sia nota, anziché la temperatura superficiale, la temperatura del fluido indisturbato che lambisce la barra. Si consideri una barra cilindrica di raggio 𝑟1 di lunghezza infinita. Sulla superficie è imposta una temperatura 𝑇1 e all’interno è presenta una generazione di calore 𝐻. L’andamento della temperatura all’interno dello strato si ottiene integrando l’equazione della trasmissione del calore: 𝜆∇2𝑇 + 𝜌𝑐 𝑑𝑇 𝑑𝑡 + 𝐻 = 0 scritta in coordinate cilindriche e considerando 𝜌𝑐 = 1: 𝜆∇2𝑇 + 𝑑𝑇 𝑑𝑟 + 𝐻 = 0 𝜕2𝑇 𝜕𝑟2 + 1 𝑟 𝑑𝑇 𝑑𝑟 + 𝐻 𝜆 = 0 1 𝑟 𝑑 𝑑𝑟 (𝑟 𝑑𝑇 𝑑𝑟 ) + 𝐻 𝜆 = 0 𝑑 𝑑𝑟 (𝑟 𝑑𝑇 𝑑𝑟 ) = − 𝐻 𝜆 𝑟 𝑟 𝑑𝑇 𝑑𝑟 = − 𝐻 𝜆 𝑟2 2 + 𝑐1 𝑇(𝑟) = − 𝐻 𝜆 𝑟2 4 + 𝑐1 ln 𝑟 + 𝑐2 Il valore della costante 𝑐1 si può ricavare tenendo conto che la potenza termica generata nel cilindro è uguale al flusso attraverso la superficie laterale: 𝑞𝑔𝑒𝑛 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 𝐻𝑣 = −𝜆𝐴 𝑑𝑇 𝑑𝑟 𝐻𝜋𝑟2𝑙 = −𝜆2𝜋𝑟𝑙 𝑑𝑇 𝑑𝑟 𝑑𝑇 𝑑𝑟 = − 𝐻𝑟 2𝜆 che sostituito nella relazione evidenziata in azzurro restituisce: 𝑟 (− 𝐻𝑟 2𝜆 ) = − 𝐻 𝜆 𝑟2 2 + 𝑐1 𝑐1 = 0 Per determinare 𝑐2 si pone, per l’equazione per 𝑇(𝑟), 𝑇 = 𝑇1 e 𝑟 = 𝑟1: 𝑇(𝑟1) = 𝑇1 = − 𝐻 𝜆 𝑟1 2 4 + 𝑐2 Nicola Genuin, mat. N° 186691 50 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 − 𝑚2𝜃 = 0 La soluzione generale dell’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti è: 𝜃(𝑥) = 𝐶1𝑒 −𝑚𝑥 + 𝐶2𝑒 𝑚𝑥 e si impongono le condizioni al contorno necessarie per risolverla: 1. La temperatura all’inizio dell’aletta è la temperatura costante 𝑻𝟎: 𝑇(0) = 𝑇0 𝜃(0) = 𝑇0 − 𝑇𝑓 𝜃(0) = 𝐶1 + 𝐶2 = 𝜃0 𝐶2 = 𝜃0 − 𝐶1 2. Il flusso termico è trascurabile all’estremità dell’aletta: ( 𝑑𝜃 𝑑𝑥 ) 𝐿 = 0 𝑑 𝑑𝑥 (𝐶1𝑒 −𝑚𝐿 + 𝐶2𝑒 𝑚𝐿) = 0 −𝑚𝐶1𝑒 −𝑚𝐿 + 𝑚𝐶2𝑒 𝑚𝐿 = 0 −𝐶1𝑒 −𝑚𝐿 + 𝐶2𝑒 𝑚𝐿 = 0 −𝐶1𝑒 −𝑚𝐿 + 𝜃0𝑒 𝑚𝐿 − 𝐶1𝑒 𝑚𝐿 = 0 −𝐶1(𝑒 −𝑚𝐿 + 𝑒𝑚𝐿) = −𝜃0𝑒 𝑚𝐿 𝐶1 = 𝜃0 ( 𝑒𝑚𝐿 𝑒−𝑚𝐿 + 𝑒𝑚𝐿 ) Si ottengono così i valori delle costanti incognite: 𝐶1 = θ0 ( 𝑒𝑚𝐿 e−mL + 𝑒𝑚𝐿 ) 𝐶2 = θ0 − θ0 ( 𝑒𝑚𝐿 e−mL + 𝑒𝑚𝐿 ) = θ0 (1 − 𝑒𝑚𝐿 e−mL + 𝑒𝑚𝐿 ) = θ0 ( e−mL + 𝑒𝑚𝐿 − 𝑒𝑚𝐿 e−mL + 𝑒𝑚𝐿 ) 𝐶2 = θ0 ( 𝑒−𝑚𝐿 e−mL + 𝑒𝑚𝐿 ) Sostituendo le condizioni al contorno nella soluzione generale di ottiene: 𝜃(𝑥) = θ0 ( 𝑒𝑚𝐿 e−mL + 𝑒𝑚𝐿 )𝑒−𝑚𝑥 + θ0 ( 𝑒−𝑚𝐿 e−mL + 𝑒𝑚𝐿 )𝑒𝑚𝑥 𝜃(𝑥) = θ0 e−mL + 𝑒𝑚𝐿 (𝑒𝑚𝐿𝑒−𝑚𝑥 + 𝑒−𝑚𝐿𝑒𝑚𝑥) 𝜃(𝑥) = θ0 e−mL + 𝑒𝑚𝐿 (𝑒𝑚(𝐿−𝑥) + 𝑒−𝑚(𝐿−𝑥)) 𝜽(𝒙) = 𝛉𝟎 𝐜𝐨𝐬𝐡[𝒎(𝑳 − 𝒙)] 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝒎𝑳) EFFICACIA ED EFFICIENZA L’efficacia dell’aletta è il rapporto tra la potenza scambiata per conduzione alla base dell’aletta (𝑥 = 0) 𝑞0 e la potenza scambiata per convezione se l’aletta fosse assente 𝑞∗. Queste valgono: Nicola Genuin, mat. N° 186691 51 𝑞0 = −𝜆𝐴 ( 𝑑𝜃 𝑑𝑥 ) 𝑥=0 𝑞0 = −𝜆𝐴 [ 𝑑 𝑑𝑥 (θ0 cosh[𝑚(𝐿 − 𝑥)] cosh(𝑚𝐿) )] 𝑥=0 𝑞0 = −𝜆𝐴(θ0 −𝑚sinh[𝑚(𝐿 − 𝑥)] cosh(𝑚𝐿) ) 𝑥=0 𝑞0 = −𝜆𝐴(θ0 −𝑚sinh[𝑚𝐿] cosh(𝑚𝐿) ) 𝑥=0 𝑞0 = 𝜆𝐴θ0𝑚tanh(𝑚𝐿) 𝑞∗ = 𝛼𝐴(𝑇0 − 𝑇𝑓) = 𝛼𝐴𝜃0 Si può così calcolare l’efficacia 𝜖 definendo il numero di Biot come il rapporto 𝐵𝑖 = 𝛼𝑠 𝜆 (con 𝑠 = 𝐴/𝐶) e osservando che: 𝜆𝑚 𝛼 = 𝜆 𝛼 √ 𝛼𝐶 𝜆𝐴 = √ 𝜆2 𝛼2 𝛼𝐶 𝜆𝐴 = √ 𝜆 𝛼 𝐶 𝐴 = √ 𝜆 𝛼𝑠 = √ 1 𝐵𝑖 L’efficacia diventa: 𝜖 = 𝑞0 𝑞∗ = 𝜆𝐴θ0𝑚tanh(𝑚𝐿) 𝛼𝐴𝜃0 = 𝜆𝑚 𝛼 tanh(𝑚𝐿) = √ 1 𝐵𝑖 tanh(𝑚𝐿) A questo punto si possono distinguere 2 casi: 1. Se 𝐵𝑖 > 1 la presenza dell’aletta riduce il flusso termico; 2. Se 𝐵𝑖 < 1 la presenza dell’aletta aumenta il flusso termico in misura tanto maggiore quanto più e piccolo il numero di Biot. L’efficienza 𝜂 dell’aletta è il rapporto tra il flusso termico 𝑞𝑟 (equivalente al 𝑞0 appena visto) scambiato realmente dall’aletta ed il flusso termico ideale 𝑞𝑖𝑑 = 𝛼𝐶𝐿𝜃0 che verrebbe scambiato se l’intera aletta avesse temperatura uniforme uguale a quella della sua base 𝑇0: 𝜂 = 𝑞𝑟 𝑞𝑖𝑑 = 𝜆𝐴θ0𝑚 tanh(𝑚𝐿) 𝛼𝐶𝐿𝜃0 = 𝜆𝐴 𝛼𝐶 𝑚 tanh(𝑚𝐿) 𝐿 = 1 𝑚2 𝑚 tanh(𝑚𝐿) 𝐿 = tanh(𝑚𝐿) 𝑚𝐿 = tanh(𝑚𝐿) 𝐿/√𝐵𝑖 Ricordando che per alette sottili vale 𝑚𝐿 = √ 𝛼 𝜆𝛿 𝐿 = 1 √𝐵𝑖 . L’efficienza dell’aletta è maggiore più e piccola la profondità 𝐿 e il coefficiente di convezione 𝛼 e più è grande lo spessore 2𝛿 e la conduttività termica 𝜆 del materiale. Nicola Genuin, mat. N° 186691 52 D22 Conduzione in 2D, reg. stazionario, sep. variabili Illustrare il processo di trasmissione del calore per conduzione in sistemi a due dimensioni e, a partire dall’equazione differenziale che descrive la trasmissione del calore, ricavare, utilizzando il metodo della separazione delle variabili, una soluzione per il calcolo dell’andamento della temperatura in un dominio rettangolare. Si consideri una situazione di campi termici definiti da due variabili spaziali, in regime stazionario. Sia dato uno strato definito del piano 𝑥 − 𝑦 dai valori di coordinate 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙 e 𝑦 ≥ 0, identificabile come sezione di un solido per il quale lungo la direzione 𝑧 non vi siano variazioni di sezione e temperatura. Lungo i bordi verticali, di coordinate (0, 𝑦) e (𝑙, 𝑦) del dominio si imponga per comodità la temperatura 𝑇0 = 0, così come in un punto qualsiasi (𝑥,∞). Il campo di temperatura nello strato è definito dall’equazione di Laplace: ∇2𝑇 = 0 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑦2 = 0 La distribuzione di temperatura sarà definita dalla soluzione dell’equazione di Laplace in una forma del tipo: 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦) Applicando la separazione delle variabili si ottiene: 𝜕2𝑇(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑇(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦2 = 0 𝜕2[𝑓(𝑥)𝑔(𝑦)] 𝜕𝑥2 + 𝜕2[𝑓(𝑥)𝑔(𝑦)] 𝜕𝑦2 = 0 𝑔(𝑦) 𝜕2𝑓(𝑥) 𝜕𝑥2 = −𝑓(𝑥) 𝜕2𝑔(𝑦) 𝜕𝑦2 1 𝑓(𝑥) 𝜕2𝑓(𝑥) 𝜕𝑥2 = − 1 𝑔(𝑦) 𝜕2𝑔(𝑦) 𝜕𝑦2 In questo modo le variabili risultano separate, con il risultato che ambo i membri devono essere uguali ad un’unica costante 𝜇2. Si hanno pertanto due equazioni differenziali a derivate totali: 𝜕2𝑓(𝑥) 𝜕𝑥2 + 𝜇2𝑥 = 0 𝜕2𝑔(𝑦) 𝜕𝑦2 − 𝜇2𝑦 = 0 Le soluzioni generali saranno: 𝑓(𝑥) = 𝐶1 cos(𝜇𝑥) + 𝐶2 sin(𝜇𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐶3𝑒 𝜇𝑦 + 𝐶4𝑒 −𝜇𝑦 Sostituendole nella relazione per 𝑇(𝑥, 𝑦) si ottiene: 𝑻(𝒙, 𝒚) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦) = [𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝝁𝒙) + 𝑪𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝝁𝒙)][𝑪𝟑𝒆 𝝁𝒚 + 𝑪𝟒𝒆 −𝝁𝒚] Nicola Genuin, mat. N° 186691 55 D23 Conduzione in 2D, reg. stazionario, diff. finite Illustrare il processo di trasmissione del calore per conduzione in sistemi a due dimensioni e, a partire dall’equazione differenziale che descrive la trasmissione del calore, ricavare, utilizzando il metodo delle differenze finite, la procedura per il calcolo dell’andamento della temperatura in un dominio generico. Si faccia riferimento ad un campo termico bidimensionale limitato da un certo contorno con prefissate condizioni costanti nel tempo. Si stabilisca nel campo un reticolo a maglie rettangolari di lati ∆𝑥 e ∆𝑦 paralleli agli assi cartesiani di riferimento. Le maglie determinano un numero finito di nodi, ognuno dei quali viene definito da due indici, il primo riferito alla riga, e il secondo riferito alla colonna. Ogni nodo è rappresentativo di tutto il rettangolo di lati ∆𝑥 e ∆𝑦, di cui esso è il centro. Per il nodo generico, interno al campo, di indici 𝑖 e 𝑗, si può scrivere il bilancio termico, esprimendo che, in regime stazionario, la somma dei flussi termici che interessano il nodo stesso è nulla. Partendo dall’equazione generale della conduzione si ha: 𝜌𝑐 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝜆∇2𝑇 + 𝐻 che in questo caso, essendo la temperatura costante nel tempo (ipotesi di stazionarietà), si riduce a: 𝜆∇2𝑇 + 𝐻 = 0 ∇2𝑇 + 𝐻 𝜆 = 0 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑦2 + 𝐻 𝜆 = 0 Questa è l’equazione di Poisson da risolvere. Assumendo che all’interno del rettangolo la funzione dell’andamento di temperatura si possa considerare lineare, si possono calcolare le derivate parziali utilizzando le differenze finite. L’aggiunta di ±1/2 negli indici trova giustificazione osservando l’immagine sopra proposta; infatti così facendo si considera (in modo semplificativo) che la temperatura, nella porzione di spazio equivalente ad una maglia con centro nel nodo considerato, vari linearmente nelle direzioni dei nodi immediatamente adiacenti, assumendo il valore medio fra le temperature dei due nodi considerati in corrispondenza dell’intersezione fra il lato della maglia fra essi interposto e la loro congiungente. La prima equazione, ad esempio, può essere descritta dicendo che, considerato un nodo generico, la variazione lineare della temperatura 𝑇 lungo la coordinata 𝑥 è tale che nel punto a metà della congiungente fra il nodo generico e quello a lui più prossimo in direzione verticale (verso l’alto) la temperatura sia pari alla media aritmetica fra la temperatura dei due nodi. Si tratta a tutti gli effetti di un’equazione per il gradiente di temperatura nelle varie direzioni: ( 𝜕𝑇 𝜕𝑥 ) 𝑖+ 1 2 ,𝑗 = 𝑇𝑖+1,𝑗 − 𝑇𝑖,𝑗 ∆𝑥 ( 𝜕𝑇 𝜕𝑥 ) 𝑖− 1 2 ,𝑗 = 𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖−1,𝑗 ∆𝑥 ( 𝜕𝑇 𝜕𝑦 ) 𝑖,𝑗+ 1 2 = 𝑇𝑖,𝑗+1 − 𝑇𝑖,𝑗 ∆𝑦 Nicola Genuin, mat. N° 186691 56 ( 𝜕𝑇 𝜕𝑦 ) 𝑖,𝑗− 1 2 = 𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖,𝑗−1 ∆𝑦 Si ottiene così: ( 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 ) 𝑖,𝑗 = ( 𝜕𝑇 𝜕𝑥 ) 𝑖+ 1 2 ,𝑗 − ( 𝜕𝑇 𝜕𝑥 ) 𝑖− 1 2 ,𝑗 ∆𝑥 = 𝑇𝑖+1,𝑗 − 𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖,𝑗 + 𝑇𝑖−1,𝑗 ∆𝑥 ∆𝑥 = 𝑇𝑖+1,𝑗 + 𝑇𝑖−1,𝑗 − 2𝑇𝑖,𝑗 ∆𝑥2 ( 𝜕2𝑇 𝜕𝑦2 ) 𝑖,𝑗 = ( 𝜕𝑇 𝜕𝑦 ) 𝑖,𝑗+ 1 2 − ( 𝜕𝑇 𝜕𝑦 ) 𝑖,𝑗− 1 2 ∆𝑦 = 𝑇𝑖,𝑗+1 − 𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖,𝑗 + 𝑇𝑖,𝑗−1 ∆𝑦 ∆𝑦 = 𝑇𝑖,𝑗+1 + 𝑇𝑖,𝑗−1 − 2𝑇𝑖,𝑗 ∆𝑦2 Si sostituiscono i valori delle derivate seconde nell’equazione di Poisson per ottenere un’equazione applicabile a ciascun nodo del dominio da analizzare: 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑦2 = − 𝐻 𝜆 𝑻𝒊+𝟏,𝒋 + 𝑻𝒊−𝟏,𝒋 − 𝟐𝑻𝒊,𝒋 ∆𝒙𝟐 + 𝑻𝒊,𝒋+𝟏 + 𝑻𝒊,𝒋−𝟏 − 𝟐𝑻𝒊,𝒋 ∆𝒚𝟐 = − 𝑯 𝝀 L’errore di approssimazione che si commette è proporzionale al quadrato del passo del reticolo: più sono piccole le maglie e maggiore sarà l’accuratezza dei risultati. Sul contorno del dominio bisogna tenere conto del calore assorbito e ceduto. Si impone così un bilancio di potenza termica: 𝜙𝐴 + 𝜙𝐵 + 𝜙𝐶 = 𝜙 e si possono ottenere tre relazioni, da utilizzare in base ai casi: 1. Per convezione: −𝜆 𝛥𝑥 2 𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖,𝑗+1 ∆𝑦 − 𝜆 𝛥𝑥 2 𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖,𝑗−1 ∆𝑦 + −𝜆 𝛥𝑦 2 𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖−1,𝑗 ∆𝑥 = 𝛼𝛥𝑦(𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑓) 2. Per conduzione: −𝜆 𝛥𝑥 2 𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖,𝑗+1 ∆𝑦 − 𝜆 𝛥𝑥 2 𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖,𝑗−1 ∆𝑦 + −𝜆 𝛥𝑦 2 𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖−1,𝑗 ∆𝑥 = 𝜙 3. Senza flussi termici: −𝜆 𝛥𝑥 2 𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖,𝑗+1 ∆𝑦 − 𝜆 𝛥𝑥 2 𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖,𝑗−1 ∆𝑦 + −𝜆 𝛥𝑦 2 𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖−1,𝑗 ∆𝑥 = 0 Nicola Genuin, mat. N° 186691 57 D24 Conduzione in 2D, reg. variabile, sep. variabili Illustrare il processo di trasmissione del calore per conduzione in regime variabile e, a partire dall’equazione differenziale che descrive la trasmissione del calore, ricavare, utilizzando il metodo della separazione delle variabili, una soluzione per il calcolo dell’andamento della temperatura in una lastra piana soggetta ad una variazione a gradino della temperatura sul contorno. Si considera una lastra piana a facce parallele di spessore 2𝑙 limitata dai due piani 𝑥 = −𝑙 e 𝑥 = +𝑙 e infinitamente estesa nelle direzioni 𝑦 e 𝑧. La distribuzione iniziale di temperatura sia solo funzione di 𝑥, all’istante iniziale sulle due facce sia imposta una temperatura 𝑇1 costante. Non vi sia generazione interna di calore. Allora si può scrivere l’equazione generale della conduzione: 𝜌𝑐 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝜆∇2𝑇 + 𝐻 𝜌𝑐 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝜆 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝜆 𝜌𝑐 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 = 𝛼 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 dove 𝛼 = 𝜆/𝜌𝑐 rappresenta la diffusività termica del materiale. L’equazione di può risolvere con il metodo della separazione delle variabili e la soluzione è nella forma: 𝑇(𝑡, 𝑥) = 𝑓(𝑡)𝑔(𝑥) + 𝐾 Sostituendo nella prima formula ricavata si ottiene, per la separazione delle variabili: 𝑑𝑇(𝑡, 𝑥) 𝑑𝑡 = 𝛼 𝜕2𝑇(𝑡, 𝑥) 𝜕𝑥2 𝑑[𝑓(𝑡)𝑔(𝑥)] 𝑑𝑡 = 𝛼 𝜕2[𝑓(𝑡)𝑔(𝑥)] 𝜕𝑥2 𝑑𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 𝑔(𝑥) = 𝛼 𝜕2𝑔(𝑥) 𝜕𝑥2 𝑓(𝑡) 1 𝛼 1 𝑓(𝑡) 𝑑𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 1 𝑔(𝑥) 𝜕2𝑔(𝑥) 𝜕𝑥2 Essendo il primo membro solo dipendente da 𝑡 e il secondo solo da 𝑥, ambedue devono essere uguali ad un’unica costante che sarà indicata come 𝜇2. Si ottengono due equazioni differenziali: 𝑑𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 − 𝛼𝑓(𝑡)𝜇2 = 0 𝜕2𝑔(𝑥) 𝜕𝑥2 − 𝑔(𝑥)𝜇2 = 0 che hanno soluzione: 𝑓(𝑡) = 𝐶1𝑒 −𝜇2𝛼𝑡 𝑔(𝑡) = 𝐶2 cos(𝜇𝑥) + 𝐶3 sin(𝜇𝑥) Nicola Genuin, mat. N° 186691 60 ( 𝜕𝑇 𝜕𝑦 ) 𝑖,𝑗− 1 2 = 𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖,𝑗−1 ∆𝑦 Si ottiene così: ( 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 ) 𝑖,𝑗 = ( 𝜕𝑇 𝜕𝑥 ) 𝑖+ 1 2 ,𝑗 − ( 𝜕𝑇 𝜕𝑥 ) 𝑖− 1 2 ,𝑗 ∆𝑥 = 𝑇𝑖+1,𝑗 − 𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖,𝑗 + 𝑇𝑖−1,𝑗 ∆𝑥 ∆𝑥 = 𝑇𝑖+1,𝑗 + 𝑇𝑖−1,𝑗 − 2𝑇𝑖,𝑗 ∆𝑥2 ( 𝜕2𝑇 𝜕𝑦2 ) 𝑖,𝑗 = ( 𝜕𝑇 𝜕𝑦 ) 𝑖,𝑗+ 1 2 − ( 𝜕𝑇 𝜕𝑦 ) 𝑖,𝑗− 1 2 ∆𝑦 = 𝑇𝑖,𝑗+1 − 𝑇𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖,𝑗 + 𝑇𝑖,𝑗−1 ∆𝑦 ∆𝑦 = 𝑇𝑖,𝑗+1 + 𝑇𝑖,𝑗−1 − 2𝑇𝑖,𝑗 ∆𝑦2 Per quanto riguarda la variazione della temperatura nel tempo si ha: ( 𝜕𝑇 𝜕𝑡 ) 𝑖,𝑗 = 𝑇𝑖,𝑗 𝑝+1 − 𝑇𝑖,𝑗 𝑝 ∆𝑡 Per semplificare i calcoli si impone ∆𝒙 = ∆𝒚 (maglie quadrate) e si sostituiscono le espressioni delle derivate nell’equazione di Poisson: 𝜌𝑐 𝜆 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑦2 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝜆 𝜌𝑐 ( 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑦2 ) 𝑇𝑖,𝑗 𝑝+1 − 𝑇𝑖,𝑗 𝑝 ∆𝑡 = 𝜆 𝜌𝑐 ( 𝑇𝑖+1,𝑗 𝑝 + 𝑇𝑖−1,𝑗 𝑝 − 2𝑇𝑖,𝑗 𝑝 ∆𝑥2 + 𝑇𝑖,𝑗+1 𝑝 + 𝑇𝑖,𝑗−1 𝑝 − 2𝑇𝑖,𝑗 𝑝 ∆𝑦2 ) Si isola dunque il termine 𝑇𝑖,𝑗 𝑝+1 : 𝑇𝑖,𝑗 𝑝+1 = 𝛼Δ𝑡 ( 𝑇𝑖+1,𝑗 𝑝 + 𝑇𝑖−1,𝑗 𝑝 − 2𝑇𝑖,𝑗 𝑝 ∆𝑥2 + 𝑇𝑖,𝑗+1 𝑝 + 𝑇𝑖,𝑗−1 𝑝 − 2𝑇𝑖,𝑗 𝑝 ∆𝑥2 ) + 𝑇𝑖,𝑗 𝑝 Tale relazione applicata ad ogni nodo permette di calcolare la temperatura ad un istante 𝑡 + Δ𝑡 conoscendo la temperatura dei nodi adiacenti al tempo 𝑡. Il metodo esplicito però soffre di una limitazione dovuta all’errore insito nel procedimento stesso di valutare lo scambio termico in base alle differenze di temperatura all’inizio dell’intervallo di tempo Δ𝑡, il quale non può essere troppo lungo, altrimenti il valore di 𝑇𝑖,𝑗 𝑝+1 risulterà troppo basso o troppo elevato rispetto a 𝑇𝑖−1,𝑗 𝑝+1 e 𝑇𝑖+1,𝑗 𝑝+1 , e la soluzione risulterà instabile. È possibile effettuare i calcoli con il metodo implicito: questo richiede il calcolo di ( 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑦2 ) 𝑖,𝑦 all’istante 𝑡 + ∆𝑡 invece che solamente a 𝑡. Il vantaggio di questo metodo è che la soluzione è incondizionatamente stabile. Nicola Genuin, mat. N° 186691 61 D26 Convezione Illustrare il processo di trasmissione del calore per convezione termica e ricavare, a partire dalle equazioni che esprimono i principi di conservazione della massa, dell’energia e della quantità di moto, la struttura delle relazioni utilizzate per valutare il coefficiente di scambio superficiale convettivo. La convezione termica è una modalità di trasmissione del calore tra due diversi sistemi a temperature diverse e in contatto tra loro. Essa presuppone che almeno uno dei sistemi sia fluido. È localizzata all’interfaccia di separazione tra le fasi e nelle immediate vicinanze. Condizione indispensabile è che il fluido sia in moto relativo rispetto alla superficie del corpo solido (altrimenti si tratterebbe di conduzione). La convezione termica si manifesta quindi per effetto combinato di trasporto di materia ed energia. Tale modalità di trasmissione del calore è di tipo molecolare. La legge che governa il flusso termico scambiato per convezione termica è: 𝜙 = 𝛼𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇𝑓) La convezione può essere forzata, quanto il moto è prodotto dall’azione di dispositivi meccanici, oppure naturale, quando il moto è dovuto ai gradienti di densità indotti dalla differenza tra le temperature del fluido e della superficie, rispettivamente 𝑇𝑓 e 𝑇𝑠. Le equazioni che permettono di valutare il coefficiente di scambio superficiale convettivo 𝛼 sono: 1. Conservazione della massa: 𝑑𝜌 𝑑𝑡 = −𝛻(𝜌?⃗? ) 2. Conservazione dell’energia: 𝜌𝑐 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝜆𝛻2(𝑇) + 𝐻 3. Conservazione della quantità di moto: 𝜌 𝑑?⃗? 𝑑𝑡 = −𝛻(𝑝) − 𝛻(𝜏) + 𝜌𝑔 Nel caso in cui il fluido sia newtoniano e incomprimibile, si può applicare il teorema di Reynolds (o del trasporto) alla conservazione delle quantità di moto per ottenere le equazioni di Navier-Stokes. Nella convezione termica naturale la densità varia al variare della temperatura. Il termine ρg⃗ con l’approssimazione di Bousinnesq si può riesprimere attraverso un coefficiente di dilatazione cubica. Le tre equazioni di conservazione diventano: 1. 𝛻(?⃗? ) = 0 2. 𝜌𝑐 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝜆𝛻2(𝑇) + 𝐻 3. 𝜌 𝑑?⃗? 𝑑𝑡 = −𝛻(𝑝) − 𝜇𝛻2(?⃗? ) + 𝜌0𝑔 (1 − 𝛽(𝑇 − 𝑇0)) Si possono rendere le equazioni adimensionali, introducendo dei gruppi adimensionali: Numero di Reyolds: 𝑅𝑒 = 𝜌0𝑈𝐷 𝜇 Numero di Prandtl: 𝑃𝑟 = 𝜐 𝛼 = 𝜇𝑐 𝜆 Numero di Grashof: 𝐺𝑟 = 𝜌0𝑔𝛽(𝑇1−𝑇0)𝐷 3 𝜇2 Dalle relazioni per il numero di Reynolds e di Prandtl si può ricavare: 𝜇 = 𝑃𝑟𝜆 𝑐 = 𝜌0𝑈𝐷 𝑅𝑒 𝜆 𝑐𝜌0 = 𝑈𝐷 𝑅𝑒𝑃𝑟 Nicola Genuin, mat. N° 186691 62 utilizzabile per la seconda delle equazioni di conservazione; Si ottenengono così le equazioni adimensionali: 1. 𝛻(?⃗? ∗) = 0 2. 𝑑𝑇∗ 𝑑𝑡∗ = 1 𝑅𝑒𝑃𝑟 𝛻2(𝑇∗) 3. 𝑑?⃗? 𝑑𝑡 = 1 𝑅𝑒 𝛻2(?⃗? ) − 𝛻(𝑝∗) − 𝐺𝑟𝑇∗ 𝑅𝑒2 Ora si può dire che esiste un’espressione per ricavare 𝛼 = 𝑓(𝑃𝑟, 𝑅𝑒, 𝐺𝑟, 𝐿/𝐷). Nicola Genuin, mat. N° 186691 65 𝑑(𝑇𝑐 − 𝑇𝑓) = −𝑑𝜙 ( 1 𝑐𝑐?̇?𝑐 ∓ 1 𝑐𝑓?̇?𝑓 ) e considerando Δ = 𝑑𝑇 = 𝑇𝑐 − 𝑇𝑓, nonché 𝑀 = 1 𝑐𝑐?̇?𝑐 ∓ 1 𝑐𝑓?̇?𝑓 , si ottiene: 𝑑Δ = −𝑀𝑑𝜙 Si integri ora questa espressione lungo tutto lo scambiatore, nel percorso dall’ingresso 1 all’uscita 2 dei fluidi: ∫𝑑Δ 1 1 = −∫𝑀𝑑𝜙 2 1 Δ2 − Δ1 = −𝑀𝜙 −𝑀 = Δ2 − Δ1 𝜙 Oltre a questa espressione si può ottenere anche l’inversa: − 𝑑Δ 𝑀 = 𝑑𝜙 dove 𝑑𝜙 è già stato ricavato all’inizio: − 𝑑Δ 𝑀 = 𝑐?̇?𝑑𝑇 = ℎ∆𝑑𝐴 Integrando: −∫ 𝑑Δ 𝑀 2 1 = ∫ℎ∆𝑑𝐴 2 1 − 1 𝑀 ∫𝑑Δ 2 1 = ℎ∆∫𝑑𝐴 2 1 − 1 𝑀 (ln Δ2 − lnΔ1) = ℎ𝐴 −𝑀 = 1 ℎ𝐴 ln ( Δ2 Δ1 ) Ora si possono uguagliare le due espressioni per −𝑀, ottenendo un’espressione per il flusso 𝜙: Δ2 − Δ1 𝜙 = 1 ℎ𝐴 ln ( Δ2 Δ1 ) 𝜙 = Δ2 − Δ1 ln ( Δ2 Δ1 ) ℎ𝐴 𝝓 = 𝚫𝑻𝒎𝒍𝒉𝑨 dove: Nicola Genuin, mat. N° 186691 66 Δ𝑇𝑚𝑙 = Δ2 − Δ1 ln ( Δ2 Δ1 ) viene differenza media logaritmica delle temperature. Prefissate le temperature in ingresso e in uscita dei fluidi nello scambiatore, il valore di Δ𝑇𝑚𝑙 risulta diverso tra disposizione equi-corrente (𝑒𝑞) e contro-corrente (𝑐𝑐), e si ha solitamente: (Δ𝑇𝑚𝑙)𝑐𝑐 ≥ (Δ𝑇𝑚𝑙)𝑒𝑞 L’efficienza di uno scambiatore si calcola sapendo che 𝜙𝑒𝑓𝑓 è il flusso termico effettivamente scambiato e 𝜙𝑚𝑎𝑥 è il flusso termico che potrebbe essere trasferito per sola operazione di scambio termico tra i due fluidi: 𝜂 = 𝜙𝑒𝑓𝑓 𝜙𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝑐(𝑇𝑖𝑐 − 𝑇𝑢𝑐) 𝑐𝑚𝑖𝑛(𝑇𝑖𝑐 − 𝑇𝑖𝑓) = 𝑐𝑓 (𝑇𝑖𝑓 − 𝑇𝑢𝑓) 𝑐𝑚𝑖𝑛(𝑇𝑖𝑐 − 𝑇𝑖𝑓) dove per le temperature il primo pedice indica la sezione di ingresso (𝑖) o di uscita (𝑢), mentre il secondo indica il fluido caldo (𝑐) o freddo (𝑓). Si noti che per il flusso termico massimo il calcolo viene eseguito sulle temperature estreme, ovvero le temperature di ingresso dei due fluidi 𝑇𝑖𝑐 e 𝑇𝑖𝑓, mentre per il flusso termico effettivo il calcolo di svolge su un divario di temperatura minore, ovvero fra le temperature di ingresso e uscita del fluido considerato. Si ha quindi 𝜙𝑒𝑓𝑓 < 𝜙𝑚𝑎𝑥 e, ovviamente, 𝜂 < 1. Nicola Genuin, mat. N° 186691 67 D28 Coefficienti di scambio termico Ricavare la relazione tra il coefficiente superficiale di scambio di massa ℎ𝑚 e quello di scambio termico convettivo ℎ. Da questa ottenere la relazione per il calcolo della temperatura di equilibrio a cui tende a portarsi il liquido durante un processo di raffreddamento evaporativo. Si considera un processo di diffusione caratterizzato dallo scambio di vapore tra acqua e atmosfera; l’obiettivo è ricavare un coefficiente superficiale di scambio di massa ℎ𝑚 che regoli il passaggio di tale vapore. Si introduce la legge di Fick che descrive la diffusione da una specie 𝐴 ad una 𝐵, riscritta in termini di massa e di diffusione monodirezionale: ?̇?𝑋 𝐴 = −𝐷𝐴𝐵∇(𝜌𝑋) Se la specie 𝑋 è il vapore si può dire che la portata di massa dipende dal coefficiente ℎ𝑚, dalla superficie 𝐴 e dalla differenza di densità sulla superficie e a distanza infinita: ?̇?𝑣 = ℎ𝑚𝐴(𝜌𝑣𝐴 − 𝜌𝑣∞) Il coefficiente ℎ𝑚 è funzione dei numeri di Reynolds 𝑅𝑒, di Prandtl 𝑃𝑟 e di Schmidt 𝑆𝑐. Ricordando che: 𝑁𝑢 = ℎ𝐿 𝜆 = 𝑓 (𝑅𝑒, 𝐿 𝐷 )𝑃𝑟𝑛 𝑆ℎ = ℎ𝑚𝐿 𝐷𝐴𝐵 = 𝑓 (𝑅𝑒, 𝐿 𝐷 )𝑆𝑐𝑛 Allora il loro rapporto vale: 𝑁𝑢 𝑆ℎ = 𝑓 (𝑅𝑒, 𝐿 𝐷)𝑃𝑟 𝑛 𝑓 (𝑅𝑒, 𝐿 𝐷)𝑆𝑐 𝑛 = ( 𝑃𝑟 𝑆𝑐 ) 𝑛 = ( 1 𝐿𝑒 ) 𝑛 dove 𝐿𝑒 = 𝑆𝑐 𝑃𝑟 = 𝜆 𝜌𝑐𝐷𝐴𝐵 è il numero di Lewis (si ricordi che per l’acqua 𝑐 = 1). Si deve ricavare ora il rapporto ℎ/ℎ𝑚, riscrivendo il rapporto appena visto: 𝑁𝑢 𝑆ℎ = ℎ𝐿 𝜆 𝐷𝐴𝐵 ℎ𝑚𝐿 = ℎ ℎ𝑚 𝐷𝐴𝐵 𝜆 = ( 1 𝐿𝑒 ) 𝑛 ℎ ℎ𝑚 = 𝜆 𝐷𝐴𝐵 ( 1 𝐿𝑒 ) 𝑛 = 𝜌𝑐 𝜌𝑐 𝜆 𝐷𝐴𝐵 𝐿𝑒−𝑛 𝒉 𝒉𝒎 = 𝝆𝒄𝑳𝒆 𝟏−𝒏 Si vuole ora ricavare la relazione della temperatura di equilibrio, condizione in cui valgono le relazioni: 𝑝𝑣𝐴 = 𝑝𝑠𝑎𝑡(𝑇𝐴) 𝜙𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝜙𝑙𝑎𝑡 ovvero la pressione parziale di vapore sulla superficie corrisponde alla pressione di saturazione per la temperatura 𝑇𝐴, e il flusso di scambio termico convettivo bilancia esattamente il flusso termico latente del cambiamento di fase (trattasi infatti di raffreddamento evaporativo). Sviluppando la seconda equazione e sapendo che 𝜌 = 𝑚 𝑣 = 𝑚𝑝 𝑛𝑅𝑇 = 𝑀𝑣 𝑝 𝑅𝑇 si ottiene: Nicola Genuin, mat. N° 186691 70 𝛆𝛌𝛗 = 𝜶𝝀𝝋 Si ottiene così la prima legge di Kirchhoff. Considerando ora un elemento nero di superficie 𝑑𝐴 disposto all’interno di una cavità a superficie isoterma, supponendo la cavità è l’elemento di superficie alla stessa temperatura, deve essere: (𝑑𝜙𝑛)𝑎𝑠𝑠 = 𝜌𝜆𝑑𝐴𝑑𝜆 (𝑑𝜙1)𝑎𝑠𝑠 = 𝛼𝜆(𝜌𝜆)𝑛𝑑𝐴𝑑𝜆 Se, come detto, 𝑇1 = 𝑇𝑛, non avviene scambio di energia: (𝑑𝜙𝑛)𝑎𝑠𝑠 = (𝑑𝜙1)𝑎𝑠𝑠 𝜌𝜆𝑑𝐴𝑑𝜆 = 𝛼𝜆(𝜌𝜆)𝑛𝑑𝐴𝑑𝜆 𝛼𝜆 = 𝜌𝜆 (𝜌𝜆)𝑛 𝜶𝝀 = 𝛆𝝀 Si ottiene così la seconda legge di Kirchhoff. Le due leggi stabiliscono l’uguaglianza tra i valori dei coefficienti monocromatici di assorbimento. Ne risulta che i valori dell’emissività dei corpi materiali sono sempre minori dell’unità. Nessuna superficie può quindi irradiare una potenza maggiore di quella irradiata dalla superficie nera alla stessa temperatura. Nicola Genuin, mat. N° 186691 71 D30 Superfici grigie coassiali Ricavare la relazione che descrive la potenza termica scambiata per radiazione mutua tra superfici grigie coassiali. Estendere il risultato al caso di una superficie di modesta entità contenuta entro un ambiente con superficie molto più estesa (ad esempio un essere umano dentro una stanza). Si considerino due superfici cilindriche coassiali: l’altezza delle superfici cilindriche sia molto grande rispetto allo spessore dell’intercapedine, in ma niera da poter trascurare l’effetto di bordo. Per calcolare il flusso termico scambiato per radiazione mutua tra le due superfici si fa uso della relazione generale per lo scambio termico tra corpi non neri: 𝑞12 = (𝐸1)𝑛 − (𝐸2)𝑛 1 − 𝜀1 𝜀1𝐴1 + 1 𝐴1𝐹1−2 + 1 − 𝜀2 𝜀2𝐴2 Considerando il fattore di forma 𝐹1−2 = 1 e i valori di emissione globale del corpo nero (𝐸1)𝑛 − (𝐸2)𝑛 alle temperature 𝑇1 e 𝑇2, l’espressione diventa: 𝑞12 = 𝜎𝑛(𝑇1 4 − 𝑇2 4) 1 − 𝜀1 𝜀1𝐴1 + 1 𝐴1 + 1 − 𝜀2 𝜀2𝐴2 𝑞12 = 𝜎𝑛(𝑇1 4 − 𝑇2 4) 1 𝐴1 ( 1 − 𝜀1 𝜀1 + 1 + (1 − 𝜀2)𝐴1 𝜀2𝐴2 ) 𝑞12 = 𝜎𝑛(𝑇1 4 − 𝑇2 4)𝐴1 1 𝜀1 − 1 + 1 + (1 − 𝜀2)𝐴1 𝜀2𝐴2 𝑞12 = 𝜎𝑛(𝑇1 4 − 𝑇2 4)𝐴1 1 𝜀1 + 𝐴1 𝐴2 ( 1 − 𝜀2 𝜀2 ) 𝒒𝟏𝟐 = 𝝈𝒏(𝑻𝟏 𝟒 − 𝑻𝟐 𝟒)𝑨𝟏 𝟏 𝜺𝟏 + 𝑨𝟏 𝑨𝟐 ( 𝟏 𝜺𝟐 − 𝟏) Nel caso in cui 𝐴1 ≪ 𝐴2 (superficie di modesta entità contenuta entro un ambiente con superficie molto più estesa) il rapporto 𝐴1/𝐴2 → 0, e la formula diventa: 𝑞12 = 𝜎𝑛(𝑇1 4 − 𝑇2 4)𝐴1 1 𝜀1 𝒒𝟏𝟐 = 𝜺𝟏𝝈𝒏𝑨𝟏(𝑻𝟏 𝟒 − 𝑻𝟐 𝟒) Nicola Genuin, mat. N° 186691 72 D31 Verifica a condensazione interstiziale Descrivere la procedura da seguire per effettuare la verifica dal rischio di condensazione interstiziale su di una parete perimetrale di un edificio, indicando nel dettaglio il metodo seguito per costruire i profili di temperatura e di pressione, ed il bilancio di massa utilizzato per valutare le condizioni igrometriche presenti all’interno di un edificio. Illustrare inoltre le relazioni utilizzate per valutare la diffusione del vapore all’interno di una parete ed il procedimento utilizzato per ricavarle. La maggior parte dei materiali edilizi, essendo porosi, sono soggetti al flusso di vapore dovuto ad una differenza di pressione tra ambiente interno ed esterno alla parete. Se il vapore condensa all’interno della parete, si ha accumulo di acqua, fenomeno che peggiora le proprietà isolanti e può portare al degrado dei materiali. Il metodo per studiare il rischio di condensa interstiziale è il metodo di Glaser, che presuppone le seguenti semplificazioni: 1. Il movimento dell’umidità avviene solo per diffusione, secondo la legge di Fick: 𝑔 = 𝑀𝑣𝐷𝑣𝑎 𝜕𝐶𝑣 𝜕𝑥 ; 2. Materiale non igroscopico, ovvero incapace di assorbire autonomamente l’umidità; 3. Flusso monodirezionale a regime stazionario; 4. Proprietà dei materiali costanti; 5. Parate inizialmente asciutta. Considerando una parete multistrato, è possibile tracciare il profilo di temperatura utilizzando la seguente formula: 𝑞 = (𝑇𝑖 − 𝑇𝑒) 𝑅 dove 𝑇𝑖 è la temperatura dell’ambiente interno, 𝑇𝑒 quella dell’ambiente esterno ed 𝑅 è la resistenza totale della parete. Detto 𝑠𝑖 [𝑚] lo spessore e 𝜆𝑖 [ 𝑊 𝑚𝐾 ] la conducibilità termica dell’i-esimo strato della parete, la resistenza dello stesso vale 𝑅𝑖 = 𝑠𝑖 𝜆𝑖 [ 𝑚2𝐾 𝑊 ]; il suo reciproco è la trasmittanza 𝑈𝑖 = 1 𝑅𝑖 = 𝜆𝑖 𝑠𝑖 [ 𝑊 𝑚2𝐾 ]. Detto ℎ𝑐𝑜𝑛𝑣 [ 𝑊 𝑚2𝐾 ] il coefficiente di scambio termico convettivo tra superficie e aria, si può definire la resistenza superficiale come 𝑅𝑠 = 1 ℎ𝑐𝑜𝑛𝑣 . Si può allora calcolare la resistenza totale (o equivalente) della parete multistrato come: 𝑅 = 𝑅𝑠,𝑖 + ∑𝑅𝑖 𝑛 𝑖=1 + 𝑅𝑠,𝑒 = 1 ℎ𝑐𝑜𝑛𝑣,𝑖 + ∑ 𝑠𝑖 𝜆𝑖 𝑛 𝑖=1 + 1 ℎ𝑐𝑜𝑛𝑣,𝑒 L’andamento della temperatura viene considerato lineare attraverso gli strati della parete, quindi il suo valore all’interfaccia fra due strati diversi (ad esempio fra lo strato j-esimo e il (j+1)-esimo) differirà dalla temperatura dell’ambiente di una frazione della differenza delle temperature fra i due ambienti (interno ed esterno) proporzionale alla resistenza termica della parte di parete fra l’interfaccia e l’ambiente considerato. In termini matematici, si propongono due famiglie di equazioni equivalenti: 𝑇𝑠,𝑒 = 𝑇𝑒 + 𝑅𝑠,𝑒 𝑅 (𝑇𝑖 − 𝑇𝑒) 𝑇𝑠,𝑗 = 𝑇𝑒 + 𝑅𝑠,𝑒 + ∑ 𝑅𝑖 𝑗 𝑖=0 𝑅 (𝑇𝑖 − 𝑇𝑒) 𝑇𝑠,𝑖 = 𝑇𝑒 + 𝑅𝑠,𝑒 + ∑ 𝑅𝑖 𝑛 𝑖=0 𝑅 (𝑇𝑖 − 𝑇𝑒) 𝑇𝑠,𝑖 = 𝑇𝑖 − 𝑅𝑠,𝑖 𝑅 (𝑇𝑖 − 𝑇𝑒) 𝑇𝑠,𝑗 = 𝑇𝑖 − 𝑅𝑠,𝑖 + ∑ 𝑅𝑖 𝑗 𝑖=0 𝑅 (𝑇𝑖 − 𝑇𝑒) 𝑇𝑠,𝑒 = 𝑇𝑖 − 𝑅𝑠,𝑖 + ∑ 𝑅𝑖 𝑛 𝑖=0 𝑅 (𝑇𝑖 − 𝑇𝑒) L’equivalenza nell’utilizzo dell’una o dell’altra serie di equazioni può essere dimostrata eguagliando ad esempio le due per 𝑇𝑠,𝑒: Nicola Genuin, mat. N° 186691 75 D32 Verifica a condensazione superficiale Descrivere la procedura da seguire per effettuare la verifica dal rischio di condensazione superficiale su di una parete perimetrale di un edificio, indicando nel dettaglio il metodo seguito per costruire il profilo di temperatura, ed il bilancio di massa utilizzato per valutare le condizioni igrometriche presenti all’interno di un edificio. Illustrare inoltre il concetto di temperatura di rugiada. La temperatura di rugiada è quella alla quale il vapore condensa in seguito ad un raffreddamento isobaro, in quanto l’aria diviene satura di vapore acqueo. Per evitare che si formi condensa sulla superficie della parete è necessario che la temperatura interna della parete sia maggiore della temperatura di rugiada calcolata alla pressione di vapore dell’ambiente. I controlli da effettuare per evitare il rischio di condensa sono i seguenti: 1. Si calcola il flusso specifico di calore che attraversa la parete: 𝑞 = 𝜙 𝐴 = 𝑇𝑖 − 𝑇𝑒 𝑅 2. Si calcola la temperatura sulla superficie interna della parete 𝑇𝑠𝑖 poiché 𝑇𝑖 ≠ 𝑇𝑠𝑖 in quanto la resistenza superficiale interna 𝑅𝑠𝑖 porta ad un abbassamento della temperatura in corrispondenza della superficie interna nella parete: 𝑞 = 𝜙 𝐴 = 𝑇𝑖 − 𝑇𝑠𝑖 𝑅𝑠𝑖 𝑇𝑠𝑖 ∗ = 𝑇𝑖 − 𝜙 𝐴 𝑅𝑠𝑖 3. Per evitare la crescita di muffe è necessario evitare che l’umidità relativa sulla superficie superi l’80 %: 𝜑𝑠𝑖 = 𝑝𝑖 𝑝𝑠𝑎𝑡(𝑇𝑖) ≤ 0.8 4. Si determina, per ogni mese, la pressione parziale del vapore all’interno 𝑝𝑖 e si calcola la temperatura minima superficiale interna necessaria ad evitare la condensa nel mese peggiore: 𝑝𝑠𝑎𝑡(𝑇𝑖) = 611 ∙ 10 7.5𝑇𝑖 237.7+𝑇𝑖 𝑝𝑖 = 𝜑𝑖𝑝𝑠𝑎𝑡(𝑇𝑖) 𝑝𝑠𝑎𝑡(𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛) = 𝑝𝑖 0.8 = 611 ∙ 10 7.5𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 237.7+𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 Si ricava 𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛: 𝑝𝑖 0.8 = 611 ∙ 10 7.5𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 237.7+𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 0.8 ) = 𝑙𝑜𝑔 (611 ∙ 10 7.5𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 237.7+𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛) 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 0.8 ) = 𝑙𝑜𝑔 611 + 𝑙𝑜𝑔 (10 7.5𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 237.7+𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛) 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 0.8 ) − 𝑙𝑜𝑔 611 = 7.5𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 237.7 + 𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 𝑙𝑜𝑔 10 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 488.8 ) = 7.5𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 237.7 + 𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 𝑙𝑜𝑔 10 7.5𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 = 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 488.8 ) 𝑙𝑜𝑔 10 (237.7 + 𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛) Nicola Genuin, mat. N° 186691 76 7.5𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 − 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 488.8 ) 𝑙𝑜𝑔 10 𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 = 237.7 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 488.8 ) 𝑙𝑜𝑔 10 𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 [7.5 − 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 488.8 ) 𝑙𝑜𝑔 10 ] = 237.7 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 488.8 ) 𝑙𝑜𝑔 10 𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 = 237.7 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 488.8 ) 𝑙𝑜𝑔 10 7.5 − 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 488.8 ) 𝑙𝑜𝑔 10 𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 = 237.7 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 488.8 ) 𝑙𝑜𝑔 10 7.5 𝑙𝑜𝑔 10 − 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 488.8 ) 𝑙𝑜𝑔 10 𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 = 237.7 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 488.8 ) 7.5 𝑙𝑜𝑔 10 − 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 488.8 ) 𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 = 237.7 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 488.8 ) 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 488.8 ) [7.5 𝑙𝑜𝑔 10 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 488.8 ) − 1] 𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 = 237.7 7.5 𝑙𝑜𝑔 10 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝𝑖 488.8 ) − 1 e lo si confronta con 𝑇𝑠𝑖 ∗ ; se quest’ultimo è maggiore (𝑻𝒔𝒊 ∗ > 𝑻𝒔𝒊,𝒎𝒊𝒏) non si ha rischio di condensa. Secondo la normativa il controllo per il rischio di condensa va effettuato anche sui fattori di resistenza superficiale interna calcolati rispetto a 𝑇𝑠𝑖 ∗ e 𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛. Tali valori sono compresi tra 0 e 1 e si calcolano nel seguente modo: 𝑓𝑅𝑠𝑖 = 𝑇𝑠𝑖 ∗ − 𝑇𝑒 𝑇𝑖 − 𝑇𝑒 𝑓𝑅𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 = 𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 − 𝑇𝑒 𝑇𝑖 − 𝑇𝑒 Se 𝒇𝑹𝒔𝒊 ≥ 𝒇𝑹𝒔𝒊,𝒎𝒊𝒏 non si ha rischio di condensa. Se queste condizioni non avvengono, si può aumentare 𝑓𝑅𝑠𝑖 aumentando la resistenza totale, cioè inserendo uno strato isolante, oppure diminuendo 𝑇𝑠𝑖,𝑚𝑖𝑛 riducendo la pressione parziale di vapore interna, cioè riducendo la generazione interna di vapore o immettendo una portata d’aria di ventilazione. Nicola Genuin, mat. N° 186691 77 D33 Trasmissione del calore attraverso una parete multistrato Ricavare le relazioni che permettono di descrivere la trasmissione del calore attraverso una parete piana multistrato. Illustrare il concetto di trasmittanza e di resistenza termica. Tracciare un diagramma dell’andamento della temperatura all’interno della parete e chiarire la relazione tra andamento della temperatura e conduttività termica. Si consideri una parete piana multistrato formata da due diversi materiali, aventi diversa conduttività termica 𝜆 e diverso spessore 𝑠. Siano 𝑇1 e 𝑇2 le temperature sulle superfici e 𝑇𝐼 la temperatura sulla superficie di separazione, ovvero all’interfaccia fra i due strati. L’equazione generale che descrive la conduzione termica è: 𝜌𝑐 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝜆∇2𝑇 + 𝐻 Per descrivere la trasmissione del calore attraverso la parete si devono determinare l’andamento della temperatura e del flusso termico all’interno di essa; si suppone che il processo avvenga in regime stazionario e senza generazione interna di calore, quindi l’equazione della conduzione si riduce a: ∇2𝑇 = 0 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 = 𝟎 Questa equazione differenziale ha soluzione: 𝑻(𝒙) = 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐 Si ricavano le condizioni al contorno separatamente per i due strati, ottenendo due funzioni di andamento della temperatura. Per il primo strato, individuati con (𝑥 = 0) la superficie esterna dello stesso e con (𝑥 = 𝑠1) l’interfaccia con il secondo strato, avendo definito 𝑠1 come spessore del primo strato, si impongono le temperature sulle due superfici: - 𝑇(0) = 𝑇1 𝑇(0) = C10 + C2 = 𝑇1 𝐶2 = 𝑇1 - 𝑇(𝑠1) = 𝑇𝐼 𝑇(𝑠1) = 𝐶1𝑠1 + 𝑇1 = 𝑇𝐼 𝐶1 = 𝑇𝐼 − 𝑇1 𝑠1 L’andamento della temperatura nel primo strato risulta lineare e pari a: 𝑻(𝒙) = 𝐓𝐈 − 𝐓𝟏 𝐬𝟏 𝒙 + 𝐓𝟏 Lo stesso ragionamento può essere fatto per il secondo strato. Si è detto che il flusso termico vale 𝑞 = −𝜆∇(𝑇). In questo caso, che è monodirezionale, si ha: 𝑞𝑥 = −𝜆 𝑑𝑇 𝑑𝑥 = −𝜆 𝑑𝑇 𝑠𝑖 Sapendo che il flusso nello strato 1 dev’essere lo stesso dello strato 2, si impone (se 𝑇1 < 𝑇𝐼 < 𝑇2): 𝒒𝟏 = 𝒒𝟐 Nicola Genuin, mat. N° 186691 80 Se 𝜙𝑛𝑠 > 0 la superficie riceve potenza termica, altrimenti la cede. Si ricava la relazione per la potenza termica netta (2) scambiata tra due superfici come differenza di potenze 𝜙 = 𝐵𝐴𝐹𝑖: 𝜙𝑛𝑠 = 𝐵1𝐴1𝐹12 − 𝐵2𝐴2𝐹21 Se le aree sono uguali, e le caratteristiche delle superfici tali che 𝐹12 = 𝐹21, allora: 𝜙𝑛𝑠 = 𝐴1𝐹12(𝐵1 − 𝐵2) 𝝓𝒏𝒔 = 𝑩𝟏 − 𝑩𝟐 𝟏 𝑨𝟏𝑭𝟏𝟐 Supponendo che le superfici di scambio siano solo due e che 𝑇1 > 𝑇2, 𝜙𝑛𝑠,1 < 0 e 𝜙𝑛𝑠,2 > 0, si ha: 𝜙𝑛𝑠 = −𝜙𝑛𝑠,1 = 𝜙𝑛𝑠,2 = 𝐵1 − 𝐵2 1 𝐴1𝐹12 = 𝜀1𝐴1 1 − 𝜀1 (𝐵1 − (𝐸)𝑛) = 𝜀2𝐴2 1 − 𝜀2 (𝐵2 − (𝐸)𝑛) Sommando questi termini si ottiene la potenza per radiazione mutua tra le due superfici grigie: 𝝓𝒏𝒔 = (𝑬𝟏)𝒏 − (𝑬𝟐)𝒏 𝟏 − 𝜺𝟏 𝜺𝟏𝑨𝟏 + 𝟏 𝑨𝟏𝑭𝟏𝟐 + 𝟏 − 𝜺𝟐 𝜺𝟐𝑨𝟐 Se si considera che le due superfici grigie siano piane e parallele in modo che 𝐹12 = 𝐹21 = 1, 𝐴1 = 𝐴2 = 𝐴, e che 𝑙 ≫ 𝑠 in modo da trascurare gli effetti di bordo, si può dire che: 𝜙𝑛𝑠 = 𝜎𝑛(𝑇1 4 − 𝑇2 4) 1 𝐴 ( 1 − 𝜀1 𝜀1 + 1 + 1 − 𝜀2 𝜀2 ) 𝜙𝑛𝑠 = 𝜎𝑛(𝑇1 4 − 𝑇2 4) 1 𝐴 ( 1 𝜀1 − 1 + 1 + 1 𝜀2 − 1) 𝜙𝑛𝑠 = 𝜎𝑛𝐴(𝑇1 4 − 𝑇2 4) ( 1 𝜀1 + 1 𝜀2 − 1) Questo mostra cosa si verifica in un doppio vetro: vi è scambio convettivo dovuto alla presenza di aria e radiativo tra le due superfici di vetro. Sostituendo l’aria con argon e utilizzando un vetro basso emissivo, ovvero con 𝜀 piccolo, si ottengono vetri con trasmittanza 𝑈 ≃ 0.7 ÷ 0.8. Rimane comunque migliore l’isolamento di una parete (𝑈 < 0.3). Dalla formula appena ricavata, se si interpone tra le due superfici un sottile schermo piano e opaco, si determina un flusso dimezzato rispetto al caso precedente. Per ridurre il flusso scambiato e quindi ottenere un buon isolamento è utile inserire un’intercapedine a vuoto spinto. Nicola Genuin, mat. N° 186691 81 A1 Gas ideali Un gas ideale, o gas perfetto, è un gas descritto dall’equazione di stato dei gas perfetti (Claperyron, 1834): 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 dove le variabili sono, in ordine, la pressione, il volume, la quantità di sostanza, la costante dei gas e la temperatura assoluta. Descrive bene il comportamento dei gas reali per pressioni non troppo elevate e per temperature non troppo vicine alla temperatura di liquefazione del gas. Un gas ideale rispetta, in tutte le condizioni di temperatura, densità e pressione: - la legge di Boyle-Mariotte: afferma che in condizioni di temperatura costante la pressione di un gas perfetto è inversamente proporzionale al suo volume, ovvero che il prodotto della pressione del gas per il volume da esso occupato è costante, 𝑝𝑉 = 𝑐𝑜𝑠𝑡; - La prima legge di Gay-Lussac, o legge di Charles: afferma che in una trasformazione isobara (𝑑𝑝 = 0), ovvero in condizioni di pressione e quantità di sostanza costanti, il volume di un gas ideale è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta, secondo la relazione 𝑉 = 𝑉0(1 + 𝛼𝑡), dove 𝛼 è il coefficiente di dilatazione termica che vale circa 3.663 ∙ 10−3°𝐶−1 per i gas ideali e 𝑡 è la temperatura in °𝐶; - La seconda legge di Gay-Lussac: afferma che in una trasformazione isocora (𝑑𝑉 = 0), ovvero in condizioni di volume costante, la pressione di un gas è direttamente proporzionale alla sua temperatura assoluta, secondo la relazione 𝑝 = 𝑝0(1 + 𝛼𝑡). Nicola Genuin, mat. N° 186691 82 A2 Principio zero della termodinamica Il principio zero della termodinamica postula che: se i corpi A e B sono entrambi in equilibrio termico con un terzo corpo C, allora lo sono anche fra loro. Questo principio, in sostanza, dichiara che due sistemi in equilibrio termico sono detti avere la stessa temperatura. Tale principio può essere espresso in termini matematici nel seguente modo: 𝑠𝑒 𝐴 𝑅𝑒𝑡 𝐶 𝑒 𝑠𝑒 𝐵 𝑅𝑒𝑡 𝐶 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 𝑇(𝐴) = 𝑇(𝐵) = 𝑇(𝐶) dove con 𝑅𝑒𝑡 si indica la relazione di equilibrio termico e con 𝑇 la temperatura dei corpi 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Sebbene sembri evidente, tale principio consente di definire la temperatura come grandezza in grado di indicare se due corpi sono in equilibrio termico, senza la necessità di rifarsi alla definizione di equilibrio termico, che prevederebbe la messa in contatto termico diretto dei due corpi e la verifica che non ci sia alcun passaggio di energia (tramite l'interazione calore) tra loro. Infatti, la relazione d'equilibrio termico sussiste quando le temperature dei corpi considerati sono in relazione d'uguaglianza tra loro. È importante sottolineare l'equivalenza logica tra la relazione d'equilibrio termico e l'uguaglianza delle temperature, imposta dal principio stesso. Per cui si potrebbe scrivere in modo più completo: 𝐴 𝑅𝑒𝑡 𝐶 𝑒 𝐵 𝑅𝑒𝑡 𝐶 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑇(𝐴) = 𝑇(𝐵) = 𝑇(𝐶) ammesso che tali corpi siano in contatto termico fra loro. Questo principio viene utilizzato per effettuare una misura della temperatura, se viene intesa come proprietà che determina se un corpo è in equilibrio termico con altri corpi oppure no. Due corpi in equilibrio termico fra loro sono alla stessa temperatura. Sebbene sia concettualmente un'assunzione basilare, la sua funzione è stata riconosciuta dopo la formulazione e la popolarizzazione del primo e secondo principio della termodinamica, ed è stato pertanto deciso di attribuirgli il nome di "principio zero". Per comprendere il significato di contatto termico, si immagini di avere due corpi posti in un contenitore isolato, in modo che essi possano interagire fra loro ma non con il resto del mondo. Se i corpi si trovano a temperature diverse, si scambiano energia tra loro, finché non viene raggiunto l'equilibrio. L'energia scambiata tra gli oggetti a causa della differenza di temperatura è detta calore. Si assume che i due oggetti sono in contatto termico se tra essi può essere scambiato calore. L'equilibrio termico è la situazione nella quale due corpi in contatto termico tra di loro cessano di avere scambio di calore. In base al secondo principio della termodinamica, il calore fluisce dal corpo più caldo a quello a temperatura più bassa, ossia due corpi tendono all'equilibrio termico all'interno di un sistema isolato. Nicola Genuin, mat. N° 186691 85 Il termine in verde, cambiato di segno, rappresenta il lavoro utile 𝐿𝑢, e il principio diventa: 𝑑𝐻 = 𝑑𝑈 + 𝑝𝑑𝑉 + 𝑉𝑑𝑝 = 𝛿𝑄 + 𝑉𝑑𝑝 ragion per cui per una trasformazione isocora (𝑑𝑉 = 0) di riduce a: 𝑑𝑈 + 𝑝𝑑𝑉 + 𝑉𝑑𝑝 = 𝛿𝑄 + 𝑉𝑑𝑝 ⟹ 𝒅𝑼 = 𝜹𝑸 e per una trasformazione isobara (𝑑𝑝 = 0) a: 𝑑𝐻 = 𝛿𝑄 + 𝑉𝑑𝑝 ⟹ 𝒅𝑯 = 𝜹𝑸 In termini di exergia, meglio definita nell’ambito del II° PDT, il I° PDT può anche essere enunciato come segue: “La somma di anergia ed exergia attraverso qualsiasi processo rimane costante”. Nicola Genuin, mat. N° 186691 86 A4 Secondo principio della termodinamica Il secondo principio della termodinamica è il principio secondo il quale molti eventi termodinamici sono irreversibili. Esso possiede diverse formulazioni equivalenti, delle quali una di fonda sull’introduzione della funzione di stato entropia: in questo caso il secondo principio asserisce che l’entropia di un sistema isolato lontano dall’equilibrio termico tende ad aumentare nel tempo, finché l’equilibrio non è raggiunto. Esistono molto formulazioni equivalenti del II° PDT. Quelle che storicamente si sono rivelate più importanti sono: 1. Enunciato di Clausius: “è impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di trasferire calore da un corpo più freddo a uno più caldo senza l’apporto di lavoro esterno”; 2. Enunciato di Kelvin-Planck: “è impossibile realizzare una trasformazione ciclica il cui unico risultato sia la trasformazione in lavoro di tutto il calore assorbito da una sorgente omogenea”; 3. “È impossibile realizzare una macchina termica il cui rendimento sia pari al 100%”; 4. “In un sistema isolato l’entropia è una funzione non decrescente nel tempo”: 𝑑𝑆 𝑑𝑡 ≥ 0 Il II° PDT sancisce implicitamente l’impossibilità di realizzare il moto perpetuo cosiddetto di seconda specie (ovvero dispositivi in grado di convertire interamente il calore estratto da una sola sorgente a temperatura costante in lavoro) e tramite la non reversibilità dei processi termodinamici definisce una freccia del tempo6. I due principi della termodinamica macroscopica valgono anche nei sistemi aperti, e vengono generalizzati tramite l’exergia, ovvero la massima frazione di energia di prima specie (meccanica, potenziale, cinetica, …) che può essere convertita in lavoro meccanico mediante macchina reversibile; essa si conserva nei processi reversibili e diminuisce nei processi irreversibili. In questi termini, il II° PDT può essere enunciato come: 5. “L’exergia si conserva nei processi reversibili, parte di essa si trasforma in anergia nei processi irreversibili, l’anergia non si può trasformare in exergia”. Gli enunciati di Clausius e di Kelvin-Planck si equivalgono: - Si supponga per assurdo che l’enunciato di Clausius sia falso, ossia che esista una macchina frigorifera ciclica in grado di trasferire calore da una sorgente fredda ad una calda senza apporto di lavoro esterno; sia 𝑄 la quantità di calore trasferita per ogni ciclo della macchina dalla sorgente fredda a quella calda. Si può allora far lavorare una macchina termica fra le due sorgenti, in modo tale che essa sottragga ad ogni ciclo una quantità di calore 𝑄′ dalla sorgente calda, trasferendo a quella fredda una quantità di calore 𝑄 e convertendo la differenza 𝑄′ − 𝑄 in lavoro. La sorgente fredda allora non subisce alcun trasferimento netto di calore e pertanto il nostro sistema di macchine termiche sta globalmente estraendo calore dalla sola sorgente calda, producendo esclusivamente lavoro, in violazione dell’enunciato di Kelvin-Planck del II° PDT. Siccome una violazione dell’enunciato di Clausius implica una violazione dell’enunciato di Kelvin-Planck, l’enunciato di Kelvin-Planck implica l’enunciato di Clausius. 6 Freccia del tempo Fenomeno tale per cui un sistema fisico evolve da uno stato iniziale X al tempo t ad uno stato finale X* ad un tempo t* (con t*>t) e non ritornerà mai ad X in nessun istante successivo a t*. Nicola Genuin, mat. N° 186691 87 - Si supponga ora invece di poter convertire interamente il calore, estratto per mezzo di una macchina ciclica da una sola sorgente fredda a temperatura costante 𝑇𝐹, in lavoro 𝐿. Allora si può prendere una seconda sorgente a temperatura più alta 𝑇𝐶 e far funzionare tra le due sorgenti una macchina frigorifera che assorba ad ogni ciclo il lavoro 𝐿 prodotto dall’altra macchina. Si ha così, globalmente, un trasferimento netto di calore dalla sorgente fredda a quella calda, in violazione dell’enunciato di Clausius. Siccome una violazione dell’enunciato di Kelvin-Planck implica una violazione dell’enunciato di Clausius, l’enunciato di Clausius implica l’enunciato di Kelvin-Planck. Il teorema di Carnot fornisce il tramite attraverso il quale formalizzare matematicamente i due enunciati, come si può vedere nella domanda D2. Nicola Genuin, mat. N° 186691 90 |𝑄1| 𝑇1 = |𝑄2| 𝑇2 La temperatura 𝑇𝑒 rappresenta la temperatura a cui è esposto l’evaporatore (sorgente fredda), mentre 𝑇𝑐 rappresenta la temperatura a cui è esposto il condensatore dell’impianto (sorgente calda). Nel primo caso l’effetto utile è il calore asportato dall’evaporatore, nel secondo caso è il calore ceduto dal condensatore. Si ricorda che il coefficiente di prestazione è equivalente al coefficiente di effetto utile 𝜀, in entrambi i casi. Nicola Genuin, mat. N° 186691 91 A6 Relazioni di Maxwell Le relazioni di Maxwell della termodinamica sono delle equazioni alle derivate parziali che legano direttamente tra loro le variabili di stato e sono ricavabili attraverso la trasformata di Legendre, ovvero un procedimento che trasforma una funzione convessa a valori reali di variabile reale in un’altra funzione convessa dipendente esplicitamente dalla derivata della funzione di partenza; si tratta di un’involuzione, ovvero una funzione che è l’inversa di sé stessa. Per funzioni di più variabili, ad esempio una funzione generica 𝑓(𝑥, 𝑦) il cui differenziale sia dato da: 𝑑𝑓 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑣𝑑𝑦 per costruire una funzione che dipenda da 𝑑𝑢 e 𝑑𝑦 (invece che da 𝑑𝑥 e 𝑑𝑦) si definisce la funzione 𝑔(𝑢, 𝑦) = 𝑓 − 𝑢𝑥. Differenziando: 𝑑𝑔 = 𝑑𝑓 − 𝑢𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑢 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑣𝑑𝑦 − 𝑢𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑢 = −𝑥𝑑𝑢 + 𝑣𝑑𝑦 da cui: 𝑥 = − 𝜕𝑔 𝜕𝑢 𝑣 = 𝜕𝑔 𝜕𝑦 La funzione 𝑔(𝑢, 𝑦) è il risultato della trasformazione di Legendre della 𝑓(𝑥, 𝑦) in cui la variabile indipendente 𝑥 è stata rimpiazzata da 𝑢. In termodinamica, per il primo principio si ha: 𝑑𝑈 = 𝛿𝑄 − 𝑝𝑑𝑉 𝛿𝑄 = 𝑝𝑑𝑉 + 𝑑𝑈 Per la definizione di entropia, in condizioni quasistatiche reversibili: 𝛿𝑄 = 𝑇𝑑𝑆 e quindi, sostituendo: 𝑑𝑈(𝑆, 𝑉) = 𝑇𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 Assumendo come variabili libere (o naturali) 𝑆 e 𝑉, cioè esprimendo ogni altra funzione di stato in funzione di queste due (sufficienti a descrivere lo stato del sistema), si procede nel differenziare 𝑈: 𝑑𝑈(𝑆, 𝑉) = 𝜕𝑈(𝑆. 𝑉) 𝜕𝑆 𝑑𝑆 + 𝜕𝑈(𝑆, 𝑉) 𝜕𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑈(𝑆, 𝑉) = 𝑇𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 𝜕𝑆 𝑑𝑆 + 𝑇𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 𝜕𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑈(𝑆, 𝑉) = 𝑇𝑑𝑆 𝜕𝑆 𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 𝜕𝑆 𝑑𝑆 + 𝑇𝑑𝑆 𝜕𝑉 𝑑𝑉 − 𝑝𝑑𝑉 𝜕𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑈(𝑆, 𝑉) = 𝑇𝑑𝑆 𝜕𝑆 𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 𝜕𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑈(𝑆, 𝑉) = 𝑇𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 da cui: 𝑇 = ( 𝜕𝑈(𝑆.𝑉) 𝜕𝑆 ) 𝑉 𝑝 = −( 𝜕𝑈(𝑆,𝑉) 𝜕𝑉 ) 𝑆 Nicola Genuin, mat. N° 186691 92 Usando il teorema di Schwartz7 si ricava la seguente relazione, detta equazione di Maxwell: ( 𝜕𝑇 𝜕𝑉 ) 𝑆 = −( 𝜕𝑝 𝜕𝑆 ) 𝑉 Ora di può operare delle trasformate (non standard) di Legendre sull’energia interna per ottenere altre funzioni termodinamiche e altre utili relazioni sulle varie grandezze di volta in volta derivate o tenute costanti. In pratica vengono cambiate di volta in volta le variabili libere del sistema. - Entalpia 𝐻: 𝑑𝐻(𝑆, 𝑝) = 𝑑(𝑈 + 𝑝𝑉) = 𝑇𝑑𝑆 + 𝑉𝑑𝑝 𝑇 = ( 𝜕𝐻 𝜕𝑆 ) 𝑝 𝑉 = ( 𝜕𝐻 𝜕𝑝 ) 𝑆 ( 𝜕𝑇 𝜕𝑝 ) 𝑆 = ( 𝜕𝑉 𝜕𝑆 ) 𝑝 - Energia libera di Helmholtz 𝐴 (secondo IUPAC, 𝐹 secondo altre convenzioni): 𝑑𝐴(𝑇, 𝑉) = 𝑑(𝑈 − 𝑇𝑆) = −𝑆𝑑𝑇 − 𝑝𝑑𝑉 𝑆 = ( 𝜕𝐴 𝜕𝑇 ) 𝑉 𝑝 = −( 𝜕𝐴 𝜕𝑉 ) 𝑇 ( 𝜕𝑆 𝜕𝑉 ) 𝑇 = ( 𝜕𝑝 𝜕𝑇 ) 𝑉 - Energia libera di Gibbs 𝐺: 𝑑𝐺(𝑇, 𝑝) = 𝑑(𝑈 + 𝑝𝑉 − 𝑇𝑆) = −𝑆𝑑𝑇 + 𝑉𝑑𝑝 𝑆 = −( 𝜕𝐺 𝜕𝑇 ) 𝑝 𝑉 = ( 𝜕𝐺 𝜕𝑝 ) 𝑇 −( 𝜕𝑆 𝜕𝑝 ) 𝑇 = ( 𝜕𝑉 𝜕𝑇 ) 𝑝 Riassumendo si ha: 𝐻(𝑆, 𝑝) = 𝑈(𝑆, 𝑉) + 𝑝𝑉 𝐴(𝑇, 𝑉) = 𝑈(𝑆, 𝑉) − 𝑇𝑆 𝐺(𝑇, 𝑝) = 𝑈(𝑆, 𝑉) + 𝑝𝑉 − 𝑇𝑆 = 𝐻(𝑆, 𝑝) − 𝑇𝑆 Per un sistema puramente termodinamico in cui le uniche forme di lavoro in senso generalizzato presenti sono lavoro di volume e calore scambiato, le coordinate di stato sono volume 𝑉, pressione 𝑝, entropia 𝑆 e temperatura 𝑇; le relazioni sono derivabili dalle definizioni dei quattro potenziali termodinamici. Per un sistema monocomponente, le relazioni sono: ( 𝜕𝑇 𝜕𝑉 ) 𝑆 = −( 𝜕𝑝 𝜕𝑆 ) 𝑉 −( 𝜕𝑆 𝜕𝑝 ) 𝑇 = ( 𝜕𝑉 𝜕𝑇 ) 𝑝 ( 𝜕𝑉 𝜕𝑆 ) 𝑝 = ( 𝜕𝑇 𝜕𝑝 ) 𝑆 ( 𝜕𝑝 𝜕𝑇 ) 𝑉 = ( 𝜕𝑆 𝜕𝑉 ) 𝑇 7 Teorema di Schwartz In analisi matematica, afferma che, sotto opportune ipotesi, l’ordine con il quale vengono eseguite le derivate parziali di una derivata mista di una funzione a variabili reali è ininfluente. Nicola Genuin, mat. N° 186691 95 A8 Equazione del calore Il primo principio della termodinamica sancisce la conservazione dell’energia di un sistema termodinamico a livello macroscopico, secondo la relazione: ∆𝐸 = 𝑄 − 𝐿 dove con 𝐸 si indica l’energia totale composta, in ordine di influenza nel campo della termodinamica, da energia interna 𝑈, energia cinetica 𝐸𝑐𝑖𝑛, energia potenziale 𝐸𝑝𝑜𝑡, energia elettrica (effetto Joule), energia chimica, energia nucleare: le ultime tre in particolare sono generalmente trascurabili oppure tenute in conto in un termine 𝐻 che rappresenta la generazione interna di calore, generalmente costante e indipendente dallo spazio, definita dalla formula: 𝐻 = lim ∆𝑉→0 𝑄𝑔 ∆𝑉 ̇ avendo indicato con 𝑄?̇? la potenza generata dalle suddette forme di energia. Nella meccanica del continuo si distinguono due diversi approcci per studiare la materia: - Approccio euleriano: si definisce un volume di controllo studiando un flusso di particelle che lo attraversa, secondo il principio di conservazione della massa; - Approccio lagrangiano: si segue una particella nello spazio e nel tempo, determinandone la posizione. Per un generico campo 𝐴 vale: 𝒅𝑨 𝒅𝒕 = 𝝏𝑨 𝝏𝒕 + ?⃗⃗⃗? 𝛁𝑨 dove il primo termine è la derivata totale lagrangiana, il secondo la derivata parziale euleriana e l’ultimo è un termine convettivo, ovvero una parte del campo 𝐴 trasportata dal moto. Per la legge di conservazione della massa, già citata in precedenza, si stabilisce un’equazione di continuità per il bilancio di massa del tipo: 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 ⟺ 𝑓𝑙𝑢𝑠𝑠𝑜 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑎𝑡𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑒 ∆𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 ⟺ ∆?̇? = 𝜌?⃗⃗? 𝑑𝐴 Il flusso di massa (o portata massica) ?̇? dipende dal tempo, e di conseguenza anche la variazione di massa del volume di controllo, quindi si può scrivere 𝜕𝑚/𝜕𝑡: 𝜕 𝜕𝑡 𝜌𝑑𝑉 = −𝜌?⃗⃗? 𝑑𝐴 e integrare: 𝜕 𝜕𝑡 ∫ 𝜌𝑑𝑉 𝑉 = −∫ 𝜌?⃗⃗? ?̂?𝑑𝐴 𝐴 Grazie al teorema della divergenza si può quindi scrivere una relazione valida ∀𝑉: 𝜕 𝜕𝑡 ∫ 𝜌𝑑𝑉 𝑉 = −∫ ∇(𝜌?⃗⃗? )𝑑𝑉 𝑉 Nicola Genuin, mat. N° 186691 96 𝜕𝜌 𝜕𝑡 𝑉 = −∇(𝜌?⃗⃗? )𝑉 𝝏𝝆 𝝏𝒕 + 𝛁(𝝆?⃗⃗⃗? ) = 𝟎 che rappresenta l’equazione di continuità per la conservazione della massa. In lagrangiano si può scrivere la formula equivalente: 𝑑𝜌 𝑑𝑡 = 0 Nell’ipotesi di fluido incomprimibile, il secondo termine si annulla e rimane solo: 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 0 L’energia contenuta in un volume arbitrario 𝑉 può variare solo in presenza di un flusso di energia attraverso la superficie 𝐴 del volume o di generazione interna di calore 𝐻. In termini matematici si può esprimere l’energia specifica (ovvero l’energia espressa per unità di massa) come: 𝑒 = 𝑒𝑐𝑖𝑛 + 𝑒𝑝𝑜𝑡 + 𝑢 e l’energia contenuta nel volume 𝑉 come: 𝐸 = 𝑒𝑚 = 𝑒𝜌𝑉 mentre il flusso di potenza (energia espressa per unità di tempo) vale: 𝐽 = 𝜌𝑒?⃗⃗? + 𝑃?⃗⃗? + ?̇? dove 𝜌𝑒?⃗⃗? è il flusso di potenza totale trasportata dal fluido, 𝑃?⃗⃗? è la potenza necessaria ad espellere/immettere il fluido nel volume di controllo e ?̇? è il flusso di potenza del calore scambiato. Allora, per la conservazione dell’energia, si deve avere: 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 ⟺ 𝑓𝑙𝑢𝑠𝑠𝑜 𝑑𝑖 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑎𝑡𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑒 𝑒/𝑜 𝐻 ∆𝐸 = 𝑒𝜌𝑑𝑉 ⟺ 𝐽 𝑑𝐴 + 𝐻 La potenza è la derivata nel tempo dell’energia, quindi si può scrivere un’eguaglianza grazie a 𝜕𝐸/𝜕𝑡: 𝜕 𝜕𝑡 𝑒𝜌𝑑𝑉 = −𝐽 𝑑𝐴 + 𝐻 e integrare: 𝜕 𝜕𝑡 ∫ 𝑒𝜌𝑑𝑉 𝑉 = −∫ 𝐽 ?̂?𝑑𝐴 𝐴 + ∫ 𝐻𝑑𝑉 𝑉 Grazie al teorema della divergenza si può quindi scrivere una relazione valida ∀𝑉: 𝜕 𝜕𝑡 ∫ 𝑒𝜌𝑑𝑉 𝑉 = −∫ ∇𝐽⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑉 𝑉 + ∫ 𝐻𝑑𝑉 𝑉 𝜕 𝜕𝑡 𝑒𝜌𝑉 = −∇𝐽⃗⃗⃗⃗ 𝑉 + 𝐻𝑉 𝜕 𝜕𝑡 𝑒𝜌 = −∇𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐻 Nicola Genuin, mat. N° 186691 97 Nel secondo termine ∇𝐽⃗⃗⃗⃗ = ∇(𝜌𝑒?⃗⃗? + 𝑃?⃗⃗? + ?̇?) il contributo del termine 𝑃?⃗⃗? è trascurabile a velocità ?⃗⃗? ordinarie; per quanto riguarda l’energia si possono trascurare i contributi dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, ottenendo 𝑒 = 𝑢; si ha allora: 𝝏𝒖𝝆 𝝏𝒕 = −𝛁(𝝆𝒖?⃗⃗⃗? + ?̇?) + 𝑯 Questa equazione rappresenta il bilancio per la conservazione dell’energia. Ora si sommino l’equazione per il generico campo 𝐴 moltiplicata per 𝜌 e l’equazione per la conservazione della massa moltiplicata per il generico campo 𝐴: 𝜌 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝜌 𝜕𝐴 𝜕𝑡 + 𝜌?⃗⃗? ∇𝐴 + 𝐴 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝐴∇(𝜌?⃗⃗? ) Si ottiene: 𝜌 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝜕(𝜌𝐴) 𝜕𝑡 + ∇(𝐴𝜌?⃗⃗? ) che rappresenta la formula del trasporto di Reynolds. Definendo il campo 𝐴 = 𝑢 si avrà: 𝜌 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 𝜕(𝜌𝑢) 𝜕𝑡 + ∇(𝑢𝜌?⃗⃗? ) Secondo l’equazione per la conservazione dell’energia si può scrivere: 𝜕𝑢𝜌 𝜕𝑡 + ∇(𝜌𝑢?⃗⃗? ) = −∇(?̇?) + 𝐻 e quindi Reynolds per 𝐴 = 𝑢 diventa: 𝜌 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = −∇(?̇?) + 𝐻 Inoltre, noto il postulato di Fourier per il quale ?̇? = −𝜆∇𝑇, e con 𝒖 = 𝒄𝒅𝑻, Reynolds diventa: 𝝆𝒄 𝒅𝑻 𝒅𝒕 = 𝝀𝛁𝟐𝑻 + 𝑯 Introducendo la grandezza diffusività termica 𝛼 = 𝜆/𝜌𝑐 [𝑚2/𝑠] si può anche scrivere la forma equivalente: 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝛼∇2𝑇 + 𝐻 𝜌𝑐 Ora di possono distinguere tre casi particolari: 1. Se la generazione interna di calore è nulla, 𝐻 = 0, si ottiene l’equazione di Fourier: 𝜌𝑐 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝜆𝛻2𝑇 2. In condizioni stazionarie, ovvero per 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 0, si ottiene l’equazione di Poisson: 𝜆𝛻2𝑇 + 𝐻 = 0 3. Dalla combinazione delle due condizioni precedenti si ottiene l’equazione di Laplace: 𝛻2𝑇 = 0 Sono tutte equazioni differenziali alle derivate parziali del secondo ordine nello spazio e del primo ordine nel tempo. La soluzione generale è del tipo 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). Per identificare univocamente la soluzione del problema è opportuno definire delle condizioni al contorno: