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Il calcolo delle probabilità risolve il problema DIRETTO. Conoscendo le cara�eris�che della popolazione L inferenza sta�s�ca perme�e di determinare le cara�eris�che della popolazione alla luce delle informazioni contenute Si occupa della precisione in cui e possibile determinare le c. della popolazione l inferenza sta�s�ca Il risultato della singola esecuzione di un esperimento casuale non è prevedibile con certezza Il singolo risultato di un esperimento Un evento elementare Si dice spazio campionario l insieme degli even� elementari associa� ad un esperimento casuale Un evento è un qualsiasi insieme di even� elementari
Uno spazio campionario cos�tuito da un infinità non numerabile di elemen� è de�o con�nuo L insieme complementare di A è l insieme dei pun� dello spazio che NON APPARTENGONO L insieme che con�ene i pun� che appartengono ad A e B o entrambi si dice unione A e B L intersezione di A e B e è l insieme che con�ene i pun� che Appartengono sia ad A che a B Una funzione d insieme definita x tu� i so�oinsiemi dello spazio campionario Può essere definita probabilità qualora soddisfi alcuni requisi� Se A è un evento generico P(A) MAGGIORE UGUALE di 0 La probabilità dell unione di even� incompa�bili è uguale alla somma della probabilità degli even� So�raendo la probabilità dell intersezione alla somma delle probabilità di due even� ……. LA PROBABILITA DELL UNIONE DEI DUE EVENTI Il grado di fiducia che un individuo sulla base delle conoscenze possedute … La probabilità di b supponendo che A si sia già verificato è data da P(B/A) La condizione P(A intersezione B)=P(A)P(B) è necessaria e suff. per affermare che A e B sono even� indipenden� Dato un evento A e un insieme di even� incompa�bili che ne sono la causa ,la formula di BAYES…. LA PROBABILITà CHE CIASCUNA DELLE CAUSE DETERMINI IL VERIFICARSI DI A
Una quan�tà il cui valore dipende dal esito di un esperimento casuale è de�a variabile casuale Una variabile casuale è una funzione che La distribuzione di probabilità associa ai possibili valori di una variabile casuale i rispe�vi livelli di probabilità Generalmente con un grafico a gradini si rappresenta la funzione di ripar�zione di una variabile casuale discreta Per o�enere una variabile casuale standardizzata si so�rae alla variabile casuale la sua media e si divide per la DEVIAZIONE STANDARD
SI DICE Con�nua una variabile casuale che può assumere valori di un intervallo di numeri REALI La probabilità che una variabile casuale X con�nua sia compresa tra a e b è data L integrale di (x-E(X)^2f(x)dx definisce Il quan�le di livello p della variabile casuale con�nua x è il valore della variabile casuale x ….. LA SUA FUNZIONE DI RIPARTIZIONE ASSUME VALORE P La funzione di probabilità congiunta di una variabile casuale doppia discreta assegna una probabilità a ogni coppia di valori x e y Il coefficiente di correlazione lineare varia tra -1 e + Le variabili casuali discrete x e y sono indipenden� se P(X=x|Y=y)=P(X=x)= f(X) Date due variabili casuali e due costan� a e b l espressione a^2var(X)+b^2var(Y) +2ab…. Alla varianza della combinazione lineare AX più BY Per una variabile casuale doppia con�nua le densità marginali sono o�enute Mediante l'integrazione della densità congiunta Una variabile casuale mul�pla Associa N numeri reali ad ogni evento elementare dello spazio campionario
3 La variabile casuale di Bernoulli assume valori 0 e 1 -la media varianza della distribuzione di Bernoulli valgono rispe�vamente P e p (1-p) -il modello binomiale richiede Prove bernoulliane ripe�bili indipenden� e tu�e con la stessa probabilità di successo -nella distribuzioni poisson La media è uguale alla vacanza -il parametro a^2 della funzione di densità normale Posi�vo -il grado di concentrazione della curva a�orno all'asse di simmetria E determinato Dalla deviazione standard -se X è una v.c. Normale con media U È varianza a^2 la variabile casuale Z=(x-u)/a H a media zero varianza uno È si distribuisce normalmente -Il quan�le della normale standardizzata zp quando p Maggiore 0.5 è dato Zp= 0^-1(p) -la distribuzione chi quadrato si riferisce a variabili casuali con valori Non nega�vi
- per considerar nel processo di s�ma l imprecisione delle s�me si u�lizza LA STIMA PER INTERVALLO
- Sia Xm la media di un campione casuale(X1….Xn) da una pop. Normale con media u e varianza incognita. Si chiama intervallo di ……. l1=Xm - t1- a/2…. l2= Xm + t1 ….. -per il calcolo dell intervallo di confidenza della proporzione p di una popolazione bernoulliana, nel caso campione numerosità elevata NORMAL STANDARDIZZATA
- Sia S^2 la varianza di un campione casuale (x1..xn)da una popolazione normale con varianza a^2 incognita. Si puo affermare con probabilità paria a 1-a …… ALL INTERVALLO NUMERICO DI ESTREMI. X^2 a/2 e X^2 1-a/
- per un livello di confidenza 1-a prefissato la precisione dell informazione sul parametro fornita dall intervallo di confidenza AUMNTA AL DIMINUIRE DELL AMPIEZZA DELL INTERVALLO
NELLA verifica delle ipotesi, l ipotesi so�oposta a verifica è de�a NULLA La sta�s�ca test serve a DECIDERE SE RIFIUTARE O MENO L IPOTESI NULLA Si chiama errore di seconda specie LA DECISIONE DI NON RIFIUTARE L IPOTESI NULLA QUANDO è FALSA L ipotesi alterna�va H1: u maggiore u0 è de�a Unidirezionale -Nel caso della verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale con varianza nota si rifiuta l’ipotesi nulla in favore dell’alternativa unidirezionale H 1 : μ > μ 0 per valori della media campionaria X M Molto più grandi di μ 0
- Si dice che un test è significativo Quando la statistica test cade nella zona di rifiuto
- Nella verifica di ipotesi si rifiuta l’ipotesi nulla se il livello di significatività osservato α oss è Inferiore al livello di significatività α
- Nel caso della verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale con varianza nota σ 2 contro l’alternativa bidirezionale H 1 : μ ≠ μ 0 , il livello di significatività osservato per un campione di ampiezza n, con media x M e z M = (x M - μ 0 )√n/σ, è dato dall’espressione αoss = 2[1 - Φ(|zM|)]
- Nel caso della verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale con varianza incognita, se X M ed S 2 sono rispettivamente la media e la varianza campionaria e la numerosità n non è elevata, si
rifiuta l’ipotesi nulla in favore dell’alternativa unidirezionale H 1 : μ < μ 0 se il valore osservato della statistica campionaria (X M - μ 0 )√n/S È inferiore al quantile di livello α della t di Student con n-1 gradi di libertà
Nel caso della verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale con varianza incognita contro l’alternativa unidirezionale H 1 : μ > μ 0 , il livello di significatività osservato per un campione casuale di ampiezza n elevata, con media x M, varianza campionaria s 2 e z M = (x M - μ 0 )√n/s, è dato dall’espressione α oss = 1 – Φ(zM ) Nel caso della verifica di ipotesi sulla proporzione di successi p in una popolazione bernoulliana, se p M è la media campionaria (proporzione di successi nel campione) e la numerosità n è elevata, si rifiuta l’ipotesi nulla in favore dell’alternativa unidirezionale H 1 : p < p 0 se il valore osservato della statistica campionaria (p M – p 0 )/ √[p 0 (1-p 0 )/n] È inferiore al quantile di livello α della normale standardizzata
-Per la verifica di ipotesi sulla varianza di una popolazione normale si utilizza la statistic V = (n-1)S 2 /σ 02
-Nel caso della verifica di ipotesi sulla varianza di una popolazione normale, se S 2 è la varianza campionaria, si rifiuta l’ipotesi nulla in favore dell’alternativa unidirezionale H 1 : σ 2 > σ 20 se il valore osservato della statistica test V = (n-1)S 2 /σ 02 È maggiore del quantile di livello 1 - α della chi-quadrato con n-1 gradi di libertà
-La potenza di un test 1 – β corrisponde
Alla probabilità di rifiutare l’ipotesi nulla quando è falsa
-Il valore atteso della differenza tra le medie di due campioni casuali indipendenti provenienti da altrettante popolazioni normali con
valore osservato della statistica campionaria (p 1M - p 2M )/ σD È minore del quantile di livello α della normale standardizzata
- Siano X 1 e X 2 due variabili casuali indipendenti aventi distribuzioni di probabilità chi-quadrato con r 1 e r 2 gradi di libertà. La variabile casuale data dall’espressione (X 1 /r 1 ) / (X 2 /r 2 ) ha distribuzione di probabilità Scegli un'alternativa: F di Fisher
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- Nell’analisi di dati di frequenza se p 10 , …, pk0 sono le probabilità associate alle k categorie di un certo carattere, i valori attesi delle frequenze n 1 , …, n k ottenute classificando un campione di n unità nelle k categorie, sono dati da np 10 , …, np k -Nell’analisi delle frequenze delle k categorie di un certo carattere la misura della distanza tra la distribuzione di frequenze osservata n 1 , …, n k per un campione di ampiezza n e quella attesa sotto l’ipotesi nulla H 0 : p 1 =p 10 , …, p k=pk0 è data dalla somma per i = 1, …, k di (n i -np i0) 2 /np i -Nell’analisi di dati di frequenza si rifiuta l’ipotesi nulla H 0 : p 1 =p 10 , …, p k=p k0 quando la statistica test χ 2 assume valori Molto grandi
-Nel caso della verifica dell’ipotesi di indipendenza tra due caratteri si dispone di Un campione classificato secondo le modalità di due caratteri
-Nel caso della verifica dell’ipotesi di indipendenza tra due caratteri l’ipotesi alternativa è espressa da H 1 : p ij ≠ p i0p 0j almeno per una coppia ij
-Nel caso della verifica dell’ipotesi di omogeneità l’ipotesi
nulla è espressa da
. H 0 : p i1=p 1 , …, p ik =p k per i=1,…,s
10 -Si indichi quale delle seguenti espressioni vale nel modello di regressione semplice
. E(Y|x) = f(x)
-Nel modello di regressione lineare semplice l’intercetta β 0 è il valore di E(Y|x) quando x = 0
-Con il metodo dei minimi quadrati si assegnano ai parametri β 0 e β 1 del modello di regressione lineare i valori b 0 e b 1 che minimizzano la somma degli n termini (yi -b 0 -b 1 xi ) 2
-Se x M e yM sono le medie campionarie della variabile indipendente e della variabile risposta, la stima dei minimi quadrati dell’intercetta del modello di regressione lineare è data dall’espressione b 0 = y M – b 1 xM
-Nel modello di regressione lineare si dice residuo la differenza tra Il valore osservato della variabile risposta ed il suo valore atteso
-Per la costruzione degli intervalli di confidenza e per la verifica di ipotesi sui parametri β 0 e β 0 del modello di regressione lineare Si assume che per le v.c. Y 1 , …, Yn valgano indipendenza ed omoschedasticità e che siano distribuite normalmente
-Nel modello di regressione lineare l’analisi dei residui serve A verificare se il modello è valido e sono valide le assunzioni di indipendenza, omoschedasticità e normalità
In generale un esperimento casuale È ripetibile : VERO
Secondo la definizione frequentista la probabilità di un evento è Il limite della frequenza relativa con cui A si verifica in una lunga serie di prove ripetute sotto le stesse condizioni
Se A è un evento generico : 0 < P(A) < 1 La varianza di una variabile casuale discreta e data : la somma dei quadrati degli scostamenti dei valori dalla variabile casuale dalla media moltiplicati per le rispettive probabilità Una variabile casuale standardizzata : MEDIA NULLA E VARIANZA UNITARIA Per due variabili casuali discrete X&Y vale che : se sono indipendenti allora hanno covarianza nulla La distribuzione binomiale puo essere approssimata con la normale : il numero di prove È grande È la probabilità di successo e lontana da 0 e 1 Tramite la funzione di ripartizione È possibile definire la probabilità che la V. C. Normale assuma valori all'interno di un intervallo ab :P (a<x<b)=F(b)- F(a)
dimensione dello spazio campionario over il numero di campioni che si possono formare senza reinserimento: 441
Si è X una vu. A distribuita normalmente con media 10 È varianza 9 calcolare P(9<X<13) : 0,
I possibili esiti o risultati di un esperimento casuale : sono definibili in anticipo è catalogabile in modo preciso. Un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario di un esperimento casuale è : un evento La probabilità dell'unione di eventi qualsiasi è uguale: alla somma delle probabilità degli eventi Meno la probabilità dell'intersezione Il coefficiente di correlazione lineare tra X&Y E dato dal rapporto tra la covarianza: e il prodotto della deviazioni Standard Per due variabili casuali discrete X&Y vale che : se sono indipendenti allora hanno covarianza nulla La v.c di poisson è generalmente associata al conteggio : delle occorrenze di un evento raro La funzione di probabilità the uno v.a discreta che assume valori 0 e 1: È detta distribuzione di Bernoulli Si dice media campionaria: la media aritmetica degli elementi del campione casuale Si dice campione salvabile una realizzazione del campione casuale ovvero: un insieme di variabili casuali
Da una popolazione di 21 individui si estraggono con reinserimento campioni casuali di due unità statistiche. Considerando diversi due campioni formati da elementi differenti ho degli stessi elementi in ordine diverso, Calcolare la dimensione dello spazio campionario ovvero il numero di campioni che si possono formare con reinserimento: 441
